Линеаразиция — один из наиболее распространенных методов анализа нелинейных систем. Идея линеаризации — использование линейной системы для аппроксимации поведения решений нелинейной системы в окрестности точки равновесия.
Линеаризация позволяет выявить большинство качественных и особенно количественных свойств нелинейной системы.
Методы линеаризации имеют ограниченный характер, то есть эквивалентность исходной нелинейной системы и ее линейного приближения сохраняется лишь для ограниченных пространственных или временных масштабов системы, или для определенных процессов, причем, если система переходит из одного режима работы в другой, то следует изменить и ее линеаризованную модель.
Видео:Метод наименьших квадратовСкачать
Линеаризация нелинейных динамических систем методом замены переменных
Линеаризация системы нелинейных уравнений в окрестности точки равновесия может быть достигнута путем замены переменных так, чтобы точка равновесия превратилась в начало координат.
Уравнения, полученные в результате указанного действия, будут линейными и называться линеаризацией исходной системы. Точки исходной системы, находящиеся в окрестности точки равновесия, будут соответствовать точкам в окрестности начала координат новой системы. Нас будет интересовать:
- значение новых переменных, близкие к нулю;
- при каких условиях нелинейными выражениями можно пренебречь.
Рассмотрим нелинейную систему: (1) что имеет точки равновесия (p, q). Преобразование u=x-p v=y-q переводит точки равновесия p, q в начало координат. Дифференцирование дает: (2) После замены переменных, подставив их новые значения в каждое уравнение, выделим линейную часть: где F(u,v) и G(u,v) и состоят только из нелинейных выражений. Говорят, что линейная система есть линерализацией системы (1) при таких условиях: Эти последние условия обеспечивают то, что нелинейные выражения F(u,v) и G(u,v) на столько малы по сравнению с u и v при приближении к точке равновесия, что ими можно пренебречь.
Видео:Линейная алгебра. Алексей Савватеев и Александр Тонис. Лекция 3.5. Линеаризация систем диф.уровСкачать
Линеаризация на основе якобиана
Замену переменных можно использовать и при другой организации линеаризации. Производят замену: где Это может быть записано в виде: где называется якобиан.
Видео:Как распознать талантливого математикаСкачать
«Решение показательных уравнений с помощью замены переменных». 11-й класс
Разделы: Математика
Класс: 11
Цель урока: изучить способ решения показательных уравнений с помощью замены переменных.
– повторить известные способы решения показательных уравнений;
– показать алгоритм решения с помощью замены переменных;
– создавать условия для формирования навыков организации своей деятельности – самостоятельного поиска решения, самоконтроля;
– приучать к аккуратности выполнения записей в тетради и на доске;
– воспитывать умение работать в парах, взаимопомощь;
– воспитывать умение анализировать результаты своей деятельности;
– формировать умение сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;
– формировать грамотную математическую речь;
– формировать умение применять знания в конкретной ситуации.
Преподавание ведется по учебнику А.Н.Колмогорова.
Сегодня мы продолжим знакомство с методами решения показательных уравнений.
Запишите тему урока: “Решение показательных уравнений”, но оставьте строчку, тему мы чуть позже уточним.
2. Актуализация знаний.
Устная работа с классом.
1) =32; | 5) = – 25; |
2) =81; | 6) ; |
3) =; | 7) =; |
4) =27; | 8) . |
3. Постановка проблемы.
Уравнения 1 – 7 решали, приводя их к виду или . Последнее уравнение решить таким способом не удается.
Обратите внимание: . Предложите способ решения. Нужно ввести новую переменную у = и решить полученное квадратное уравнение.
Какова будет наша цель сегодня? Научиться решать показательные уравнения с помощью замены переменных.
Уточним тему урока: “Решение показательных уравнений с помощью замены переменных”.
4. Изучение нового материала.
Пусть у = , причем у > 0.
Уравнение примет вид .
Решим это уравнение: = –1; = 5.
не удовлетворяет условию у > 0.
= 5; х = 1.
Решим уравнение .
Перепишем его в виде .
Далее решает ученик у доски с комментированием.
Пусть , причем у > 0.
3у – 8 = ; 3– 8у = 3; 3– 8у – 3 = 0;
Решим это уравнение: = –; = 3.
не удовлетворяет условию у > 0.
= 3; х = 1.
Решим уравнение .
Почему не удается решить? Нельзя привести степени к одному основанию.
Перепишем уравнение в виде
Разделим обе части уравнения на : .
Далее решает у доски ученик с комментированием.
Пусть у =, причем у > 0.
Уравнение примет вид .
.
Решим это уравнение: = 1; =.
= 1; х = 0. = ; х = 1.
Можно было делить на ? Что изменилось бы в решении? Ввели бы обозначение у =.
5. Первичное закрепление изученного материала.
Ученики работают в парах, более сильные ребята помогают соседям.
Два ученика работают за крыльями доски.
. Перепишем в виде . Пусть , причем у > 0. у += 12; + 27 = 12у; – 12у +27 = 0. Решим это уравнение: = 3; = 9. = 3; х = 1. = 9; х = 2. Ответ: 1; 2. | Разделим обе части уравнения на : . Пусть у =, причем у > 0. Уравнение примет вид . Решим это уравнение: = – 1; =. не удовлетворяет условию у > 0. = ; = ; = 2; х = . Ответ: . |
6. Самостоятельная работа.
Чтобы проверить, как усвоен новый материал, выполните самостоятельную работу.
1) ;
2) ;
3) .
По окончании работы ученики самостоятельно проверяют решение по образцу (раздаточный материал), фиксируя места, где допущены ошибки.
7. Итог урока.
- Обсуждение результатов самостоятельной работы.
- Кто выполнил правильно все задания?
- Кто допустил ошибки в первом (втором, третьем) задании? Какие?
- Повторим, какие приемы использовали при решении показательных уравнений.
- Оцените свою работу на уроке.
- Вам предстоит еще раз применить полученные знания при выполнении домашнего задания: № 464(в,г), 470(в,г), 166(г) (стр. 299).
Видео:16.03.21 || Элементы теории определяющих соотношений и линеаризованные постановки задач устойчивостиСкачать
Шпаргалка по «Эконометрике»
Автор: Пользователь скрыл имя, 13 Сентября 2013 в 13:45, шпаргалка
Краткое описание
Работа содержит ответы на 182 вопроса по дисциплине «Эконометрика».
Файлы: 1 файл
Видео:Алгоритмы. Линеаризация функцийСкачать
пучок эконометрика.docx
67. Какие переменные считаются предопределенными переменными:
Это экзогенные и лаговые переменные.
68. Какие уравнения называют уравнениями в приведенной форме:
Это уравнения, в которых эндогенные переменные выражаются через предопределенные переменные и случайные составляющие.
69. Когда используется метод инструментальных переменных:
Используемая объясняющая переменная может быть измерена с большими ошибками или вообще неизмерима, но может заменятся другой объясняющей переменной или если объясняющая переменная измерима, но коррелирует существенным образом со случайной составляющей.
70. В чем заключается суть метода инструментальных переменных:
В замене непригодной объясняющей переменной такой переменной, которая существенным образом отражает воздействие на результирующую переменную исходной объясняющей переменной, но не коррелирует со случайной составляющей.
71. Для системы одновременных уравнений вида
величина β методом инструментальных переменных определяется по формуле:
72. В двухшаговом методе наименьших квадратов при применении его к системе одновременных уравнений в качестве первого шага выполняются следующие процедуры:
Исходную систему одновременных уравнений приводят к системе приведенных уравнений и методом наименьших квадратов получают оценки параметров приведенных уравнений регрессии.
73. В двухшаговом методе наименьших квадратов при применении его к системе одновременных уравнений в качестве второго шага выполняются следующие процедуры:
Находят теоретические значения эндогенных переменных, и эти значения подставляют в исходную систему одновременных уравнений вместо фактических значений эндогенных переменных в правой части уравнения и определяют оценки параметров уравнения регрессии.
74. В каких случаях для определения параметров системы одновременных уравнений применяется трехшаговый метод наименьших квадратов:
Если коэффициенты системы одновременных уравнений связаны между собой дополнительными связями или имеется 3-е уравнение, связывающее эндогенные переменные между собой.
75. Определить в какой системе уравнений находится неидентифицируемое уравнение регрессии:
76. Определить в какой системе уравнений находится сверхидентифицируемое уравнение регрессии:
77. Выберите счетное формальное правило, отражающее необходимое условие идентифицируемости уравнений, входящих в систему одновременных уравнений (Н — число эндогенных переменных, D — число предопределенных переменных, не входящих в данное уравнение):
78. Каковы причины использования замещающих переменных:
Показатели, включаемые в уравнение регрессии, имеют расплывчатые определения и их нельзя измерить, либо требуют для своего измерения очень много времени и средств.
79. Время как замещающая переменная в функции Кобба-Дугласа используется для:
Учета изменения параметров производственной функции через показатель научно-технического прогресса.
80. Что понимается под трендом временного ряда показателей:
Изменение уровней временного ряда, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временного ряда.
81. Трендовая модель — это
Прикладная модель особого вида, в которой значения результирующего показателя, расположенные последовательно, в хронологическом порядке, в своих изменениях отражают ход развития изучаемого явления.
82. В общем случае временной ряд показателей максимально можно разложить на:
Трендовую составляющую, сезонную составляющую, циклическую составляющую и случайную составляющую.
83. Случайная компонента трендовой модели должна обладать свойствами:
Математическое ожидание равно 0, отсутствие автокорреляции, случайность колебаний, соответствие нормальному закону распределения.
84. Под аномальным уровнем временного ряда понимается:
Отдельное значение уровня временного ряда, которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и, оставаясь в качестве уровня ряда, оказывает существенное влияние на значения основных характеристик временного ряда.
85. Ошибки первого рода — это ошибки
86. Ошибки второго рода — это ошибки
Имеющие объективный характер.
87. Критерий Ирвина находится по формуле:
88. Ошибки первого рода устраняются путем:
Замены аномального наблюдения средней арифметической двух соседних уровней ряда.
89. Приведенное уравнение регрессии вида можно линеаризовать путем:
90. Приведенное уравнение регрессии вида можно линеаризовать путем:
91. Определение параметров нелинейного уравнения регрессии, не приводимого к линейному осуществляется по следующему алгоритму:
Примем некоторые правдоподобные исходные значения и , например: , .
Используя эти значения, найдем теоретические значения и вычислим: .
Сделаем небольшой шаг по параметру : и снова найдем величину . Если , то шаг сделан в правильном направлении.
Продолжаем увеличивать в данном направлении по шагам до тех пор, пока не начнет расти.
Аналогичную процедуру проводят с параметром , при фиксированном .
Фиксируем, найденное , и заново начинаем изменять . Процедура повторяется до тех пор, пока любые изменения и не будут приводить к увеличению µ.
92. Тест Бокса-Кокса используется для:
Выбора вида уравнения.
93. Вариант теста Бокса-Кокса, разработанный Полом Зарембкой, предполагает выполнение следующих процедур:
Исходные данные используются для вычисления среднего геометрического . Затем значения пересчитываются по формуле . Используя новые значения , находятся оценки параметров сравниваемых уравнений. После этого определяются суммы квадратов отклонений для двух уравнений и рассчитывается величина , где Z — отношение сумм квадратов отклонений. При , делается соответствующий вывод о том, какое уравнение регрессии точнее отражает исследуемый экономический процесс.
94. В каких случаях используются фиктивные переменные:
Когда отдельные факторы, которые желательно ввести в регрессионную модель, являются качественными по своей природе и, следовательно, не измеряются в числовой шкале.
95. Какое из приведенных уравнений регрессии имеет фиктивную переменную для сдвига графика уравнения вверх:
96. В каких случаях используется тест Чоу:
При решении вопроса о целесообразности разделения выборки на две подвыборки и построении, соответственно, двух регрессионных моделей.
97. В тесте Чоу F-статистика определяется по формуле:
98. В методике многошагового регрессионного анализа отсев несущественных факторов происходит на основе:
Показателей значимости факторов (в частности, на основе величины расчетного значения критерия Стьюдента)
99. Что является основной задачей при выборе факторов, включаемых в корреляционную модель:
Ввести в модель все основные факторы, которые существенно влияют на
изучаемый экономический процесс или объект.
100. Чрезмерное увеличение количества факторов вводимых в корреляционную модель может привести:
К искажению картины множественных связей.
101. Требования, предъявляемые при отборе факторов:
- Показатели, выражающие эти факторы, должны быть количественно измеримы.
- Факторы не должны находиться между собой в функциональной или близкой к ней связи.
- Теоретико-экономический анализ указывает на возможность влияния выбранного фактора на результирующий показатель.
102. Этап корреляционного анализа, на котором определяются формы связи изучаемого экономического показателя с выбранными факторами-аргументами, имеет название:
103. Выберите верное утверждение:
- Считается, что число наблюдений должно быть больше числа определяемых параметров уравнения регрессии, по крайней мере, в 5-7 раз.
104. Этот показатель вычисляется по результатам анкетного опроса широкого круга специалистов:
105. Оценка адекватности и точности регрессионного уравнения, связывающего изучаемый экономический показатель с выбранными факторами-аргументами, называется:
- Верификацией уравнения регрессии.
106. В чем заключается метод отбора исходных данных «заводо-лет»:
- Отбор исходных данных о работе предприятий отрасли за несколько смежных лет.
107. Эконометрика – это
- наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов.
108. Коэффициент парной корреляции характеризует
- тесноту линейной связи между двумя переменными.
109. Фиктивными переменными в уравнении множественной регрессии являются
- качественные переменные, преобразованные в количественные.
110. Величина коэффициента регрессии показывает
- среднее изменение результата при изменении фактора на одну единицу.
111. Метод наименьших квадратов используется для оценивания
- параметров линейной регрессии.
112. Гомоскедастичность подразумевает
- одинаковую дисперсию остатков при каждом значении фактора.
113. Коэффициент детерминации рассчитывается для оценки качества
- подбора уравнения регрессии.
114. Корреляция подразумевает наличие связи между
115. Обобщенный метод наименьших квадратов применяется в случае
116. Критические значения критерия Стьюдента определяются по
- уровню значимости и одной степени свободы.
117. Нелинейным является уравнение регрессии нелинейное относительно входящих в него
118. Величина коэффициента эластичности показывает
- на сколько процентов изменится в среднем результат при изменении фактора на 1%.
119. Под автокорреляцией уровней временного ряда подразумевается
- корреляционная зависимость между последовательными уровнями ряда.
120. В стационарном временном ряде трендовая компонента
121. Косвенный метод наименьших квадратов применим для
- идентифицируемой системы одновременных уравнений.
122. Эконометрическая модель – это
- экономическая модель, представленная в математической форме.
123. Отбор факторов в эконометрическую модель множественной регрессии может быть осуществлен на основе
- матрицы парных коэффициентов корреляции.
124. Фиктивные переменные позволяют строить модели в условиях
неоднородности структуры наблюдений.
125. На основе линейного уравнения множественной регрессии получены уравнения регрессии
126. Метод наименьших квадратов используется для оценивания
- параметров линейной регрессии.
127. При выполнении предпосылок МНК оценки параметров регрессии обладают свойствами:
- состоятельность.
- несмещенность.
- эффективность.
128. Предпосылками МНК являются:
- математическое ожидание случайных отклонений равно 0.
- дисперсия случайных отклонений постоянна для всех наблюдений.
- случайные отклонения являются независимыми друг от друга.
129. Для преодоления проблемы гетероскедастичности служит
- обобщенный метод наименьших квадратов.
130. В эконометрических моделях с независимыми переменными наблюдаемые значения зависимой переменной , отличается от модельных не величину . В данных обозначениях формула для расчета оценки общей дисперсии зависимой переменной имеет вид:
131. Значение коэффициента корреляции равно 0,81. Можно сделать вывод о том, что связь между результативным признаком и фактором является:
132. В эконометрических моделях с независимыми переменными наблюдаемые значения зависимой переменной , отличается от модельных не величину . В данных обозначениях формула для расчета суммы квадратов отклонений имеет вид:
133. При обсуждении существенности параметра регессии рассматривается нулевая статистическая гипотеза о(об) +++ оценки этого параметра.
134. Для степенной регрессионной модели вида: Yi = a + b1Xi +b2Xi 2 +b3Xi 3 возможен аддитивный способ включения случайного возмущения .
🎬 Видео
Эконометрика. Нелинейная регрессия. Степенная функция.Скачать
Множественная регрессияСкачать
Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными. 11 класс.Скачать
Самая сложная задача из самой сложной олимпиады [3Blue1Brown]Скачать
Уравнение Мещерского и формула Циолковского LIVE | 11 класс, студенты МФТИ | Вузовская физика с FСкачать
Решение задач по планиметрии. ЕГЭ | МатематикаСкачать
Урок Решение задач равномерное прямолинейное движениеСкачать
Построение уравнения линейной регрессии методом наименьших квадратов.Скачать
Лекция 8. Множественная линейная регрессияСкачать
Построение модели множественной регрессии в программе GretlСкачать
Асташова И. В. - Дифференциальные уравнения. Часть 2 - Фазовый портретСкачать
Эконометрика. Построение модели множественной регрессии в Excel. Часть 1.Скачать
Урок 18: Задачи на прогрессии. Вебинар | Подготовка к ОГЭ | МатематикаСкачать
Модели, представленный системой двух дифференциальных уравненийСкачать
Уравнение равномерного движения. Решение задач по теме.Скачать