Пусть даны два уравнения f x g x и p x если

Видео:Функциональные уравнения ➜ Найдите f(x), если 2f(x+2)+f(4-x)=2x+5Скачать

Равносильность уравнений на множествах

Равносильность уравнений на множествах

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Пусть даны два уравнения f(x)=g(x) и p(x)=h(x) и пусть дано некоторое множество чисел

Пусть даны два уравнения f(x)=g(x) и p(x)=h(x) и пусть дано некоторое множество чисел М
Если любой корень первого уравнения, принадлежащий множеству М, является корнем второго уравнения, а любой корень второго уравнения, принадлежащий множеству М, является корнем первого уравнения, то такие уравнения называют равносильными на множестве М.
Если каждое из этих уравнений не имеет корней на множестве М , то такие уравнения называются равносильными на множестве М

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Замену одного уравнения другим уравнением, равносильным ему на множестве

Замену одного уравнения другим уравнением, равносильным ему на множестве М , называют равносильным переходом на множестве М от одного уравнения к другому.
Если два уравнения равносильны на множестве всех действительных чисел, то в таких случаях говорят, что уравнения равносильны, опуская слова на множестве действительных чисел.

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)Скачать

Возведение уравнения f(x)=g(x) в четную степень, приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве

Возведение уравнения f(x)=g(x) в четную степень, приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве М, на котором обе функции неотрицательны.
Умножение ( деление) обеих частей уравнения на функцию ψ, приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве М, на котором функция ψ определена и отлична от нуля.

Основные преобразования уравнений, приводящие исходное уравнение к уравнению, равносильному ему на некотором множестве чисел

Видео:Равносильность уравнений и неравенств. Видеоурок 7. Алгебра 10 классСкачать

Потенцирование логарифмического уравнения а>0, a≠1 приводит к уравнению f(x)=g(x), равносильному исходному на том множестве

Потенцирование логарифмического уравнения
а>0, a≠1
приводит к уравнению f(x)=g(x), равносильному исходному на том множестве М, на котором положительны обе функции f и g .
Приведение подобных членов ( h(x)-h(x)=0) приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве М, на котором определена функция h(x) , т,е. на области существования функции h(x).

Основные преобразования уравнений, приводящие исходное уравнение к уравнению, равносильному ему на некотором множестве чисел

Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать

Применение некоторых формул ( логарифмических, тригонометрических и др

Применение некоторых формул
( логарифмических, тригонометрических и др.) приводит к уравнению, равносильному исходному на множестве М, на котором определены обе части применяемых формул.

Основные преобразования уравнений, приводящие исходное уравнение к уравнению, равносильному ему на некотором множестве чисел

Видео:Алгебра 7 класс (Урок№47 - Равносильность уравнений и систем уравнений.)Скачать

Равносильность уравнений

Презентация к уроку по теме «Равносильность уравнений»

Просмотр содержимого документа
«Равносильность уравнений»

Определение 1. Два уравнения с одной переменной

Иными словами, два уравнения называют равносильными , если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Например , уравнения х 2 — 4 = 0 и (х + 2)(2 x — 4) = 0 равносильны, оба они имеют по два корня: 2 и -2. Равносильны и уравнения х 2 +1=0и √ x =-3, поскольку оба они не имеют корней.

Определение 2. Если каждый корень уравнения

является в то же время корнем уравнения

то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).

Например , уравнение х — 2 = 3 имеет корень х = 5, а уравнение (х — 2) 2 = 9 имеет два корня: х 1 = 5, х 2 = -1. Корень уравнения х — 2 = 3 является одним из корней уравнения (х — 2) 2 = 9. Значит, уравнение (х — 2) 2 = 9 — следствие уравнения х — 2 = 3.

Достаточно очевидным является следующее утверждение.

Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого .

В итоге можно сказать, что решение уравнения, как правило, осуществляется в три этапа.

Первый этап — технический. На этом этапе осуществляют преобразования по схеме (1) → (2) → (3) → (4) → . и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.

Третий этап — проверка. Если анализ, проведенный на втором этапе, показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.

0, a ≠1) равносильно уравнению f ( x ) = g (х). » width=»640″

Теоремы о равносильности уравнений

• «Спокойные теоремы» гарантируют равносильность преобразований без каких-либо дополнительных условий, их использование не причиняет решающему никаких неприятностей.

Теорема 1 . Е сли какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Показательное уравнение а f ( x ) = а g ( x ) (где а 0, a ≠1) равносильно уравнению f ( x ) = g (х).

Прежде чем формулировать теоремы 4—6, напомним еще об одном понятии, связанном с уравнениями.

Определение 3. Областью определения уравнения f (х) = g (х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения

0 и a ≠1, X — решение системы неравенств f (х) О, g (х) 0 Тогда уравнение log a f ( x ) = log a g ( x ) равносильно на множестве X уравнению f ( x ) = g (х) » width=»640″

« Беспокойные теоремы » работают лишь при определенных условиях, а значит, могут доставить некоторые неприятности при решении уравнений.

Теорема 4. Если обе части уравнения f ( x ) = g (х) умножить на одно и то же выражение h (х), которое:

а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f ( x ) = g (х)

б) нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение

Следствием теоремы 4 является еще одно «спокойное» утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 5 . Если обе части уравнения f ( x ) = g (х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение ( f ( x )) n =( g ( x )) n равносильное данному в его ОДЗ.

Теорема 6. Пусть а0 и a ≠1, X — решение системы неравенств

Преобразование данного уравнения в уравнение – следствие. Проверка корней.

Если в процессе решения уравнения применяем теоремы 4-6, не проверив выполнения ограничительных условий, то получим уравнение-следствие.

Умножим обе части на (х – 2):

(х – 2)(х – 1) = 3(х – 2); х = 4 и х = 2 – посторонний корень ⇒ проверка!

Потенцируем 2х – 4 = 3х – 5; х = 1, но при этом значении уравнение не имеет смысла ⇒ искать ОДЗ или проверка.

(2) (3) — (4) — . и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки. Последовательно получаем: 100(2х + 5) = 1296 – 216х + 9х ² 9х ² — 416х + 796 = 0 х ₁ = 2; х₂ = 398/9 Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными. Третий этап — проверка. Подставим поочередно каждое из найденных значений переменной в исходное уравнение. х₂ = 398/9 — посторонний корень. Ответ: х = 2 » width=»640″

Решение. Первый этап — технический. На этом этапе, как мы отмечали выше, осуществляют преобразования заданного уравнения по схеме (1) — (2) (3) — (4) — . и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

100(2х + 5) = 1296 – 216х + 9х ²

9х ² — 416х + 796 = 0

Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.

Третий этап — проверка. Подставим поочередно каждое из найденных значений переменной в исходное уравнение.

х₂ = 398/9 — посторонний корень.

Решение. Первый этап . Воспользуемся правилом «сумма логарифмов равна логарифму произведения». Оно позволяет заменить выражение ln (х + 4) + ln (2х + 3) выражением

ln (х + 4)(2х + 3). Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:

Второй этап . В процессе решения произошло расширение ОДЗ уравнения, значит, обязательна проверка.

Третий этап . Поскольку, кроме расширения ОДЗ уравнения, никаких других неравносильных преобразований в процессе решения уравнения не было, проверку можно выполнить по ОДЗ исходного уравнения. Она задается системой неравенств

Значение х = -1 удовлетворяет этой системе неравенств, а значение х = -5,5 не удовлетворяет уже первому неравенству, это посторонний корень.

О потере корней

Укажем две причины потери корней при решении уравнений:

1. Деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение h (х) (кроме тех случаев, когда точно известно, что всюду в области определения уравнения выполняется условие h (х) ≠ 0);

2. Сужение ОДЗ в процессе решения уравнения.

С первой причиной бороться нетрудно: приучайте себя переходить от уравнения f (х ) h (х) = g <х ) h <х) к уравнению h ( x )( f ( x ) – g ( x ))=0 ( а не к уравнению f ( x )= g ( x ) ). Может быть, даже есть смысл вообще запретить себе деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, содержащее переменную.

Со второй причиной бороться сложнее. Рассмотрим, например, уравнение lg х 2 = 4 и решим его двумя способами.

Первый способ . Воспользовавшись определением логарифма, находим:

Обратите внимание: при втором способе произошла потеря корня — «потерялся» корень х = -100. Причина в том, что вместо правильной формулы lg х 2 = 2 lg l х l мы воспользовались непра вильной формулой

lg х 2 = 2 lg х, сужающей область определения выражения, из нее «выпал» открытый луч (-∞; 0), где как раз и находится «потерявшийся» при втором способе решения корень уравнения.

Вывод: применяя при решении уравнения какую-либо формулу (особенно тригонометрическую), следите за тем, чтобы области допустимых значений переменной для правой и левой частей

Видео:11 класс, 26 урок, Равносильность уравненийСкачать

Равносильные уравнения. Следствия уравнений

При решении уравнений выполняются различные тождественные преобразования над выражениями, входящими в уравнение. При этом исходное уравнение изменяется другими, имеющими те же корни. Такие уравнения называются равносильными.

если каждый корень первого уравнения является корнем второго и обратно, каждый корень второго уравнения является корнем первого, т.е. их решения совпадают.

Например, уравнения 3x-6=0; 2х-1=3 равносильны, т.к. каждое из уравнений имеет один корень х=2.

Любые два уравнения, имеющие пустое множество корней, считают равносильными.

Тот факт, что уравнения

равносильны, обозначают так:

В процессе решения уравнений важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.

Теорема 1: Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак, то получим уравнение, равносильное данному.

Доказательство: Докажем, что уравнение

Пусть х=а — корень уравнения. Значит имеет место числовое равенство

Но тогда по свойству действительных чисел будет выполняться и числовое равенство

показывающее, что а — корень уравнения (2). Аналогично доказывается, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1).

Что и требовалось доказать.

Теорема 2: Если обе части уравнения умножить или разделить на отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Доказательство: докажем, что уравнение

так как корни уравнений равны, то уравнения равносильны.

Что и требовалось доказать.

ОДЗ этого уравнения

Мы знаем, что дробь равна нулю в том случае, когда ее числитель равен нулю, т.е.

а знаменатель не равен 0. Решая уравнение

находим корни х1=1, х2 = -2 . Но число 1 не входит в ОДЗ данного уравнения и значит, исходное уравнение имеет один корень х=-2.

В этом случае говорят, что уравнение

есть следствие уравнения

пусть даны два уравнения:

Если каждый корень уравнения (3) является корнем уравнения (4), то уравнение (4) называют следствием уравнения (3).

Этот факт записывают так:

В том случае, когда уравнение (3) — есть также следствие уравнения (4), эти уравнения равносильны.

Два уравнения равносильны в том, и только в том случае, когда каждое из них является следствием другого.

В приведенном выше примере уравнение — следствие

имеет два корня x1=1 и х2 =-2, а исходное уравнение имеет один корень х=-2. В этом случае корень х=1 называют посторонним для исходного уравнения

В общем случае корни уравнения-следствия, не являющиеся корнями исходного уравнения, называют посторонними.

Итак, если при решении уравнения происходит переход к уравнению — следствию, то могли появиться посторонние корни. В этом случае все корни уравнения-следствия нужно проверить, подставляя их в исходное уравнение. В некоторых случаях выявление посторонних корней облегчается знанием ОДЗ исходного уравнения — корни, не принадлежащие ОДЗ, можно сразу отбросить. Так, в приведенном примере посторонний корень х=1 не входит в ОДЗ уравнения

и потому отброшен.

Иногда посторонние корни могут появиться и при тождественных преобразованиях, если они приводят к изменению ОДЗ уравнения. Например, после приведения подобных членов в левой части уравнения

В тех случаях, когда в результате преобразований произошел переход от исходного уравнения к уравнению, не являющемуся его следствием, возможна потеря корней.

Имеет два корня. Действительно, перенося все члены уравнения в левую часть и вынося х+1 за скобки, получим

Если же обе части уравнения (5) разделить («сократить») на х+1, то получим уравнение

имеющее один корень х=-2. В результате такого преобразования корень х=-1 потерян. Поэтому делить обе части уравнения на выражение, содержащее переменную, можно лишь в том случае, когда это выражение отлично от нуля.

Для того, чтобы в процессе решения уравнения избежать потери корней, необходимо следить за тем, чтобы переход осуществлялся либо к равносильным уравнениям, либо к уравнениям-следствиям.

💡 Видео

Найдите f(x), если f(x)+2f(-x)=2-x ★ Как решать такие задачи?Скачать

Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать

ДВА БЫСТРЫХ СПОСОБА решения уравнения |x-2|=|x+5| ★ Как решать?Скачать

Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Равносильные уравнения, неравенстваСкачать

Уравнение с двумя переменными и его график. Алгебра, 9 классСкачать

Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

7 класс, 36 урок, Что означает в математике запись y = f(х)Скачать

ОГЭ по математике. Решаем уравнения | МатематикаСкачать

Как решить такое уравнение ➜ c³+c²=2 ➜ Решаем на разных множествахСкачать

№5 Линейное уравнение 2-3(2х+2)=5-4х Простое уравнение со скобками 6кл 7кл 8кл 9кл 11кл ОГЭ ЕГЭСкачать