Производная от уравнения скорости по времени (4 видео)

Физический смысл производной в задании 6

Иногда в задаче 6 из ЕГЭ по математике вместо всеми любимых графиков функции или производной дается просто уравнение расстояния от точки до начала координат. Что делать в этом случае? Как по расстоянию найти скорость или ускорение.

На самом деле все просто. Скорость — это производная от расстояния, а ускорение — это производная скорости (или, что то же самое, вторая производная от расстояния). В этом коротком видео вы убедитесь, что такие задачи решаются ничуть не сложнее «классических» заданий 6.

Сегодня мы разберем две задачи на физический смысл производных из ЕГЭ по математике. Эти задания встречаются в части Bи существенно отличаются от тех, что большинство учеников привыкло видеть на пробниках и экзаменах. Все дело в том, что они требуют понимать физический смысл производной функции. В данных задачах речь пойдет о функциях, выражающих расстояния.

Если $S=xleft( t right)$, то $v$ мы можем посчитать следующим образом:

Точно так же мы можем посчитать и ускорение:

Эти три формулы – все, что вам потребуется для решения таких примеров на физический смысл производной. Просто запомните, что $v$ — это производная от расстояния, а ускорение — это производная от скорости.

Давайте посмотрим, как это работает при решении реальных задач.

Содержание

Пример № 1
Пример № 2
Ключевые моменты
Вульгаризмы в механике: о вредности термина «замедление»
1. Понятие производной от вектора по времени
2. Производная от вектора, постоянного по модулю
3. Скорость и ускорение
Заключение или откуда всё-таки берется знак
Применение производной в физике и технике
п.1. Скорость и ускорение
п.2. Физические величины как производные от других величин
п.3. Примеры
📸 Видео

Видео:Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Пример № 1

Материальная точка движется по закону:

где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите скорость точки (в м/с) в момент времени $t=2c$.

Это означает, что у нас есть функция, задающая расстояние, а нужно посчитать скорость в момент времени $t=2c$. Другими словами, нам нужно найти $v$, т.е.

Вот и все, что нам нужно было выяснить из условия: во-первых, как выглядит функция, а во-вторых, что от нас требуется найти.

Давайте решать. В первую очередь, посчитаем производную:

Нам требуется найти производную в точке 2. Давайте подставим:

Вот и все, мы нашли окончательный ответ. Итого, скорость нашей материальной точки в момент времени $t=2c$ составит 9 м/с.

Видео:Урок 323. Применение производной в задачах физики - 1Скачать

Пример № 2

Материальная точка движется по закону:

где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени ее скорость была равна 3 м/с?

Взгляните, в прошлый раз от нас требовалось найти $v$ в момент времени 2 с, а в этот раз от нас требуется найти тот самый момент, когда эта скорость будет равна 3 м/с. Можно сказать, что нам известно конечное значение, а по этому конечному значению нам требуется найти исходное.

В первую очередь, вновь ищем производную:

От нас просят найти, в какой момент времени скорость будет равна 3 м/с. Составляем и решаем уравнение, чтобы найти физический смысл производной:

Полученное число означает, что в момент времени 4 с $v$ материальной точки, движущейся по выше описанному закону, как раз и будет равна 3 м/с.

Видео:АЛГЕБРА С НУЛЯ — Что такое Производная?Скачать

Ключевые моменты

В заключении давайте еще раз пробежимся по самому главному моменту сегодняшней задачи, а именно, по правилу преобразования расстояние в скорость и ускорение. Итак, если нам в задаче прямо описан закон, прямо указывающий расстояние от материальной точки до точки отсчета, то через эту формулу мы можем найти любую мгновенную скорость (это просто производная). И более того, мы можем найти еще и ускорение. Ускорение, в свою очередь, равно производной от скорости, т.е. второй производной от расстояния. Такие задачи встречаются довольно редко, поэтому сегодня мы их не разбирали. Но если вы увидите в условии слово «ускорение», пусть оно вас не пугает, достаточно просто найти еще одну производную.

Надеюсь, этот урок поможет вам подготовиться к ЕГЭ по математике.

Видео:5.4. Скорость и ускорение как производныеСкачать

Вульгаризмы в механике: о вредности термина «замедление»

Довольно часто, особенно в обиходе инженерных дисциплин, употребляется понятие «замедление» то есть ускорение, действие которого приводит к уменьшению модуля скорости. При этом такому ускорению приписывается некий отрицательный знак, подчеркивающий этот самый замедляющий эффект.

По моему скромному мнению данное понятие является не только избыточным, но и вредным с методической точки зрения. Оно бросает своего рода мутную вуаль на суть величин, описывающих механическое движение.

На самом деле, чтобы описать то же торможение автомобиля или парашютиста совершенно необязательно приписывать ускорению знак, достаточно понимания, что ускорение есть величина векторная и умения грамотно переходить от операций с векторами к операциям с их проекциями на оси выбранной системы координат.

Статья имеет своей целью развенчать необходимость использования термина «замедление» при решении практических задач механики, и, если читателя не смущает очередная лекция по теормеху, добро пожаловать под кат.

Видео:Математика Без Ху!ни. Производная сложной функции.Скачать

1. Понятие производной от вектора по времени

Рассмотрим вектор , такой, что

то есть модуль и направление этого вектора зависят от времени. Вычислим изменение изменение этого вектора, произошедшее за промежуток времени

Теперь, используя тот факт, что для векторов определена операция умножения на число, умножим (1) на величину, обратную приращению времени . В силу того, что 0″/> мы получим вектор , направленный в ту же сторону что и вектор (1) (см. рисунок 1)

Рис. 1. Геометрический смысл производной вектора по времени

Теперь перейдем к пределу при

Соотношение (2) есть предел отношения приращения вектор-функции к приращению её аргумента и называется производной вектора по времени. Как видно из наших выкладок производная от вектора по времени также является вектором. Как направлен этот вектор?

Будем рассуждать, глядя на геометрическую интерпретацию на рисунке 1. Вектор занимает положение секущей по отношению к траектории, которую описывает конец вектора за промежуток времени . Эта траектория называется годографом вектор-функции . Секущая пересекает годограф в точках A и B. При стремлении к нулю точка A остается неподвижной, а точка B смещается в сторону точки A. В пределе секущая займет положение касательной к годографу в точке A.

То есть, можно ввести следующее определение

Производная от вектора по времени есть вектор , направленный по касательной к годографу вектора

Таким образом, производная от вектора показывает, каким образом меняется как модуль, так и направление вектора. Ни о каком «знаке» производной тут речи не идет в принципе. И не может идти — производная от вектора по времени это так же вектор, а для вектора нет понятия знака.

Видео:4. Вычисление производных примеры. Самое начало.Скачать

2. Производная от вектора, постоянного по модулю

Допусти теперь что наш вектор обладает неизменной длиной, то есть

а меняется лишь его направление в пространстве. Будет ли у этого вектора отличная от нуля производная? Конечно будет! Умножим вектор скалярно сам на себя

Продифференцируем (3) по времени

Производная от модуля вектора равна нулю, ведь модуль не меняется во времени. Тогда, используя правило дифференцирования произведения раскрываем левую часть (4)

используя свойство коммутативности скалярного произведения, получаем

То есть, скалярное произведение вектора на собственную производную равно нулю а значит

Таким образом, производная вектора с постоянной длиной не только не равна нулю, а она есть вектор, перпендикулярный исходному. Годографом такого вектора будет окружность с радиусом, равным длине вектора (рисунок 2).

Мы сталкиваемся с такой ситуацией, когда вычисляем ускорение точки, движущейся равномерно по окружности. У неё есть центростремительное ускорение, перпендикулярное вектору скорости.

Производная от вектора будет равна нулю лишь в том случае, если вектор не меняет ни модуль, ни направление.

Рис 2. Вектор с постоянной длиной, его годограф и производная

Видео:Что такое производная за 2 минуты. P.S. Это скорость изменения функции!Скачать

3. Скорость и ускорение

Вектором скорости точки называется первая производная от радиус-вектора точки по времени

Вектор скорости точки направлен по касательной к её траектории.

Все верно — траектория и есть годограф радиус-вектора, причем выбор начала отсчета O из которого мы выпускаем радиус-вектор роли не играет.

Рис. 3. Векторы скорости и ускорения материальной точки

Аналогичным образом вводится и понятие ускорения

Вектор ускорения точки есть первая производная от вектора скорости точки по времени

Вектор ускорения направлен по касательной к годографу вектора скорости.

Геометрическая иллюстрация этих определений показана на рисунке 3. При движении точки по окружности с постоянной по модулю скоростью ускорение направлено точно к центру этой окружности (рисунок 4)

в полном соответствии с определением производной от вектора постоянного по модулю. В этом случае вектор ускорения как раз показывает каким образом меняется направление вектора скорости.

Видео:Производная функции. 10 класс.Скачать

Заключение или откуда всё-таки берется знак

Решая задачу по механике мы неизбежно переходим от векторных уравнений к уравнениям в проекциях на оси выбранной системы координат. И, если вектор ускорения направлен против вектора скорости, то знак его проекции отличается от знака проекции вектора скорости. Причем последняя может быть отрицательной, а проекция ускорения — положительной, все зависит от выбранной системы координат!. Именно в этой ситуации в инженерной практике употребляют термин «замедление».

Однако знак проекции и её именование к механике отношения не имеют, они относятся уже к формальной процедуре вычислений при решении задачи и механического смысла не несут. Так что понятие «замедление» есть результат вольной интерпретации промежуточных результатов вычислений.

Видео:ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 7. Закон движения. ПроизводнаяСкачать

Применение производной в физике и технике

п.1. Скорость и ускорение

Рассматривая физический смысл производной (см. §42 данного справочника), мы выяснили, что:

Например:
Рассмотрим прямолинейное равноускоренное движение.
Уравнение этого движения имеет вид: $$ x(t)=x_0+v_0t+frac $$ где (x(t)) — ккордината тела в произвольный момент времени (t, x_0) — начальная координата, (v_0) — начальная скорость, (a=const) — ускорение, действующее на тело.
Чтобы найти скорость тела из этого уравнения, нужно найти производную от координаты по времени: $$ v(t)=x'(t)=left(x_0+v_0t+fracright)’=0+v_0cdot 1+frac a2cdot 2t=v_0+at $$ Чтобы найти ускорение, нужно найти производную от скорости: $$ a(t)=v'(t)=x»(t)=(v_0+at)’=0+acdot 1=a=const $$

п.2. Физические величины как производные от других величин

Если рассматривать уравнение процесса (s=f(t)), его производной будет величина $$ f'(t)=lim_frac $$ Такие величины часто встречаются в различных разделах физики и техники.

Угол поворота (varphi(t))

Угловая скорость (omega(t)=omega'(t))
Угловое ускорение (beta(t)=omega'(t)=varphi»(t))

Масса горючего ракеты (m(t))

Скорость расходования горючего (u(t)=m'(t))

Температура тела (T(t))

Скорость нагрева (v_T(t)=T'(t))

Магнитный поток (Ф(t))

ЭДС индукции (varepsilon(t)=-Ф'(t))

Число атомов радиоактивного вещества (N(t))

Скорость радиоактивного распада (I(t)=-N'(t))

Конечно же, в физике далеко не обязательно берут производную только по времени.
Например, для теплоты Q(T) теплоемкость равна C(T)=Q'(T), где T — температура.
А для процесса теплопереноса температура u(x,t) в точке с координатой x в момент времени t определяется уравнением теплопроводности: $$ frac-a^2frac=f(x,t) $$ и производные берутся по времени (left(fracright)) и по координате (left(fracright)), причем по координате берется производная второго порядка (left(fracright)).
Поэтому в физике для производных чаще используются обозначения Лейбница, в которых хорошо видна как функция, так и аргумент.
Например, для производных функции от одной переменной: (frac, frac, frac. )
Для производных функций от многих переменных: (frac, frac, frac, frac. )

п.3. Примеры

Пример 1. Тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону (x(t)=t^2+t+1) (м). Найдите: 1) кинетическую энергию тела через 3 с после начала движения; 2) силу, действующую на тело в это время.
1) Кинетическая энергия равна (E=frac)
Скорость тела: (v(t)=x'(t)=(t^2+t+1)’=2t+1)
Через 3 с: (v(3)=2cdot 3+1=7) (м/с)
Подставляем: (E=frac=147) (Дж)

2) Сила по второму закону Ньютона: (F=ma)
Ускорение тела: (a(t)=v'(t)=(2t+1)’=2) (м/с^2)
Ускорение постоянно.
На тело действует постоянная сила: (F=6cdot 2=12) (Н)

Ответ: 147 Дж; 12 Н

Пример 2. Маховик вращается по закону (varphi (t)=4t-0,5t^2) (рад)
Найдите момент времени, в который маховик остановится.

Угловая скорость: (omega(t)=varphi ‘(t)=(4t-0,5t^2 )’=4-0,5cdot 2t=4-t)
В момент остановки угловая скорость равна 0. Решаем уравнение: $$ 4-t=0Rightarrow t=4 (c) $$ Ответ: 4 c

Пример 3. Ракету запустили вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. В какой момент времени и на какой высоте ракета достигнет наивысшей точки (g≈10м/с 2 )?

Выберем начало отсчета на земле ((y_0=0)), направим ось y вверх.
Начальная скорость направлена вверх, её проекция на ось положительна.
Ускорение свободного падения направлено вниз, его проекция отрицательна.
Уравнение движения: $$ y(t)=y_0+v_t+frac=0+40t-frac=40t-5t^2 $$ В верхней точке траектории ракета останавливается, её скорость равна 0.
Найдем скорость: $$ v(t)=y'(t)=40-5cdot 2t=40-10t $$ Найдем момент остановки в верхней точке: $$ 40-10t_0=0Rightarrow t_0=frac=4 (c) $$ Найдем высоту подъема в верхней точке: $$ H_=y(t_0)=40cdot 4-5cdot 4^2=80 (м) $$ Ответ: 4 с, 80 м

Пример 4. Через поперечное сечение проводника проходит заряд (q(t)=ln⁡(t+1)) (Кл). В какой момент времени сила тока в проводнике равна 0,1 А?

Сила тока: $$ I(t)=q'(t)=(ln(t+1))’=frac $$ По условию: $$ frac=0,1Rightarrow t_0+1=frac=10Rightarrow t_0=9 (c) $$ Ответ: 9 c

Пример 5. Колесо вращается так, что угол его поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот оно сделало за 8 с. Найдите угловую скорость через 48 с после начала вращения.

По условию угол поворота (varphi (t)=At^2)
Один оборот (2pi) радиан был сделан за 8 с. Получаем уравнение: (Acdot 8^2=2pi)
Находим коэффициент (A=frac=frac)
Уравнение движения (varphi(t)=fract^2) (рад)
Угловая скорость (omega(t)=varphi ‘(t)=left(fract^2right)’=fraccdot 2t=fract) (рад/с)
Через 48 секунд (omega(48)=fraccdot 48=3pi) рад/с — полтора оборота в секунду.
Ответ: (3pi) рад/с

Пример 6. Для нагревания 1 кг жидкости от 0°С до t°C необходимо (Q(t)=1,7t+at^2+bt^3) Дж теплоты.
Известно, что теплоемкость жидкости при температуре 100°С равна 1,71 Дж/К, а для нагревания 1 кг этой жидкости 0°С до 50°C требуется 85,025 Дж теплоты. Найдите коэффициенты a и b.

Теплоемкость: (C(t)=Q'(t)=1,7cdot 1+acdot 2t+bcdot 3t^2=1,7+2at+3bt^2)
По условию: begin C(100)=1,7+2acdot 100+3bcdot 100^2-1,71\ 200a+30000b=0,01 end Кроме того: begin Q(50)=1,7cdot 50+acdot 50^2+bcdot 50^3=85,025\ 2500a+125000b=0,025 end Получаем линейную систему: begin begin 200a+30000b=0,01 |:2\ 2500a+125000b=0,025 |:25 end Rightarrow begin 100a+15000b=0,005\ 100a+5000b=0,001 end \ 15000b-5000b=0,005-0,001\ 10000b=0,004\ b=4cdot 10^cdot 10^=4cdot 10^ left(fracright)\ a=frac=frac<10^-5cdot 10^3cdot 4cdot 10^>=frac<10^-2cdot 10^>=-frac<10^>\ a=-10^ left(fracright) end Ответ: (a=-10^frac; b=4cdot 10^frac)

Пример 7*. Лестница длиной 5 м стояла вертикально. Потом её нижний конец стали перемещать по полу с постоянной скоростью (v=2) м/с. С какой по абсолютной величине скоростью в зависимости от времени опускается верхний конец лестницы? Постройте график полученной функции.

Производная от уравнения скорости по времени

Лестница со стенами образует прямоугольный треугольник, для которого справедлива теорема Пифагора: $$ x^2(t)+y^2(t)=5^2 $$ Нижний конец движется с постоянной скоростью, его уравнение движения по полу: $$ x(t)=vt=2t $$ Отсюда получаем уравнение движения верхнего конца по стенке: begin y^2(t)=25-x^2(t)=25-(2t)^2=25-4t^2\ y(t)=sqrt end

Время (tgeq 0) имеет ограничение сверху (25-4t^2geq 0Rightarrow t^2leq fracRightarrow 0leq tleq 2,5 (с))
Скорость скольжения верхнего конца по стенке: begin u_y(t)=y'(t)=left(sqrtright)’=frac<2sqrt>cdot (25-4t^2)’=frac<2sqrt>\ u_y(t)=-frac<sqrt> end Знак «-» указывает на направление скорости вниз и связан с уменьшением координаты (y(t)) со временем. Абсолютная величина найденной скорости: begin u(t)=|u_y(t)|=frac<sqrt> end 1) ОДЗ: (0leq tleq 2,5)
2) Четность – нет, т.к. функция определена только на положительных t.
Периодичность – нет.
3) Асимптоты:
1. Вертикальная
Рассмотрим односторонние пределы begin lim_left(frac<sqrt>right)=frac05=0\ lim_left(frac<sqrt>right)=frac=+infty end При подходе к правой границе (t=2,5) слева функция стремится к (+infty).
В точке (t=2,5) – вертикальная асимптота.
2. Горизонтальных асимптот нет, т.к. ОДЗ ограничено интервалом.
3. Наклонных асимптот нет.

6) Пересечение с осями
В начале координат: (t=0, u=0)

7) График

Пример 8. Под действием нагрузки деталь с поперечным сечением в виде прямоугольника площадью 17 см 2 начинает деформироваться. Одна из сторон прямоугольника растет с постоянной скоростью 1 см/ч, а вторая – уменьшается со скоростью 0,5 см/ч. Найдите скорость изменения площади поперечного сечения через 45 мин после начала деформации, если известно, что в этот момент его площадь равна 20 см 2 .

Длина первой стороны в зависимости от времени: (a(t)=a_0+1cdot t) (см),
время – в часах.
Длина второй стороны: (b(t)=b_0-0,5cdot t).
Площадь в начальный момент: (S_0=a_0 b_0=17 (см^2))
Площадь в произвольный момент t: begin S(t)=a(t)cdot b(t)=(a_0+t)(b_0-0,5t)=a_0 b_0+(-0,5a_0+b_0)t-0,5t^2=\ =17+(-0,5a_0+b_0)t-0,5t^2 end По условию при (t=45 мин=frac34 ч): begin Sleft(frac34right)=17+(-0,5a_0+b_0)cdotfrac34-0,5cdotleft(frac34right)^2=20\ (-0,5a_0+b_0)cdotfrac34=20-17+frac=3+frac\ (-0,5a_0+b_0)=frac43left(3+fracright)=4+frac38=4frac38 end Получаем: begin S(t)=17+4frac38t-0,5t^2 end Скорость изменения площади: begin S'(t)=0+4frac38cdot 1-0,5cdot 2t=4frac38-t end Через 45 мин: begin S’left(frac34right)=4frac38-frac34=3+frac-frac34=3+frac=3frac58=3,625 (см^2/ч) end Ответ: 3,625 см 2 /ч