Пусть l — некоторая прямая пространства. Как и в планиметрии, любой вектор
а =/= 0, коллинеарный прямой l, называется направляющим вектором этой прямой.
Положение прямой в пространстве полностью определяется заданием направляющего вектора и точки, принадлежащей прямой.
Пусть прямая l с направляющим вектором а проходит через точку M0 , а М — произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М (рис. 197) принадлежит прямой l тогда и только тогда, когда вектор (overrightarrow) коллинеарен вектору а, т. е.
Если точки М и M0 заданы своими радиус-векторами r и r0 (рис. 198) относительно некоторой точки О пространства, то (overrightarrow) = r — r0, и уравнение (1) принимает вид
Уравнения (1) и (2) называются векторно-параметрическими уравнениями прямой. Переменная t в векторно-параметрических уравнениях прямой называется параметром.
Пусть точка M0 прямой l и направляющий вектор а заданы своими координатами:
Тогда, если (х; у; z) — координаты произвольной точки М прямой l, то
и векторное уравнение (1) равносильно следующим трем уравнениям:
$$ begin x = x_0 + ta_1 \ y = y_0 + ta_2 \ z = z_0 + ta_3, ;;tin Rend (3)$$
Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.
Задача 1. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
M0(-3; 2; 4) и имеющей направляющий вектор а = (2; -5; 3).
В данном случае х0 = -3, у0 = 2, z0 = 4; а1 = 2; а2 = -5; а3 = 3. Подставив эти значения в формулы (3), получим параметрические уравнения данной прямой
$$ begin x = -3 — 2t \ y = 2 — 5t \ z = 4 + 3t, ;;tin Rend $$
Исключим параметр t из уравнений (3). Это можно сделать, так как а =/= 0, и поэтому одна из координат вектора а заведомо отлична от нуля.
Пусть сначала все координаты отличны от нуля. Тогда
Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой.
Заметим, что уравнения (4) образуют систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z.
Если в уравнениях (3) одна из координат вектора а, например а1 равна нулю, то, исключив параметр t, снова получим систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z:
Эти уравнения также называются каноническими уравнениями прямой. Для единообразия их также условно записывают в виде (4)
считая, что если знаменатель равен нулю, то равен нулю и соответствующий числитель. Эти уравнения являются уравнениями прямой, проходящей через точку M0(х0; у0, z0) параллельно координатной плоскости yOz, так как этой плоскости параллелен ее направляющий вектор (0; а2; а3).
Наконец, если в уравнениях (3) две координаты вектора а, например а1 и а2 равны нулю, то эти уравнения принимают вид
Это уравнения прямой, проходящей через точку M0(х0; у0; z0) параллельно оси Oz. Для такой прямой х = х0, y = у0, a z — любое число. И в этом случае для единообразия уравнения прямой можно записывать (с той же оговоркой) в виде (4)
Таким образом, для любой прямой пространства можно написать канонические уравнения (4), и, наоборот, любое уравнение вида (4) при условии, что хотя бы один из коэффициентов а1 , а2 , а3 не равен нулю, задает некоторую прямую пространства.
Задача 2. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку M0(- 1; 1, 7) параллельно вектору а = (1; 2; 3).
Уравнения (4) в данном случае записываются слeдующим образом:
Выведем уравнения прямой, проходящей через две данные точки M1(х1; у1; z1) и
Это и есть уравнения прямой, проходящей через две точки M1(х1; у1; z1) и
Задача 3. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M1(-4; 1; -3) и M2(-5; 0; 3).
Задача 4. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M1(3; -2; 1) и
После подстановки координат точек M1 и M2 в уравнения (5) получим
Видео:13. Общие уравнения прямой в пространстве / приведение к каноническому видуСкачать
Задача 37792 Прямая l задана в пространстве общими.
Условие
Прямая l задана в пространстве общими уравнениями. Написать её каноническое и параметрическое уравнения. Составить уравнение прямой 1 l, проходящей через точку М параллельно прямой l, и вычислить расстояние между ними. Найти проекцию точки М на прямую l и точку пересечения прямой l и плоскости Р.
Общие уравнения прямой l
2x–3y–2z+6=0
x–3y+z+3=0
Координаты точки М (0;2;–1)
Общее уравнение плоскости Р x–2y+3z–4=0
Решение
Прямая l задана как линия пересечения двух плоскостей:
<2x–3y–2z+6=0
<x–3y+z+3=0
Найдем две точки, принадлежащие линии пересечения.
Пусть первая координата точки, принадлежащей линии пересечения х=0
Тогда система принимает вид:
Вычитаем из первого второе:
Пусть вторая координата точки, принадлежащей линии пересечения y=0
Тогда системa принимает вид:
умножаем второе на 2 и складываем
Cоставляем уравнение прямой. проходящей через две точки
[b]x/(-3) =(y+(4/3))/(-4/3) =(z-1)/(-1)[/b] — каноническое уравнение
Уравнение прямой l_(1) параллельной l есть уравнение прямой, проходящей через точку М (0;2;-1)
с таким направляющим вектором
vector=(-3;4/3;-1)
[b]x-0/(-3) =(y-2)/(-4/3) =(z+1)/(-1)[/b] — каноническое уравнение
Чтобы найти точку пересечния прямой l и плоскости Р.
Подставляем в уравнение плоскости Р
(-3t)–2*((-4/3)t-(4/3))+3*(-t+1)–4=0
[b](-3/2;-2;1/2)[/b] — точка пересечения прямой l и пл. Р
Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
Математический портал
Видео:Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространствеСкачать
Nav view search
Navigation
Search
- Вы здесь:
- Home
- Аналитическая геометрия
- Высшая математика.
- Аналитическая геометрия.
- Прямая в пространстве, всевозможные уравнения, взаимное расположение прямых в пространстве, расстояние от точки до прямой в пространстве.
Видео:Параметрические уравнения прямойСкачать
Прямая в пространстве, всевозможные уравнения.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Существуют такие формы записи уравнения прямой в пространстве:
1) $left<beginA_1x+B_1y+C_1z+D_1=0quad (P_1)\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0quad (P_2)endright. — $ общее уравнение прямой $L$ в пространстве, как линии пересечения двух плоскостей $P_1$ и $P_2.$
2) $frac=frac=frac
-$ каноническое уравнение прямой $L,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ параллельно вектору $overline=(m, n, p).$ Вектор $overline S$ является направляющим вектором прямой $L.$
3) $frac=frac=frac -$ уравнение прямой, которая проходит через две точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2).$
4) Приравнивая каждую из частей канонического уравнения 2 к прараметру $t,$ получаем параметрическое уравнение прямой:
Расположение двух прямых в пространстве.
Условие параллельности двух прямых: Прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны тогда и только тогда, когда $overline_1paralleloverline_2Leftrightarrow$ $frac=frac=frac
.$
Условие перпендикулярности двух прямых: $L_1perp L_2Leftrightarrow$ $overline_1perpoverline_2Leftrightarrow$ $cdot+cdot+p_1cdot p_2=0.$
Угол между прямыми:
Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на данную прямую.
Пусть прямая $L$ задана уравнением $frac=frac=frac
,$ следовательно $overline S=(m, n, p).$ Пусть также $M_2=(x_2, y_2, z_2) -$ произвольная точка, принадлежащая прямой $L.$ Тогда расстояние от точки $M_1=(x_1, y_1, z_1)$ до прямой $L$ можно найти по формуле: $$d(M_1, L)=frac<|[overline, overline S]|>.$$
Примеры.
2.198. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно:
а) вектору $q(2, -3, 5);$
е) прямой $x=-2+t, y=2t, z=1-fract.$
Решение.
а) Воспользуемся формулой (2) уравнения прямой в пространстве:
$frac=frac=frac
-$ каноническое уравнение прямой $L,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ параллельно вектору $overline=(m, n, p).$
По условию $M_0(2, 0, -3)$ и $overline=q(2,-3,5).$
б) Прямая, параллельная заданной прямой, должна быть параллельна ее направляющему вектору. Направляющий вектор прямой $frac=frac=frac$ имеет координаты $overline S(5, 2, -1).$ Далее, находим уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $overline S(5, 2, -1)$ как и в пункте а):
в) ось OX имеет направляющий вектор $i=(1, 0, 0).$ Таким образом, ищем уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $i(1, 0, 0):$
д) Прямая, заданная как пересечение двух плоскостей перпендикулярна нормалям обеих плоскостей , поэтому Направляющий вектор прямой
$left<begin3x-y+2z-7=0,\ x+3y-2z-3=0; endright.$ можно найти как векторное произведение нормалей заданных плоскостей.
Для плоскости $P_1:$ $3x-y+2z-7=0$ нормальный вектор имеет координаты $N_1(3, -1, 2);$
для плосости $P_2:$ $x+3y-2z-3,$ нормальный вектор имеет координаты $N_2(1, 3, -2).$
Находим векторное произведение:
Таким образом, направляющий вектор прямой $left<begin3x-y+2z-7=0,\ x+3y-2z-3=0; endright.$ имеет координаты $overline S (-4, 8, 10).$
Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $overline S(-4, 8, 10):$
е) Найдем направляющий вектор прямой $x=-2+t, y=2t, z=1-fract.$ Для этого запишем уравнение этой прямой в каноническом виде:
Отсюда находим направляющий вектор $overline Sleft(1, 2, -fracright).$ Умножим координаты направляющего вектора на 2 (чтобы избавиться от дроби): $overline S_1(2, 4, -1).$
Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $overline S(2, 4, -1):$
2.199(a). Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $M_1 (1, -2, 1)$ и $M_2(3, 1, -1).$
Решение.
Воспользуемся формулой (3) уравнения прямой в пространстве:
$frac=frac=frac -$ уравнение прямой, которая проходит через две точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2).$
Подставляем заданные точки:
2.204. Найти расстояние между параллельными прямыми
Решение.
Расстояние между параллельными прямыми $L_1$ и $L_2$ равно расстоянию от произвольной точки прямой $L_1$ до прямой $L_2.$ Следовательно, его можно найти по формуле $$d(L_1, L_2)=d(M_1, L_2)=frac<|[overline, overline S]|>,$$ где $M_1-$ произвольная точка прямой $L_1,$ $M_2 — $произвольная точка прямой $L_2,$ $overline S -$ направляющий вектор прямой $L_2.$
Из канонических уравнений прямых берем точки $M_1=(2, -1, 0)in L_1,$ $M_2=(7, 1, 3)in L_2,$ $overline S=(3, 4, 2). $
Отсюда находим $overline=(7-2, 1-(-1),3-0)=(5, 2, 3);$
Ответ: 3.
2.205 (а). Найти расстояние от точки $A(2, 3, -1)$ до заданной прямой $L:$ $left<begin2x-2y+z+3=0,\ 3x-2y+2z+17=0 endright.$
Решение.
Для того, чтобы найти расстояние от точки $A$ до прямой $L,$ нам необходимо выбрать произвольную точку $M,$ принадлежащую прямой $L$ и найти направляющий вектор этой прямой.
Выбираем точку $M.$ Пусть координата $z=0.$ Подставим это значение в данную систему:
Таким образом, $M=(-14, -frac, 0)$
Направляющий вектор найдем, как векторное произведение нормалей заданных плоскостей:
Для плоскости $P_1:$ $2x-2y+z+3=0$ нормальный вектор имеет координаты $N_1(2, -2, 1);$
для плосости $P_2:$ $3x+2y+2z+17=0,$ нормальный вектор имеет координаты $N_2(3, -2, 2).$
Находим векторное произведение:
Таким образом, направляющий вектор прямой $left<begin2x-2y+z+3=0,\ 3x-2y+2z+17=0 endright.$
имеет координаты $overline S (-2, -1, 2).$
Теперь можно воспользоваться формулой $$d(A, L)=frac<|[overline, overline S]|>.$$
$overline=left(2-(-14),3-left(-fracright),-1-0right)=left(16, 15frac, -1right)$
Ответ: $d(A, L)=15.$
2.212. Написать каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ параллельно плоскости $P: 3x-2y-3z-7=0$ и пересекает прямую $L: frac=frac=frac.$
Решение.
Запишем уравнение плоскости $P_1,$ которая проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ параллельно плоскости $3x-2y-3z-7=0:$
$P: 3x-2y-3z-7=0Rightarrow overline N=(3; -2; -3).$ Искомая плоскость проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ перпендикулярно вектору $overline N(3, -2, -3).$
$P_1: 3x-9-2y-4-3z-12=0 Rightarrow$
Далее найдем точку пересечения плоскости $P_1$ и прямой $L.$ Для этого запишем уравнение прямой $L$ в параметрической форме:
Далее, подставим значения $x, y$ и $z,$ выраженные через $t$ в уравнение плоскости $P_1,$ и из полученного уравнения выразм $t:$
Подставляя найденное занчение $t$ в уравнение прямой $L,$ найдем координаты точки пересечения:
Таким образом, прямая $L$ и плоскость $P_1$ пересекаются в точке $M_1(8, -8, 5).$
Теперь запишем уравнение прямой, проходящей через точки $M_0(3, -2. -4)$ и $M_1(8, -8, 5)$— это и будет искомая прямая. Воспользуемся формулой ( 3) $frac=frac=frac :$
2.199.
б) Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $M_1 (3, -1, 0)$ и $M_2(1, 0, -3).$
б) Найти расстояние от точки $A(2, 3, -1)$ до заданной прямой $ L:$ $left<beginx=3t+5,\ y=2t,\z=-2t-25. endright.$
2.206. Доказать, что прямые $L_1: left<begin2x+2y-z-10=0,\ x-y-z-22=0, endright.$ и $L_2: frac=frac=frac.$ параллельны и найти расстояние $rho(L_1, L_2)$
2.207. Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости $x-3y+2z+1=0$ с прямыми $frac=frac=frac$ и $frac=frac=frac.$
2.211. Написать уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(7, 1, 0)$ параллельно плоскости $2x+3y-z-15=0$ и пересекающей прямую $frac=frac=frac.$
📽️ Видео
11. Прямая в пространстве и ее уравненияСкачать
12. Уравнения прямой в пространстве Решение задачСкачать
Видеоурок "Параметрические уравнения прямой"Скачать
Каноническое уравнение прямой в пространстве Преход от общего уравненияСкачать
Видеоурок "Общие уравнения прямой"Скачать
Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.Скачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать
Видеоурок "Канонические уравнения прямой"Скачать
Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
14. Угол между прямыми в пространствеСкачать
Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать
Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать
Каноническое уравнение прямой в пространстве. 11 класс.Скачать
Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать
9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать
