Проекция вектора на плоскость уравнение

Содержание
  1. Проекции вектора на ось и на плоскость
  2. Проекции вектора на ось и на плоскость
  3. Пример задачи:
  4. Проекции векторов на прямую и на плоскость
  5. Проекция вектора на прямую
  6. Проекция вектора на плоскость
  7. Свойства проекций векторов
  8. Большая теория по векторам
  9. Векторы — коротко о главном
  10. Векторы и… Колумб
  11. О направлении
  12. Что такое скалярная величина?
  13. Что такое векторная величина?
  14. Как обозначаются векторы?
  15. Операции над векторами
  16. Умножение вектора на число
  17. Параллельный перенос векторов
  18. Сложение векторов по правилу треугольника
  19. Больше двух слагаемых векторов. Сложение по правилу многоугольника
  20. Вычитание векторов через сложение
  21. Вычитание векторов через треугольник
  22. Универсальное правило параллелограмма
  23. Скалярное произведение векторов
  24. Векторное произведение векторов
  25. Проекции векторов
  26. Что такое проекция вектора и с чем ее едят?
  27. Построение проекции. Определение знака
  28. Анализ углов
  29. Частные случаи проекции
  30. Способы нахождения проекций и векторов с помощью тригонометрии
  31. Действия над проекциями векторов. Решение задач
  32. Сложение проекций. Доказательство главного свойства
  33. Простейшие задачи на нахождение проекций
  34. Задачи на нахождение вектора и его угла с осью
  35. Главный метод работы с осями и проекциями в решении физических задач
  36. Заключение
  37. 💡 Видео

Видео:Построение проекции вектора на осьСкачать

Построение проекции вектора на ось

Проекции вектора на ось и на плоскость

Проекция вектора на плоскость уравнение

Проекции вектора на ось и на плоскость

Аналитический способ решения задач статики основан на применении метода проекции, знакомого студентам из векторной алгебры. Ввиду особой важности этого метода для дальнейшего, напомним его основы.

Проекцией вектора на ось называется скалярная величина, равная взятой с соответствующим знаком длине отрезка оси проекций, заключенного между проекциями на нее начала и конца данного вектора (рис. 24).

Проекция считается положительной, если переход от ее начала к концу совпадает с заданным положительным

Проекция вектора на плоскость уравнение

направлением оси, и отрицательной — если с противоположным.

Проекцию вектора на ось принято обозначать теми же буквами, что и вектор, но обычного шрифта, указывая нижним индексом ось проекций.

Проекции вектора на две параллельные и одинаково направленные оси равны между собой. Этим особенно удобно бывает пользоваться в тех случаях, когда вектор не лежит в одной плоскости с осью (рис. 24,(5). Из рис. 24, а и б имеем:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Проекция вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между направлением вектора и положительным направлением оси проекций

Проекция вектора на плоскость уравнение

Проекция будет положительной, если направление вектора составляет с положительным направлением оси острый угол, н отрицательной — если тупой.

Проекцией вектора на плоскость называется вектор, заключенный между проекциями на эту плоскость начала и конца данного вектора.

Так, например, проекцией_вектора Проекция вектора на плоскость уравнениена плоскость Проекция вектора на плоскость уравнение(рис. 25) будет вектор Проекция вектора на плоскость уравнение.

По модулю проекция вектора на плоскость:

Проекция вектора на плоскость уравнение

где Проекция вектора на плоскость уравнение— угол между направлением вектора Проекция вектора на плоскость уравнениеи направлением его проекции Проекция вектора на плоскость уравнениена плоскость.

Для нахождения проекции вектора на ось, не лежащую с ним в одной плоскости, иногда бывает удобно

Проекция вектора на плоскость уравнение

спроектировать сначала вектор на плоскость, в которой лежит эта ось, а затем уже проекцию вектора на плоскость спроектировать на данную ось.

Так, проекция вектора Проекция вектора на плоскость уравнениена ось Проекция вектора на плоскость уравнение(рис. 25):

Проекция вектора на плоскость уравнение

где Проекция вектора на плоскость уравнение— угол между направлениями вектора Проекция вектора на плоскость уравнениеи оси Проекция вектора на плоскость уравнение.

Зная проекции вектора па оси прямоугольной декартовой системы координат, легко найти и модуль и направление вектора.

Так как модуль вектора равен диагонали прямоугольного параллелепипеда (рис. 26), ребра которого равны абсолютным значениям проекций вектора на оси координат, то модуль вектора

Проекция вектора на плоскость уравнение

Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на три любые взаимно перпендикулярные оси.

Направление вектора определяется из равенств:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Проекция вектора на плоскость уравнение

Косинус угла между вектором и положительным направлением оси проекции называется направляющим косинусом. Он равен отношению проекции вектора на соответствующую ось к модулю вектора.

Заметим, что в формуле (4) надо брать арифметическое значение корня.

Вектор Проекция вектора на плоскость уравнение(рис. 27) является замыкающем стороной векторного многоугольника Проекция вектора на плоскость уравнение, следовательно его можно рассматривать как геометрическую сумму составляющих векторов, расположенных па координатных осях

Проекция вектора на плоскость уравнение

Век горы Проекция вектора на плоскость уравнениеи Проекция вектора на плоскость уравнениеназываются составляющими вектора Проекция вектора на плоскость уравнениено осям координат (или его компонентами).

Векторы Проекция вектора на плоскость уравнениеи Проекция вектора на плоскость уравнениесовпадающие с положительными направлениями координатных осей и равные по модулю единице, называются единичными координатными векторами или координатными ортами соответствующих осей.

Составляющая вектора по оси координат равна проекции вектора на данную ось, умноженной на соответствующий координатный орт:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Подставляя последние выражения в предыдущее равенство. получаем весьма важную формулу разложения вектора по осям координат

Проекция вектора на плоскость уравнение

где коэффициенты Проекция вектора на плоскость уравнениеи Проекция вектора на плоскость уравнениепри координатных ортах представляют собой проекции данного вектора на соответствующие координатные оси.

Пример задачи:

Даны проекции силы на оси прямоугольной системы координат

Проекция вектора на плоскость уравнение

Написать формулу разложения заданной силы по осям координат, а также найти ее модуль и направление.

Решение:

По формуле Проекция вектора на плоскость уравнениенаходим

Проекция вектора на плоскость уравнение

Проекция вектора на плоскость уравнение

Проекция вектора на плоскость уравнение

Отсюда, углы между направлением силы и положительными направлениями осей координат:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение Проекция вектора на плоскость уравнение

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Урок 9. Проекции вектора на координатные осиСкачать

Урок 9. Проекции вектора на координатные оси

Проекции векторов на прямую и на плоскость

Видео:Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси.  9 класс.

Проекция вектора на прямую

Пусть на плоскости задана прямая и пересекающая ее прямая . Проекцией вектора на прямую параллельно прямой (вдоль прямой ) называется вектор , началом которого служит проекция , начала , а концом — проекция конца вектора (рис.1.13,а). Если прямая перпендикулярна прямой , то проекция называется ортогональной.

Пусть в пространстве дана прямая и пересекающая ее плоскость . Проекцией вектора на прямую параллельно плоскости (вдоль плоскости ) называется вектор , началом которого служит проекция , начала , а концом — проекция конца вектора (рис. 1.13,6). Если плоскость перпендикулярна прямой , то проекция называется ортогональной.

Видео:Проекция точки на плоскость, проекция прямой на плоскость. Параллельные прямые.Скачать

Проекция точки на плоскость, проекция прямой на плоскость. Параллельные прямые.

Проекция вектора на плоскость

Пусть в пространстве задана плоскость я и пересекающая ее прямая . Проекцией вектора на плоскость параллельно прямой (вдоль прямой ) называется вектор , началом которого служит проекция начала , а концом — проекция конца вектора (рис. 1.14). Если прямая перпендикулярна плоскости , то проекция называется ортогональной.

Видео:Проекция вектора на вектор.Скачать

Проекция вектора на вектор.

Свойства проекций векторов

1. Проекции вектора на параллельные прямые (или на параллельные плоскости) равны.

2. Проекции равных векторов равны.

3. Проекция суммы векторов равна сумме их проекций.

4. Проекция произведения вектора на число равна произведению этого числа на проекцию вектора, другими словами, отношение коллинеарных векторов равно отношению их проекций (если оно определено).

5. Проекция линейной комбинации векторов равна линейной комбинации проекций.

Рассмотрим эти свойства для проекций векторов на прямую параллельно прямой . Для проекций векторов на плоскость или на прямую параллельно плоскости доказательства аналогичные.

Докажем первое свойство. Пусть — проекция вектора на прямую вдоль прямой , а — проекция вектора на прямую вдоль той же прямой , причем прямые и параллельные (рис. 1.15). Четырехугольник, образованный пересечением пары параллельных прямых и штриховыми линиями, параллельными прямой , является параллелограммом. Следовательно, , т.е. проекции одного и того же вектора на параллельные прямые равны.

Докажем второе свойство. Пусть на плоскости даны равные векторы и , не параллельные прямой (см. рис. 1.16). Построим равные им векторы и . Из равенства следует, что четырехугольник — параллелограмм, а треугольники и равны по стороне и двум прилежащим углам

как углы с соответственно параллельными сторонами). Следовательно, , т.е. равные векторы, не параллельные прямой , имеют равные проекции. Если же векторы параллельны прямой , то их проекции также равны, как нулевые векторы. Второе свойство доказано.

Доказательство третьего свойства очевидно для векторов и (рис. 1.17): проекция вектора равна сумме проекций и , векторов и , т.е. . Для произвольных векторов и (у которых конец вектора не совпадает с началом вектора ) доказательство сводится к рассмотренному случаю для равных им векторов и , так как равные векторы имеют равные проекции (по второму свойству).

Доказательство четвертого свойства следует из теоремы Фалеса (см. разд. В.2). На рис.1.18 изображены векторы и 0)» png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />, а также их проекции и . По теореме Фалеса , следовательно, , что и требовалось доказать. В случае доказательство аналогичное.

Пятое свойство проекций следует из третьего и четвертого.

Теорема 1.1 (о проекциях вектора на пересекающиеся прямые).

1. Если на плоскости заданы две пересекающиеся прямые и , то любой вектор на плоскости можно однозначно представить в виде суммы своих проекций и на эти прямые (проекции на каждую прямую берутся вдоль другой прямой), т.е. .

2. Если в пространстве заданы три прямые и , пересекающиеся в одной точке и не лежащие в одной плоскости, то любой вектор в пространстве можно однозначно представить в виде суммы своих проекций на эти прямые (проекции на каждую прямую берутся вдоль плоскости, содержащей две другие прямые), т.е. .

В самом деле, пусть прямые и пересекаются в точке (рис.1.19,а). Приложим вектор к точке , т.е. рассмотрим вектор . По правилу параллелограмма сложения векторов (см. разд. 1.2) получаем равенство , которое равносильно доказываемому равенству , так как равные векторы имеют равные проекции (см. свойство 2 проекций). Единственность представления следует из однозначности нахождения проекций вектора.

Если же вектор коллинеарен одной из прямых, например , то соответствующие проекции имеют вид: и равенство , очевидно, выполняется.

Аналогично доказывается второе утверждение.

Справедливы утверждения, обратные к указанным в теореме 1.1.

Если вектор на плоскости равен сумме двух неколлинеарных векторов, т.е. , то слагаемые и являются проекциями вектора на прямые, содержащие векторы и соответственно.

Если вектор в пространстве равен сумме трех некомпланарных векторов, т.е. , то слагаемые и являются проекциями вектора на прямые, содержащие векторы соответственно.

В самом деле, отложим от произвольной точки векторы (рис.1.19,6). Тогда из равенства следует, что , т.е. вектор — является диагональю параллелепипеда, построенного на векторах (отсюда следует правило параллелепипеда сложения трех некомпланарных векторов). Поэтому — проекции вектора на прямые (проекция на каждую прямую берется вдоль плоскости, проходящей через две другие прямые). Так как равные векторы и имеют равные проекции (свойство 2), заключаем, что проекции вектора на прямые равны соответственно. Наконец, проекции на прямые равны проекциям на параллельные им прямые, содержащие векторы соответственно.

Пример 1.5. Если прямая пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках соответственно, то

Решение. Найдем отношения проекций векторов на прямую вдоль прямой (рис. 1.20). Для этого через точку проведем прямую , параллельную прямой . По свойству 4 проекций имеем:

Перемножая эти пропорции, получаем , что равносильно доказываемому равенству.

Заметим, что доказанное утверждение является частью теоремы Менелая.

Пример 1.6. Если на сторонах треугольника взяты соответственно точки так, что прямые пересекаются в одной точке, то

Решение. Пусть прямые пересекаются в точке (рис.1.21). Через точку проведем прямые и параллельно и соответственно. По свойству проекций (свойство 4):

Учитывая эти равенства и свойства отношений коллинеарных векторов (см, разд.1.2.1), преобразуем левую и правую части последнего равенства:

Запишем произведение правых частей этих равенств, учитывая, что произведение левых частей равно единице:

Найдем обратное отношение , что и требовалось доказать.

Заметим, что доказанное утверждение является частью теоремы Чевы.

Видео:Векторные величины Проекция вектора на осьСкачать

Векторные величины  Проекция вектора на ось

Большая теория по векторам

И ты наверняка обратил внимание, что некоторые величины имеют только значение (число) – например, путь ((L)).

А некоторые имеют и число, и направление — например, перемещение ((vec)).

И сейчас ты узнаешь, почему это настолько важно.

Видео:Как записать проекцию вектора на оси координат - bezbotvyСкачать

Как записать проекцию вектора на оси координат - bezbotvy

Векторы — коротко о главном

Решать задачи с векторами — легко!

Видео:§4 Проекция вектора на осьСкачать

§4 Проекция вектора на ось

Векторы и… Колумб

В 1492 году Колумб приказал кораблям изменить курс на запад-юго-запад, полагая, что он и его команда уже прошли мимо Японии, не заметив ее островов.

Вскоре его экспедиция наткнулась на множество архипелагов, которые ошибочно принимали за земли Восточной Азии. И теперь, спустя века, американцы в октябре отмечают высадку Колумба в Новом Свете.

Кто знает, как повернулась бы история, если бы его корабли не поменяли свое направление?

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

О направлении

Направление – одна из важнейших характеристик движения.

Подумай, какие из этих величин являются просто числами, а какие тоже являются числами, но имеют еще и направление.

Наверное, ты без труда заметил, что направление имеют сила, скорость, перемещение, а время, длина, масса и температура – это просто числа.

Так вот, «просто числа» — это скалярные величины (их также называют скалярами).

А «числа с направлением» — это векторные величины (их иногда называют векторы).

В физике существует множество скалярных и векторных величин.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Что такое скалярная величина?

Скалярная величина, в отличие от вектора, не имеет направления и определяется лишь значением (числом)

Это, например, время, длина, масса, температура (продолжи сам!)

Видео:Олегу Тинькову запрещён вход на Мехмат МГУСкачать

Олегу Тинькову запрещён вход на Мехмат МГУ

Что такое векторная величина?

Векторная величина – это величина, которая определяется и значением, и направлением.

В случае с векторами нам важно, куда мы, например, тянем груз или в какую сторону движемся.

Например, как на этом рисунке изображен вектор силы (нам важно не только с какой силой, но и куда мы тянем груз):

Проекция вектора на плоскость уравнение

Видео:Как разложить силы на проекции (динамика 10-11 класс) ЕГЭ по физикеСкачать

Как разложить силы на проекции (динамика 10-11 класс) ЕГЭ по физике

Как обозначаются векторы?

Векторы принято обозначать специальным символом – стрелочкой над названием. Вот, например, вектор перемещения: (vec)

Значение вектора – это модуль вектора, то есть его длина.

Обозначить это можно двумя способами: (left| <vec> right|) или (S)

Видео:Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать

Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространстве

Операции над векторами

Для решения задач необходимо уметь работать с векторами: складывать, вычитать, умножать их.

Давай научимся это делать. Мы пойдем от простого к сложному, но это вовсе не значит, что будет трудно!

Умножение вектора на число

Если вектор умножить на какое-либо число (скаляр), мы просто «растягиваем» вектор, сохраняя его направление. Получившийся вектор сонаправлен начальному, то есть они имеют одинаковое направление.

(Если направление противоположно, обозначаем так: (vecuparrow downarrow vec))

Рассмотрим на примере, используя клетку для точности построений:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Если вектор умножить на ноль, он станет нулевым.

Обязательно нужно ставить значок вектора над нулем! Нельзя говорить, что векторная величина просто равна скалярной:

Рассмотрим некоторые свойства нулевого вектора.

Если он нулевой, то его длина равна нулю! Логично, не правда ли?

А это значит, что его начало совпадает с концом, это просто какая-то точка.

Нулевой вектор – вектор, начало которого совпадает с концом.

Нулевой вектор принято считать сонаправленным любому вектору.

Его мы можем получить не только путем умножения вектора на ноль, но и путем сложения противонаправленных векторов:

А если к любому вектору прибавит нулевой, ничего не изменится:

Если вектор умножают на отрицательное число, он изменит свое направление на противоположное. Такой вектор называется обратным данному.

Проекция вектора на плоскость уравнение

Но такие векторы должны быть коллинеарны. Звучит как скороговорка, но ничего страшного. Главное – понять суть.

Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

Проекция вектора на плоскость уравнение

Две прямые параллельны: (qparallel p)

Векторы лежат на одной прямой: они коллинеарны. По направлению видно, что они противонаправлены, это обозначается так:

Векторы лежат на параллельных прямых, они коллинеарны. При этом они сонаправлены:

Эти двое тоже коллинеарны! Они ведь лежат на параллельных прямых. При этом они противонаправлены:

(vecuparrow downarrow vec)

Коллинеарные векторы, имеющие одинаковую длину и противоположные направления, называются обратными друг другу.

Параллельный перенос векторов

Одно из важных свойств вектора, которое очень часто помогает в операциях над ним, – параллельный перенос.

Если передвинуть вектор, не меняя его направления и длины, он будет идентичен начальному. Это свойство – параллельный перенос.

Проекция вектора на плоскость уравнение

Сложение векторов по правилу треугольника

Сложение векторов – одна из самых легких и приятных вещей. Предположим, у нас есть два вектора:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Наша цель – найти такой вектор, который будет являться суммой двух данных:

Для начала нужно сделать так, чтобы конец одного вектора был началом другого. Для этого воспользуемся параллельным переносом:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Теперь достроим до треугольника.

Но как узнать направление нужного нам вектора?

Все просто: вектор суммы идет от начала первого слагаемого к концу второго, мы словно «идём» по векторам:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Это называется правилом треугольника.

Больше двух слагаемых векторов. Сложение по правилу многоугольника

Но что делать, нам нужно сложить не два, а три, пять векторов или даже больше?

Мы руководствуемся той же логикой: соединяем векторы и «идём» по ним:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Это называется правилом многоугольника.

Вычитание векторов через сложение

Вычитание векторов не сложнее. Это даже можно сделать через сумму! Для этого нам понадобится понятие обратного вектора. Запишем разность так:

Тогда нам лишь остается найти сумму с обратным вектором:

Проекция вектора на плоскость уравнение

А сделать это очень легко по правилу треугольника:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Всегда помни, что вычитание можно представлять сложением, а деление — умножением на дробь.

Вычитание векторов через треугольник

Вычитать векторы можно через треугольник. Основная задача будет состоять в том, чтобы определить направление вектора разности.

Итак, векторы должны выходить из одной точки. Далее мы достраиваем рисунок до треугольника и определяем положение. Рассмотрим два случая:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Проекция вектора на плоскость уравнение

Направление вектора разности зависит от того, из какого вектора мы вычитаем. У них совпадают концы.

Универсальное правило параллелограмма

Есть еще один способ сложения и вычитания векторов.

Способ параллелограмма наиболее востребован в физике и сейчас ты поймешь, почему. Основа в том, чтобы векторы выходили из одной точки, имели одинаковое начало.

Проекция вектора на плоскость уравнение

Ничего не напоминает?

Именно! Когда мы делаем чертеж к задачам по физике, все силы, приложенные к телу, мы рисуем из одной точки.

В чем же заключается правило параллелограмма? С помощью параллельного переноса достроим до параллелограмма:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Тогда вектор суммы будет диагональю этой фигуры. Это легко проверяется правилом треугольника. Начало этого вектора совпадает с началом двух слагаемых векторов:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Другая диагональ будет являться разностью этих векторов. Направление определяем так же, как делали раньше.

Проекция вектора на плоскость уравнение

Скалярное произведение векторов

Еще одной важной операцией является произведение векторов. Рассмотрим скалярное произведение. Его результатом является скаляр.

Уравнение очень простое: произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

Проекция вектора на плоскость уравнение

Векторное произведение векторов

Векторное произведение векторов пригодится нам в электродинамике.

Его формула лишь немного отличается от предыдущей:

В отличие от скалярного произведения, результатом его является вектор и его даже можно изобразить!

После параллельного переноса векторов и нахождения угла между ними достроим их до параллелограмма и найдем его площадь. Площадь параллелограмма равна длине вектора произведения:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Этот вектор одновременно перпендикулярен двум другим. Его направление зависит от условного порядка векторов, который либо определен какими-то фактами (когда мы будем изучать силу Лоренца), либо является свободным.

Проекция вектора на плоскость уравнение

Об этом мы поговорим подробнее, когда будем изучать электродинамику.

Итак, мы разобрали операции с векторами, рассмотрев даже самые сложные из них. Это было не так тяжело, верно? Так происходит не только с векторами, но и со многими другими темами. Идя от легкого к сложному, мы даже не заметили трудностей.

Ведь всегда стоит помнить о том, что даже самое длинное путешествие начинается с первого шага.

