Программа решения уравнений делением отрезка пополам

Метод бисекции или метод деления отрезка пополам – простой численный метод для решения нелинейного уравнения вида f(x) = 0.

Видео:Численное решение уравнений, урок 2/5. Метод деления отрезка пополамСкачать

Описание алгоритма

Метод применим для численного решения уравнения f(x) = 0 для действительной переменной x, где f(x) – непрерывная функция, определенная на интервале [a, b], а f(a) и f(b) имеют противоположные знаки. В этом случае говорят, что a и b заключают в скобки корень, поскольку по теореме о промежуточном значении непрерывная функция f(x) должна иметь хотя бы один корень в интервале (a, b).

На каждом шаге метод делит интервал на две части, вычисляя среднюю точку t = (a + b) / 2 интервала и значение функции f(t) в этой точке. Если только t не является корнем (что очень маловероятно, но возможно), теперь есть только две возможности: либо f(a) и f(t) имеют противоположные знаки и скобки для корня, либо f(t) и f(b) иметь противоположные знаки и заключать в скобки корень. Метод выбирает подинтервал, который гарантированно будет скобкой, в качестве нового интервала, который будет использоваться на следующем шаге. Таким образом, интервал, содержащий ноль f(x), уменьшается по ширине на 50% на каждом шаге. Процесс продолжается до тех пор, пока интервал не станет достаточно малым.

Если f(a) и f(t) имеют противоположные знаки, тогда метод устанавливает t как новое значение для b, а если f(b) и f(t) имеют противоположные знаки, то метод устанавливает t как новое значение а. Если f(t) = 0, то t может быть принято как решение, и процесс останавливается. В обоих случаях новые f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, поэтому метод применим к этому меньшему интервалу.

Видео:Алгоритмы. Нахождение корней уравнений методом деления отрезка пополам.Скачать

Реализация алгоритма

Метод можно применять к любой функции f(x)=0, для этого достаточно изменить локальный метод double f(double x) в коде программы.

Видео:Решение уравнений методом деления отрезка пополам в табличных процессорахСкачать

Лихоманенко Николай Иванович

Ведёт: Лихоманенко Николай Иванович —> Название или описание блога (изменить)

Видео:Решение нелинейного уравнения методом деления отрезка пополамСкачать

Навигация

Видео:Метод дихотомииСкачать

Поиск по сайту

Видео:Методы деления отрезка пополам и золотого сеченияСкачать

Звонки

Видео:1.1 Решение нелинейных уравнений метод деления отрезка пополам (бисекций) Мathcad15Скачать

Новое в блогах

Видео:14 Метод половинного деления Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

10 класс. П.70 Практическая работа №62. Решение уравнений методом деления отрезка пополам

Учебник. К.Ю Поляков, Е.А. Ерёмин. Информатика. 10 класс. Углублённый уровень. §70 Решение уравнений

Практическая работа №62. Решение уравнений методом методом деления отрезка пополам

Напишите программу, которая находит все решения заданного вам уравнения на интервале [-5;5]. Программа должна выполнить следующие действия:

1. Определяет и выводит на экран интервалы, на которых расположены корни уравнения.

2. На каждом интервале, используя метод перебора, ищет решение с точностью 0,001 и выводит полученные решения на экран.

Вычисление функции, стоящей в левой части уравнения, оформите в виде подпрограммы.

Уровень A. Интервалы, на которых расположены корни, можно найти с помощью электронных таблиц. Программа запрашивает границы очередного интервала и выводит найденный корень уравнения.

Введите границы интервала:

Уровень B. Составить две программы, одна из которых выделяет все интервалы, на которых находятся корни, а вторая запрашивает границы очередного интервала и выводит найденный корень уравнения, а также число шагов, которые потребовались для достижения заданной точности.

Введите границы интервала:

Уровень C. Составить одну программу, которая работает полностью автоматически: достаточно ввести в программу функцию и запустить. Программа находит все интервалы, на которых расположены корни и уточняет решения. После того, как очередной интервал найден, программа выводит его на экран и, применяя метод деления отрезка пополам, уточняет решение и определяет необходимое для этого количество шагов.

Вариант 1. x 3 — 8*x + 1 = sin(x)

program pr62ABC;

function f(x: real): real;

begin

f := x * x * x — 8 * x + 1 — 5 * sin(x);

end ;

const

var

delta, a, b, c: real;

begin

writeln(‘Введите границы интервала:’);

if (f(a) * f(b) > 0 ) then writeln(‘На промежутке может не быть корней’)

else begin

while b — a > delta do

begin

if f(a) * f(c)

then b := c

else a := c;

end;

writeln(‘Решение: ‘, (a + b) / 2:6:3);

writeln(‘Число шагов: ‘, k);

end ;

while a

begin

while (f(a) * f(a + 0.1) > 0) and (a

if (f(a) * f(a + 0.1)

then begin

writeln(‘Интервал [‘, a, ‘;’, a + 0.1, ‘]’);

Видео:6 Метод половинного деления C++ Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

Приближенное вычисление корня уравнения методом деления отрезка пополам

Раздел программы: “Научно-технические расчёты на ЭВМ”

Тема урока: “Приближенное вычисление корня уравнения методом деления отрезка пополам”

Продолжительность занятия: 2 академических часа.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Вид урока: комбинированный.

Время проведения: первый урок по теме “Приближенные вычисления”

Цели урока:

• Развитие представлений о применениях ЭВМ для научно-технических расчетов.
• Формирование системно-информационного подхода к анализу окружающего мира.
• Формирование общеучебных и общенаучных навыков работы с информацией.

Задачи урока:

• Воспитательная – развитие познавательного интереса, воспитание информационной культуры, воспитание умения четко организовать самостоятельную работу.
• Образовательная – изучить и закрепить приемы использования языка программирования для решения задач приближенного решения уравнений, закрепить знания и умения по теме “Алгоритмизация и программирование”.
• Развивающая – расширение кругозора.

Методы: Словесные, наглядные, практические.

Организационные формы работы: фронтальные, индивидуальные.

Материально-техническая база: доска, ПК с установленным ПО ЯП Turbo Pascal 7.0.

Межпредметная связь: математика.

Требования к знаниям и умениям: учащиеся должны знать основные команды языка программирования для задач вычислительного характера, уметь составлять и записывать алгоритмы с использование циклов и ветвлений; по записи алгоритма записывать программу на языке программирования Turbo Pascal.

Содержание этапа урока

Вид и формы работы1. Организационный моментПриветствие2. Мотивационное начало урока.Постановка цели урока.3 Изучение нового материала.
Ознакомление с новым методом приближенного
решения уравнений,
показ образца действий.Работа в тетради.4. Закрепление и проверка полученных знаний.Фронтальный опрос.

Работа в тетради по кодированию программ
по заданному алгоритму.5. Упражнения творческого характера.Лабораторная работа:
применение созданной программы
для приближенного вычисления корня функции.
Работа в тетради.
Защита результатов.6 Подведение итогов урока, домашнее задание.Работа в тетради.

I. Организационный момент

II. Мотивационное начало урока. Постановка цели урока

Учитель: Вычисления на компьютере обладают большей гибкостью, чем привычные всем вычисления в математике. Рассмотрим для примера задачу вычисления корня уравнения f(x) = 0. В курсе школьной математики вам известен метод дискриминанта для уравнений вида:
ax 2 + bx + c = 0, выражаемой по формуле . Однако, во многих случаях, ответ не выражается формулой (например, для корня уравнения cos(x) = x формулы просто нет). Но можно, не выводя точных формул, вычислить корень приближенно, с заданной точностью, например, до 0,0001. Сегодня мы рассмотрим один из приближенных методов вычисления корня уравнения – метод деления отрезка пополам.

III. Изучение нового материала.

Учитель: Рассмотрим задачу в следующей постановке.

Дано уравнение f(x) = 0 и числа a и b: a f(b) 0.

Если V–точный корень уравнения f(V) = 0, a * f(b) E, то перейти к пункту 1).

Любая точка отрезка [a, b] при таком алгоритме даст приближенное решение с заданной точностью.

Запишем алгоритм решения нашей задачи в виде блок схемы: (См. рис. 2).

Учитель: Есть ли вопросы?

Если у учащихся есть вопросы, то необходимо все уяснить, прежде чем переходить к следующему этапу урока/

Учитель: Какой алгоритм по структуре у нас получился?

ПО: циклический, причем использовать надо цикл с предусловием.

Учитель: Что необходимо вписать в блоки, помеченные звездочкой ( * )?

ПО: Здесь необходимо записать команду вычисления конкретной функции в точке a и в точке c.

Учитель: Что необходимо предварительно сделать, прежде чем применять этот алгоритм для нахождения корня уравнения?

ПО: Необходимо, в первую очередь, проверить, удовлетворяет ли функция постановке задачи: является ли график функции непрерывной линией на отрезке [a, b], разные ли знаки имеет функция на концах отрезка [a, b].

IV. Этап закрепления, проверки полученных знаний

Учитель: Можно ли применять метод деления отрезка пополам для нахождения корней уравнений, на заданных отрезках (уравнения записаны на доске):

1. x 2 – 5 = 0, [0, 3] (ПО: функция непрерывна на отрезке и f(0) *f(3) 4 + cos(x) – 2 = 0 [0, 2] (ПО: функция непрерывна на отрезке и f(0)*f(2) 5 – 1 = 0 [–5, 2] (ПО: функция непрерывна на отрезке и f(– 5)*f(2) e do
   Begin c : = (a + b)/2;
   fc : = … ;
   If fc . fa 2 cos(2x) + 1 = 0 [0, /2]
2. x 3 + x 2 + x + 1 = 0 [–2,1]
3. x 5 – 0,3 | x – 1 | = 0 [0,1]
4. 2x – cos(x) = 0 [0, /4]
5. tg(x) – (x + 1)/2 = 0 [0, /4]

3. Это задание для учащихся математического класса: Вычислить значения , используя этот же метод деления отрезка пополам. Ответы сравните с расчетами на инженерном калькуляторе.
ВСЕ результаты вычислений фиксируются в тетради.

4. Результаты лабораторной работы должны быть защищены в индивидуальном порядке в беседе с учителем: проверяется понимание метода и используемой программы.

Вопросы для собеседования:

1. В чем смысл переменной…?
2. Что означает данная команда…?
3. Как вы записывали для функции а) – е) выражение в команде fa : = .
4. Для чего в программе используются операторные скобки?
5. Для чего использовали в программе команду ветвления? Цикла?
6. Где в программе осуществляется выбор отрезка, где находится корень уравнения?

На выполнение задания дается 30 минут. (Для выполнения задания учащиеся рассаживаются за компьютеры, загружают среду программирования и начинают проверять программу).

Защита результатов осуществляется по мере готовности учащихся, наиболее продвинутые учащиеся назначаются консультантами и принимают зачет вместе с учителем.

VI. Подведение итогов. Домашнее задание

Учитель: Подведем итоги. Сегодня на уроке вы узнали, как находить решение уравнений методом деления отрезка пополам, как использовать для этого компьютер. Я проверила во время практической работы и в процессе защиты результатов работы как вы усвоили материал, вы хорошо справились с заданием и получили следующие отметки… На этом изучение применений компьютера для научно-технических расчетов не заканчивается, предлагаю проанализировать свои записи в тетради и выполнить домашнее задание: подумать над вопросом “Какие методы поиска площадей фигур вы знаете?”. Запишите его себе в тетрадь.
Спасибо всем за работу.

🔥 Видео

Решение уравнений (метод дихотомии) на C#Скачать

Метод половинного деления решение нелинейного уравненияСкачать

8 Метод половинного деления Calc Excel Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Метод половинного деления - ВизуализацияСкачать

Численное решение уравнений, урок 1/5. Локализация корняСкачать

Деление отрезка пополамСкачать

Метод половинного деления. ДихотомияСкачать

Решение нелинейного уравнения методом половинного деления (программа)Скачать

Метод половинного деленияСкачать

Урок 10. C++ Метод половинного деленияСкачать