Провести масштабирование переменных и привести дифференциальные уравнения к безразмерному виду (2 видео)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ В РАЗНОСТНУЮ

Содержание

Метод приведения уравнений к безразмерному виду
Безразмерные переменные и необходимость их использования
Конспект второй лекции по курсу «Дифференциальные и разностные уравнения.»
Приведение системы дифференциальных уравнений, описывающих подобные процессы для пограничного слоя к безразмерной форме записи (метод масштабных преобразований)
Дифференциальное уравнение движения для двух подобных процессов в относительных величинах
📹 Видео

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Метод приведения уравнений к безразмерному виду

Безразмерные переменные и необходимость их использования

Значения параметров, получаемые с помощью методов численного решения дифференциальных уравнений, будут отличаться от их истинных значений из-за наличия ошибки аппроксимации. Поэтому алгоритмы решения уравнений математических моделей, изучаемые в данном пособии, могут оказаться непригодными, если уравнения модели содержат переменные, значения которых отличаются по порядкам. Так, погрешности при определении параметров, порядки которых велики, могут быть не значимы для них самих, но в то же время они будут сильно искажать значения параметров меньших порядков. Поэтому прежде чем перейти к созданию алгоритма для решения уравнений математической модели, необходимо привести эти уравнения к безразмерному виду, т.е. провести операцию обезразмеривания переменных, в результате которой все переменные математической модели будут иметь одинаковый порядок.

Рассмотрим процедуру обезразмеривания на примере математической модели процесса кристаллизации, протекающего в ёмкостном периодическом реакторе идеального смешения:

где с — объёмная концентрация кристаллизующегося компонента; — плотность кристалла; г — скорость роста кристалла; f(jt)dr — число крис-

таллов в единице объёма смеси с размером (объёмом) от г до г + dr; R — наибольший объём кристалла.

Безразмерные переменные вводятся с помощью соотношений:

где переменные с индексом (0) соответствуют характерным параметрам процесса.

Как правило, могут быть известны лишь некоторые характерные параметры процесса, например, в данном случае это характерное время процесса (?₀), характерный размер кристалла (г₀) и характерная концентрация кристаллизующегося компонента в растворе (с₀). Кроме этого, обычно принимают равенство:

поскольку в модели (2.1) плотность и концентрация имеют одинаковую размерность. Однако характерную скорость роста кристаллов (Ц о) и характерное значение плотности функции распределения кристаллов по размерам (f₀) непосредственно измерить невозможно. Их значения определяют из безразмерных комплексов характерных параметров согласно методике, рассмотренной ниже.

Видео:2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать

Конспект второй лекции по курсу «Дифференциальные и разностные уравнения.»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Преобразование дифференциальной задачи в разностную

1. Метод приведения уравнений к безразмерному виду

1.1. Безразмерные переменные и необходимость их использования

1.2. Методика определения неизвестных характерных параметров процесса

2. Аппроксимация простейших дифференциальных операторов

2.1. Разностная аппроксимация производной первого порядка

2.2. Понятие порядка аппроксимации

2.3. Разностная аппроксимация производной второго порядка

3. Аппроксимация дифференциальных уравнений

3.1. Понятие разностной сетки

3.2. Понятие разностной схемы

3.3. Порядок аппроксимации разностной схемы

3.4. Аппроксимация начальных и граничных условий

4. Задания для самоконтроля

1. Метод приведения уравнений к безразмерному виду

1.1. Безразмерные переменные и необходимость их использования

Значения параметров, получаемые с помощью методов численного решения дифференциальных уравнений, как правило несколько отличаются от их истинных значений из-за наличия ошибки аппроксимации. Поэтому алгоритмы решения уравнений математических моделей, изучаемые в данном пособии, могут оказаться непригодными, если уравнения модели содержат переменные, значения которых отличаются по порядкам. Так, погрешности при определении параметров, порядки которых велики, могут быть не значимы для них самих, но в то же время они будут сильно искажать значения параметров меньших порядков. Поэтому прежде чем перейти к созданию алгоритма для решения уравнений математической модели, необходимо привести эти уравнения к безразмерному виду, т.е. провести операцию обезразмеривания переменных, в результате которой все переменные математической модели будут иметь одинаковый порядок.

(2.1)

где с – объёмная концентрация кристаллизующегося компонента; – плотность кристалла; h – скорость роста кристалла; – число кристаллов в единице объёма смеси с размером от r до r + dr ; R – наибольший размер кристалла.

Безразмерные переменные вводятся с помощью соотношений:

где переменные с индексом (0) соответствуют характерным параметрам процесса.

Как правило, могут быть известны лишь некоторые характерные параметры процесса, например, в данном случае это характерное время процесса ( t ₀ ), характерный размер кристалла ( r ₀ ) и характерная концентрация кристаллизующегося компонента в растворе (с₀). Кроме этого, обычно принимают равенство:

поскольку в модели (2.1) плотность и концентрация имеют одинаковую размерность. Однако характерную скорость роста кристаллов ( ) и характерное значение плотности функции распределения кристаллов по размерам ( ) непосредственно измерить невозможно. Их значения определяют из безразмерных комплексов характерных параметров согласно методике, рассмотренной ниже.

1. Метод приведения уравнений к безразмерному виду

1.2. Методика определения неизвестных характерных параметров процесса

Рассмотрим методику определения неизвестных характерных параметров. Для этого выразим переменные математической модели через характерные и безразмерные значения:

Затем подставим их в исходную систему уравнений (2.1):

(2.2)

Рассмотрим второе уравнение в системе (2.2), которое после несложных преобразований можно представить в виде:

Для того чтобы полученное обезразмеренное уравнение совпало с исходным, комплекс характерных параметров, стоящий перед вторым слагаемым, необходимо приравнять единице:

Следовательно, характерное значение скорости роста кристаллов определяется по формуле:

(2.3)

Рассмотрим теперь первое уравнение в системе (2.2), которое после несложных преобразований можно привести к виду:

Для того чтобы полученное обезразмеренное уравнение совпало с исходным, комплекс характерных параметров, стоящий перед интегралом в правой части уравнения, необходимо приравнять единице:

Отсюда, используя соотношение (2.3), получаем характерное значение плотности функции распределения кристаллов по размерам:

(2.4)

Таким образом, если характерные значения скорости роста кристаллов и плотности функции распределения кристаллов по размерам соответствуют выражениям (2.3), (2.4), то оба уравнения в системе (2.2) полностью совпадают с исходными уравнениями математической модели процесса кристаллизации (2.1). Однако порядки переменных в уравнениях системы (2.1) различны (например, функция f имеет порядок

10 –10 ), вследствие чего расчётные ошибки при определении функции f , не значимые для неё самой, могут привести к сильным искажениям значений h . В то же время при численном решении уравнений системы (2.2) этого не произойдёт, так как все переменные в них имеют одинаковый порядок.

2. Аппроксимация простейших дифференциальных операторов

2.1. Разностная аппроксимация производной первого порядка

В основе методов численного решения дифференциальных уравнений, изучаемых в настоящем учебном пособии, лежит преобразование дифференциальной задачи в разностную задачу, называемое аппроксимацией. Однако прежде, чем перейти к проблемам аппроксимации дифференциальных уравнений, рассмотрим аппроксимацию простейших дифференциальных операторов, т.е. производных первого и второго порядков.

Рассмотрим функцию одной переменной u = u ( x ), для которой задан интервал её изменения x Î [ a ; b ]. Разобьём интервал [ a ; b ] на n равных частей (см. рисунок).

Введём следующие обозначения:

– величина интервала между точками.

Введём понятие нормы функции u ( x _j ) с помощью соотношения:

Рассмотрим производную функции u в точке x _j :

Аппроксимация этой производной может быть введена с помощью следующих разностных операторов:

· с помощью правой конечной разности

(2.5)

· с помощью левой конечной разности

(2.6)

· с помощью центральной конечной разности

(2.7)

Кроме того, разностную аппроксимацию производной первого порядка можно задать в виде линейной комбинации выражений (2.5) и (2.6):

(2.8)

Видно, что при s = 0 выражение (2.8) становится левой конечной разностью, при s = 1 – правой конечной разностью, при s = 1/2 – центральной конечной разностью.

2. Аппроксимация простейших дифференциальных операторов

2.2. Понятие порядка аппроксимации

Выясним, с какой точностью конечные разности (2.5), (2.6), (2.7) аппроксимируют значение производной функции u в точке x _j . Для этого разложим значения функции в ряд Тейлора относительно точки x _j :

(2.9)

(2.10)

Подставляя выражение (2.9) в правую конечную разность (2.5), получаем:

(2.11)

Первое слагаемое в правой части выражения (2.11) является производной функции u в точке x _j , а все остальные составляют так называемую ошибку аппроксимации, показывающую насколько значение производной функции u в точке x _j , определяемое с помощью разностного оператора, аппроксимирующего эту производную, отличается от её истинного значения.

Учитывая, что производные любых порядков функции u ограничены в точках интервала [ a ; b ], а величина h после выполнения операции обезразмеривания переменных не будет превышать 1, наиболее существенный вклад в ошибку аппроксимации вносит слагаемое, в котором порядок h наименьший. На основании этого говорят, что рассматриваемая конечная разность имеет порядок аппроксимации по h , соответствующий этой наименьшей степени h в выражении для ошибки аппроксимации.

Таким образом, понятие «порядок аппроксимации» характеризует точность, с которой разностный оператор аппроксимирует производную функции u в точке x _j : чем выше порядок аппроксимации, тем точнее аппроксимация и, соответственно, меньше её ошибка.

В случае правой конечной разности наибольший вклад в ошибку аппроксимации вносит второе слагаемое в правой части выражения (2.11) и, следовательно, правая конечная разность имеет первый порядок аппроксимации, что записывается в виде:

Подставляя выражение (2.10) в левую конечную разность (2.6), получаем:

Таким образом, левая конечная разность также имеет первый порядок аппроксимации.

Подставляя выражения (2.9), (2.10) в центральную конечную разность (2.7), получаем:

Таким образом, центральная конечная разность имеет второй порядок аппроксимации и, следовательно, значение производной функции u в точке x _j , полученное при использовании центральной конечной разности, будет ближе к истинному значению, чем при использовании правой или левой конечных разностей.

2. Аппроксимация простейших дифференциальных операторов

2.3. Разностная аппроксимация производной второго порядка

Рассмотрим вторую производную функции u в точке x _j :

Поскольку первая производная функции u является некоторой функцией w от той же независимой переменной х, что и сама функция u , тогда вторую производную функции u можно представить как первую производную функции w :

Аппроксимируя производную функции w в точке x _j правой конечной разностью (2.5), получаем:

Используя для аппроксимации производной функции u левую конечную разность (2.6), разностный оператор для аппроксимации второй производной функции u в точке x _j можно представить в следующем виде:

(2.12)

Определим порядок аппроксимации полученного разностного оператора. Подставляя соотношения (2.9), (2.10) в (2.12), получаем:

Таким образом, разностный оператор (2.12), аппроксимирующий вторую производную функции u в точке x _j , имеет второй порядок аппроксимации.

3. Аппроксимация дифференциальных уравнений

3.1. Понятие разностной сетки

Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа:

(2.13)

Здесь u – функция двух независимых переменных:

для которых задан интервал их изменения:

Введём двумерную систему координат, отложив по оси абсцисс независимую переменную х, а по оси ординат – независимую переменную t , и отметим на осях заданные интервалы изменения переменных х и t . Разобьём интервал [ a ; b ] на некоторое количество равных частей и проведём из каждой точки деления прямую, перпендикулярную оси х. Выполним те же действия для интервала изменения другой независимой переменной. Тогда построенные прямые составят так называемую разностную сетку (см. рисунок). Точки пересечения проведённых прямых будем называть узлами разностной сетки, причём каждый из них будет соответствовать некоторым значениям независимых переменных х и t из заданных интервалов.

Введём следующие обозначения:

j – порядковый номер точки деления по оси х ;

n – порядковый номер точки деления по оси t ;

– величина интервала между точками по оси х ;

– величина интервала между точками по оси t ;

– значение функции u , соответствующее точкам t n , x _j .

Введём нумерацию точек разностной сетки по каждой из осей следующим образом:

3. Аппроксимация дифференциальных уравнений

3.2. Понятие разностной схемы

Рассмотрим производные в уравнении (2.13) в точке на разностной сетке.

Для аппроксимации производной функции u по времени будем использовать правую конечную разность, стабилизируя при этом значение независимой переменной х в точке с порядковым номером j :

Для аппроксимации второй производной функции u по координате будем использовать разностный оператор (2.12), стабилизируя при этом значение независимой переменной t в точке с порядковым номером n (или, иначе говоря, на n -ом шаге):

Если подставить записанные конечные разности в исходное дифференциальное уравнение (2.13), получим соотношение, аппроксимирующее это дифференциальное уравнение в точке на разностной сетке, и называемое разностной схемой:

(2.14)

В записанной разностной схеме (2.14) аппроксимация второй производной функции u по координате рассматривается на n -ом шаге по времени, то есть относительно точки t n , для которой рассматривается аппроксимация всего уравнения. Такая разностная схема называется явной.

Однако аппроксимацию второй производной функции u по координате можно рассматривать и на ( n + 1)-ом шаге по времени, в точке t n +1 ; такая разностная схема называется неявной:

(2.15)

Отметим, что если в состав свободного члена входит сама функция u , то её значение должно соответствовать n -му шагу по времени при составлении явной разностной схемы и ( n + 1)-му шагу по времени при составлении неявной разностной схемы. Значение же переменной t , входящей в состав свободного члена, всегда берётся на n -ом шаге.

Схематическое изображение узлов разностной сетки, связанных уравнением разностной схемы, называют разностным шаблоном. Разностный шаблон может служить хорошим ориентиром при выборе метода решения разностной схемы и составлении алгоритма решения. Разностные шаблоны для разностных схем (2.14) и (2.15) имеют вид:

Видео:6. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однороднымСкачать

Приведение системы дифференциальных уравнений, описывающих подобные процессы для пограничного слоя к безразмерной форме записи (метод масштабных преобразований)

Допустим, что мы имеем два подобных стационарных процесса конвективного теплообмена с постоянными физическими свойствами. Пусть это будут процессы теплоотдачи при продольном обтекании поверхности твердого тела безграничным в направлении оси 0Z потоком жидкости, при этом будем считать, что скорость Wo и температура во внешнем потоке постоянны.

Выберем новое начало отсчета температуры, в качестве которой возьмем температуру жидкости вдали от стенки:

Для определенности будем считать, что это процессы нагревания жидкости: t_c > t^. Обозначим величины, характеризующие первый процесс, одним штрихом (‘):

Аналогично запишем величины, характеризующие второй процесс, обозначая их двумя штрихами ( «).

Запишем исходную систему дифференциальных уравнений для пограничного слоя для первого процесса с учетом принятых нами обозначений. Уравнение теплоотдачи запишется в виде

,519′ ,519′ , 5 2 19′

объемная подъемная сила, возникающая в жидкости за счет разности температур.

—- +—- = 0.

Запишем исходную систему дифференциальных уравнений для пограничного слоя для второго процесса, подобно первому, обозначая величины двумя штрихами («), и потребуем их тождественности.

Выполним запись уравнений теплоотдачи и энергии в относительных величинах. Для этого сформулируем условия теплового, кинематического и геометрического подобия. Дифференциальные уравнения движения в относительных величинах для двух процессов будут записаны без вывода с использованием той же методики. Для записи дифференциальных уравнений теплоотдачи и энергии в относительных величинах необходимо записать условия теплового, геометрического и кинематического подобия. Для этого, в свою очередь, необходимо выбрать масштабы приведения.

В качестве масштабов приведения примем температуру ки t_c, скорость во внешнем потоке W_o, в качестве масштабного линейного размера — 1₀. Тогда условия теплового подобия:

где в — инвариант теплового подобия. Перепишем эти условия в виде:

Текущие значения температур могут быть выражены через их масштабные значения и инвариант теплового подобия.

Условие кинематического подобия

1У’ РУ»

_ = _=H/ = idem.

Условие геометрического подобия:

Запишем дифференциальные уравнения теплоотдачи для первого процесса в относительных величинах с учетом принятых нами обозначений:

Дифференциальные уравнения теплоотдачи для первого процесса

Дифференциальные уравнения теплоотдачи для второго процесса:

Правые части этих уравнений представляют собой инвариантные производные. Потребуем тождественности дифференциальных уравнений теплоотдачи для первого и второго процессов, записанных в относительных величинах. Для этого должны быть равны левые части урав-

где Nu — число Нуссельта. Для раскрытия его физического смысла за-

пишем его в виде

В числителе получим плотность теплового потока в процессе теплоотдачи, передаваемого через слой жидкости у стенки, согласно уравнению Ньютона-Рихмана, в знаменателе — плотность теплового потока, передаваемого через слой жидкости у стенки, согласно уравнению Фурье.

Число Nu определяет соотношение между плотностями тепловых потоков, предаваемых через слой жидкости у стенки путем теплоотдачи и теплопроводности. Число Нуссельта (Nu) характеризует теплоотдачу на границе «стенка — жидкость».

Для двух подобных процессов дифференциальное уравнение теплоотдачи запишется как

Запишем дифференциальное уравнение энергии для первого процесса в относительных величинах. Первое и второе слагаемые: д’ дв д’ дв а’д 2 (д’в>

Аналогично для второго процесса запишем дифференциальное уравнение энергии в относительных величинах для пограничного слоя:

Условия тождественности дифференциальных уравнений энергии в относительных величинах будут соблюдены, если будут тождественно равны:

где Ре — число Пекле.

где plVoCpT? — плотность теплового потока, передаваемого через слой Л 9

жидкости у стенки путем конвекции; — и — плотность теплового потоке

ка, передаваемая через слой жидкости у стенки путем теплопроводности. На самом деле

Число Ре представляет собой соотношение между плотностями тепловых потоков, передаваемых через слой жидкости у стенки путем конвекции и теплопроводности. В результате дифференциальное уравнение энергии в относительных величинах для двух подобных

Условия тождественности дифференциальных уравнений движения для проекции сил на X будут соблюдены, если выполнены определенные условия. Первое условие:

lVo»Zo» ШЛ „

где Re — число Рейнольдса.

где числитель pW₀ 2 характеризует инерционную силу, а знаменатель „ dW _тт

силу трения. Число Re определяет соотношение между

инерционными силами и силами внутреннего трения.

Если в потоке преобладают инерционные силы, а силы трения малы, что может иметь место в центре потока, то в этом случае возможно турбулентное течение жидкости. И, наоборот, если при движении жидкости преобладающими являются силы трения, а инерционные силы малы, что может наблюдаться вблизи у стенки, то в этом случае характер движения будет ламинарным, поэтому число Re —число подобия, определяющее режим движения среды.

Второе условие существования подобия между двумя физическими процессами определяется равенством:

где Gr — число Грасгофа, характеризующее относительную интенсивность подъемной силы, возникающей в жидкости за счет разности плотностей холодных и нагретых частиц жидкости, находящихся в поле действия силы тяжести, по сравнению с действием силы внутреннего трения.

Видео:Дифференциальные уравнения с разделенными переменными. 11 класс.Скачать

Дифференциальное уравнение движения для двух подобных процессов в относительных величинах

Для решения нашей задачи двух условий тождественности достаточно. Тогда дифференциальное уравнение движения для двух подобных процессов для проекций сил на ось X в относительных величинах без вывода запишется в виде

Заметим, что это уравнение характеризует не только вынужденное, но и свободное движение (число Gf). Однако если в дифференциальном 1 др

уравнении движения содержится произведение—, то необходимо

где Ей — число Эйлера, характеризующее отношение сил давления к инерционным силам. Этих условий достаточно.

Дифференциальное уравнение неразрывности

Таким образом, два подобных процесса описываются одной системой дифференциальных уравнений в относительных величинах.