Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Содержание
  1. Строительная механика
  2. Главное меню
  3. Присоединяйтесь
  4. Метод сил при расчете статически неопределимых систем
  5. Метод сил — расчет статически неопределимых рам
  6. Канонические уравнения метода сил
  7. Алгоритм расчета методом сил
  8. Выбор основной системы
  9. Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических уравнений
  10. Универсальная проверка коэффициентов и свободных членов канонических уравнений
  11. Построение окончательных эпюр внутренних силовых факторов
  12. Проверка окончательной эпюры изгибающих моментов
  13. Определение перемещений в статически неопределимых системах
  14. Пример расчета
  15. ПроСопромат.ру
  16. Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
  17. Архив рубрики: Задачи на метод сил
  18. Расчет статически неопределимой рамы по методу сил
  19. Расчет плоской статически неопределимой рамы методом сил
  20. Расчет статически неопределимой рамы (метод сил) с подбором сечения
  21. Расчет статически неопределимой рамы по методу сил
  22. Задачи на расчет статически неопределимых балок и рам. Метод сил

Видео:Метод сил Задача № 5.7 определение коэффициентов канон. сист. и их проверкиСкачать

Метод сил Задача № 5.7 определение коэффициентов канон. сист. и их проверки

Строительная механика

Главное меню

Присоединяйтесь

Видео:Метод сил. Расчет рамы. Урок третий: определение коэффициентов канонических уравненийСкачать

Метод сил. Расчет рамы. Урок третий: определение коэффициентов канонических уравнений

Метод сил при расчете статически неопределимых систем

Статически неопределимой называется система строительной механики, для которой невозможно определить внутренние усилия из уравнений равновесия.

В статически неопределимых систем существуют «лишние» связи, количество которых определяется степенью статической неопределимости системы.

В качестве неизвестных при решении таких систем используются силы, поэтому данный метод называется методом сил.

1) Рассчитывается степень статической неопределимости системы.

Степень статической неопределимости n простой системы (количество «лишних» связей) рассчитывается по формуле:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

где Ш – количество простых шарниров (равно k-1, где k – число дисков, соединяемых шарниром);

С0 – количество реакций, которые могут возникать во всех опорах системы;

Д – количество дисков.

Пример определения степени статической неопределимости:

Рисунок 1. Степень статической неопределимости

— балка (рис. 1, а): n=2·0+4–3·1=1;

— рама (рис. 1, б): n=2·2+4–3·2=2.

2) С целью преобразования статически неопределимой системы в статически определимую исключаются «лишние» связи. Их реакции заменяют неизвестными силами, а полученная система называется основной системой (ОС).

Пример: у балки (рис. 2, а) степень статической неопределимости n=1 (данную систему называют заданной системой (ЗС), ). Если убрать «лишнюю» связь (правую опору) и обозначить неизвестную реакцию через X, получим ее ОС (рис. 2, б). Вариантов исключения лишних связей несколько (рис. 2, в-д). Для каждого из вариантов объем расчетов будет различным. Поэтому необходимо выбирать наиболее оптимальную ОС. Так в нашем примере необходимо выбрать первый вариант ОС (рис. 2, б), т.к. в этом случае эпюры построить проще.

Рисунок 2. Метод сил

3) Записываются канонические уравнения метода сил, исходя из условия, что перемещения системы по направлениям убраных связей равны нулю.

Пример: балка со степенью статической неопределимости 1. Ее ЗС (рис. 3, а) и ОС (рис. 3, б) должны быть эквивалентными. Чтобы это произошло перемещение в направлении убраной связи должно равняться нулю: Δ =0.

Рисунок 3. Каноническое уравнение метода сил

По принципу суперпозиции, это перемещение равно сумме перемещения Δ X (рис. 3, в) от неизвестной реакции X и перемещения Δ P (рис. 3, г) от заданной внешней силы P . Поэтому:

Полученное уравнение называется уравнением совместности деформаций.

Так как сила X неизвестна, перемещение Δ X определить невозможно.

Рассмотрим единичное состояние (ЕС) основной системы, в котором на сооружение действует только единичная сила P =1 (рис. 3, д).

По закону Гука, в линейно-упругой системе Δ X = δ X. Тогда уравнение совместности деформаций предстанет в следующем виде:

Полученное уравнение называется каноническим уравнением метода сил.

Причем количество уравнений равно количеству убраных «лишних» связей:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

где δii – главные коэффициенты;

δij – боковые коэффициенты;

Δ iP – грузовые коэффициенты.

Коэффициент δ21 представляет собой перемещение по направлению силы X 2 , вызванное силой, равной единице, действующей по направлению силы X 1 .

Симметрично расположенные относительно главной диагонали боковые коэффициенты равны между собой, т.е. δik= δki .

4) Для определения коэффициентов канонических уравнений для ОС строятся единичные эпюры от действия единичных сил, введенных вместо убраных «лишних» связей и грузовая эпюра Мp изгибающих моментов от действия заданной внешней нагрузки. Далее способом Верещагина определяются г лавные, боковые и грузовые коэффициенты .

5) Выполняется проверка коэффициенты канонических уравнений:

Построчная проверка выполняется для проверки всех коэффициентов одного уравнения. Если сумма всех коэффициентов i-ой строки системы канонических уравнений равна произведению i-ой единичной эпюры на суммарную единичную эпюру, то коэффициенты этой строки вычислены верно:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Универсальная проверка выполняется для одновременной проверки всех коэффициентов системы канонических уравнений. Если сумма всех коэффициентов системы канонических уравнений равна произведению суммарной единичной эпюры на саму себя, то все коэффициенты системы канонических уравнений вычислены верно.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Постолбцовая проверка используется для проверки коэффициентов одного столбца системы канонических уравнений. Если сумма всех грузовых коэффициентов равна произведению суммарной единичной эпюры на грузовую эпюру, то грузовые коэффициенты вычислены верно.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

6) Полученная система уравнений решается матричным способом и определяются неизвестные усилия Xi.

7) Строятся эпюры изгибающих моментов от каждого найденного усилия Xi. Для этого ординаты построенных ранее единичных эпюр умножаются на найденные соответствующие величины Xi.

8) Строится итоговая эпюра изгибающих моментов (М). Для этого ординаты построенных эпюр изгибающих моментов от каждого найденного усилия Xi складываются с ординатами грузовой эпюры (Мp).

9) На базе эпюры М строится эпюра поперечных сил (Q).

10) Методом вырезания узлов из эпюры поперечных сил строится эпюра продольных сил (N).

11) Проверка правильности построения эпюр М, Q , N :

– статическая проверка состоит в проверке выполнения условий равновесия (уравнения статики), т.е.:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

– деформационная проверка – в результате умножения окончательной эпюры изгибающих моментов М на любую из единичных эпюр должен получаться нуль.

Видео:Коэффициенты и свободные члены канонических уравнений метода силСкачать

Коэффициенты и свободные члены канонических уравнений метода сил

Метод сил — расчет статически неопределимых рам

При решении задач сопромата, статически неопределимой называется такая система, которая не может быть рассчитана при помощи одних только уравнений статики, так как имеет лишние связи. Для расчета таких систем составляются дополнительные уравнения, учитывающие деформации системы.

Оговоримся, что здесь и далее понятие “расчет” подразумевает только построение эпюр внутренних силовых факторов, возникающих в элементах системы, а не расчет на прочность, жесткость и т.д.

Статически неопределимые системы обладают рядом характерных особенностей:

1. Статически неопределимые конструкции являются более жесткими, чем соответствующие статически определимые, так как имеют дополнительные связи.
2. В статически неопределимых системах возникают меньшие внутренние усилия, что определяет их экономичность по сравнению со статически определимыми системами при одинаковых внешних нагрузках.
3. Нарушение лишних связей в статически неопределимой системе не всегда приводит к разрушению, в то время как потеря связи в статически определимой системе делает ее геометрически изменяемой.
4. Для расчета статически неопределимых систем необходимо предварительно задаваться геометрическими характеристиками поперечных сечений элементов, т.е. фактически их формой и размерами, так как их изменение приводит к изменению усилий в связях и новому распределению усилий во всех элементах системы.
5. При расчете статически неопределимых систем необходимо заранее выбрать материал конструкции, так как необходимо знать его модули упругости.
6. В статически неопределимых системах температурное воздействие, осадка опор, неточности изготовления и монтажа вызывают появление дополнительных усилий.

Основными методами расчетастатически неопределимых систем являются:

1. Метод сил. Здесь в качестве неизвестных рассматриваются усилия – силы и моменты.
2.Метод перемещений. Неизвестными являются деформационные факторы – углы поворотов и линейные смещения.
3.Смешанный метод. Здесь часть неизвестных представляет собой усилия, а другая часть – перемещения.
4. Комбинированный метод. Используется при расчете симметричных систем на несимметричные нагрузки. Оказывается, что на симметричную составляющую заданной нагрузки систему целесообразно рассчитывать методом перемещений, а на обратносимметричную составляющую – методом сил.
Помимо указанных аналитичеких методов при расчете особо сложных систем используются различные численные методы.

Видео:Метод сил на примере двух рам. Строительная механикаСкачать

Метод сил на примере двух рам. Строительная механика

Канонические уравнения метода сил

Для получения дополнительных уравнений, о которых говорилось в предыдущем параграфе, нужно прежде всего превратить заданную, n раз статически неопределимую систему, в статически определимую, удалив из нее лишние связи. Полученная статически определимая система называется основной. Отметим, что преобразование заданной системы в статически определимую не является обязательным. Иногда используется модификация метода сил, в которой основная система может быть статически неопределимой, однако изложение этого вопроса выходит за рамки этого пособия. Устранение каких-либо связей не изменяет внутренние усилия и деформации системы, если к ней приложить дополнительные силы и моменты, представляющие собой реакции отброшенных связей. Значит, если к основной системе приложить заданную нагрузку и реакции удаленных связей, то основная и заданная системы станут эквивалентными.

В заданной системе по направлениям имеющихся жестких связей, в том числе и тех связей, которые отброшены при переходе к основной системе, перемещений быть не может, поэтому и в основной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны равняться нулю. А для этого реакции отброшенных связей должны иметь строго определенные значения.

Условие равенства нулю перемещения по направлению любой i-ой связи из n отброшенных на основании принципа независимости действия сил имеет вид:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

где первый индекс означает направление перемещения и номер отброшенной связи, а второй указывает на причину, вызвавшую перемещение, т.е. Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил— это перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией k-ой связи; Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил— перемещение по направлению i-ой связи, вызванное одновременным действием всей внешней нагрузки.

В методе сил реакцию k-ой связи принято обозначать через Xk. С учетом этого обозначения и в силу справедливости закона Гука перемещения Проверка коэффициентов канонических уравнений метода силможно представить в виде:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

где Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил— единичное (или удельное) перемещение по направлению i-ой связи, вызванное реакцией Проверка коэффициентов канонических уравнений метода силт.е. реакцией, совпадающей по направлению с Xk, но равной единице.

Подставляя (2) в (1), получим:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Физический смысл уравнения (3): перемещение в основной системе по направлению i-ой отброшенной связи равно нулю.

