Пример 1. Проверить удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция z = f(x,y).
Решение. Находим частные производные первого и второго порядка:
Подставляем полученные значения производных в левую часть исходного уравнения:
В правой части уравнения имеем:
Сравнивая полученные результаты, видим, что данная функция удовлетворяет исходному уравнению.
Пример 2. Вычислить приближенно данные выражения, заменив приращения соответствующих функций их полными дифференциалами. Оценить в процентах возникающую при этом относительную погрешность вычислений.
Решение. а) Рассмотрим функцию
Значение этой функции в точке известно и равно
Вычислим приближенно значение функции по формуле:
Видео:21. Частные производные второго порядка. Часть 4.Скачать
Задача Коши онлайн
Данная задача возникает при поиске частного решения дифференциального уравнения. Наш онлайн калькулятор, построенные на основе системы Wolfram Alpha, позволяет найти решение задачи Коши для различных типов дифференциальных уравнений. Чтобы начать работу, необходимо ввести данные своей задачи (дифференциальное уравнение и начальные условия) в калькулятор.
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения:
при заданных начальных условиях:
При постановке задачи Коши, указываются так называемые начальные условия, позволяющие однозначно выделить искомое частное решение из общего. Эти условия включают в себя значения функции и всех её производных до включительно (где -порядок дифференциального уравнения), заданные в одной и той же точке .
Поясним вышесказанное на конкретном примере. Пусть нам требуется найти частное решение дифференциального уравнения:
удовлетворяющее начальным условиям:
Первым делом, используя различные методы (Бернули, вариации произвольной постоянной Лагранжа), сначала находим общее решение данного дифференциального уравнения:
Теперь, для поиска частного решения, нам необходимо использовать заданные начальные условия. Для этого, находим производную функции полученной ранее:
Далее, поставляем начальные условия в функцию и её производную :
Решая полученную систему уравнений получаем значения произвольных постоянных и :
Подставляем полученные результаты в общее решение дифференциального уравнения, в результате получаем искомое частное решение:
Видео:показать, что функция удовлетворяет соотношениюСкачать
Другие полезные разделы:
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать
Оставить свой комментарий:
Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме
Видео:Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать
Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами
Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.
Видео:11. Уравнения в полных дифференциалахСкачать
Алгоритм решения дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x , как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х) , с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.
Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.
Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.
Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).
Видео:ЧАПЛЫГА: ЗАПАД ВЕДЁТ УКРАИНУ К ПОРАЖЕНИЮ? УПРАВА НА ОРБАНА, КОНЕЦ БЕСОГОНА, КЛИНЦЫ ПЫЛАЮТСкачать
Примеры решения дифференциальных уравнений
Задание
Решить дифференциальное уравнение xy’=y.
Решение
В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь
переписываем дифференциальное уравнение, получаем
Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей по правилу пропорции получаем
Далее интегрируем полученное уравнение:
В данном случае интегралы берём из таблицы:
После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.
– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const
Ответ
Задание
Найти частное решение дифференциального уравнения
Решение
Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.
Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:
Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:
Если – это константа, то
0]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» />
– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:
– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.
Получаем общее решение:
Ответ
Задание
Решить дифференциальное уравнение
Решение
В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:
Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:
После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.
Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:
В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.
Далее упрощаем общий интеграл:
Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:
Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.
Ответ
Задание
Найти частное решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.
Решение
Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.
Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:
Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.
Получаем общее решение:
Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.
В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:
Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.
Ответ
Задание
Решить дифференциальное уравнение
Решение
При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:
В данном случае константу C считается не обязательным определять под логарифм.
Ответ
Задание
Найти частное решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.
Решение
Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:
Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:
можно выразить функцию в явном виде.
Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.
Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.
Ответ
Проверка
Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:
Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.
Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение
дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:
Подставим полученное частное решение
и найденную производную в исходное уравнение
Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.
Задание
Найти общий интеграл уравнения
Решение
Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
Ответ
Задание
Найти частное решение ДУ.
Решение
Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:
Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию
Подставляем в общее решение
Ответ
Задание
Решить дифференциальное уравнение
Решение
Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
Левую часть интегрируем по частям:
В интеграле правой части проведем замену:
(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)
Ответ
Задание
Решить дифференциальное уравнение
Решение
Данное уравнение допускает разделение переменных.
Разделяем переменные и интегрируем:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
📺 Видео
Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать
Дифференциальные уравнения, 6 урок, Уравнения в полных дифференциалахСкачать
Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.Скачать
Показательные уравнения — что это такое и как решатьСкачать
100 тренировочных задач #40. Решите уравнение: x¹⁰⁰=333lgx+6,67Скачать
#Дифуры I. Урок 3. Однородные дифференциальные уравненияСкачать
Решаем задачу Коши | УрЧП первого порядка | Дифференциальные уравнения | КАК РЕШАТЬ?Скачать
Решение иррационального уравнения. ПримерСкачать
#Дифуры I. Урок 5. Линейные дифференциальные уравнения. Метод БернуллиСкачать
Показательные уравнения. 11 класс.Скачать
СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать
Общие методы решения уравнений | Алгебра 11 класс #26 | ИнфоурокСкачать
Система линейных уравнений с двумя переменными. Определение. Как проверить ответ системы. Алгебра 7.Скачать
Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать
