Про уравнения - легко » Статьи

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Обновлено
Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)

Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс

Содержание
  1. Дифференциальные уравнения по-шагам
  2. Результат
  3. Примеры дифференциальных уравнений
  4. Правила ввода
  5. Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами
  6. Алгоритм решения дифференциальных уравнений
  7. Примеры решения дифференциальных уравнений
  8. 💡 Видео

Видео:13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

Дифференциальные уравнения по-шагам

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Результат

Примеры дифференциальных уравнений

  • Простейшие дифференциальные ур-ния 1-порядка
  • Дифференциальные ур-ния с разделяющимися переменными
  • Линейные неоднородные дифференциальные ур-ния 1-го порядка
  • Линейные однородные дифференциальные ур-ния 2-го порядка
  • Уравнения в полных дифференциалах
  • Решение дифференциального уравнения заменой
  • Смена y(x) на x в уравнении
  • Другие

Указанные выше примеры содержат также:

  • квадратные корни sqrt(x),
    кубические корни cbrt(x)
  • тригонометрические функции:
    синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
  • показательные функции и экспоненты exp(x)
  • обратные тригонометрические функции:
    арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x)
  • натуральные логарифмы ln(x),
    десятичные логарифмы log(x)
  • гиперболические функции:
    гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
  • обратные гиперболические функции:
    asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x)
  • число Пи pi
  • комплексное число i

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5

Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:

Видео:Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятия

Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами

Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Видео:Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x , как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х) , с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.

Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.

Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).

Видео:Решение однородного дифференциального уравнения. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Решение однородного дифференциального уравнения. Практическая часть. 11 класс.

Примеры решения дифференциальных уравнений

Задание

Решить дифференциальное уравнение xy’=y.

Решение

В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

переписываем дифференциальное уравнение, получаем

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей по правилу пропорции получаем

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Далее интегрируем полученное уравнение:

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

В данном случае интегралы берём из таблицы:

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Решение

Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.

Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Если – это константа, то

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения0]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» />

– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.

Получаем общее решение:

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Ответ

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Решение

В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.

Далее упрощаем общий интеграл:

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.

Ответ

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.

Решение

Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.

Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Получаем общее решение:

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Решение

При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

В данном случае константу C считается не обязательным определять под логарифм.

Ответ

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.

Решение

Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

можно выразить функцию в явном виде.

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверка

Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.

Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Подставим полученное частное решение

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

и найденную производную в исходное уравнение

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Задание

Найти общий интеграл уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Ответ

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Задание

Найти частное решение ДУ.

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Решение

Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Подставляем в общее решение

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Ответ

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Левую часть интегрируем по частям:

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

В интеграле правой части проведем замену:

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Ответ

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных.

Разделяем переменные и интегрируем:

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Проверьте что функция f является решением указанного дифференциального уравнения

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

💡 Видео

Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.

Геометрический смысл дифференциального уравненияСкачать

Геометрический смысл дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения для самых маленькихСкачать

Дифференциальные уравнения для самых маленьких

Решение линейного однородного дифференциального уравнения. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Решение линейного однородного дифференциального уравнения. Практическая часть. 11 класс.

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.

4. Однородные дифференциальные уравнения (часть 1)Скачать

4. Однородные дифференциальные уравнения (часть 1)

Дифференциальные уравнения, 2 урок, Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменнымиСкачать

Дифференциальные уравнения, 2 урок, Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными. 11 класс.

Дифференциальные уравнения 1 порядка с разделяющимися переменнымиСкачать

Дифференциальные уравнения 1 порядка с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными. 11 класс.

Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnline

Решение физических задач с помощью дифференциальных уравненийСкачать

Решение физических задач с помощью дифференциальных уравнений

11. Уравнения в полных дифференциалахСкачать

11. Уравнения в полных дифференциалах
Поделиться или сохранить к себе: