Python решение уравнений в частных производных

Что такое SymPy ? Это библиотека символьной математики языка Python. Она является реальной альтернативой таким математическим пакетам как Mathematica или Maple и обладает очень простым и легко расширяемым кодом. SymPy написана исключительно на языке Python и не требует никаких сторонних библиотек.

Документацию и исходный код этой библиотеки можно найти на ее официальной странице.

Видео:Найти общее решение уравнения в частных производных первого порядка.Скачать

Первые шаги с SymPy

Используем SymPy как обычный калькулятор

В библиотеке SymPy есть три встроенных численных типа данных: Real , Rational и Integer . С Real и Integer все понятно, а класс Rational представляет рациональное число как пару чисел: числитель и знаменатель рациональной дроби. Таким образом, Rational(1, 2) представляет собой 1/2 , а, например, Rational(5, 2) — соответственно 5/2 .

Библиотека SymPy использует библиотеку mpmath , что позволяет производить вычисления с произвольной точностью. Таким образом, ряд констант (например, пи, e), которые в данной библиотеке рассматриваются как символы, могут быть вычислены с любой точностью.

Как можно заметить, функция evalf() дает на выходе число с плавающей точкой.

В SymPy есть также класс, представляющий такое понятие в математике, как бесконечность. Он обозначается следующим образом: oo .

Символы

В отличие от ряда других систем компьютерной алгебры, в SymPy можно в явном виде задавать символьные переменные. Это происходит следующим образом:

После их задания, с ними можно производить различные манипуляции.

С символами можно производить преобразования с использованием некоторых операторов языка Python. А именно, арифметических ( + , -` , «* , ** ) и логических ( & , | ,

Библиотека SymPy позволяет задавать форму вывода результатов на экран. Обычно мы используем формат такого вида:

Видео:Простейшие уравнения в частных производныхСкачать

Алгебраические преобразования

SymPy способна на сложные алгебраические преобразования. Здесь мы рассмотрим наиболее востребованные из них, а именно раскрытие скобок и упрощение выражений.

Раскрытие скобок

Чтобы раскрыть скобки в алгебраических выражениях, используйте следующий синтаксис:

При помощи ключевого слова можно добавить поддержку работы с комплексными переменными, а также раскрытие скобок в тригонометрических функциях.

Упрощение выражений

Если вы хотите привести выражение к более простому виду (возможно, сократить какие-то члены), то используйте функцию simplify .

Также надо сказать, что для определенных видов математических функций существуют альтернативные, более конкретные функции для упрощения выражений. Так, для упрощения степенных функций есть функция powsimp , для тригонометрических — trigsimp , а для логарифмических — logcombine , radsimp .

Видео:Уравнения в частных производных первого порядка| poporyadku.schoolСкачать

Вычисления

Вычисления пределов

Для вычисления пределов в SymPy предусмотрен очень простой синтаксис, а именно limit(function, variable, point) . Например, если вы хотите вычислить предел функции f(x) , где x -> 0 , то надо написать limit(f(x), x, 0) .

Также можно вычислять пределы, которые стремятся к бесконечности.

Дифференцирование

Для дифференцирования выражений в SymPy есть функция diff(func, var) . Ниже даны примеры ее работы.

Проверим результат последней функции при помощи определения производной через предел.

tan 2 (𝑥)+1 Результат тот же.

Также при помощи этой же функции могут быть вычислены производные более высоких порядков. Синтаксис функции будет следующим: diff(func, var, n) . Ниже приведено несколько примеров.

Разложение в ряд

Для разложения выражения в ряд Тейлора используется следующий синтаксис: series(expr, var) .

Интегрирование

В SymPy реализована поддержка определенных и неопределенных интегралов при помощи функции integrate() . Интегрировать можно элементарные, трансцендентные и специальные функции. Интегрирование осуществляется с помощью расширенного алгоритма Риша-Нормана. Также используются различные эвристики и шаблоны. Вот примеры интегрирования элементарных функций:

Также несложно посчитать интеграл и от специальных функций. Возьмем, например, функцию Гаусса:

Результат вычисления можете посмотреть сами. Вот примеры вычисления определенных интегралов.

Также можно вычислять определенные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы).

Решение уравнений

При помощи SymPy можно решать алгебраические уравнения с одной или несколькими переменными. Для этого используется функция solveset() .

Как можно заметить, первое выражение функции solveset() приравнивается к 0 и решается относительно х . Также возможно решать некоторые уравнения с трансцендентными функциями.

Системы линейных уравнений

SymPy способна решать широкий класс полиномиальных уравнений. Также при помощи данной библиотеки можно решать и системы уравнений. При этом переменные, относительно которых должна быть разрешена система, передаются в виде кортежа во втором аргументе функции solve() , которая используется для таких задач.

Факторизация

Другим мощным методом исследования полиномиальных уравнений является факторизация многочленов (то есть представление многочлена в виде произведения многочленов меньших степеней). Для этого в SymPy предусмотрена функция factor() , которая способна производить факторизацию очень широкого класса полиномов.

Булевы уравнения

Также в SymPy реализована возможность решения булевых уравнений, что по сути означает проверку булевого выражения на истинность. Для этого используется функция satisfiable() .

Данный результат говорит нам о том, что выражение (x & y) будет истинным тогда и только тогда, когда x и y истинны. Если выражение не может быть истинным ни при каких значениях переменных, то функция вернет результат False .

Видео:Python - численное решение дифференциального уравнения 1го порядка и вывод графикаСкачать

Линейная алгебра

Матрицы

Матрицы в SymPy создаются как экземпляры класса Matrix :

В отличие от NumPy , мы можем использовать в матрицах символьные переменные:

И производить с ними разные манипуляции:

Дифференциальные уравнения

При помощи библиотеки SymPy можно решать некоторые обыкновенные дифференциальные уравнения. Для этого используется функция dsolve() . Для начала нам надо задать неопределенную функцию. Это можно сделать, передав параметр cls=Function в функцию symbols() .

Теперь f и g заданы как неопределенные функции. мы можем в этом убедиться, просто вызвав f(x) .

Теперь решим следующее дифференциальное уравнение:

Чтобы улучшить решаемость и помочь этой функции в поиске решения, можно передавать в нее определенные ключевые аргументы. Например, если мы видим, что это уравнение с разделяемыми переменными, то мы можем передать в функцию аргумент hint=’separable’ .

Бесплатные кодинг марафоны с ревью кода

Наш телеграм канал проводит бесплатные марафоны по написанию кода на Python с ревью кода от преподавателя

Видео:#5. Математические функции и работа с модулем math | Python для начинающихСкачать

Производные в Python с использованием симпы

Как рассчитать производные в Python? В этой статье мы будем использовать Sympy Sympy Python, чтобы играть с производными.

• Автор записи

Автор: Pankaj Kumar
Дата записи

Видео:Сеточные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.Скачать

Производные в Python с использованием симпы

Как рассчитать производные в Python? В этой статье мы будем использовать Sympy Sympy Python, чтобы играть с производными.

Видео:Линейные дифференциальные уравнения в частных производныхСкачать

Какие производные?

Производные являются фундаментальными инструментами исчисления. Это очень полезно для оптимизации функции потери с Градиентный спуск в Машинное обучение возможно только из-за производных.

Предположим, у нас есть функция y = F ( X ), который зависит от х Затем вывод этой функции означает скорость, при которой значение y функции изменяется с изменением х Отказ

Это ни отнюдь означает статью о основах производных, она не может быть. Исчисление – это другой зверь, который требует особого внимания. Я предполагаю, что у вас есть какой-то опыт в исчислении. Эта статья предназначена для продемонстрирования того, как мы можем дифференцировать функцию с использованием симпы-библиотеки.

Видео:34 Задача: Найти корни квадратного уравнения при помощи PythonСкачать

Решение производных в Python с использованием Sympy

Sympy – библиотека Python для символической математики.

Он стремится стать полнофункциональной системой компьютерной алгебры (CAS), сохраняя максимально простую код, остынет, не так ли.

1. Установите Sympy, используя PIP

Sympy имеет больше используемых, чем просто расчет производных, но на данный момент мы сосредоточимся на производных.

Беги PIP Установить Sympy Для установки с помощью Диспетчер пакетов PIP Отказ

2. Решение дифференциала с Sympy Diff ()

Для дифференциации Sympy предоставляет нам Различать способ вывода производной функции.

• Предположим, у нас есть функция: F ( x ) = х ²
• Производное функции w.r.t x: f ‘(x) = 2x.

Посмотрим, как мы можем достичь этого, используя Sympy.

Объявление символа похоже на то, что наша функция имеет переменную «X» или просто функция зависит от x.

3. Решение производных в Python

Теперь для расчета производной функции на Sympy есть лямбдифицировать Функция, в которой мы передаем символ и функцию.

Видео:Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математикаСкачать

Основные производные правила в Python Sympy

Есть определенные правила, которые мы можем использовать для расчета производной дифференцируемых функций.

Некоторые из наиболее встречающихся правил:

• Правило питания
• Правило продукта
• Правило цепи
• Цитал правило

Давайте погрузимся в то, как мы можем использовать Simpy для расчета производных, подразумеваемых правилами общей дифференцировки.

1. Правило питания

В общем: f ‘(x n ) (N-1)

Пример, функция у нас есть:

Это производное будет: (5-1) 4.

2. Правило продукта

Пусть u (x) и v (x) будут дифференцируемыми функциями. Тогда продукт функций u (x) v (x) также дифференцируемый.

Пример: (x) * cos (x)

3. Правило цепочки

Правило цепочки рассчитывает производное состав функций.

• Скажем, у нас есть функция (G (x))
• Затем в соответствии с правилом цепи: ‘(g (x)) g’ (x)
• Пример: (х ** 2)

Этот процесс может быть расширен для коэффициента правила также. К настоящему времени необходимо очевидно, что только функция меняется, в то время как процесс приложения остается прежним, остальное заботится о самой библиотеке.

Видео:Метод ЭйлераСкачать

Производные многомерные функции с использованием Sympy

Примеры, которые мы видели выше, имели одну переменную. Но мы более склонны столкнуться с функциями, имеющими более одной переменной в них. Такие производные, как правило, называются частичными производными.

Частичное производное многомерной функции представляет собой производное относительно одной переменной со всеми другими переменными.

Пример: f (x, y) 4 + х * у 4

Давайте частично отличаем вышеупомянутые производные в Python W.r.t x

Мы используем Символы Метод, когда количество переменных составляет более 1. Теперь, дифференцируйте производные в Python частично W.R.T Y

Код точно похоже, но теперь Y передается как аргумент ввода в Различать метод.

Мы можем выбрать частично дифференцировать функцию сначала w.r.t x, а затем y.

Видео:Вычислительная математика 18 Численные методы решения уравнений в частных производныхСкачать

Заключение

Эта статья ни в коем случае не было дискурсом о производных или как мы можем решать производные в Python, но статью о том, как мы можем использовать пакеты Python для выполнения разграничения на функции. Производные потрясающие, и вы обязательно должны получить идею позади него, так как они играют решающую роль в машинном обучении и за его пределами.

Видео:Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

Решение дифференциального уравнения с частными производными с трехмерными пространственными размерами в Python

Проблема заключается в решении трехмерного пространственного PDE с задержкой, и у меня есть следующая проблема. Начальное условие будет тензором формы NxNxN (N точек для переменных x, y и z), но у нас есть задержка, поэтому мне нужно сохранить память системы, предположим, что М шагов. Поэтому конечное начальное условие будет иметь размер NxNxNxM

Если N = 1000 и M = 100 (мой первый пример), мне нужно работать с массивом из 100 000 000 000 записей (много memmory). Scipy не предлагает разреженные структуры для N-мерного массива, а numpy ndarray не работает для этого простого примера. Есть ли у вас рекомендации?

Вы можете думать в простом уравнении:

где x, y, z — пространственные координаты, x, y, z — пространственные переменные, t — временная задержка.

🎥 Видео

Использование библиотеки SymPy для работы с системами уравнений в PythonСкачать

Решение ОДУ 2 порядка в PythonСкачать

Уравнения с частными производными 2 ЗадачиСкачать

Олегу Тинькову запрещён вход на Мехмат МГУСкачать

Решение ОДУ в PythonСкачать

Решение 1 го нелинейного алгебраического уравнения в PythonСкачать