Записывая выражения, аналогичные (3), для всей совокупности отброшенных связей, получим систему канонических уравнений метода сил:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Вид уравнения (4), т.е. количество слагаемых в каждом из них и их общее число, определяется только степенью статической неопределимости системы и не зависит от ее конкретных особенностей.

Коэффициенты системы канонических уравнений (4) определяются методом Мора-Верещагина путем перемножения соответствующих эпюр. Все эти коэффициенты, как указывалось выше, представляют собой перемещения; коэффициенты, стоящие при неизвестных – единичные перемещения, а свободные члены – грузовые. Единичные перемещения делятся на главные, расположенные по главной диагонали и имеющие одинаковые индексы Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сили побочные (Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил). Главные перемещения всегда положительные, в отличие от побочных. Симметрично расположенные перемещения в соответствии с теоремой о взаимности перемещений равны друг другу, т.е. Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил.

Видео:ОСМП часть первая (от задания до проверок коэффициентов)Скачать

ОСМП часть первая (от задания до проверок коэффициентов)

Алгоритм расчета методом сил

Независимо от особенностей рассматриваемой конструкции, можно выделить следующую последовательность расчета статически неопределимых систем методом сил:

1. Определить степень статической неопределимости.
2. Выбрать основную систему.
3. Сформировать эквивалентную систему.
4. Записать систему канонических уравнений.
5. Построить единичные и грузовые эпюры внутренних силовых факторов, возникающих в элементах рассматриваемой конструкции.
6. Вычислить коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений.
7. Построить суммарную единичную эпюру.
8. Выполнить универсальную проверку коэффициентов при неизвестных и свободных членов.
9. Решить систему (4), т.е. определить реакции лишних связей.
10. Построить эпюры возникающих внутренних силовых факторов для заданной системы (иначе говоря, окончательные эпюры).
11. Выполнить статическую и кинематическую проверки.
Отметим, что пункты 7, 8, 11 приведенного алгоритма не являются безусловно необходимыми, хотя и позволяют контролировать правильность выполнения расчета. А для систем с одной лишней связью пункты 7 и 8 просто лишены смысла, так как в этом случае суммарная единичная эпюра совпадает с единичной.
Остановимся подробнее на некоторых из вышеперечисленных этапов расчета.

Видео:25. Статически неопределимая балка. Метод сил ( практический курс по сопромату )Скачать

25. Статически неопределимая балка. Метод сил ( практический курс по сопромату )

Выбор основной системы

Это важнейший этап расчета, так как рациональный выбор основной системы существенно упрощает вычислительную работу. Рассмотрим возможные способы удаления лишних связей, что и определяет вид основной системы.

1. Отбрасывание лишних связей осуществляется полным удалением некоторых опор или их заменой опорами с меньшим числом связей. Реакции, действующие в направлениях отброшенных связей, являются лишними неизвестными. На рис.1,б, в, г показаны различные варианты эквивалентной системы, полученные этим способом для рамы (рис.1,а).

2.Постановка шарниров в промежуточных сечениях стержней позволяет в каждом таком сечении установить связь, соответствующую изгибающему моменту. Эти моменты являются лишними неизвестными. Для рамы, имеющей степень статической неопределимости n=3 (рис.2,а), при выборе основной системы необходимо поставить три шарнира. Положение этих шарниров может быть произвольным, но удовлетворяющим требованию геометрической неизменяемости системы (рис.2,б).

3. Рассечение стержня устраняет три связи, соответствующие внутренним усилиям M, Q, N (рис.2,в). В частных случаях (рис.2,г) рассечение стержня по шарниру освобождает две связи (рис.2,д), а рассечение прямолинейного стержня с шарнирами по концам – одну связь (рис.2,е).

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Среди связей статически неопределимой системы различают абсолютно необходимые и условно необходимые. К абсолютно необходимым относятся связи, при удалении которых система становится геометрически изменяемой. Для абсолютно необходимой связи характерна статическая определимость усилия в ней, т.е. реакция такой связи может быть вычислена из условия равновесия. При выборе основной системы абсолютно необходимые связи отбрасывать нельзя.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Связи, при удалении которых система продолжает оставаться геометрически неизменяемой, называются условно необходимыми. Система, у которой удалили такую связь, может являться основной системой метода сил.

Видео:Коэффициенты и свободные члены канонических уравнений метода перемещенийСкачать

Коэффициенты и свободные члены канонических уравнений метода перемещений

Вычисление коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

Этому этапу расчета предшествует построение единичных и грузовых эпюр внутренних силовых факторов (для балок и рам – эпюр изгибающих моментов). Единичные эпюры строятся от действия безразмерной единичной силы или безразмерного единичного момента, совпадающих по направлению с направлением соответствующей лишней неизвестной в эквивалентной системе, и обозначаются через Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил, а единичная эпюра – через Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил.

Грузовая эпюра строится от внешней нагрузки, приложенной к основной системе. При этом можно строить одну эпюру от одновременного действия всех внешних нагрузок или несколько эпюр, отдельно от каждой из приложенных нагрузок. Такое разбиение одной грузовой эпюры на несколько более простых, как правило, целесообразно только тогда, когда среди действующих нагрузок есть равномерно распределенная, и эпюра моментов на соответствующем участке под ней является знакопеременной. При этом в каждом каноническом уравнении число свободных членов будет равно числу построенных грузовых эпюр.

Единичные и грузовые перемещения (коэффициенты и свободные члены канонических уравнений) в общем случае можно вычислить методом Мора. Для балок и рам это можно сделать при помощи правила Верещагина.

Видео:РГЗ "Расчет рамы методом перемещений" Вычисление коэффициентов канонических уравненийСкачать

РГЗ "Расчет рамы методом перемещений" Вычисление коэффициентов канонических уравнений

Универсальная проверка коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

Для выполнения универсальной проверки необходимо построить суммарную единичную эпюру Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил— эпюру моментов от одновременного действия всех единичных сил, приложенных к основной системе:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Перемножим суммарную единичную эпюру с эпюрой Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Таким образом результат перемножения суммарной и i-ой единичной эпюр — это перемещение по направлению i-ой связи от совместного действия единичных лишних неизвестных. Это перемещение равно сумме коэффициентов i-го канонического уравнения:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Такая проверка называется построчной и выполняется для каждого канонического уравнения.
Вместо n построчных проверок чаще всего выполняется одна – универсальная поверка, которая состоит в перемножении суммарной единичной эпюры самой на себя и проверке условия:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Если универсальная проверка выполняется, значит единичные перемещения вычислены правильно; если нет – необходимо выполнить построчные проверки, что позволит уточнить перемещение, при вычислении которого допущена ошибка.

Для выполнения проверки грузовых перемещений необходимо перемножить суммарную единичную и грузовую эпюры изгибающих моментов:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Таким образом, проверка свободных членов системы канонических уравнений (4) состоит в выполнении условия:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Видео:Метод сил. Расчет рамы. Урок четвертый: построение окончательных эпюр.Скачать

Метод сил. Расчет рамы. Урок четвертый: построение окончательных эпюр.

Построение окончательных эпюр внутренних силовых факторов

Окончательные эпюры можно построить двумя способами.

Так как при найденных значениях лишних неизвестных Xi выполняются условия совместности деформаций, то из расчета основной системы можно получить все искомые внутренние усилия заданной системы. На основании принципа независимости действия сил для изгибающих моментов получим:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

или, учитывая, что

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

приходим к выражению:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Аналогично определяется продольные и поперечные силы:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Второй способ основан на том, что в результате вычисления реакций лишних связей Xi исходная статически неопределимая система приведена к статически определимой системе, загруженной внешними нагрузками и реакциями лишних связей. Поэтому окончательные эпюры внутренних силовых факторов можно построить для эквивалентной системы, вычислив предварительно (и то не всегда) из условий равновесия опорные реакции последней.

Недостатком первого способа является то обстоятельство, что для его реализации необходимо дополнительно построить эпюры Qi, Ni (i=1, 2, …,n), Qf, Nf, которые не используются в расчете методом сил и поэтому не были построены ранее.

В связи с этим для построения окончательных эпюр более рациональным представляется второй способ, а условие (8) можно использовать в качестве дополнительной проверки.

Видео:Расчет рамы методом силСкачать

Расчет рамы методом сил

Проверка окончательной эпюры изгибающих моментов

Эта проверка выполняется в двух вариантах: статическая и кинематическая.

При статической проверке, выполняемой обычно для рам, вырезаются узлы и записываются условия их равновесия под действием узловых сосредоточенных моментов и изгибающих моментов на концах стержней. Эта проверка является вспомогательной и выполняется автоматически при правильных эпюрах изгибающих моментов в основной системе и при выполнении кинематической проверки.

Статическая проверка эпюр Q и N состоит в том, что для любой отсеченной части рамы сумма проекций на две оси всех действующих сил – внешних нагрузок и внутренних усилий – должна быть равна нулю.

Основной проверкой окончательной эпюры моментов в методе сил является кинематическая проверка, которая может быть построчной или универсальной.
При построчной проверке каждая единичная эпюра моментов Проверка коэффициентов канонических уравнений метода силперемножается с окончательной эпюрой моментов М:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Таким образом, в результате перемножения каждой единичной эпюры с окончательной эпюрой моментов получим ноль:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Вариантом построчной проверки является проверка по замкнутомуконтуру, состоящая в том, что сумма приведенных (т.е. деленных на жесткость соответствующего стержня или его участка) площадь эпюры М, находящихся внутри каждого замкнутого бесшарнирного контура, должна быть равна сумме приведенных площадей, находящихся снаружи этого контура.

Суммируя выражения типа (11) для всех n, получим выражение, служащее для универсальной кинематической проверки окончательной эпюры изгибающих моментов:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Формулу (12) можно интерпретировать следующим образом: условное перемещение эквивалентной, или, что то же самое, заданной системы по направлению всех неизвестных от действия всех неизвестных и внешних нагрузок, равно нулю.

Видео:С.М. Задача №5.9 Статически неопределимая рама методом силСкачать

С.М. Задача №5.9 Статически неопределимая рама методом сил

Определение перемещений в статически неопределимых системах

Для определения перемещения в статически неопределимой системе используется тождественность заданной и эквивалентной систем в том смысле, что если условия совместности деформаций выполняются, т.е. справедливы уравнения (4), то перемещения в эквивалентной системе соответствуют перемещениям заданной системы. Тогда, построив для основной системы эпюру изгибающих моментов Проверка коэффициентов канонических уравнений метода силот единичной силы (или единичного момента) приложенной в направлении искомого перемещения, величину перемещения находим по формуле:

где М – эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки, построенная для статически неопределимой системы.

Отметим, что при вычислении перемещения Проверка коэффициентов канонических уравнений метода силможно поступить и наоборот: единичную эпюру моментов Проверка коэффициентов канонических уравнений метода силпостроить в статически неопределимой заданной системе, а эпюру моментов от внешних нагрузок М – в основной (статически определимой) системе.

