Производная в уравнении с косинусом (6 видео)

Производная косинуса: (cos x)′

Производная по переменной x от косинуса x равна минус синусу x:
( cos x )′ = – sin x .

Содержание

Доказательство
Примеры
Пример 1
Пример 2
Производные высших порядков
Производные тригонометрических функций
п.1. Производная синуса
п.2. Производная косинуса
п.3. Производная тангенса и котангенса
п.4. Примеры
Пошаговый калькулятор производных онлайн
🔍 Видео

Видео:Производная сложной функции. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Доказательство

Чтобы вывести формулу производной косинуса, воспользуемся определением производной:
.

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим законам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1) Тригонометрические формулы. Нам понадобится следующая формула:
(1) ;
2) Свойство непрерывности функции синус:
(2) ;
3) Значение первого замечательного предела:
(3) ;
4) Свойство предела от произведения двух функций:
Если и , то
(4) .

Применяем эти законы к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(1) ;
В нашем случае
; . Тогда
;
;
;
.

Сделаем подстановку . При , . Используем свойство непрерывности (2):
.

Сделаем такую же подстановку и применим первый замечательный предел (3):
.

Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):

Тем самым мы получили формулу производной косинуса.

Видео:Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Примеры

Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих косинус. Найдем производные от следующих функций:
y = cos 2x; y = cos 3x; y = cos nx; y = cos 2 x ; y = cos 3 x и y = cos n x .

Пример 1

Найти производные от cos 2x, cos 3x и cos nx.

Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = cos nx . Затем, в производную от cos nx , подставим n = 2 и n = 3 . И, тем самым, получим формулы для производных от cos 2x и cos 3x .

Итак, находим производную от функции
y = cos nx .
Представим эту функцию от переменной x как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1) Функции , зависящей от переменной : ;
2) Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция является сложной (составной) функцией, составленной из функций и :
.

Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Подставим :
(П1) .

Теперь, в формулу (П1) подставим и :
;
.

Пример 2

Найти производные от косинуса в квадрате, косинуса в кубе и косинуса в степени n:
y = cos 2 x ; y = cos 3 x ; y = cos n x .

В этом примере также функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от самой общей функции – косинуса в степени n:
y = cos n x .
Затем подставим n = 2 и n = 3 . И, тем самым, получим формулы для производных от косинуса в квадрате и косинуса в кубе.

Итак, нам нужно найти производную от функции
.
Перепишем ее в более понятном виде:
.
Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1) Функции , зависящей от переменной : ;
2) Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция является сложной функцией, составленной из двух функций и :
.

Находим производную от функции по переменной x:
.
Находим производную от функции по переменной :
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции.
.
Подставим :
(П2) .

Далее мы можем применить формулу для произведения синуса и косинуса:
.
Тогда
.

Видео:ПРОИЗВОДНЫЕ тригонометрических ФУНКЦИЙ тригонометрияСкачать

Производные высших порядков

Заметим, что производную от cos x первого порядка можно выразить через косинус следующим образом:
.

Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции:

.
Здесь .

Заметим, что дифференцирование cos x приводит к увеличению его аргумента на . Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5) .

Более строго эту формулу можно доказать с помощью метода математической индукции. Доказательство для n-й производной синуса изложено на странице “Производная синуса”. Для n-й производной косинуса доказательство точно такое. Нужно только во всех формулах заменить sin на cos.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 05-03-2017

Видео:Почему производная синуса равна косинусу?Скачать

Производные тригонометрических функций

п.1. Производная синуса

Например:
((x^2sinx)’=(x^2)’cdot sinx+x^2cdot (sinx)’=2xsinx+x^2cosx)

п.2. Производная косинуса

п.3. Производная тангенса и котангенса

п.4. Примеры

Пример 1. Найдите производную:
a) ( f(x)=2sinx-5x ) begin f'(x)=2cdot sin’x-5cdot x’=2cosx-5 end

в) ( f(x)=9cosx-3tgx ) begin f'(x)=9cdot cos’x-3cdot tg’x=-9sinx-frac end

Пример 2. Найдите значение производной в данной точке:
a) ( f(x)=sinx+cosx, x_0=fracpi 4 ) begin f'(x)=sin’x+cos’x=cosx-sinx\ f'(fracpi 4)=cosfracpi 4-sinfracpi 4=frac<sqrt>-frac<sqrt>=0 end

в) ( f(x)=sinxcosx, x_0=frac ) begin f'(x)=sin’xcosx+sinxcos’x=cos^2x-sin^2x=cos2x\ f’left(fracright)=cosleft(2cdotfracright)=cosfracpi 6=frac<sqrt> end

Пример 3. Решите уравнение:
a) ( y’cdot y+y^2=0), если (y=3cosx)
(y’=3cdot cos’x=-3sinx)
Подставляем: begin -3sinxcdot 3cosx+(3cosx)^2=0\ -9sincosx+9cos^2x=0\ 9cosx(cosx-sinx)=0 end Уравнение: begin left[ begin cosx=0\ cosx-sinx=0 |:cosx end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi 2+pi k\ 1-tgx=0 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi 2+pi k\ tgx=1 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi 2+pi k\ x=fracpi 4+pi k end right. end Ответ: (left)

б) ( (y’)^2+y^2=1), если (y=1-cosx)
(y’=1′-cos’x=0+sinx=sinx)
Подставляем: begin sin^2x+(1-cosx)^2=1\ sin^2x+1-2cosx+cos^2x=1\ 1-2cosx=0\ cosx=frac12\ x=pmfracpi 3+2pi k end Ответ: (left)

Видео:Математика Без Ху!ни. Производная сложной функции.Скачать