Прямой геликоид поверхность параметрически задаваемая уравнениями определить тип точек

Геликоид — поверхность, описанная прямой, которая вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси, пересекает ось под постоянным углом а и одновременно перемещается поступательно с постоянной скоростью вдоль этой оси. При а = 90° геликоид называют прямым (а), при а не равно 90° геликоид называют косым (б).

Параметрические уравнения геликоида имеют вид

где а — некоторая постоянная.

Наглядное представление о положении отдельных прямых (лучей) при v = const дают ступени винтовой лестницы.

Представление о геликоиде можно составить, например, наблюдая движение винта вертолета при его вертикальном взлете. Отметим, что первоначально вертолеты называли геликоптерами, винтокрылыми. Первый эскиз геликоптера был нарисован еще Леонардо да Винчи.

Разнообразные геликоиды широко применяются на практике. Это объясняется следующим: геликоид образован сложением двух самых распространенных видов равномерного движения — прямолинейного и вращательного. Вследствие этого геликоид можно применить там, где необходимо перейти от одного из указанных видов движения к другому, что имеет место практически в любой машине.

Видео:ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ КОНУСА. НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯСкачать

Строительная механика. Пластин и оболочек

КАФЕДРА Прочности МАТЕРИАЛОВ и конструкций

Строительная механика. Пластин и оболочек.

РГР № 1. Вычисление коэффициентов

основных квадратичных форм

Для срединной поверхности тонкой оболочки постоянной толщины требуется:

1. Найти первую квадратичную форму поверхности.

2. Найти вторую квадратичную форму поверхности.

3. Вычислить гауссову и среднюю кривизну поверхности в произвольной точке поверхности

4. Построить рисунок отсека поверхности в системе «MathCAD»

1. Получить уравнения поверхности по ее заданному определению.

2. Вычислить главные кривизны поверхности.

3. Проанализировать применение системы координат при расчете упругих оболочек

1. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. – Изд. 4-е. М.: УРСС, 2003. 432 с.

2. Краткий курс дифференциальной геометрии. – М.: ГИФМЛ, 1953. – 244 с.

3. П. Курс дифференциальной геометрии. — М.: КомКнига, 2006,. –344 с.

4. , Н. Расчет оболочек сложной геометрии. М.: Изд-во УДН, 1988. – 177 с.

5. Методические указания по выполнению расчетно-графической работы по курсу «Строительная механика» Раздел « Основные сведения по дифференциальной геометрии поверхностей». – М.: Изд-во УДН, 1992. – 32 с.

6. , , М. Аналитические поверхности. Материалы по геометрии 500 поверхностей и информация к расчету на прочночть тонких оболочек. – М.: «Наука», 2006. 540 с.

Выбор варианта поверхности:

1-я цифра — строка, 2-я цифра — столбец

Уравнения вариантов поверхностей

1. РАЗВЕРТЫВАЮЩИЙСЯ (ЭВОЛЬВЕНТНЫЙ) ГЕЛИКОИД

Развертывающимся геликоидом (торсом-геликоидом) называется торсовая поверхность, образованная касательными к винтовой линии постоянного шага на круговом цилиндре радиусом а.

Видео:Точки пересечения прямой с поверхностью/Points of intersection of a straight line with a surface.Скачать

Формы задания поверхности торса-геликоида

1) Параметрическая форма задания:

где b – шаг винтовой линии u = 0 (ребра возврата), v – угол, отсчитываемый от оси Ох.

2) Векторная форма задания

, ; .

2. . ПРЯМОЙ КОНОИД С НАПРАВЛЯЮЩЕЙ ПАРАБОЛОЙ,

ОСЬ КОТОРОЙ ПАРАЛЛЕЛЬНА ОСИ КОНОИДА

Прямой коноид с направляющей параболой, ось которой параллельна оси коноида, можно построить, если за плоскость параллелизма взять любую координатную плоскость, за фиксированную прямую (ось коноида) принять прямую, перпендикулярную этой координатной плоскости и расположенную в другой координатной плоскости, а за направляющую параболу взять параболу, расположенную в оставшейся третьей координатной плоскости. Ось параболы должна быть параллельна фиксированной прямой.

Формы задания поверхности прямого коноида

1) Параметрическая форма задания

где v = y направляющей параболы; a – расстояние от координатной оси Oz до оси коноида..

3. НАКЛОННЫЙ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДР

Наклонная круговая цилиндрическая поверхность образовывается прямыми образующими, пересекающими направляющую окружность, при этом оставаясь параллельными осевому направлению цилиндра, которое образует с основанием цилиндра острый угол φ.

Параметрическая форма задания):

х = х,

4. ОДНОПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ

Однополостный гиперболоид вращения получается вращением гиперболы x2/a2 – z2/с2 = 1 вокруг оси Оz. Это – дважды линейчатая поверхность. Через каждую точку поверхности проходят две прямые, лежащие целиком на гиперболоиде.

5) Параметрическая форма задания:

2) Векторная форма задания

,

;

5. ЦИЛИНДРОИД С ДВУМЯ НАПРАВЛЯЮЩИМИ ОКРУЖНОСТЯМИ

Видео:Построение точек встречи прямой m с поверхностью сферыСкачать

ВО ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПЛОСКОСТЯХ

Видео:10 класс, 2 урок, Аксиомы стереометрииСкачать

Пусть две окружности с одинаковым радиусом

являются направляющими кривыми для цилиндроида, а плоскостью параллелизма служит координатная плоскость xOy. Окружности радиусом a в начале координат имеют общую касательную.

1) Параметрическая форма задания

,

6. ВИНТОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

С ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ

Винтовая поверхность с параболической образующей общего положения образуется обыкновенным винтовым движением параболы Y(t) = сt2, ось Y которой повернута на угол q к винтовой оси Oz. Вершина параболы находится на расстоянии а от винтовой оси и перемещается вдоль этой оси пропорционально угловой скорости (рис 1). Шаг цилиндрических винтовых линий, лежащих на поверхности будет 2πb.

1) Параметрическая форма задания:

,

2) Векторная форма задания

,

;

Видео:Винтовые поверхностиСкачать

7. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ГЕЛИКОИД

Гиперболический геликоид можно отнести к классу спиралевидных или к классу винтообразных поверхностей.

Видео:Уравнение параллельной прямойСкачать

Формы задания поверхности гиперболического геликоида

1) Параметрическая форма задания:

2) Векторная форма задания

,

;

Видео:[Начертательная геометрия] Пересечение прямой с поверхностьюСкачать

8. СЕДЛО В БАРАБАНЕ

Поверхность, называемая «седло в барабане» (рис. 1), является гиперболическим параболоидом (см. «Линейчатые поверхности отрицательной гауссовой кривизны»), заданным в полярных координатах.

Видео:Лекция 9. Гранные поверхностиСкачать

Форма задания поверхности

1) Параметрическая форма задания:

2) Векторная форма задания

,

;

Видео:Линия пересечения двух поверхностей конус и цилиндр (Метод секущих плоскостей)Скачать

9. НОРМАЛЬНАЯ ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ С ПЛОСКОЙ КРУГОВОЙ ЛИНИЕЙ ЦЕНТРОВ И С ОБРАЗУЮЩЕЙ ОКРУЖНОСТЬЮ ПЕРЕМЕННОГО РАДИУСА

Нормальная циклическая поверхность с плоской круговой линией центров и с образующей окружностью переменного радиуса R(u) = a(1 – dcospu) может быть отнесена как к группе циклических поверхностей с окружностями в плоскостях пучка и с плоской линией центров, так и к группе нормальных циклических поверхностей с образующей окружностью переменного радиуса. .

1) Параметрическая форма задания:

где b – радиус круговой линии центров (направляющая окружность); v – угол в плоскости образующей окружности, отсчитываемый от плоскости xOy; u – угол, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу; ; R(u) = a(1 – dcospu) – переменный радиус образующей окружности.

2) Векторная форма задания

,

;

Видео:Лекция № 10--3. Коноид. Линейчатые поверхности с двумя направляющимиСкачать

10. ОБЕЗЬЯНЬЕ СЕДЛО

Обезьянье седло имеет точку, которая одновременно является параболической и омбилической, три хребта и три склона, так что поверхность при повороте на угол 2π/3 совпадает сама с собой. Название поверхности вызвано тем, что человек для верховой езды нуждается только в двух склонах седла, в то время как обезьяне нужен еще третий склон для хвоста.

Видео:Определение расстояние между параллельными прямыми (Способ замены плоскостей проекции).Скачать

Формы задания поверхности

1) Параметрическая форма задания :

2) Векторная форма задания

,

;

11. Трехосный эллипсоид

Трехосный эллипсоид образуется вращением эллипса вокруг оси постоянного размера 2с. Вторая полуось эллипса при вращении описывает в нормальной плоскости к оси вращения эллипс с полуосями а, b.

Параметрическая форма задания:

Видео:Начертательная геометрия (задача 4-5) Пересечение поверхностейСкачать

12. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД

Видео:Образование поверхностей перемещением кривых, 1973Скачать

Эллиптический параболоид – незамкнутая нецентральная поверхность второго порядка. На поверхности эллиптического параболоида существует бесчисленное множество сетей переноса.

Параметрическая форма задания (рис. 2):

13. Гармоническая поверхность прямого переноса синусоиды с изменяющейся амплитудой

В настоящее время наиболее изучены поверхности, задаваемые гармоническими функциями, относящиеся к классам винтовых поверхностей, поверхностей вращения и переноса.

Одной из поверхностей, которую можно условно назвать поверхностью переноса, является гармоническая поверхность прямого переноса синусоиды с изменяющейся амплитудой.

Форма задания гармонической поверхности

1) Форма задания

, ,

Функция, описывающая поверхность, является решением уравнения Лапласа (см. «Поверхности, задаваемые гармоническими функциями»).

Видео:Взаимное пересечение поверхностей (Способ вспомогательных секущих плоскостей. ДГР-3/Скачать

14. ОБТЕКАТЕЛЬ ЦИКЛОИДАЛЬНОГО ТИПА

Поверхность обтекателя циклоидального типа образовывается вращением циклоидальной кривой x = x(t) = a(t + sint), z = z(t) = c(1 + cost) вокруг оси Oz. Если принять a = c, то образующая кривая становится обыкновенной циклоидой.

Параметрическая форма задания: ;

где γ – угол, отсчитываемый от координатной оси Ох в сторону оси Оу.

2) Векторная форма задания

,

;

15. БАШМАЧНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

Башмачная поверхность представляет собой поверхность прямого переноса образующей параболы по направляющей кубической параболе. Обе параболы лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Формы задания поверхности переноса параболы

по кубической параболе

1) Явная форма задания:

В сечениях поверхности плоскостями x = const лежат параболы, а в сечениях поверхности плоскостями y = const – кубические параболы.

16. ВИНТОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ, ОБРАЗОВАННАЯ БИНОРМАЛЯМИ

ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ВИНТОВОЙ ЛИНИИ

Поверхность бинормалей цилиндрической винтовой линии

r = r(φ) = acosφi + asinφj + pφk является конволютной винтовой поверхностью, векторное уравнение которой имеет вид:

где β – единичный вектор бинормали;

g – единичный вектор, направленный по касательной к проекции винтовой линии на плоскость xOy.

1) Параметрическая форма задания:

где u – параметр, определяющий положение текущей точки на бинормали

2) Векторная форма задания

,

; .

17. ГЕЛИКОИД ДИНИ

Геликоид Дини образовывается обыкновенным винтовым движением трактрисы. Одно семейство линий кривизны геликоида Дини состоит из сферических линий. Трактрисы поверхности, образуют второе семейство ее линий кривизны. Поверхность пересекается с плоскостью трактрисы под постоянным углом, в частности, для псевдосферы этот угол равен прямому. Псевдосфера есть частный случай геликоида Дини.

Формы задания поверхности геликоида Дини

1) Параметрическая форма задания

где u – угол между винтовой осью и касательной к трактрисе.

2) Векторная форма задания

,

; ;

Видео:Взаимное пересечение поверхностей (Способ вспомогательных секущих плоскостей. ДГР-3Скачать

18. ВИНТОВАЯ СИНУСОИДАЛЬНАЯ ПОЛОСА

Винтовая синусоидальная полоса образуется обыкновенным винтовым движением синусоиды Y(v) = csin(90o + nπv/d) = сcos(nπv/d), X(v) = v. Местная ось Y пересекает винтовую ось под углом π/2, а ось Х параллельна винтовой оси. Шаг цилиндрических винтовых линий, лежащих на поверхности, будет постоянным и равным 2πb.

Формы задания винтовой синусоидальной полосы

1) Параметрическая форма задания :

где n – число целых полуволн синусоиды, помещающихся на отрезке длиной d; c – амплитуда синусоиды;

2) Векторная форма задания

; ;

;

19. ЗОНТИК УИТНИ (ЗОНТИК КАРТАНА)

Зонтик Уитни является линейчатой поверхностью отрицательной гауссовой кривизны. Поверхность содержит двойную линию. Зонтик Уитни имеет и другое название – зонтик Картана. Можно изготовить соответствующую бумажную модель зонтика, изогнув квадрат с разрезом и сомкнув края разреза через лист бумаги.

Видео:Фоменко А. Т. - Классическая дифференциальная геометрия - Лекция 13Скачать

Формы задания зонтика Уитни

Видео:57. Определение расстояния между двумя параллельными прямымиСкачать

20. ПСЕВДО-РАЗВЕРТЫВАЮЩИЙСЯ ГЕЛИКОИД

Псевдо – развертывающийся геликоид образовывается проекциями касательных винтовой линии постоянного шага на плоскость, перпендикулярную к оси винтовой линии. Эта поверхность является частным случаем конволютного геликоида. Наименьшее расстояние между образующей прямой и осью геликоида называется эксцентриситетом (плечом) геликоида.

Угол φ между касательной к винтовой линии l и прямолинейной образующей поверхности можно определить по формуле: tgφ = b/a. Поверхность псевдо-развертывающегося геликоида используется при проектировании сверл по дереву.

Видео:8. Начертательная геометрия. Практикум. Очерки поверхностейСкачать

Формы задания поверхности псевдо-развертывающегося геликоида

1) Параметрическая форма задания (рис.1):

2) Векторная форма задания

,

; ;

Видео:#221. ЛЮТАЯ ДИЧЬ с IMO (математика)Скачать

Прямой геликоид поверхность параметрически задаваемая уравнениями определить тип точек

Поверхность. Способы задания поверхности. Регулярная параметризация поверхности. Координатные линии и координатная сеть на поверхности. Задача картографии. Касательная плоскость поверхности в ее гладкой точке. Нормаль поверхности в ее гладкой точке. Первая квадратичная форма поверхности. Длина дуги кривой на поверхности. Угол между кривыми на поверхности. Ортогональные траектории семейства кривых на поверхности. Площадь поверхности. Конформное отображение поверхностей. Изометрия поверхностей.

Основные определения, результаты, комментарии

Элементарной областью на плоскости переменных называется область, гомеоморфная кругу. Элементарной поверхностью в пространстве переменных называется множество точек пространства, гомеоморфное элементарной области на плоскости. Функциональное задание гомеоморфизма (рис. 20)

называется параметрическим представлением поверхности. Образы прямых вида и называются координатными линиями на поверхности (рис. 20) и задаются уравнениями

и каждой точке ставится в соответствие пара чисел , называемая криволинейными координатами.

Общей поверхностью называется подмножество евклидова пространства, локально гомеоморфное евклидовой плоскости. Необходимое и достаточное условие локальной гомеоморфности отображения, задаваемого в области плоскости переменных регулярными функциями

Очевидно, что общая поверхность допускает покрытие элементарными поверхностями.

Сеть координатных линий поверхности, или координатная сеть , называется правильной в точке , если в этой точке выполнено условие Нетрудно заметить, что частные производные и в данной точке представляют собой касательные векторы к координатным линиям и соответственно. Поэтому условие правильности координатной сети в точке требует, чтобы касательные векторы к координатным линиям в этой точке были неколлинеарны. В дальнейшем будут рассматриваться только такие точки на поверхности.

Будем называть поверхность -регулярной, если она обладает параметризацией , имеющей непрерывные частные производные
порядка , причем в каждой точке выполнено условие

Поверхность задана неявным уравнением если координаты каждой ее точки удовлетворяют этому уравнению.

Пусть и — две различные точки на поверхности . Касательной плоскостью поверхности в точке (рис. 21) называется плоскость , проходящая через точку и удовлетворяющая соотношению

Уравнение касательной плоскости поверхности в точке с криволинейными координатами (и декартовыми координатами ) может быть вычислено по одной из следующих формул:

Первое из уравнений означает, что векторы образуют базис касательных векторов в точке

Нормаль поверхности в точке — это прямая, ортогональная касательной плоскости, проведенной в этой точке поверхности. Уравнения нормали поверхности в точке с криволинейными координатами (и декар-
товыми координатами ) могут быть вычислены по формулам

Теперь мы можем дать геометрическую интерпретацию условию регулярности неявного задания кривой в пространстве. Поверхности и , имеющие общую точку , назовем пересекающимися трансверсально в точке , если их касательные плоскости, проведенные в этой точке, пересекаются .

Согласно известной теореме аналитической геометрии, для этого необходимо и достаточно, чтобы векторы нормали касательных плоскостей, а следовательно, векторы нормали поверхностей, были неколлинеарны в точке (рис. 22). Таким образом, условие максимальности ранга матрицы (6) — это условие трансверсальности пересечения поверхностей в точке.

Первой квадратичной формой поверхности называется скалярный квадрат первого дифференциала радиус-вектора ее точки :

где введены канонические обозначения

При этом коэффициенты являются функциями точки поверхности.

Первая квадратичная форма поверхности несет информацию о свойствах измерения длин, углов и площадей на поверхности, являясь своеобразным «справочником геодезиста». Первую квадратичную форму поверхности называют также метрической формой .

Так как в евклидовом пространстве скалярный квадрат любого ненулевого вектора строго положителен, то и первая квадратичная форма любой регулярной поверхности в евклидовом пространстве положительно определена , то есть , и невырождена , то есть только при

Длина кривой на поверхности может быть представлена криволинейным интегралом

Если кривая задана параметрическим способом , то первый дифференциал радиус-вектора точки вдоль этой кривой при подстановке , принимает вид

Подстановка полученного выражения в формулу длины кривой на поверхности приводит к результату (интеграл определенный!)

Тогда направление может быть указано «однородными координатами» . Очевидно взаимно однозначное соответствие
(и даже гомеоморфизм) множества направлений в точке поверхности и проективной прямой.

Углом между кривыми на поверхности (рис. 23), пересекающимися в точке , называется угол, образованный касательными направлениями к кривым в этой точке. Рассмотрим два направления и .

Угол между направлениями можно вычислять как угол между их представителями.

Его косинус равен

Направления и на поверхности ортогональны тогда и только тогда, когда . Пусть в окрестности точки на поверхности задано семейство кривых, представленных неявными уравнениями вида , где — постоянные, — дифференцируемая функция. Пусть в точке выполнено условие Линии семейства имеют в каждой точке рассматриваемой окрестности направление Тогда направление линии, ортогональной линиям семейства , удовлетворяет соотношению ортогональности

Полученное уравнение является дифференциальным уравнением семейства кривых, ортогональных семейству, заданному уравнениями
.

Площадь части поверхности, задаваемой параметрическим уравнением , определенным на компактной области плоскости переменных , с кусочно гладкой границей , вычисляют по формуле:

Гомеоморфизм поверхностей называется изометрией , если поверхности и можно параметризовать так, что первая квадратичная форма поверхности в любой точке равна первой квадратичной форме поверхности в точке

Очевидно, соответственные кривые изометричных поверхностях имеют равные длины. Обратное также верно. Кроме этого, на изометричных поверхностях углы между соответственными кривыми равны, и площади соответственных областей также равны.

Также имеется важный класс гомеоморфизмов поверхностей, включающий в себя изометрии. Гомеоморфизм поверхностей называется конформным отображением , если для любых пересекающихся кривых и на поверхности образуемый ими угол равен углу между кривыми и на поверхности . Очевидно, всякая изометрия является конформным отображением.

1. Цилиндрическая система координат в пространстве задается так, как показано на рис. 24 а).

Напишите выражение декартовых координат
точки через ее цилиндрические координаты и правила обратного перехода. Составьте параметрическое представление прямого кругового цилиндра радиуса , ось которого совпадает с осью аппликат. Изобразите на рисунке вид координатных линий построенного параметрического представления. Исследуйте это представление на регулярность.

2. Сферическая система координат в пространстве задается так, как показано на рис. 24 б). Напишите выражение декартовых координат точки через ее сферические координаты и правила обратного перехода. Составьте параметрическое представление сферы радиуса , центр которой совмещен с началом координат. Изобразите на рисунке вид координатных линий построенного параметрического представления. Исследуйте это представление на регулярность. Во всех ли точках сферы координатная сеть правильна?

3. Дано параметрическое представление поверхности. Определите и изобразите на рисунке вид поверхности и координатные линии. Укажите область изменения параметров. Правильная ли на этой поверхности координатная сеть?
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)

4. Поверхность вращения. Кривая расположенная в плоскости , вращается вокруг оси . Составьте уравнение поверхности, образуемой этой кривой. Докажите, что нормаль поверхности вращения расположена в плоскости, проходящей через ось вращения.

Кривую назовем образующей поверхности вращения.

5. Составьте параметрическое задание поверхности вращения с осью и образующей :
1) ;
2) ;
3) .

6. Поверхность переноса. Две кривые и пересекаются в точке , такой, что , трансверсально , то есть . Кривая перемещается поступательно так, что ее точка скользит по кривой . Заметаемая ею поверхность называется поверхностью переноса.
1) Составьте параметрическое представление этой поверхности. Изменится ли вид поверхности переноса, если кривые и поменять ролями?
2) Докажите, что касательные плоскости поверхности переноса вдоль координатной линии параллельны некоторой прямой.
3) Докажите, что параболоиды являются поверхностями переноса.
Указание. В качестве кривых и выберите параболы, расположенные во взаимно ортогональных плоскостях.

7. Обобщенная цилиндрическая поверхность. В условии предыдущей задачи считайте линию прямой, параллельной вектору . Получаемая таким способом поверхность переноса называется обобщенной цилиндрической поверхностью. Постройте ее параметрическое представление и уравнение семейства касательных плоскостей к цилиндрической поверхности в тех ее точках, в которых . Что можно сказать о касательных плоскостях цилиндрической поверхности?

8. Обобщенная коническая поверхность образована всеми прямыми, пересекающими данную кривую и проходящими через точку , При этом кривая называется направляющей , а прямые — образующими конической поверхности. Составьте параметрическое представление конической поверхности и уравнение семейства касательных плоскостей к конической поверхности в тех ее точках, в которых . Что
можно сказать о касательных плоскостях конической поверхности?

9. Винтовая поверхность. Прямая вращается вокруг оси и одновременно перемещается вдоль нее так, что перемещение пропорционально углу поворота. Описываемая этой прямой поверхность называется винтовой поверхностью. Напишите параметрическое представление винтовой поверхности и дайте ее изображение.

10. Обобщенная винтовая поверхность. В условии предыдущей задачи замените прямую линией , . Напишите параметрическое представление описываемой поверхности. Полагая
1) ; 2) ,
напишите параметрические представления и дайте изображения полученных поверхностей.

11. Трубчатая поверхность образована всеми окружностями постоянного радиуса с центрами на кривой расположенными в нормальных плоскостях этой кривой. Считая, что — естественный параметр кривой, кривизна кривой отлична от нуля и , составьте параметрическое представление трубчатой поверхности.

Решение. (рис. 25) Представим радиус — вектор точки поверхности в виде суммы где — полярный угол в нормальной плоскости
кривой , отсчитываемый от главной нормали по направлению к бинормали, — соответствующий «полярный радиус». Тогда где и — единичные векторы главной нормали и бинормали в точке, соответствующей значению естественного параметра. Заметим, что в естественной параметризации и
Эти уравнения позволяют выразить единичные
направляющие векторы трехгранника Френе через производные вектора

Подстановка в выражение для радиус — вектора приводит к окончательному выражению

Докажите, что нормаль трубчатой поверхности пересекает кривую и является ее нормалью.
Указание. Воспользуйтесь формулами Френе.

Составьте параметрическое представление трубчатой поверхности, если
1$»>, а радиус образующей окружности .

12. Докажите, что сумма квадратов отрезков, отсекаемых на осях координат касательной плоскостью поверхности , не зависит от выбора точки на поверхности.

13. Докажите, что касательные плоскости к поверхности образуют с координатными плоскостями тетраэдры постоянного объема.

14. Докажите, что касательные плоскости к поверхности в точках образуют пучок плоскостей.

15. Дана кривая , где — естественный параметр. Найдите первую квадратичную форму поверхности, образованной
1) касательными к кривой ;
2) главными нормалями;
3) бинормалями кривой .

16. На поверхности, образованной касательными к кривой , где — естественный параметр,
1) составьте дифференциальное уравнение ортогональных траекторий к семейству прямолинейных образующих;
2) напишите дифференциальное уравнение линий, пересекающих прямолинейные образующие под постоянным углом ;
3) убедитесь в том, что область этой поверхности наложима на плоскость.

17. Дан прямой геликоид .
1) Вычислите его первую квадратичную форму.
2) Найдите угол между координатными линиями как функцию точки.
3) Составьте уравнение биссекторных линий для линий координатной сети.
4) Проверьте, что сеть, дифференциальное уравнение которой имеет вид
, ортогональна.
5) Вычислите площадь четырехугольника, ограниченного линиями , , , .
6) Покажите, что прямой геликоид наложим на катеноид с образующей
, , ( ) .

18. Дан прямой круговой цилиндр .
1) Вычислите его первую квадратичную форму.
2) Найдите угол между координатными линиями как функцию точки.
3) Составьте уравнения линий, пересекающих образующие под постоянным углом.
4) Найдите уравнение ортогональных траекторий семейства линий
.
5) Вычислите площадь треугольника, ограниченного линиями
.
6) Докажите, что прямой круговой цилиндр наложим на плоскость.

19. Представление псевдосферы имеет вид

1) Вычислите ее первую квадратичную форму.
2) Найдите на псевдосфере линии, пересекающие меридианы под постоянным углом (локсодромы).
3) Найдите площадь поверхности псевдосферы.
4) Вычислите длину дуги линии между точками

20. Дана сфера
а) Найдите ее первую квадратичную форму.
б) Напишите уравнения ортогональных траекторий семейства линий
.
в) Составьте уравнение локсодромы — линии на сфере, которая пересекает меридианы под постоянным углом .

📺 Видео

Инженерная графика Пересечение поверхностей вращенияСкачать