Источник задания: Задание 7. Прямая y=-4x-11 является касательной к графику функции y=x^3+7x^2+7x-6
Задание 7. Прямая y=-4x-11 является касательной к графику функции 
. Найдите абсциссу точки касания.
Прямая y=-4x-11 имеет угловой коэффициент равный -4 (множитель перед x). Чтобы прямая была параллельна касательной, необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты совпадали, то есть были равны -4. При этом известно, что угловой коэффициент касательной равен производной функции y в точке x, к которой проведена касательная. Таким образом, нужно найти точку x, в которой производная равна -4, имеем:
Решаем квадратное уравнение, получаем следующие точки:
В задании необходимо выбрать такой корень, при котором касательная совпадает с прямой y=-4x-11, то есть когда выполняется равенство:
Подстановка значения x=-1 дает нулевое значение последнего выражения, а корень x=-11/3 не дает значения 0. Следовательно, функция y=-4x-11 будет касательной к графику функции в точке x=-1.
Решение №1938 Прямая y=-4x-11 является касательной к графику функции y=x^3+7x^2+7x-6.
Прямая 𝑦 = −4𝑥 − 11 является касательной к графику функции 𝑦 = 𝑥 3 + 7𝑥 2 + 7𝑥 − 6. Найдите абсциссу точки касания.
Источник: Пробный ЕГЭ 2016
В точке касания прямой и функции равны значения их уравнений и значения производных .
Найдём значения производных :
𝑦′ = −4𝑥 − 11 = –4
𝑦′ = 𝑥 3 + 7𝑥 2 + 7𝑥 − 6 = 3х 2 + 14х + 7
Приравняем производные, найдём абсциссу точки:
3х 2 + 14х + 7 = –4
3х 2 + 14х + 11 = 0
D = 14 2 – 4·3·11 = 64 = 8 2
Приравняем уравнения касательной и функции:
𝑥 3 + 7𝑥 2 + 7𝑥 − 6 = −4𝑥 − 11
𝑥 3 + 7𝑥 2 + 11𝑥 + 5 = 0
Проверим найденные точки, выполняется ли равенство:
х = –1
(–1) 3 + 7·(–1) 2 + 11·(–1) + 5 = 0
0 = 0 – верно
х =
() 3 + 7·() 2 + 11·() + 5 = 0
– не верно
Абсцисса точки касания х = –1.
Прямая у=–4х–11 является касательной
27486. Прямая у=–4х–11 является касательной к графику функции у= х 3 +7х 2 +7х–6. Найдите абсциссу точки касания.
Известно, что производная равна угловому коэффициенту касательной. Угловой коэффициент прямой равен –4, значит
Решая квадратное уравнение, получим:
Итак, имеем две абсциссы.
Это означает, что к графику функции у= х 3 +7х 2 +7х–6 можно провести две параллельных касательных, при чём производные в этих точках касания будут равны.
Для того, чтобы определить, какая абсцисса из двух полученных является абсциссой точки пересечения, необходимо обе (поочерёдно) подставить в данные функции и вычислить ординаты. Абсциссой точки касания будет та, при которой получим равные ординаты.
Определим ординаты при х = – 1 и х = – 22/6
Таким образом, искомая абсцисса точки касания равна -1.
Значения при х = –22/6 можно уже не вычислять, так как получатся разные ординаты. Вычислите: