Теперь, когда вы научились находить производные и интегралы, самое время перейти к более сложной теме: решению дифференциальных уравнений (они же дифуры, диффуры и диф.уры :)), то есть уравнений, которые вместе с самой функцией (и/или аргументом), содержат и производную или даже несколько.
Как же решать дифференциальные уравнения? Главное, что понадобится, это а) умение правильно определить тип дифференциального уравнения и б) умение хорошо интегрировать — это существенная часть работы. А дальше следовать алгоримам для каждого из типов уравнений, которые подробно описаны в учебниках и ниже в примерах.
В этом разделе вы найдете решенные задачи на составление и решение дифференциальных уравнений. Примеры решений дифуров выложены бесплатно для вашего удобства и отсортированы по темам — изучайте, ищите похожие, решайте свои. Есть трудности в выполнении заданий? Мы готовы оказать помощь по дифференциальным уравнениям
- Как решить дифференциальное уравнение онлайн?
- Общий интеграл, семейство кривых
- Решения дифференциальных уравнений 1 порядка
- Решение задачи Коши для ДУ
- Решения дифференциальных уравнений 2 порядка
- Cоставление дифференциальных уравнений
- Решения нелинейных дифференциальных уравнений
- Урок по теме «Составление дифференциальных уравнений»
- III. Задачи на составление дифференциальных уравнений
- 📺 Видео
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать
Как решить дифференциальное уравнение онлайн?
Да ладно, неужели только вручную? Мучиться, определять тип, переносить, интегрировать, заменять, снова интегрировать, подставлять, выводить? Наверняка ведь есть онлайн-калькуляторы, которые позволяют решать дифференциальные уравнения?
У меня две новости, хорошая и плохая. Хорошая в том, что действительно самые распространенные типы дифференциальных уравнений математические программы умеют решать. Плохая в том, что обычно они выводят ответ (для научных расчетов этого достаточно), а не полное решение.
Есть известный математический сервис www.wolframalpha.com, которые представляет полные решения множества математических задач, в том числе диффуров онлайн (на английском языке) за 7 долларов в месяц. Ответы же доступны всем и могут помочь проверять правильность своего решения (см. ниже на скриншоте обведено само уравнение и его решение). Подробнее об этом сайте и типичных задачах, решаемых на нем, вы можете узнать тут.
Если вы забьете в поисковик что-то вроде «решить дифференциальное уравнение онлайн», то получите десятки ссылок на сайты, обещающие именно это.
Я проверила все сайты с первых страниц Яндекса и Гугла. Большая часть сайтов использует результаты расчетов www.wolframalpha.com (см. выше) и показывает вам ответ (и рекламу :)). Некоторые при этом не показывают даже ответа или говорят, что уравнение введено некорректно (хотя это вполне стандартное решаемое вручную линейное уравнение с постоянными коэффициентами). Полное решение не выдал ни один сайт.
Выводы? Бесплатно и полно и онлайн — не бывает. Хотите получать полные решения — используйте платную подписку на ВольфрамАльфа (или проконсультируйтесь у нас). Хотите ответы — там же бесплатно. Хотите научиться решать? Придется засучить рукава. Примеры на этой странице и ссылки внизу помогут вам. Удачи!
Видео:Задача на составление Дифференциального уравненияСкачать
Общий интеграл, семейство кривых
Задача 1. Показать, что функция $y^2-x^2-Cy=0$ является общим интегралом дифференциального уравнения $y'(x^2+y^2)-2xy=0.$
Задача 2. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых $C_1 x+(y-C_2)^2=0.$
Видео:Решение физических задач с помощью дифференциальных уравненийСкачать
Решения дифференциальных уравнений 1 порядка
Задача 3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка $ xy’+x^2+xy-y=0.$
Задача 4. Решить однородное дифференциальное уравнение $y’=-y/x quad (x ne 0).$
Задача 5. Решить дифференциальное уравнение $(y^4-2x^3y)dx+(x^4-2xy^3)dy=0.$
Задача 6. Решить однородное дифференциальное уравнение $(2x+y+1)dx+(x+2y-1)dy=0.$
Задача 7. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка $y’-2xy=3x^2-2x^4.$
Задача 8. Решить дифференциальное уравнение $(x+y^2)y’=y-1.$
Видео:Решение простейших дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.Скачать
Решение задачи Коши для ДУ
Задача 9. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $(1+x^2)dy-2xydx=0.$ Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию $y(0)=1$.
Задача 10. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка $2y y» +1 =(y’)^2, , y(1/3)=1, , y'(1/3)=2$.
Задача 11. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения $$ y’= frac, y(1)=1. $$
Задача 12. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения третьего порядка $$ y»’=x+cos x, quad y(0)=0, y'(0)=0, y»(0)=0. $$
Видео:Задачи приводящие к дифференциальным уравнениям.Скачать
Решения дифференциальных уравнений 2 порядка
Задача 13. Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами $y»+4y’+4y=xe^.$
Задача 14. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации: $$ y»-3y’=frac<9e^><3+e^>, quad y(0)=4ln 4, y'(0)=3(3ln 4-1). $$
Видео:Дифференциальные уравнения: задача 3Скачать
Cоставление дифференциальных уравнений
Задача 15. Скорость остывания нагретого тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. За 10 минут тело охладилось от 100 до 60 градусов. Температура среды постоянна и равна 20 градусам. Когда тело остынет до 25 градусов?
Задача 16. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 5 м/сек. На полном ходу ее мотор выключается и через 40 сек после этого скорость лодки уменьшается до 2 м/сек. Определить скорость лодки через 2 минуты после остановки мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.
Видео:ФП1. Решение текстовых задач на составление дифференциальных уравненийСкачать
Решения нелинейных дифференциальных уравнений
Задача 17. Решить дифференциальное уравнение $y^2 ^2 -2xyy’+2y^2-x^2=0.$
Задача 18. Решить дифференциальное уравнение $^2-4xyy’+8y^2=0.$
Видео:Задача на составление дифференциального уравненияСкачать
Урок по теме «Составление дифференциальных уравнений»
Разделы: Математика
Цель урока:
- Научить составлять дифференциальное уравнение некоторого явления. Закрепить навык решения дифференциального уравнения.
- Развивать мышление и речь учащихся.
1. Повторить:
а) Какое уравнение называется дифференциальным?
б) Что значит решить дифференциальное уравнение?
в) Что называется решением дифференциального уравнения?
г) Какие способы решения дифференциального уравнения вам известны?
2. а) N 21. (Виленкин Н.Я. “Алгебра и математический анализ” )
y=f(x) – функция, (x;y) – координаты точки касания.
Точка пересечения касательной с осью Оx:
Абсцисса точки пересечения касательной с осью Оу равна 0.
Так как точка (х;у)- середина отрезка, абсциссы концов которого
В комнате, где температура 20 0 С , некоторое тело остыло за 20 мин. от 100 0 до 60 0 С. Найдите закон охлаждения тела; через сколько минут оно остынет до 30 0 С?
Повышением температуры в комнате пренебречь.
Решение: В силу закона Ньютона (скорость охлаждения пропорциональна разности температур тела и охлаждающей среды) можем записать:
в) Криминалисты, прибыв на место преступление, обнаружили труп человека, температура тела которого была 27 0 . Через один час температура трупа стала 25 0 . Температура окружающего воздуха 16 0 . Считая, что в момент убийства человек имел температуру тела 37 0 , определите промежуток времени между моментом убийства человека и моментом обнаружения его тела.
г) Напишите уравнение кривой, проходящей через точку В(3;1), для которой отрезок касательной между точкой касания и осью Ох делится пополам в точке пересечения с осью Оу.
Видео:Дифференциальные уравнения: задача 2Скачать
III. Задачи на составление дифференциальных уравнений
Методика составления и решения прикладных задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений
Составление дифференциального уравнения по условию задачи (механической, физической, химической или технической) состоит в определении математической зависимости между переменными величинами и их приращениями.
В ряде случаев дифференциальное уравнение получается без рассмотрения приращений — за счет их предварительного учета. Например, представляя скорость выражением 
, мы не привлекаем приращений ∆s и ∆t, хотя они фактически учтены в силу того, что
.
Ускорение в какой-нибудь момент времени t выражается зависимостью:
.
При составлении дифференциальных уравнений приращения сразу же заменяются соответствующими дифференциалами. Изучение любого процесса сводится:
1) к определению его отдельных моментов;
2) к установлению общего закона его хода.
Отдельный момент процесса (т. н. элементарный процесс) выражается уравнением, связывающим переменные величины процесса с их дифференциалами или производными — дифференциальным уравнением; закон общего хода процесса выражается уравнением, связывающим переменные величины процесса, но уже без дифференциалов этих величии.
Исчерпывающих правил для составления дифференциальных уравнений нет. В большинстве случаев методика решения технических задач с применением теории обыкновенных дифференциальных уравнений сводится к следующему:
1.Подробный разбор условий задачи и составление чертежа, поясняющего ее суть.
2.Составление дифференциального уравнения рассматриваемого процесса.
3.Интегрирование составленного дифференциального уравнения и определение общего решения этого уравнения.
4.Определение частного решения задачи на основании данных начальных условий.
5.Определение, по мере необходимости, вспомогательных пара
метров (например, коэффициента пропорциональности и др.),
используя для этой цели дополнительные условия задачи.
6. Вывод общего закона рассматриваемого процесса и число
вое определение искомых величии.
7. Анализ ответа и проверка исходного положения задачи.
Некоторые из этих рекомендаций в зависимости от характера
задачи могут отсутствовать.
Как и при составлении алгебраических уравнений, при решении прикладных задач по дифференциальным уравнениям многое зависит от навыков, приобретаемых упражнением. Однако здесь еще в большей степени требуется изобретательность и глубокое понимание сути изучаемых процессов.
Рассмотрим процесс решения следующих задач:
Температура вынутого из печи хлеба в течение 20 мин. падает от 100 0 до 60 0 (рис. 3.1). Температура воздуха равна 25 0 . Через сколько времени от момента начала охлаждения температура хлеба понизится до 30 0 ?
Решение:
В силу закона Ньютона скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Это – процесс неравномерный. С изменением разности температур в течение процесса меняется также и скорость охлаждения тела. Дифференциальное уравнение охлаждения хлеба будет:
.
где Т – температура хлеба;
t – температура окружающего воздуха ( в нашем случае 25 0 );
k – коэффициент пропорциональности;
— скорость охлаждения хлеба.
Пусть 
— время охлаждения.
Тогда, разделяя переменные, получим:
,
или для условий данной задачи :
.
Потенцируя обе части последнего равенства, имеем:
,
. (1)
Произвольную постоянную С определяем, исходя из начального условия: при 
мин, Т=100 о .
или С=75.
Величину 
определяем, исходя из данного дополнительного условия: при 
мин, Т=60 о .
и 
.
Таким образом, уравнение охлаждения хлеба при условиях нашей задачи примет вид:
. (2)
Из уравнения (2) легко определяем искомое время при температуре хлеба Т=30 о :
, или
.
мин.
Итак, после 1 часа 11 мин. Хлеб охлаждается до температуры 30 о С.
Задача 3.2. Трубопровод тепловой магистрали (диаметр 20 см) защищен изоляцией толщиной 10 см; величина коэффициента теплопроводности k=1,00017. Температура трубы 160о; температура внешнего покрова 30о (рис.8). Найти распределение температуры внутри изоляции, а также количество теплоты, отдаваемого одним погонным метром трубы.
Решение. Если тело находится в стационарном тепловом состоянии и температура Т в каждой его точке есть функция только одной координаты х, то согласно закону теплопроводности Фурье количество теплоты, испускаемое в секунду:
, (1)
где F(x)- площадь сечения тела на расстоянии х,
k – коэффициент теплопроводности.
Здесь 
(2)
где l – длина трубы в см,
х – радиус трубопровода в см.
Таким образом, после разделения переменных дифференциальное уравнение примет вид:
(3)
Интегрируя обе части равенства (3), находим:
или 
(4)
Разделив почленно уравнения второе на первое, получим:
.
Отсюда закон распределения температуры внутри изоляции:
.
Из первого уравнения системы(4) при 
=100 см имеем:
Количество теплоты, отдаваемое в течение суток, равно
кал.
📺 Видео
Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать
Решение простейших дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.Скачать
Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать
Простейшие дифференциальные уравненияСкачать
Составить дифференциальные уравнения семейств линийСкачать
Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать
Составление дифференциального уравненияСкачать
7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать
Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать
13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать
