Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Электронная библиотека

Пример 1. Проверить удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция z = f(x,y).

Решение. Находим частные производные первого и второго порядка:

Подставляем полученные значения производных в левую часть исходного уравнения:

В правой части уравнения имеем:

Сравнивая полученные результаты, видим, что данная функция удовлетворяет исходному уравнению.

Пример 2. Вычислить приближенно данные выражения, заменив приращения соответствующих функций их полными дифференциалами. Оценить в процентах возникающую при этом относительную погрешность вычислений.

Решение. а) Рассмотрим функцию

Значение этой функции в точке известно и равно

Вычислим приближенно значение функции по формуле:

Видео:21. Частные производные второго порядка. Часть 4.Скачать

21. Частные производные второго порядка. Часть 4.

Задача Коши онлайн

Данная задача возникает при поиске частного решения дифференциального уравнения. Наш онлайн калькулятор, построенные на основе системы Wolfram Alpha, позволяет найти решение задачи Коши для различных типов дифференциальных уравнений. Чтобы начать работу, необходимо ввести данные своей задачи (дифференциальное уравнение и начальные условия) в калькулятор.

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения:

при заданных начальных условиях:

При постановке задачи Коши, указываются так называемые начальные условия, позволяющие однозначно выделить искомое частное решение из общего. Эти условия включают в себя значения функции и всех её производных до включительно (где -порядок дифференциального уравнения), заданные в одной и той же точке .

Поясним вышесказанное на конкретном примере. Пусть нам требуется найти частное решение дифференциального уравнения:

удовлетворяющее начальным условиям:

Первым делом, используя различные методы (Бернули, вариации произвольной постоянной Лагранжа), сначала находим общее решение данного дифференциального уравнения:

Теперь, для поиска частного решения, нам необходимо использовать заданные начальные условия. Для этого, находим производную функции полученной ранее:

Далее, поставляем начальные условия в функцию и её производную :

Решая полученную систему уравнений получаем значения произвольных постоянных и :

Подставляем полученные результаты в общее решение дифференциального уравнения, в результате получаем искомое частное решение:

Видео:показать, что функция удовлетворяет соотношениюСкачать

показать, что функция удовлетворяет соотношению

Другие полезные разделы:

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Оставить свой комментарий:

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

Видео:11. Уравнения в полных дифференциалахСкачать

11. Уравнения в полных дифференциалах

Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами

Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Видео:Дифференциальные уравнения, 6 урок, Уравнения в полных дифференциалахСкачать

Дифференциальные уравнения, 6 урок, Уравнения в полных дифференциалах

Алгоритм решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x , как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х) , с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.

Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.

Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).

Видео:ЧАПЛЫГА: ЗАПАД ВЕДЁТ УКРАИНУ К ПОРАЖЕНИЮ? УПРАВА НА ОРБАНА, КОНЕЦ БЕСОГОНА, КЛИНЦЫ ПЫЛАЮТСкачать

ЧАПЛЫГА: ЗАПАД ВЕДЁТ УКРАИНУ К ПОРАЖЕНИЮ? УПРАВА НА ОРБАНА, КОНЕЦ БЕСОГОНА, КЛИНЦЫ ПЫЛАЮТ

Примеры решения дифференциальных уравнений

Задание

Решить дифференциальное уравнение xy’=y.

Решение

В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

переписываем дифференциальное уравнение, получаем

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей по правилу пропорции получаем

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Далее интегрируем полученное уравнение:

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

В данном случае интегралы берём из таблицы:

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Решение

Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.

Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Если – это константа, то

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению0]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» />

– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.

Получаем общее решение:

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Ответ

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Решение

В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.

Далее упрощаем общий интеграл:

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.

Ответ

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.

Решение

Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.

Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Получаем общее решение:

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Решение

При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

В данном случае константу C считается не обязательным определять под логарифм.

Ответ

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.

Решение

Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

можно выразить функцию в явном виде.

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверка

Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.

Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Подставим полученное частное решение

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

и найденную производную в исходное уравнение

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Задание

Найти общий интеграл уравнения

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Ответ

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Задание

Найти частное решение ДУ.

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Решение

Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Подставляем в общее решение

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Ответ

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Левую часть интегрируем по частям:

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

В интеграле правой части проведем замену:

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Ответ

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных.

Разделяем переменные и интегрируем:

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Проверить удовлетворяет ли данному уравнению

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

🎬 Видео

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятия

Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?

Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.Скачать

Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.

Показательные уравнения — что это такое и как решатьСкачать

Показательные уравнения — что это такое и как решать

100 тренировочных задач #40. Решите уравнение: x¹⁰⁰=333lgx+6,67Скачать

100 тренировочных задач #40. Решите уравнение: x¹⁰⁰=333lgx+6,67

#Дифуры I. Урок 3. Однородные дифференциальные уравненияСкачать

#Дифуры I. Урок 3. Однородные дифференциальные уравнения

Решаем задачу Коши | УрЧП первого порядка | Дифференциальные уравнения | КАК РЕШАТЬ?Скачать

Решаем задачу Коши | УрЧП первого порядка | Дифференциальные уравнения | КАК РЕШАТЬ?

Решение иррационального уравнения. ПримерСкачать

Решение иррационального уравнения. Пример

#Дифуры I. Урок 5. Линейные дифференциальные уравнения. Метод БернуллиСкачать

#Дифуры I. Урок 5. Линейные дифференциальные уравнения. Метод Бернулли

Показательные уравнения. 11 класс.Скачать

Показательные уравнения. 11 класс.

Общие методы решения уравнений | Алгебра 11 класс #26 | ИнфоурокСкачать

Общие методы решения уравнений | Алгебра 11 класс #26 | Инфоурок

СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные Уравнения

Система линейных уравнений с двумя переменными. Определение. Как проверить ответ системы. Алгебра 7.Скачать

Система линейных уравнений с двумя переменными. Определение. Как проверить ответ системы. Алгебра 7.

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.
Поделиться или сохранить к себе: