Проверить лежит ли точка на прямой каноническое уравнение (3 видео)

Проверьте, лежит ли точка (x, y) на данной прямой

Учитывая значения m и c для уравнения прямой y = (m * x) + c , задача состоит в том, чтобы найти, лежит ли точка (x, y) на данной прямой.

Примеры:

Input: m = 3, c = 2, x = 1, y = 5
Output: Yes
m * x + c = 3 * 1 + 2 = 3 + 2 = 5 which is equal to y
Hence, the given point satisfies the line’s equation

Input: m = 5, c = 2, x = 2, y = 5
Output: No

Подход: чтобы заданная точка лежала на прямой, она должна удовлетворять уравнению прямой. Проверьте, верно ли y = (m * x) + c .

Ниже приведена реализация вышеуказанного подхода:

// C ++ реализация подхода
#include

using namespace std;

// Функция, которая возвращает true, если
// данная точка лежит на данной линии

bool pointIsOnLine( int m, int c, int x, int y)

// Если (x, y) удовлетворяет уравнению прямой

Содержание

Каноническое уравнение прямой на плоскости: теория, примеры, решение задач
Понятие канонического уравнения прямой
Канонические уравнения прямой на плоскости с a x или a y , равными нулю
Преобразование канонического уравнения прямой в другие виды уравнений
Как решать задачи на составление канонических уравнений
Как определить, лежат ли точки на одной прямой
Инструкция
Совет 2: Как проверить, что точки не лежат на одной прямой
Инструкция
Совет 3: Как провести прямую через две точки
Инструкция
Совет 4: Как подтвердить, что точка не лежит в плоскости треугольника
Инструкция
📸 Видео

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Каноническое уравнение прямой на плоскости: теория, примеры, решение задач

Прямую линию в прямоугольной системе координат можно задать с помощью канонического уравнения. В этой статье мы расскажем, что это такое, приведем примеры, рассмотрим связи канонических уравнений с другими типами уравнений для этой прямой. В последнем пункте мы разберем несколько задач на закрепление темы.

Видео:Как проверить лежат ли 4 точки в одной плоскости Аналитическая геометрияСкачать

Понятие канонического уравнения прямой

Допустим, что у нас есть декартова (прямоугольная) система координат, в которой задана прямая. Нам известны координаты произвольно взятой точки этой прямой M 1 ( x 1 , y 1 ) , а также ее направляющего вектора a → = ( a x , a y ) . Попробуем составить уравнение, которое описывало бы эту прямую.

Возьмем плавающую точку M ( x , y ) . Тогда вектор M 1 M → можно считать направляющим для исходной прямой. Его координаты будут равны x — x 1 , y — y 1 (если нужно, повторите материал о том, как правильно вычислять координаты вектора с помощью координат отдельных его точек).

Множество произвольно взятых точек M ( x , y ) будут определять нужную нам прямую с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) только в одном случае – если векторы M 1 M → и a → = ( a x , a y ) будут коллинеарны по отношению друг к другу. Посмотрите на картинку:

Таким образом, мы можем сформулировать необходимое и достаточное коллинеарности этих двух векторов:

M 1 M → = λ · a → , λ ∈ R

Если преобразовать полученное равенство в координатную форму, то мы получим:

x — x 1 = λ · a x y — y 1 = λ · a y

При условии, что a x ≠ 0 и a y ≠ 0 , получим:

x — x 1 = λ · a x y — y 1 = λ · a y ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y

Итог наших преобразований и будет каноническим уравнением прямой на плоскости. Запись вида x — x 1 a x = y — y 1 a y также называют уравнением прямой в каноническом виде.

Таким образом, с помощью уравнения x — x 1 a x = y — y 1 a y можно задать в прямоугольной системе координат на плоскости прямую, которая имеет направляющий вектор a → = ( a x , a y ) и проходит через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) .

Примером уравнения подобного типа является, например, x — 2 3 = y — 3 1 . Прямая, которая задана с его помощью, проходит через M 1 ( 2 , 3 ) и имеет направляющий вектор a → = 3 , 1 . Ее можно увидеть на рисунке:

Из определения канонического уравнения нужно сделать несколько важных выводов. Вот они:

1. Если прямая, имеющая направляющий вектор a → = ( a x , a y ) , проходит через две точки – M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) , то уравнение для нее может быть записано как в виде x — x 1 a x = y — y 1 a y , так и x — x 2 a x = y — y 2 a y .

2. Если заданная прямая имеет направляющий вектор с координатами a → = ( a x , a y ) , то множество всех ее векторов можно обозначить как μ · a → = ( μ · a x , μ · a y ) , μ ∈ R , μ ≠ 0 . Таким образом, любое уравнение прямой в каноническом виде x — x 1 μ · a x = y — y 1 μ · a y будет соответствовать этой прямой.

Разберем важный пример задачи на нахождение канонического уравнения.

В прямоугольной системе координат на плоскости задана прямая, которая проходит через точку M 1 ( 2 , — 4 ) и имеет направляющий вектор с координатами a → = ( 1 , — 3 ) . Запишите каноническое уравнение, описывающее данную прямую.

Решение

Для начала вспомним общий вид нужного нам канонического уравнения – x — x 1 a x = y — y 1 a y . Подставим в него имеющиеся значения x 1 = 2 , y 1 = — 4 , a x = 1 , a y = — 3 и подсчитаем:

x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ x — 2 1 = y — ( — 4 ) — 3 ⇔ x — 2 1 = y + 4 — 3

Получившееся в итоге равенство и будет нужным ответом.

Ответ: x — 2 1 = y + 4 — 3

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Канонические уравнения прямой на плоскости с a x или a y , равными нулю

Если значение хотя бы одной переменной a является нулевым, то уравнение плоскости используют в первоначальном виде. Сразу две переменные нулевыми не могут быть по определению, поскольку нулевой вектор не бывает направляющим. В таком случае мы можем считать запись x — x 1 a x = y — y 1 a y условной и понимать ее как равенство a y ( x — x 1 ) = a x ( y — y 1 ) .

Разберем случаи канонических уравнений на плоскости с одним нулевым a более подробно. Допустим, что x — x 1 0 = y — y 1 a y при a x = 0 , а исходная прямая будет проходить через M 1 ( x 1 , y 1 ) . В таком случае она является параллельной оси ординат (если x 1 = 0 , то она будет с ней совпадать). Докажем это утверждение.

Для этой прямой вектор a → = ( 0 , a y ) будет считаться направляющим. Этот вектор является коллинеарным по отношению к координатному вектору j → = ( 0 , 1 ) .

Если же нулевым является значение второго параметра, то есть a y = 0 , то мы получаем равенство вида x — x 1 a x = y — y 1 0 . Это уравнение описывает прямую, проходящую через M 1 ( x 1 , y 1 ) , которая расположена параллельно оси абсцисс. Это утверждение верно, поскольку a → = ( a x , 0 ) является для этой прямой направляющим вектором, а он в свою очередь является коллинеарным по отношению к координатному вектору i → = ( 1 , 0 ) .

Проиллюстрируем два частных случая канонического уравнения, описанные выше:

На плоскости задана прямая, параллельная оси O y . Известно, что она проходит через точку M 1 2 3 , — 1 7 . Запишите каноническое уравнение для нее.

Решение

Если прямая по отношению оси ординат является параллельной, то мы можем взять координатный вектор j → = ( 0 , 1 ) в качестве направляющего для нее. В таком случае искомое уравнение выглядит следующим образом:

x — 2 3 0 = y — — 1 7 1 ⇔ x — 2 3 0 = y + 1 7 1

Ответ: x — 2 3 0 = y + 1 7 1

На рисунке изображена прямая. Запишите ее каноническое уравнение.

Решение

Мы видим, что исходная прямая проходит параллельно оси O x через точку M 1 ( 0 , 3 ) . Мы берем координатный вектор i → = ( 1 , 0 ) в качестве направляющего. Теперь у нас есть все данные, чтобы записать нужное уравнение.

x — 0 1 = y — 3 0 ⇔ x 1 = y — 3 0

Ответ: x 1 = y — 3 0

Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

Преобразование канонического уравнения прямой в другие виды уравнений

Мы уже выяснили, что в прямоугольной системе координат на плоскости заданную прямую можно описать с помощью канонического уравнения. Оно удобно для решения многих задач, однако иногда лучше производить вычисления с помощью другого типа уравнений. Сейчас мы покажем, как преобразовать каноническое уравнение в другие виды, если это требуется по ходу решения.

Стандартной форме записи канонического уравнения x — x 1 a x = y — y 1 a y можно поставить в соответствие систему параметрических уравнений на плоскости x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ . Чтобы преобразовать один вид уравнения в другой, нам надо приравнять правую и левую часть исходного равенства к параметру λ . После этого надо выполнить разрешение получившихся равенств относительно переменных x и y :

x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y = λ ⇔ ⇔ x — x 1 a x = λ y — y 1 a y = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Покажем на примере, как именно выполняется это действие с конкретными числами.

У нас есть прямая, заданная на плоскости с помощью канонического уравнения x + 2 3 = y — 1 11 . Запишите параметрические уравнения исходной прямой.

Решение

Сначала поставим знак равенства между отдельными частями уравнения и переменной λ и получим x + 2 3 = λ y — 1 11 = λ .

Далее можно перейти к формулированию необходимых параметрических уравнений:

x + 2 3 = λ y — 1 11 = λ ⇔ x + 2 = 3 · λ y — 1 = 11 · λ ⇔ x = — 2 + 3 · λ y = 1 + 11 · λ

Ответ: x = — 2 + 3 · λ y = 1 + 11 · λ

Из канонического уравнения можно получить не только параметрические, но и общие уравнения прямой. Вспомним понятие пропорции: запись a b = c d можно представить в виде a · d = b · c с сохранением смысла. Значит, что x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y ( x — x 1 ) = a x ( y — y 1 ) ⇔ a y x — a x y — a y x 1 + a x y 1 = 0 .

Это и есть общее уравнение прямой. Это станет более очевидно, если мы добавим в него значения параметров a y = A , — a x = B , — a y x 1 + a x y 1 = C .

Прямая на плоскости описана с помощью канонического уравнения x — 1 2 = y + 4 0 . Вычислите общее уравнение этой прямой.

Решение

Делаем указанные выше действия по порядку.

x — 1 2 = y + 4 0 ⇔ 0 · ( x — 1 ) = 2 · ( y + 4 ) ⇔ y + 4 = 0

Ответ: y + 4 = 0 .

Также из канонического уравнения мы можем получить уравнение прямой в отрезках, прямой с угловым коэффициентом или нормальное уравнение прямой, но это действие выполняется в два шага: первым делом мы получаем общее уравнение прямой, а вторым – преобразуем его в уравнение указанного типа. Разберем пример такой задачи.

На плоскости задана прямая с помощью уравнения x + 3 3 = y — 2 2 . Запишите уравнение этой же прямой в отрезках.

Решение

Для начала преобразуем исходное каноническое уравнение в общее уравнение прямой.

x + 3 3 = y — 2 2 ⇔ 2 · ( x + 3 ) = 3 · ( y — 2 ) ⇔ 2 x — 3 y + 6 + 2 3 = 0

Далее переходим к формулировке уравнения прямой в отрезках.

2 x — 3 y + 6 + 2 3 = 0 ⇔ 2 x — 3 y = — 6 + 2 3 ⇔ ⇔ 2 — ( 6 + 2 3 ) x — 3 — ( 6 + 2 3 ) y = 1 ⇔ x — 6 + 2 3 2 + y 6 + 2 3 3 = 1 ⇔ x — 3 + 3 + y 3 3 + 2 = 1

Ответ: x — 3 + 3 + y 3 3 + 2 = 1

Достаточно легко решить и задачу, обратную этой, т.е. привести уравнение прямой на плоскости обратно к каноническому. Допустим, у нас есть общее уравнение прямой в стандартной формулировке – A x + B y + C = 0 . При условии A ≠ 0 мы можем перенести B y вправо с противоположным знаком. Получим A x + C = — B y . Теперь выносим A за скобки и преобразуем равенство так:

Получившееся уравнение мы записываем в виде пропорции: x + C A — B = y A .

У нас получилось нужное нам каноническое уравнение прямой на плоскости.

А как сделать преобразование, если B ≠ 0 ? Переносим все слагаемые, кроме A x , вправо с противоположными знаками. Получаем, что A x = — B y — C . Выносим — B за скобки:

Формируем пропорцию: x — B = y + C B A

Есть общее уравнение прямой x + 3 y — 1 = 0 . Перепишите его в каноническом виде.

Решение

Оставим с левой стороны только одну переменную x . Получим:

Теперь вынесем — 3 за скобки: x = — 3 y — 1 3 . Преобразуем равенство в пропорцию и получим необходимый ответ:

Ответ: x — 3 = y — 1 3 1

Таким же образом мы поступаем, если нам нужно привести к каноническому виду уравнение прямой в отрезках и уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Наиболее простая задача – переход от параметрических уравнений к каноническим. Нужно просто выразить параметр λ в системе уравнений x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ и приравнять обе части равенств. Схема решения выглядит так:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y

Если значение одного из параметров a будет нулевым, мы поступаем точно таким же образом.

Прямая на плоскости описана с помощью системы параметрических уравнений x = 3 + 0 · λ y = — 2 — 4 · λ . Запишите каноническое уравнение для этой прямой.

Решение

Для начала преобразуем исходные уравнения в систему x = 3 + 0 · λ y = — 2 — 4 · λ . Следующим шагом будет выражение параметра в каждом уравнении:

x = 3 + 0 · λ y = — 2 — 4 · λ ⇔ λ = x — 3 0 λ = y + 2 — 4

Ставим знак равенства между получившимися частями и получаем нужное нам каноническое уравнение: x — 3 0 = y + 2 — 4

Ответ: x — 3 0 = y + 2 — 4

Видео:Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Как решать задачи на составление канонических уравнений

В первую очередь канонические уравнения используются для тех задач, где нужно выяснить, принадлежит ли некоторая точка заданной прямой или нет. Вспомним, что в случае, если точка лежит на прямой, ее координаты будут удовлетворять уравнению этой прямой.

На плоскости задана прямая, каноническое уравнение которой имеет вид x — 1 2 = y + 1 2 — 3 . Выясните, лежат ли на ней точки M 1 3 , — 3 1 2 и M 2 ( 5 , — 4 ) .

Решение

Для проверки принадлежности необходимо подставить координаты точки в исходное уравнение и проверить, получим ли мы в итоге верное равенство.

3 — 1 2 = — 3 1 2 + 1 2 — 2 ⇔ 1 = 1

Результат говорит нам, что точка M 1 3 , — 3 1 2 принадлежит исходной прямой.

Точно так же поступим и с координатами второй точки:

5 — 1 2 = — 4 + 1 2 — 3 ⇔ 2 = 7 6

Получившееся в итоге равенство не является верным, значит, эта точка заданной прямой не принадлежит.

Ответ: первая точка лежит на заданной прямой, а вторая нет.

Есть две точки M 1 ( 2 , 4 ) и M 2 ( — 1 , 3 ) . Будет ли прямая, которая задана в той же плоскости с помощью уравнения x — 2 0 = y — 3 2 , проходить через них?

Решение

Вспомним, что запись x — 2 0 = y — 3 2 можно понимать как 2 · ( x — 2 ) = 0 · ( y — 3 ) ⇔ x — 2 = 0 . Подставим координаты заданных точек в это равенство и проверим.

Начнем с первой точки M 1 ( 2 , 4 ) : 2 — 2 = 0 ⇔ 0 = 0

Равенство верное, значит, эта точка расположена на заданной прямой.

Подставляем данные второй точки: — 1 — 2 = 0 ⇔ — 3 = 0 .

Равенство неверное, значит, точка M 2 ( — 1 , 3 ) не лежит на исходной прямой.

Ответ: через точку M 1 ( 2 , 4 ) прямая проходит, а через M 2 ( — 1 , 3 ) нет.

Далее мы посмотрим, какие еще типичные задачи на нахождение канонического уравнения можно встретить. Возьмем примеры с разными условиями.

Наиболее простыми являются задачи на нахождение канонического уравнения прямой на плоскости, в которых уже заданы координаты некой точки, лежащей на прямой. В первой части материала мы уже приводили пример решения такой задачи.

Чуть сложнее будет найти нужное уравнение, если нам предварительно нужно будет вычислить координаты направляющего вектора исходной прямой. Чаще всего встречаются задачи, в которой нужная прямая проходит через две точки с известными координатами.

Прямая на плоскости проходит через точку M 1 ( 0 , — 3 ) и через точку M 2 ( 2 , — 2 ) . Сформулируйте для этой прямой канонической уравнение.

Решение

Eсли у нас есть координаты двух точек, то мы можем вычислить по ним координаты вектора M 1 M 2 → = 2 , 1 . По отношению к прямой, чье уравнение мы составляем, он будет направляющим вектором. После этого мы можем записать следующее:

x — 0 2 = y — ( — 3 ) 1 ⇔ x 2 = y + 3 1

Также можно использовать координаты второй точки. Тогда мы получим: x — 2 2 = y — ( — 2 ) 1 ⇔ x — 2 2 = y + 2 1

Ответ: x 2 = y + 3 1

Посмотрим, как нужно составлять канонические уравнения прямой на плоскости в том случае, если направляющий вектор этой прямой нужно вычислять исходя из параллельных или перпендикулярных ей прямых.

Известно, что точка M 1 ( 1 , 3 ) принадлежит некоторой прямой, которая параллельна второй прямой, заданной с помощью уравнения x 2 = y — 5 . Запишите каноническое уравнение первой прямой.

Решение

Для первой прямой можно определить направляющий вектор a → = 2 , — 5 . Его можно рассматривать и в качестве направляющего для второй прямой, что следует из самого определения направляющих векторов. Это позволяет нам получить всю информацию, нужную для записи искомого уравнения: x — 1 2 = y — 3 — 5

Ответ: x — 1 2 = y — 3 — 5

Через точку M 1 ( — 1 , 6 ) проходит прямая, которая является перпендикулярной другой прямой, определенной на плоскости с помощью уравнения 2 x — 4 y — 7 = 0 . Запишите каноническое уравнение первой прямой.

Решение

Из данного уравнения мы можем взять координаты нормального вектора второй прямой – 2 , 4 . Мы знаем, что этот вектор является направляющим по отношению к первой. Тогда мы можем записать искомое уравнение:

x — ( — 1 ) 2 = y — 6 4 ⇔ x + 1 1 = y — 6 2

Видео:Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Как определить, лежат ли точки на одной прямой

Если вам даны две точки , то вы можете отважно заявить, что они лежат на одной прямой , потому что через всякие две точки дозволено провести прямую. Но как же узнать, лежат ли все точки на прямой , если точек три, четыре либо огромнее? Подтвердить принадлежность точек одной прямой дозволено несколькими методами.

Вам понадобится

Точки, заданные координатами.

Инструкция

1. Если вам даны точки с координатами (х1, у1, z1), (х2, у2, z2), (х3, у3, z3), обнаружьте уравнение прямой , применяя координаты всяких 2-х точек, скажем, первой и 2-й. Для этого подставьте соответствующие значения в уравнение прямой : (х-х1)/(х2-х1)=(у-у1)/(у2-у1)=(z-z1)/(z2-z1). Если один из знаменателей равен нулю, примитивно приравняйте к нулю числитель.

2. Обнаружить уравнение прямой , зная две точки с координатами (х1, у1), (х2, у2), еще проще. Для этого подставьте значения в формулу (х-х1)/(х2-х1)=(у-у1)/(у2-у1).

3. Получив уравнение прямой , проходящей через две точки , подставьте значения координат третьей точки в него взамен переменных х и у. Если равенство получилось правильное, значит все три точки лежат на одной прямой . Верно так же можете проверять принадлежность этой прямой других точек.

4. Проверьте принадлежность всех точек прямой , проверив равенство тангенсов углов наклона соединяющих их отрезков. Для этого проверьте, будет ли правильным равенство (х2-х1)/(х3-х1)=(у2-у1)/(у3-у1)=(z2-z1)/(z3-z1). Если один из знаменателей равен нулю, то для принадлежности всех точек одной прямой должно выполняться условие х2-х1=х3-х1, у2-у1=у3-у1, z2-z1=z3-z1.

5. Еще один метод проверить принадлежность 3 точек прямой – посчитайте площадь треугольника, тот, что они образуют. Если все точки лежат на прямой , то его площадь будет равна нулю. Подставьте значения координат в формулу: S=1/2((х1-х3)(у2-у3)-(х2-х3)(у1-у3)). Если позже всех вычислений вы получили нуль – значит, три точки лежат на одной прямой .

6. Дабы обнаружить решение задачи графическим методом, постройте координатные плоскости и обнаружьте точки по указанным координатам. После этого проведите прямую через две из них и продолжите до третьей точки , посмотрите, пройдет ли она через нее. Учтите, данный метод подходит только для точек, заданных на плоскости с координатами (х, у), если же точка задана в пространстве и имеет координаты (х, у, z), то такой метод неприменим.

Видео:Видеоурок "Канонические уравнения прямой"Скачать

Совет 2: Как проверить, что точки не лежат на одной прямой

На основании аксиомы, описывающей свойства прямой : какова бы ни была прямая, есть точки , принадлежащие и не принадлежащие ей. Следственно абсолютно разумно, что не все точки будут лежать на одной прямой линии.

Вам понадобится

Инструкция

1. Проверить принадлежность точки той либо другой прямой достаточно легко. Используйте для этого уравнение прямой . Выходит, представим, что прямая проходит через точки А(x1,y1) и В(x2,y2). Дана точка К(x,y): необходимо проверить ее принадлежность прямой . Уравнение линии по двум точкам имеет дальнейший вид: (x – x1) * (y2 – y1) – (x2 – x1) * (y – y1) = 0.

2. Подставьте значение координат точки К в уравнение. Если (x – x1) * (y2 – y1) – (x2 – x1) * (y – y1) окажется огромнее нуля, то точка К расположена правее либо ниже прямой , проведенной по точкам А и В.

3. В том случае, если (x – x1) * (y2 – y1) – (x2 – x1) * (y – y1) будет поменьше нуля, точка К располагается выше либо левее линии. Другими словами, только в том случае, если уравнение вида (x – x1) * (y2 – y1) – (x2 – x1) * (y – y1) = 0 объективно, точки А, В и К будут расположены на одной прямой .

4. В остальных случаях лишь две точки (А и В), которые, по условию задания, лежат на прямой , будут ей принадлежать: через третью точку (точку К) прямая проходить не будет.

5. Разглядите 2-й вариант определения принадлежности точки примой: на данный раз надобно проверить принадлежит ли точка С(x,y) отрезку с концевыми точками В(x1,y1) и А(x2,y2), тот, что является частью прямой z.

6. Точки рассматриваемого отрезка опишите уравнением pOB+(1-p)OА=z, при условии, что 0?p?1. ОВ и ОА являются векторами. Если есть такое число p, которое огромнее либо равно 0, но поменьше либо равно 1, то pOB+(1-p)OА=С, а значит, точка С будет лежать на отрезке АВ. В отвратном случае, данная точка не будет принадлежать этому отрезку.

7. Распишите равенство pOB+(1-p)OА=С покоординатно: px1+(1-p)x2=x и py1+(1-p)y2=y.

8. Обнаружьте из первого уравнения число р и подставьте его значение во второе равенство. Если равенство будет соответствовать условиям 0?p?1, то точка С принадлежит отрезку АВ.

9. Постройте точки по заданным координатам и проведите через них прямую. Это дозволит увидеть точки , лежащие на одной прямой , и те точки , что не принадлежат ей.

Обратите внимание!
Удостоверитесь в правильности расчетов!

Полезный совет
Дабы обнаружить k – угловой показатель прямой, надобно (y2 – y1)/(x2 – x1).

Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Совет 3: Как провести прямую через две точки

Построение прямых — основа технического черчения. Теперь это все почаще делается с поддержкой графических редакторов, которые предоставляют проектировщику крупные вероятности. Впрочем некоторые тезисы построения остаются теми же, что и в классическом черчении – с подмогой карандаша и линейки.

Вам понадобится

– лист бумаги;
– карандаш;
– линейка;
– компьютер с программой AutoCAD.

Инструкция

1. Начните с классического построения. Определите плоскость, в которой вы будете строить прямую. Пускай это будет плоскость листа бумаги. В зависимости от условий задачи расположите точки. Они могут быть произвольными, но не исключено, что задана какая-то система координат. Произвольные точки поставьте там, где вам огромнее понравится. Обозначьте их как А и В. С поддержкой линейки объедините их. Согласно аксиоме, через две точки неизменно дозволено провести прямую, притом только одну.

2. Начертите систему координат. Пускай вам даны координаты точки А (х1; у1). Дабы их обнаружить, нужно отложить по оси х надобное число и провести через подмеченную точку прямую, параллельную оси у. После этого отложите величину, равную у1, по соответствующей оси. Из подмеченной точки проведите перпендикуляр до его пересечения с первым. Место их пересечения и будет точкой А. Таким же образом обнаружьте точку В, координаты которой дозволено обозначить как (х2; у2). Объедините обе точки прямой.

3. В программе AutoCAD прямую дозволено возвести несколькими методами. Функция «по двум точкам» обыкновенно установлена по умолчании. Обнаружьте в верхнем меню вкладку «Основная». Вы увидите перед собой панель «Рисование». Обнаружьте кнопку с изображением прямой линии и нажмите на нее.

4. Прямую по двум точкам в этой программе дозволено возвести двумя методами. Поставьте курсор в надобную точку на экране и щелкните левой кнопкой мыши. После этого определите вторую точку, протяните туда линию и тоже щелкните мышкой.

5. AutoCAD разрешает также задать координаты обеих точек. Наберите в находящейся внизу командной строке (_xline). Нажмите Enter. Введите координаты первой точки и тоже нажмите на ввод. Верно также определите и вторую точку. Ее дозволено указать и щелчком мыши, поставив курсор в необходимую точку экрана.

6. В AutoCAD дозволено возвести прямую не только по двум точкам, но и по углу наклона. В контекстном меню «Рисование» выберите прямую, а после этого опцию «Угол». Начальную точку дозволено поставить щелчком мыши либо по координатам, как и в предыдущем методе. После этого задайте размер угла и нажмите на ввод. По умолчании прямая расположится под необходимым углом к горизонтали.

Видео по теме

Видео:Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Совет 4: Как подтвердить, что точка не лежит в плоскости треугольника

Подтвердить, что точка не лежит в плоскости треугольника, дозволено легкой проверкой всех допустимых обстановок, тем больше что их не много. Не следует только забывать, что дозволено придти и к событию противоположному, то есть случаю, когда точка является внутренней для заданного треугольника.

Инструкция

1. Раньше чем искать решение поставленной задачи, читателю следует самому принять решение о принадлежности сторон треугольника. Считать их точки внешними для треугольника либо нет. На данной стадии считаем, что это область замкнутая, а следственно она включает свои границы. Для простоты разглядите «плоский случай», но не забывайте и о пространственном обобщении. Следственно типовые уравнения для прямых плоскости вида y=kx+b, применять не следует, по весьма мере в начале решения.

2. Выберите метод задания для сторон треугольника. Судя по постановке задачи, это не имеет твердого значения. Следственно считайте, что даны координаты его вершин A(xa, ya), B(xb, yb), C(xc, yc) (см. рис. 1.). Обнаружьте направляющие векторы сторон треугольника AB=, BC=, AC= и запишите канонические уравнения прямых, содержащих эти стороны. Для AB – (x-xa)/(xb-xa)=(y-ya)/(yb-ya). Для BС – (x-xb)/(xc-xb)=(y-yb)/(yc-ya). Для AС – (x-xa)/(xc-xa)=(y-ya)/(yc-ya). В соответствии с рисунком проведите горизонтальные и вертикальные линии, которые дозволено записать как x=xc, x= xa, x=xb, y=yc, y=ya, y=yb. Это дозволит до минимума сократить число вычислений. Дальше следуйте предложенному алгорифму. На рисунке заданная точка М(xo,yo) помещена в самом «неблагополучном» месте.

3. Следуя по оси 0х, проверьте выполнение неравенства xc?xo?хb. Если оно не исполнено, то точка теснее лежит вне пределов треугольника, потому что «не внутри» – это и есть «снаружи». Если же неравенство исполнено, то дальше проверьте честность xc

4. Проверьте выполнение неравенства уc?уo?уа. Если оно не объективно, то точка не лежит внутри треугольника. В отвратном случае обнаружьте ординату прямой, содержащей АB. у1=y(xo)=[(yb-ya)(xo-xa)]/(xb-xa)+ya. Также поступите с ординатой прямой для BC. у2=у(хо)=[(yс-yb)(xo-xb)]/(xc-xb)+yc. Составьте неравенство y2?yo?y1. Его выполнение разрешает сделать завершение о том, что заданная точка находится внутри треугольника. Если же это неравенство ложно, то она лежит вне его пределов, в частности в соответствии с рисунком.