Производная от обеих частей уравнения

Видео:Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Производная фукнции, заданной неявно: руководство, примеры

Видео:АЛГЕБРА С НУЛЯ — Что такое Производная?Скачать

Как найти производную функции, заданной неявно

Будем учиться находить производные функций, заданных неявно. Что значит неявно? Сравним с обычной функцией. Обычная функция задана уравнением вида y=f(x) , где игрек, то есть функция, задан некоторым выражением, в котором присутствует икс. Таким образом, из переменных в левой части — только игрек, в правой — только икс. Если же функция задана неявно, то в левой части различные слагаемые с игреком «смешаны» с различными слагаемыми с иксом (или переменной, обозначенной другой буквой). Примеры функций, заданных неявно:

,

,

,

,

.

При этом и икс, и игрек могут быть в различных степенях, а в одном слагаемом могут быть и игрек, и икс.

Если функция задана неявно, то как получить игрек, то есть явную функцию? Просто: выразить игрек через другую переменную, то есть получить в левой части только игрек. А если нужно найти производную функции, заданной неявно, то есть получить в левой части только игрек со штрихом? Нужно сначала найти производные обеих частей уравнения, то есть продифференцировать их. А затем выразить производную игрека через производные других переменных.

Теперь приведенный выше «скелет» решения обрастет «мясом», то есть необходимыми подробностями. Те слагаемые, в которых присутствует только икс, обратятся в обычную производную функции от икса. А слагаемые, в которых присутствуют и икс, и игрек, нужно дифференцировать, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, то есть учитывать, что игрек — это функция от икса. Если совсем просто, то в полученной производной слагаемого с иксом должно получиться: производная функции от игрека, умноженная на производную от игрека. Например, производная слагаемого запишется как , производная слагаемого запишется как . Далее из всего этого нужно выразить этот «игрек штрих» и будет получена искомая производная функции, заданной неявно. Разберём это на примерах.

Видео:Математика Без Ху!ни. Производная сложной функции.Скачать

Решаем задачи вместе

Пример 1. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу, считая, что игрек — функция от икса:

.

Отсюда получаем производную, которая требуется в задании:

.

Решение производной функции, заданной неявно, можно проверить на онлайн калькуляторе.

y = f(x) . Так, например, заданные неявно функции

и

не выражаются через элементарные функции, то есть эти уравнения нельзя разрешить относительно игрека. Поэтому и существует правило дифференцирования функции, заданной неявно, которое мы уже изучили и далее будем последовательно применять в других примерах.

Пример 2. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

.

Выражаем игрек штрих и — на выходе — производная функции, заданной неявно:

.

Пример 3. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

.

Выражаем и получаем производную:

.

Решение производной функции, заданной неявно, можно проверить на онлайн калькуляторе.

Пример 4. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

.

Выражаем и получаем производную:

.

Пример 5. Найти производную функции, заданной неявно:

.

Решение. Переносим слагаемые в правой части уравнение в левую часть и справа оставляем ноль. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:

Путь к ответу и в конец сам ответ:

Видео:12.1. Логарифмическое дифференцирование ( логарифмическая производная )Скачать

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Найти производную функции, заданной неявно:

Пример 7. Найти производную функции, заданной неявно:

Пример 8. Найти производную функции, заданной неявно:

Видео:4. Вычисление производных примеры. Самое начало.Скачать

Производные различных порядков от неявных функций

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:4.3 Найти производную функцииСкачать

Как найти первую и вторую производные параметрической функции

Параметрическое представление функциональной зависимости y от x для функции y = f(x) имеет вид:

Пусть функции x = x(t) и y = y(t) определены и непрерывны на интервале изменения параметра t. Продифференцируем данные функции.

Для нахождения первой производной необходимо разделить второе уравнение на первое:

Для нахождения второй производной:

Найти вторую производную параметрической функции

1. Найдем первую производную по формуле: [y’_ =frac <y'_><x'_> ] [y’_ =left(t^ right)^ <> =6t x’_ =left(ln tright)^ <> =frac] [y’_ =frac<frac> =6t^ ]
2. Найдем вторую производную [y»_ =left(6t^ right)^ <> =12t]

Видео:Производная функции. 10 класс.Скачать

Что такое неявно заданная функция, и как ее найти

Если функция вида y=y(x) задана уравнением F(x;y(x)) = 0, то функция является неявно заданной.

Для нахождения дифференциала неявной функции необходимо выполнить следующие действия:

1. Продифференцировать обе части уравнения по х.
2. Поскольку у — дифференцируемая функция, для ее нахождения используется правило вычисления производной сложной функции.
3. В правой части уравнения должно получится значение 0.

Это значит перенести все слева направо и привести к уравнению вида F(x;y(x)) = 0

1. Решить полученное уравнение относительно y`(x)

Пусть неявная функция у от x определяется равенством:

Дифференцируем по x все члены этого равенства:

Последнее равенство снова дифференцируем по х:

Заменим производную dy/dx ее выражением:

Поскольку $a^2y^2 + b^2x^2 = a^2b^2$, вторую производную можно представить в виде

Дифференцируя по х последнее равенство, найдем $frac <d^y> <dx^> $ и т. д.

Готовые работы на аналогичную тему

Найти вторую производную неявно заданной функции

1. Перенесем все части выражения в левую часть, приравняем к нулю и продифференцируем: [left(2x^ -xy^ -4right)^ <> =0] [left(2x^ right)^ <> -left(xy^ right)^ <> -left(4right)^ <> =0] [6x^ -left(x’y^ +xleft(y^ right)^ <> right)=0] [6x^ -y^ -2xyy’=0]
2. Выразим y` [y’=frac <6x^-y^ >]
3. Повторно дифференцируем равенство [left(6x^ -y^ -2xyy’right)^ <> =12x-2y-2left(xyright)^ <> y’-2xyy’] [12x-2y-2left(xyright)^ <> y-2xyy’=12x-2y-2x’y’-2xy’-2xyy»] [12x-2y-2x’y’-2xy’-2xyy»=12x-2y-2y’-2xy’-2xyy»]
4. Выполним замену y` [12x-2y-2frac <6x^-y^ >-2xfrac <6x^-y^ >-2xyy»=0]
5. Упростим [frac <12x^y-2xy^ >-frac <6x^-y^ >-frac <6x^-y^ >-2xyy»=0] [frac <12x^y-2xy^ -6x^ +2y^ -6x^ >-2xyy»=0]

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 15 12 2021

Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Производная функции, заданной неявно

Если независимая переменная $x$ и функция $y$ связаны уравнением вида $F(x,y)=0$, которое не разрешено относительно $y$, то функция $y$ называется неявной функцией переменной $x$.

Всякую явно заданную функцию $y=f(x)$ можно записать в неявном виде $y-f(x)=0$. Обратно сделать не всегда возможно.

Несмотря на то, что уравнение $F(x,y)=0$ не разрешимо относительно $y$, оказывается возможным найти производную от $y$ по $x$. В этом случае необходимо продифференцировать обе части заданного уравнения, рассматривая функцию $y$ как функцию от $x$, а затем из полученного уравнения найти производную $y^$.

Задание. Найти вторую производную $y^$ неявной функции $x^2+xy^2=1$.

Решение. Продифференцируем левую и правую часть заданного равенства, при этом помним, что $y$ является функцией переменной $x$, поэтому производную от нее будем брать как производную от сложной функции. В итоге получаем:

Из полученного равенства выражаем $y^$:

Для нахождения второй производной продифференцируем равенство $2 x+y^+2 x y cdot y^=0$ еще раз:

Подставив вместо $y^$ найденное выше выражение, получаем:

После упрощения получаем:

Из полученного равенства выражаем вторую производную $$y^(x)$$:

🔥 Видео

ДУ Уравнения, не разрешенные относительно производнойСкачать

Свойства уравнений. Умножение и деление обеих частей уравнения на одно и то же число. Алгебра 7 кл.Скачать

11. Производная неявной функции примерыСкачать

#Дифуры I. Урок 10. Уравнения, не разрешённые относительно производной. Метод введения параметраСкачать

показательно степенное уравнение методом логарифмирования обеих частей уравненияСкачать

Вычисление производных. 10 класс.Скачать

14. Что такое параметрически заданная функция, производная параметрически заданной функции.Скачать

Производная 5 Экспонента и натуральный логарифм.Скачать

[Calculus | глава 6] Неявное дифференцирование — что здесь происходит?Скачать

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Производная неявной функцииСкачать

Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.Скачать