Пример расчета

Построить эпюры продольных, поперечных сил и изгибающих моментов для плоской рамы (рис.3,а).

Степень статической неопределимости рамы:

n = r — s = 4 — 3 = 1

Выбираем основную систему, отбрасывая на правой опоре горизонтальный стержень (рис.3,б), т.е. заменяем шарнирно-неподвижною опору на шарнирно-подвижную. На базе основной системы формируем эквивалентную систему (рис.3,в).

Заменяя реакцию лишней связи соответствующей единичной силой, (рис. 3,г) строим эпюру моментов M1 (рис.3,д).

Грузовая эпюра моментов Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил(рис.3,ж), построенная от одновременного действия всех внешних нагрузок (рис.3,е), является знакопеременной на участке, где действует нагрузка q. Это создает определенные трудности (хотя и не непреодолимые!) при ее перемножении с единичной эпюрой M1. В связи с этим целесообразно построить две грузовых эпюры – отдельно от нагрузки q (эпюра Mq) и от совместного действия F и M (эпюра MF). Эти варианты нагружения и эпюры представлены на рис.3,з и рис.3,а,б,в.

При таком разбиении внешней нагрузки каноническое уравнение метода сил содержит два грузовых перемещения и имеет вид:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Вычислим коэффициенты канонического уравнения:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Реакция лишних связи:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Эпюры Nz, Qy, Mx для заданной системы, загруженной нагрузками F, M, q и X1 (рис.3,г) представлены на рис.3,д,е,ж.

Как уже говорилось, при построении эпюр Nz и Q в рамах ординаты можно откладывать в любую сторону, но обязательно указывать знаки; а при построении эпюр Mx знаки можно не указывать, но обязательно откладывать ординаты со стороны сжатых волокон соответствующих элементов.

В рассмотренном примере универсальная проверка правильности вычисления коэффициентов канонического уравнения и свободных членов не выполнялась, так как рама имеет степень статической неопределимости n = 1, а, значит, суммарная единичная эпюра Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил(если ее построить) совпадет с единичной эпюрой M1. В этом случае можно (и желательно!) проверить правильность выполнения расчета при помощи универсальной кинематической проверки окончательной эпюры моментов Mx.

Выполним эту проверку для рамы, рассмотренной в последнем примере (рис.3,а). Должно выполняться условие:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Покажем отдельно фрагменты перемножаемых эпюр (рис.3,д и рис.4,ж) для ригеля (рис.5,а,б) и стойки (рис.5,в,г) с указанением всех характерных размеров и соответствующих им ординат. Причем стойка (на рис.5,в,г) показана в горизонтальном положении.

Точка пересечения кривой на ригеле эпюры Mx с осью (рис.5,б) определяется следующим образом. Обозначим координату произвольного сечения, отсчитываемую от правого конца ригеля, через z, тогда момент Mx определяется в виде:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

откуда z = 3,77 м (второй корень этого уравнения лишен физического смысла).

Видео:Определение коэффициента вязкости жидкости. Проверка закона СтоксаСкачать

Определение коэффициента вязкости жидкости. Проверка закона Стокса

ПроСопромат.ру

Видео:Метод сил Симметричные системыСкачать

Метод сил  Симметричные системы

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Видео:Рама. Смешанный методСкачать

Рама. Смешанный метод

Архив рубрики: Задачи на метод сил

Видео:Метод неопределенных коэффициентов. 10 класс.Скачать

Метод неопределенных коэффициентов. 10 класс.

Расчет статически неопределимой рамы по методу сил

Задача. Для статически неопределимой рамы построить эпюры М, Q, N методом сил и выполнить проверки.Задано соотношение I2=2I1

Заданная система. Жесткость у стержней рамы разная. Примем I1 =I, тогда I2=2I.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

1.Определим степень статической неопределимости заданной системы по формуле:

Система 2 раза статически неопределима, и для её решения потребуется два дополнительных уравнения.

Это канонические уравнения метода сил:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

2.Освободим заданную систему от «лишних» связей и получим основную систему. За «лишние» связи в данной задаче примем опору А и опору С.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Теперь основную систему следует преобразовать в систему, эквивалентную (равнозначную) заданной.

Для этого загрузим основную систему заданной нагрузкой, действия «лишних» связей заменим их неизвестными реакциями Х1 и Х2 и вместе с системой канонических уравнений (1) данная система будет эквивалентна заданной.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

3.По направлению предполагаемой реакции отброшенных опор к основной системе поочередно прикладываем единичные силы Х1=1 и Х2=1 и строим эпюры Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Теперь основную систему загрузим заданной нагрузкой и построим грузовую эпюру МF.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

М2= —q·4·2 = -16кНм (сжатые волокна внизу)

М3= —q·8·4 = -64кНм (сжатые волокна внизу)

М4= —q·8·4 = -64кНм (сжатые волокна справа)

4.Определяем коэффициенты и свободные члены канонического уравнения по формуле Симпсона перемножением эпюр (обращаем внимание на разные жесткости участков).

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Подставляем в каноническое уравнение, сокращаем на ЕI.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Поделим первое и второе уравнения на сомножители при Х1, а затем из одного уравнения вычтем второе. Найдем неизвестные.

  1. Строим окончательную эпюру моментов по формуле:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Сначала строим эпюры Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Тогда эпюра Мок

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Проверки окончательной эпюры моментов (Мок).

1.Статическая проверка – методом вырезания жестких узлов рамы – они должны находиться в равновесии.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Узел находится в равновесии.

2. Деформационная проверка.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

где МS – суммарная эпюра единичных моментов, для её построения одновременно к основной системе прикладываем Х1=1 и Х2=1.

Физический смысл деформационной проверки – перемещения по направлению всех отброшенных связей от действия неизвестных реакций и всей внешней нагрузки должны быть равны 0.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Выполняем деформационную проверку по ступеням:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

  1. Построение Эп Q поЭп Мок.

Эп Q строим по формуле:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Если на участке нет равномерно-распределенной нагрузки, то применяем формулу:

где Мпр – момент правый,

Млев – момент левый,

— длина участка.

Разобьем Эп Мок на участки:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

IV участок (с равномерно-распределенной нагрузкой).

Зарисуем IV участок отдельно как балку и нанесем моменты.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

z меняется от 0 до

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода силСтроим ЭпQ:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Вырезаем узлы рамы, показываем поперечные силы с эпюры Q и уравновешиваем узлы продольными силами.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Строим Эп N.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

  1. Общая статическая проверка рамы. На заданной схеме рамы показываем значения опорных реакций с построенных эпюр и проверяем по уравнениям статики.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Все проверки сошлись. Задача решена.

Видео:Метод сил Эпюры внутренних усилийСкачать

Метод сил  Эпюры внутренних усилий

Расчет плоской статически неопределимой рамы методом сил

Для статически неопределимой рамы требуется построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил, проверить правильность построения эпюр. Дано: L=8 м, F=4кН, q=2 кН/м, h=8 м, соотношение жесткостей I1=2I, I2=I

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

1. Определяем степень статической неопределимости: n = R — Ш – 3 = 5 – 0 – 3 = 2, где R – число всех неизвестных реакций, Ш – число простых соединительных шарниров, в данной схеме их нет. Рама получилась дважды статически неопределима.

2. Выбираем основную систему путем отбрасывания лишних связей Проверка коэффициентов канонических уравнений метода силОсновная система

3. Зарисовываем эквивалентную систему: к основной системе прикладываем всю внешнюю нагрузку и вместо отброшенных связей их неизвестные реакции Х1, Х2

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода силЭквивалентная система

4. Составляем канонические уравнения:

5. Строим единичные эпюры: к основной системе прикладываем сначала Х1=1, затем Х2=1. Эпюры моментов построим на растянутых волокнах.

а) Построение эпюры М1

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

б) Построение эпюры М2

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

6. Строим грузовую эпюру моментов. К основной системе прикладываем всю заданную внешнюю нагрузку

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

7. Определяем коэффициенты канонических уравнений по формуле Симпсона:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

8. Проверяем коэффициенты канонических уравнений.

Для этого строим суммарную единичную эпюру : к основной системе прикладываем одновременно Х1=1 и Х2=1. Эпюра Ms = M1 + M2Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

а) Первая проверка заключается в равенстве: Ms ∙ Ms = ∑δij

При умножении суммарной единичной эпюры саму на себя мы должны получить сумму единичных коэффициентов канонических уравнений

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода силверно

б) Вторая проверка заключается в равенстве: Ms ∙ MF = ∑ΔiF

Умножая суммарную единичную эпюру на грузовую, мы должны получить сумму грузовых коэффициентов

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода силверно

Все проверки выполняются, значит, коэффициенты определены верно.

9. Решаем систему канонических уравнений:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

10. Строим окончательную эпюру моментов Мок по формуле:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

11. Проверки окончательной эпюры моментов М­ОК:

а) Статическая проверка: заключается в проверке равновесия вырезанных узлов. Вырезается узел, пунктирной линией показываются растянутые волокна, прикладываются узловые моменты со стороны растянутых волокон и проверяется равновесие вырезанного узла

Выполним статическую проверку вырезанием узлов

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Узды находятся в равновесии

б) Деформационная проверка: заключается в определении перемещений по направлению отброшенных связей. Эти перемещения должны быть равны нулю. Ошибка может составлять не более 5%. Для выполнения этой проверки умножим окончательную эпюру моментов на суммарную эпюру единичных моментов.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Ошибка составляет: Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

12. По эпюре МОК строим эпюру поперечных сил Q с использованием формулы: Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил, где М пр и М лев – моменты с эпюры Мок, соответственно с правой и с левой стороны участка . Моменты берутся со своими знаками, l— длина участка, q — распределенная нагрузка на участке. Если нагрузки на участке нет, и эпюра моментов представляет собой прямую линию, то в формуле полагаем q=0.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

13. По эпюре Q строим эпюру продольных сил N : вырезаем узел, к узлу прикладываем неизвестные продольные силы в положительном направлении (от узла — растяжение), затем известные поперечные силы с эпюры Q со своим знаком (+ по часовой стрелке) и рассматриваем равновесие данного узла.

Вырезаем узел 1

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Вырезаем узел 2

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

14. Общая статическая проверка: зарисовывается исходная рама, в опорах показываются все реакции (их числовые значения необходимо брать с построенных эпюр M, Q, N с учетом знаков), заданная нагрузка и проверяется равновесие рамы в целом

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Составляем уравнения равновесия:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Все проверки выполняются.

Видео:Задача 4. Статически неопределимые рамыСкачать

Задача 4.   Статически неопределимые рамы

Расчет статически неопределимой рамы (метод сил) с подбором сечения

Построить эпюры внутренних усилий М, Q, N и подобрать размеры поперечного сечения в виде двутавра из условия прочности по нормальным напряжениям для рамы, если дано F=80 кН, М=30кНм, q=60кН/м, h=2м, а=1,6м, EIx=const, σadm=160МПа.

Итак, заданная система:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Найдем степень статической неопределимости системы:

n = R — Ш – 3 = 5 – 0 – 3 = 2, где Rчисло всех неизвестных реакций, Шчисло простых соединительных шарниров, в данной схеме их нет; 3 — количество уравнений статики. Рама получилась дважды статически неопределима ( две «лишние» связи и требуется два дополнительных канонических уравнений метода сил).

Выбираем основную систему путем отбрасывания лишних связей:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Зарисовываем эквивалентную систему: к основной системе прикладываем всю внешнюю нагрузку и вместо отброшенных связей неизвестные реакции Х1, Х2 .

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Запишем систему канонических уравнений для выбранной эквивалентной системы:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Построим эпюру изгибающих моментов MF для основной системы от действия заданных нагрузок, предварительно определив реакции и значения внутренних усилий в характерных сечениях. Определяем опорные реакции:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Так как НК и VK получились со знаком минус, меняем их направление действия на схеме.

Определяем значения изгибающих моментов в характерных сечениях силовых участков.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Построим эпюру изгибающих моментов MF . Строим эпюру на сжатых волокнах.

Проверка равновесия узлов:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Построим единичные эпюры изгибающих моментов Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил для основной системы от действия соответственно Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

При действии Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил :

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Сначала определим опорные реакции:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Определим изгибающие моменты на силовых участках:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Строим эпюру.

При действии Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил :

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Опорные реакции:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Определим изгибающие моменты на силовых участках:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Строим эпюру.

Строим суммарную эпюру изгибающих моментов от действия единичных усилий:Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Определим коэффициенты канонических уравнений метода сил перемножением эпюр по формуле Симпсона

:Проверка коэффициентов канонических уравнений метода силПроверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Итак, приступим к расчету:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Выполним проверку правильности вычисления единичных коэффициентов:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Проверка верна.

Определим грузовые коэффициенты:Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Выполним проверку правильности вычисления грузовых коэффициентов:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Проверка верна.

Решаем систему канонических уравнений:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Построим эпюры изгибающих моментов для основной системы от действия неизвестных усилий, для этого умножим единичные эпюры моментов на найденные значения X:Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Построим окончательную эпюру изгибающих моментов для заданной системы путём сложения составляющих Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Выполним деформационную проверку правильности построения эпюры М — произведение окончательной и суммарной единичной эпюр должно быть равно нулю (разница не более 5%).

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Проверка верна.

Построим эпюры поперечных и продольных сил, используя зависимость Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил , где Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил, и рассматривая уравнения равновесия для вырезанных узлов.

Поперечная сила на силовых участках:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Строим эпюру Q

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Определяем продольную силу. Из рассмотрения равновесия узлов D и С следует:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Строим эпюру N

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Подбираем размеры поперечного сечения из условия прочности:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Согласно сортаменту прокатной стали выбираем двутавр №27, у которого Wx= 371см 3 .

Перенапряжение составляет

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Перенапряжение меньше 5% ,что допустимо.

Видео:Расчет статически неопределимой рамы методом силСкачать

Расчет статически неопределимой рамы методом сил

Расчет статически неопределимой рамы по методу сил

Рассчитать статически неопределимую раму методом сил. Для рамы построить эпюры Mок,Q, N со всеми проверками.

Зададимся соотношением моментов инерции. Пусть первый I1=I , тогда второй I2=2 I

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

1) определим степень статической неопределимости системы:

λ=Соп-3=5-3=2

где Соп – число опорных реакций

3 – число уравнений статики

то есть, система дважды статически неопределима. т.е. для ее решения требуются два дополнительных уравнения. Это будут канонические уравнения метода сил.

Тогда система канонических уравнений будет:

2) построим основную систему, отбросив некоторое число опор, суммарное количество реакций которых должно соответствовать значению статической неопределимости (т.е. в нашем случае – 2 реакции). Отбросим опоры В и С. Действие опор заменим двумя неизвестными силами — X1 , X2.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

2) загружаем основную систему заданной нагрузкой, определяем реакции опор и строим эпюру изгибающих моментов — грузовую эпюру.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Построим грузовую эпюру моментов (все значения откладываются на сжатых волокнах):

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Посчитаем так же момент в середине действия распределённой нагрузки

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

3) По направлению предполагаемых реакций отброшенных опор к основной системе поочерёдно прикладываем единичные силы х1=1 и х2=1, строим единичные эпюры М1 и М2

Построим эпюру M1 от действия x1=1.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Сначала определим опорные реакции

Проверка ∑Y=0 RA— RD= 0 верно

Теперь определим моменты в характерных точках

MF лев =RA2=22=4 (сжатые волокна сверху). Строим эпюру M1

Построим эпюру M2 от действия x2=1.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Сначала определим опорные реакции

Проверка ∑Y=0 RA— RD= 0 верно

Моменты в характерных точках

MF лев =RA2=12=2 (сжатые волокна сверху)

4) определяем коэффициенты канонических уравнений перемножением эпюр по формуле Симпсона. Следует помнить о соотношении жесткостей стержней.Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Знак минус перед слагаемыми в грузовых коэффициентах ставим потому, что эпюры на грузовой и единичной эпюрах расположены по разные стороны стержней.

5) подставляем значения перемещений в канонические уравнения, сокращаем на EI, находим значения x1 и x2 :

17,33X1 +12X2 -333 ,32 =0

Поделим первое и второе уравнения на сомножители при X2 (первое делим на 17,33, второе на 12). Получим:

Вычтем из первого уравнения второе. Тогда получим:

6) Умножаем единичные эпюры на найденные значения X1 , X2.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

При построении эпюры M2x2 следует обратить внимание на то, что значение x2 — отрицательное.

7) строим окончательную эпюру моментов, складывая эпюры:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

MF л = 93,6 — 12,8 -100 = — 19,2 кНм (сжатые волокна внизу)

MF пр = -40 кНм (сжатые волокна внизу)

MF низ = 93,6 -12,80 – 60 = 20, 8 кНм (сжатые волокна справа)

ME= 46,8 – 12,8 – 40 = -6 кНм (сжатые волокна слева)

Посчитаем так же момент в середине действия распределённой нагрузки

Mср= 70,2 – 12,8 – 55 = 2,4 кНм (сжатые волокна справа)

8) Произведем проверки окончательной эпюры М

Статическая проверка (методом вырезания узлов рамы — они должны находиться в равновесии):

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода силверно

Деформационная проверка: заключается в определении перемещений по направлению отброшенных связей. Эти перемещения должны быть равны нулю. Ошибка может составлять не более 5%.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Эпюра Ms = M1 + M2 Это суммарная единичная эпюра: к основной системе прикладываем одновременно Х 1 =1 и Х 2 =1.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Сначала проверим коэффициенты канонических уравнений.

1 проверка.

Первая проверка заключается в равенстве: Ms ∙ Ms = ∑δij

Произведение суммарной эпюры саму на себя должно равняться сумме единичных коэффициентов.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода силверно

Вторая проверка заключается в равенстве: Ms ∙ MF = ∑ΔiF

Произведение суммарной эпюры на грузовую эпюру должно равняться сумме грузовых коэффициентов.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Все проверки выполняются, значит, коэффициенты определены верно.

И наконец, третья, деформационная проверка.Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Ошибка составляет: Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил, что допустимо.

9) построим эпюру поперечной силы Q по Мок:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

где М пр и М лев – моменты с эпюры Мок, соответственно с правой и с левой стороны участка. Моменты берутся со своими знаками, l— длина участка, q — распределенная нагрузка на участке. Если нагрузки на участке нет, и эпюра моментов представляет собой прямую линию, то в формуле полагаем q=0.

QAF=(-19,2 — 0)/2= -9,6 кН

QFB=(0 – (-40))/2=20 кН

На участке EF приложена распределённая нагрузка. Рассмотрим этот участок отдельно.Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Мправ = -20,8 , Млев = 6

Значение поперечной силы в точке E:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Значение в точке F найдём:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Строим эпюру Q

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

10) Построение эпюры N по Q методом вырезания узлов

Вырезаем узел, к узлу прикладываем известные поперечные силы с эпюры Q с соответствующим знаком (+ по часовой стрелке), неизвестные продольные силы, и рассматриваем равновесие данного узла. Знаки у продольных сил — от узла — растяжение.

Рассмотрим узел Е

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

∑х = 0, — 3 -3,4 + N = 0 N = 6,4 (растяжение)

Рассмотрим узел F

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

∑х = 0, — N1 + 23,4 = 0

N1 = 23,4 кН (сжатие –к узлу)

∑у = 0 , N2 – 9,6 – 20= 0

N 2 = 29,6 кН (сжатие –к узлу)

Строим эпюру N

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

11) Общая статическая проверка: зарисовывается исходная рама, в опорах показываются все реакции (их числовые значения необходимо брать с построенных эпюр M, Q, N с учетом знаков), и проверяется равновесие рамы в целом

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Все проверки выполняются.

Задачи на расчет статически неопределимых балок и рам. Метод сил

Задача 1. Расчет неразрезной балки. Неразрезная балка загружена нагрузкой. Построить эпюру моментов.

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

  1. Степень статической неопределимости балки:

  1. Основную систему выбираем удалением одной внутренней моментной связи из сечения над промежуточной опорой. Следовательно, в качестве «лишней» неизвестной в таком случае принимаем величину изгибающего момента (Х1) в этой удаленной связи.
  2. К основной системе, состоящей из двух простых балок, прикладываем в качестве внешних сил: всю заданную нагрузку (M и q), а так же и лишнюю неизвестную силу Х1. Получается эквивалентная система.
  3. Строим в основной системе:- эпюру от действия только Х1=1,эпюру МF от действия только заданной нагрузки (M и q).
  4. Вычисляем коэффициенты канонического уравненияПроверка коэффициентов канонических уравнений метода сил
  5. Решая каноническое уравнение, находим значение Х1:Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил
  6. Умножаем ординаты эпюры на Х1.
  7. Суммируем эпюры и МFи получаем окончательную эпюру моментов.

Задача 2 Расчет статически неопределимой рамы

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

1) Степень статической неопределимости n = R — Ш – 3 = 6-1-3=2.

2) Выбор основной системы и эквивалентной системы.

Возможное количество ее вариантов бесконечно. Покажем только два из них. В первом варианте в качестве двух лишних неизвестных выберем внутренние усилия (Q и N) в среднем сечении ригеля. Удалив внутренний шарнир, то есть то место, где и возникают эти усилия, получаем основную систему:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Соответствующая эквивалентная система показана рядом. Здесь введены стандартные обозначения неизвестных: Х1вместо Q в шарнире и Х2 вместо N в шарнире.

Во втором варианте основной системы в качестве лишних неизвестных примем по одной реакции (реактивному моменту) в каждой из двух опор. Удалив соответствующие моментные связи из жестких заделок, имеем:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

3) Составляем систему канонических уравнений при n=2:

4) Строим в основной системе три эпюры моментов:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Все эпюры показаны на растянутых волокнах.

5) Вычисляем коэффициенты уравнений:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

6) Решаем уравнения:

Проверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

7) Строим окончательную эпюру суммированием эпюр Проверка коэффициентов канонических уравнений метода силПроверка коэффициентов канонических уравнений метода сил

Поделиться или сохранить к себе: