Python численные методы решения уравнений

Математика — это масса понятий, которые являются одновременно важными и сложными. Для работы с ними в Python есть библиотека SciPy. В этом материале вы познакомитесь с ее функциями на примерах.

Видео:Python - численное решение дифференциального уравнения 1го порядка и вывод графикаСкачать

Что такое SciPy?

SciPy — это библиотека Python с открытым исходным кодом, предназначенная для решения научных и математических проблем. Она построена на базе NumPy и позволяет управлять данными, а также визуализировать их с помощью разных высокоуровневых команд. Если вы импортируете SciPy, то NumPy отдельно импортировать не нужно.

Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

NumPy vs SciPy

И NumPy, и SciPy являются библиотеками Python, которые используются для математического и числового анализов. NumPy содержит данные массивов и операции, такие как сортировка, индексация, а SciPy состоит из числового кода. И хотя в NumPy есть функции для работы с линейной алгеброй, преобразованиями Фурье и т. д., в SciPy они представлены в полном виде вместе с массой других. А для полноценного научного анализа в Python нужно устанавливать и NumPy, и SciPy, поскольку последняя построена на базе NumPy.

Видео:Численные методы (1 урок)(Решение нелинейных уравнений. Метод дихотомии. Python)Скачать

Пакеты в SciPy

В SciPy есть набор пакетов для разных научных вычислений:

Подробное описание можно найти в официальной документации.

Эти пакеты нужно импортировать для использования библиотеки. Например:

Прежде чем рассматривать каждую функцию в подробностях, разберемся с теми из них, которые являются одинаковыми в NumPy и SciPy.

Видео:Алгоритмы. Нахождение корней уравнения методом хордСкачать

Базовые функции

Взаимодействие с NumPy

SciPy построена на базе NumPy, поэтому можно использовать функции последней для работы с массивами. Чтобы узнать о них подробнее, используйте функции help() , info() или source() .

help():

Функция help() подойдет для получения информации о любой функции. Ее можно использовать двумя способами:

Вот пример для обоих:

При исполнении этого кода, первая help() вернет информацию о подмодуле cluster . А вторая — попросит пользователя ввести название модуля, ключевого слова и др., о чем требуется предоставить дополнительную информацию. Для выхода достаточно ввести quit и нажать Enter.

info():

Эта функция возвращает информацию о конкретных функциях, модулях и так далее.

source():

Исходный код можно получить только для тех объектов, которые были написаны на Python. Функция не вернет ничего важного, если методы или объекты были написаны, например, на C. Синтаксис простой:

Видео:10 Численные методы решения нелинейных уравненийСкачать

Специальные функции

SciPy предоставляет набор специальных функций, используемых в математической физике: эллиптические настраиваемые функции, гамма, бета и так далее. Для их поиска нужно использовать функцию help() .

Экспоненциальные и тригонометрические функции

Набор специальных функций SciPy включает такие, с помощью которых можно искать экспоненты и решать тригонометрические задачи.

Есть и масса других функций из SciPy, с которым стоит познакомиться.

Видео:Решение 1 го нелинейного алгебраического уравнения в PythonСкачать

Интегральные функции

Есть и функции для решения интегралов. В их числе как обычные дифференциальные интеграторы, так и методы трапеций.

В SciPy представлена функция quad , которая занимается вычислением интеграла функции с одной переменной. Границы могут быть ±∞ (± inf ) для обозначения бесконечных пределов. Синтаксис этой функции следующий:

А здесь она внедрена в пределах a и b (могут быть бесконечностями).

В этом примере функция a находится в пределах 0 и 1. После выполнения вывод будет такой:

Двойные интегральные функции

SciPy включает также и dblquad , которая используется для вычисления двойных интегралов. Двойной интеграл, как известно, состоит из двух реальных переменных. Функция dblquad() принимает функцию, которую нужно интегрировать, в качестве параметра, а также 4 переменных: две границы и функции dy и dx .

В SciPy есть другие функции для вычисления тройных интегралов, n интегралов, интегралов Ромберга и других. О них можно узнать подробнее с помощью help .

Функции оптимизации

В scipy.optimize есть часто используемые алгоритмы оптимизации:

Функция Розенброка

Функция Розенброка ( rosen ) — это тестовая проблема для оптимизационных алгоритмов, основанных на градиентах. В SciPy она определена следующим образом:

Nelder-Mead

Это числовой метод, который часто используется для поиска минимума/максимума функции в многомерном пространстве. В следующем примере метод использован вместе с алгоритмом Нелдера — Мида.

Видео:14 Метод половинного деления Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

Функции интерполяции

В сфере числового анализа интерполяция — это построение новых точек данных на основе известных. Библиотека SciPy включает подпакет scipy.interpolate, состоящий из сплайновых функций и классов, одно- и многомерных интерполяционных классов и так далее.

Одномерная интерполяция

Одномерная интерполяция — это область построения кривой, которая бы полностью соответствовала набору двумерных точек данных. В SciPy есть функция interp1d , которая используется для создания одномерной интерполяции.

Вывод:

Многомерная интерполяция

Многомерная интерполяция (пространственная интерполяция) — это тип интерполяции функций, который состоит из более чем одной переменной. Следующий пример демонстрирует работу функции interp2a .

При интерполяции на двумерную сетку функция использует массивы x, y и z для приближения функции f: «z = f(x, y)» и возвращает функцию, у которой вызываемый метод использует сплайновую интерполяцию для поиска значения новых точек.

Вывод:

Видео:#5. Математические функции и работа с модулем math | Python для начинающихСкачать

Функции преобразования Фурье

Анализ Фурье — это метод, который помогает представлять функцию в виде суммы периодических компонентов и восстанавливать сигнал из них. Функции fft используются для получения дискретной трансформации Фурье реальной или комплексной последовательности.

Похожим образом можно найти обратное значение с помощью функции ifft .

Видео:Численное решение уравнений, урок 3/5. Метод хордСкачать

Функции обработки сигналов

Обработка сигналов — это область анализа, модификации и синтеза сигналов: звуков, изображений и т. д. SciPy предоставляет некоторые функции, с помощью которых можно проектировать, фильтровать и интерполировать одномерные и двумерные данные.

Фильтрация:

Фильтруя сигнал, можно удалить нежелаемые составляющие. Для выполнения упорядоченной фильтрации используется функция order_filter . Она выполняет операцию на массиве. Синтаксис следующий:

a — N-мерный массив с входящими данными

domain — массив масок с тем же количеством размерностей, что и у массива a

rank — неотрицательное число, которое выбирает элементы из отсортированного списка (0, 1…)

Сигналы

Подпакет scipy.signal также состоит из функций, с помощью которых можно генерировать сигналы. Одна из таких — chirp . Она является генератором частотно-модулированного сигнала, а ее синтаксис следующий:

Вывод:

Видео:01.02. Модель SIR. Численное решение системы дифференциальных уравнений с помощью SciPyСкачать

Линейная алгебра

Линейная алгебра работает с линейными уравнениями и их представлениями с помощью векторных пространств и матриц. SciPy построена на базе библиотек ATLAS LAPACK и BLAS и является очень быстрой в сфере решения проблем, связанных с линейной алгеброй. В дополнение к функциям из numpy.linalg scipy.linalg также предоставляет набор продвинутых функций. Если numpy.linalg не используется вместе с ATLAS LAPACK и BLAS, то scipy.linalg работает намного быстрее.

Нахождение обратной матрицы

С математической точки зрения обратная матрица A — это матрица B, где AB = I, а I — это единичная матрица, состоящая из единиц по диагонали. Это можно обозначить как B=A-1. В SciPy такого можно добиться с помощью метода linalg.inv .

Нахождение определителей

Значение, полученное арифметическим путем из коэффициентов матрицы является определителем квадратной матрицы. В SciPy это делается с помощью функции det с таким синтаксисом:

det(a, overwrite_a=False, check_finite=True)

a — (M, M) — это квадратная матрица

overwrite_a(bool, optional) — разрешает перезаписывать данные

check_finite(bool, optional) — для проверки состоит ли матрица только из конечных чисел

Видео:Вычислительная математика. Метод касательных на Python(1 практика).Скачать

Разреженные собственные значения

Разреженные собственные значения — это набор скаляров, связанных с линейными уравнениями. ARPACK предоставляет способ быстрого нахождения этих значений (собственных векторов). Вся функциональность скрыта в двух интерфейсах: scipy.sparse.linalg.eigs и scipy.sparse.linalg.eigsh .

Интерфейс eigs позволяет находить собственные значения реальных или комплексных несимметричных квадратных матриц, а eigsh содержит интерфейсы реальных симметричных или комплексных Эрмитовых матриц.

Функция eigh решает обобщенную проблему собственного значения для комплексной Эрмитовой или реально симметричной матрицы

Видео:Решение нелинейного уравнения методом половинного деления (программа)Скачать

Разреженные структуры данных и алгоритмы

Разреженные данные состоят из объектов, которые в свою очередь состоят из линий, точек, поверхностей и так далее. Пакет scipy.spatial из SciPy может вычислять диаграммы Вороного, триангуляцию и другое с помощью библиотеки Qhull. Он также включает реализации KDTree для точечных запросов ближайших соседей.

Триангуляции Делоне

С математической точки зрения триангуляции Делоне для набора дискретных точек на плоской поверхности — это триангуляция, где ни одна точка из представленных не расположена внутри описанной окружности любого треугольника.

Вывод:

Видео:Решение n го нелинейных алгебраических уравнений в PythonСкачать

Функции многомерной обработки изображений

Обработка изображений — это выполнение операций над изображением по получению информации или улучшенной копии этого изображения из оригинала. Пакет scipy.ndimage состоит из нескольких функций обработки и анализа изображений, которые нужны для работы с массивами с произвольной размерностью.

Свертка и корреляция

В SciPy есть несколько функций для свертки и корреляции изображений.

• Функция correlate1d используется для вычисления одномерной корреляции по заданной оси
• Функция correlate предлагает многомерную корреляцию для любого массива с определенным ядром
• Функция convolve1d используется для вычисления одномерной свертки вдоль заданной оси
• Функция convolve предлагает многомерную свертку для любого массива с определенным ядром

Файловый ввод/вывод

Пакет scipy.io предоставляет несколько функций, которые помогают управлять файлами в разных форматах, включая MATLAB, файлы IDL, Matrix Market и другие.

Для использования его нужно сначала импортировать:

Видео:34 Задача: Найти корни квадратного уравнения при помощи PythonСкачать

Численные методы решения систем нелинейных уравнений

Введение

Многие прикладные задачи приводят к необходимости нахождения общего решения системы нелинейных уравнений. Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.

Следует отметить интересный факт о том, что любая система уравнений над действительными числами может быть представлена одним равносильным уравнением, если взять все уравнения в форме , возвести их в квадрат и сложить.

Для численного решения применяются итерационные методы последовательных приближений (простой итерации) и метод Ньютона в различных модификациях. Итерационные процессы естественным образом обобщаются на случай системы нелинейных уравнений вида:

(1)

Обозначим через вектор неизвестных и определим вектор-функцию Тогда система (1) записывается в виде уравнения:

(2)

Теперь вернёмся к всеми любимому Python и отметим его первенство среди языков программирования, которые хотят изучать [1].

Этот факт является дополнительным стимулом рассмотрения числительных методов именно на Python. Однако, среди любителей Python бытует мнение, что специальные библиотечные функции, такие как scipy.optimize.root, spsolve_trianular, newton_krylov, являются самым лучшим выбором для решения задач численными методами.

С этим трудно не согласится хотя бы потому, что в том числе и разнообразие модулей подняло Python на вершину популярности. Однако, существуют случаи, когда даже при поверхностном рассмотрении использование прямых известных методов без применения специальных функций библиотеки SciPy тоже дают неплохие результаты. Иными словами, новое- это хорошо забытое старое.

Так, в публикации [2], на основании проведенных вычислительных экспериментов, доказано, что библиотечная функция newton_krylov, предназначенная для решения больших систем нелинейных уравнений, имеет в два раза меньшее быстродействие, чем алгоритм TSLS+WD
(two-step least squares), реализованный средствами библиотеки NumPy.

Целью настоящей публикации является сравнение по числу итераций, быстродействию, а главное, по результату решения модельной задачи в виде системы из ста нелинейных алгебраических уравнений при помощи библиотечной функции scipy.optimize.root и методом Ньютона, реализованного средствами библиотеки NumPy.

Возможности решателя scipy.optimize.root для численного решения систем алгебраических нелинейных уравнений

Библиотечная функция scipy.optimize.root выбрана в качестве базы сравнения, потому что имеет обширную библиотеку методов, пригодных для сравнительного анализа.

scipy.optimize.root(fun, x0, args=(), method=’hybr’, jac=None, tol=None,callback=None, ptions=None)
fun — Векторная функция для поиска корня.
x0 –Начальные условия поиска корней

method:
hybr -используется модификация Пауэлл гибридный метод;
lm – решает системы нелинейных уравнений методом наименьших квадратов.
Как следует из документации [3] методы broyden1, broyden2, anderson, linearmixing, diagbroyden, excitingmixing, krylov являются точными методами Ньютона. Остальные параметры являются «не обязательными» и с ними можно ознакомится в документации.

Методы решения систем нелинейных уравнений

Приведенный далее материал действительно можно прочитать в литературе, например в [4], но я уважаю своего читателя и для его удобства приведу вывод метода по возможности в сокращенном виде. Те, кто не любит формулы, этот раздел пропускают.

В методе Ньютона новое приближение для решения системы уравнений (2) определяется из решения системы линейных уравнений:

(3)

Определим матрицу Якоби:

(4)

Запишем(3) в виде:

(5)

Многие одношаговые методы для приближенного решения (2) по аналогии с двухслойными итерационными методами для решения систем линейных алгебраических уравнений можно записать в виде:

(6)

где — итерационные параметры, a — квадратная матрица n х n, имеющая обратную.

При использовании записи (6) метод Ньютона (5) соответствует выбору:

Система линейных уравнений (5) для нахождения нового приближения может решаться итерационно. В этом случае мы имеем двухступенчатый итерационный процесс с внешними и внутренними итерациями. Например, внешний итерационный процесс может осуществляться по методу Ньютона, а внутренние итерации — на основе итерационного метода Зейделя

При решении систем нелинейных уравнений можно использовать прямые аналоги стандартных итерационных методов, которые применяются для решения систем линейных уравнений. Нелинейный метод Зейделя применительно к решению (2) дает:

(7)

В этом случае каждую компоненту нового приближения из решения нелинейного уравнения, можно получить на основе метода простой итерации и метода Ньютона в различных модификациях. Тем самым снова приходим к двухступенчатому итерационному методу, в котором внешние итерации проводятся в соответствии с методом Зейделя, а внутренние — с методом Ньютона.

Основные вычислительные сложности применения метода Ньютона для приближенного решения систем нелинейных уравнений связаны с необходимостью решения линейной системы уравнений с матрицей Якоби на каждой итерации, причем от итерации к итерации эта матрица меняется. В модифицированном методе Ньютона матрица Якоби обращается только один раз:

(8)

Выбор модельной функции

Такой выбор не является простой задачей, поскольку при увеличении числа уравнений в системе в соответствии с ростом числа переменных результат решения не должен меняться, поскольку в противном случае невозможно отследить правильность решения системы уравнений при сравнении двух методов. Привожу следующее решение для модельной функции:

Функция f создаёт систему из n нелинейных уравнений, решение которой не зависит от числа уравнений и для каждой из n переменных равно единице.

Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью библиотечной функции optimize.root для разных методов отыскания корней

Только один из методов, приведенных в документации [3] прошёл тестирование по результату решения модельной функции, это метод ‘krylov’.

Решение для n=100:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1.]
Krylov method iteration = 4219
Optimize root time 7.239 seconds:

Вывод: С увеличением числа уравнений вдвое заметно появление ошибок в решении. При дальнейшем увеличении n решение становится не приемлемым, что возможно из-за автоматической адаптации к шагу, эта же причина резкого падения быстродействия. Но это только моё предположение.

Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью программы написанной на Python 3 с учётом соотношений (1)-(8) для отыскания корней по модифицированному методу Ньютона

Решение для n=100:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1.]
Newton iteration = 13
Newton method time 0.496 seconds

Решение для n=200:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
Newton iteration = 14
Newton method time 1.869 seconds

Чтобы убедиться в том, что программа действительно решает систему, перепишем модельную функцию для ухода от корня со значением 1 в виде:

Получим:
Solution:
[ 0.96472166 0.87777036 0.48175823 -0.26190496 -0.63693762 0.49232062
-1.31649896 0.6865098 0.89609091 0.98509235]
Newton iteration = 16
Newton method time 0.046 seconds

Вывод: Программа работает и при изменении модельной функции.

Теперь вернёмся к начальной модельной функции и проверим более широкий диапазон для n, например в 2 и 500.
n=2
Solution:
[1. 1.]
Newton iteration = 6
Newton method time 0.048 seconds
n=500

Видео:Метод Ньютона | Лучший момент из фильма Двадцать одно 21Скачать

Численные методы: практическое применение Python

С. Лемешевский (sergey.lemeshevsky at gmail.com)

Институт математики НАН Беларуси

May 14, 2019

Видео:15 Метод Ньютона (Метод касательных) Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

Основы языка Python

• LaTeX PDF: Для печати на A4, Для чтения на экране
• HTML: Стиль FlatUI, Стиль Journal

Видео:Скрываем и шифруем файлы с помощью Python | Безопасная перепискаСкачать

Решение систем линейных уравнений

• LaTeX PDF: Для печати на A4, Для чтения на экране
• HTML: Стиль FlatUI, Стиль Journal

Видео:Решение нелинейного уравнения методом простых итераций (программа)Скачать

Задачи на собственные значения и собственные вектора матриц

• LaTeX PDF: Для печати на A4, Для чтения на экране
• HTML: Стиль FlatUI, Стиль Journal

Видео:Python для самых маленьких. Линейные уравнения. Решение задачСкачать

Нелинейные уравнения и системы

• LaTeX PDF: Для печати на A4, Для чтения на экране
• HTML: Стиль FlatUI, Стиль Journal

Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

• LaTeX PDF: Для печати на A4, Для чтения на экране
• HTML: Стиль FlatUI, Стиль Journal

Численные методы решения краевых задач для ОДУ

• LaTeX PDF: Для печати на A4, Для чтения на экране
• HTML: Стиль FlatUI, Стиль Journal

Нестационарные задачи математической физики

• LaTeX PDF: Для печати на A4, Для чтения на экране
• HTML: Стиль FlatUI, Стиль Journal

Предупреждение

Файлы в формате PDF получены с помощью LaTeX и практически не имееют технических ошибок при отображении формул. Однако HTML файлы используют MathJax для отрисовки математических LaTeX-формул, и иногда эта технология вызывает неожиданные сбои (например, неправильное отображение на веб-странице, несмотря на правильность синтаксиса LaTeX в формулах). Обратитесь к соответствующему файлу PDF, если вы обнаружите, что в HTML отсутствуют или неправильно отображены формулы.