Видео:Встреча с Путиным в общежитии МГУ на Воробьевых горах!Скачать

Встреча с Путиным в общежитии МГУ на Воробьевых горах!

Проекции векторов

Что такое проекция вектора и с чем ее едят?

Мы уже выяснили, что над векторами можно проводить множество операций. Здорово, когда можешь начертить векторы, достроить их до треугольника и измерить результат линейкой.

Но зачастую физика не дает нам легких цифр. Наша задача – не отчаиваться и быть умнее, упрощая себе задачи.

Для того, чтобы работать с векторами как с числами и не переживать об их положении и о точности рисунков, были придуманы проекции.

Проекция вектора – словно тень, которую он отбрасывает на ось координат. И эта тень может о многом рассказать.

Ось координат — прямая с указанными на ней направлением, началом отсчёта и выбранной единицей масштаба.

Ось можно выбрать произвольно. В зависимости от ее выбора можно либо значительно упростить решение задачи, либо сделать его очень сложным.

Именно поэтому необходимо научиться работать с проекциями и осями.

Построение проекции. Определение знака

Возьмем вектор и начертим рядом с ним произвольную ось. Назвать ее тоже можно как угодно, но мы назовем ее осью Х.

Проекция вектора на плоскость уравнение

Теперь опустим из начала и конца вектора перпендикуляры на эту ось. Отметим координаты начала (Х0) и конца (Х). Рассмотрим отрезок, заключенный между этими точками.

Казалось бы, мы нашли проекцию. Однако думать, что проекция является простым отрезком, – большое заблуждение.

Не все так просто: проекция может быть не только положительной. Чтобы найти проекцию, нужно из координаты конца вычесть координату начала:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Проекция вектора на ось — разность между координатами проекций точек конца и начала вектора на ось.

В случае выше определить знак довольно легко. Сразу видим, что координата конца численно больше координаты начала и делаем вывод о том, что проекция положительна:

Порой работать с буквами трудно. Поэтому предлагаю взять конкретный пример:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Рассмотрим другой случай. В этот раз координата начала больше координаты конца, следовательно, проекция отрицательна:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Рассмотрим еще один интересный случай.

Давай разместим ось так, чтобы вектор был ей перпендикулярен. Проекции точек начала и конца совпадут и проекция вектора будет равна нулю!

Проекция вектора на плоскость уравнение

Анализ углов

Рассматривая эти ситуации, можно заметить, что знак, который принимает проекция вектора напрямую зависит от угла между вектором и осью, то есть от его направления!

Из начала вектора проведем луч, параллельный оси и направленный в ту же сторону, что и ось. Получим угол между вектором и осью.

Если угол острый, проекция положительна:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Если угол тупой, проекция отрицательна:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Обрати особое внимание на то, какой именно угол является углом между вектором и осью!

Частные случаи проекции

Настоящий подарок судьбы – тот момент, когда вектор параллелен оси. Это сохраняет драгоценное время при решении множества задач. Рассмотрим эти случаи.

Если вектор параллелен оси, угол между ними либо равен нулю, либо является развернутым (180 О ). Это зависит от направления.

При этом длина проекции совпадает с длиной вектора! Смотри!

Как и прежде, если вектор направлен туда же, куда и ось, проекция положительна:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Если вектор направлен в другую сторону, проекция отрицательна:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Если вектор направлен туда же, куда и ось, его проекция положительна. Если вектор направлен в другую сторону, его проекция отрицательна.

Эти утверждения применимы не только к векторам, которые параллельны оси. Это особенно удобно использовать в тех случаях, когда ось направлена под углом.

Что? Почему раньше не сказал? А… Ну…

Хватит вопросов! Вот тебе пример:

Проекция вектора на плоскость уравнение

(vec) направлен противоположно оси. Его проекция отрицательна.

Еще один частный случай – работа с обратными векторами.

Давай выясним, как связаны проекции данного вектора и вектора, который является ему обратным. Начертим их и обозначим координаты начал и концов:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Проведем дополнительные линии и рассмотрим два получившихся треугольника. Они прямоугольны, так как проекция строится с помощью перпендикуляра к оси.

Наши векторы отличаются лишь направлением. При этом, если мы просто посмотрим на них как на прямые, мы можем сказать, что они параллельны. Их длины тоже одинаковы.

Прямоугольные треугольники равны по углу и гипотенузе. Это значит, что численно равны и их катеты, в том числе те, которые равны проекциям:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Мы помним, что обратные векторы всегда коллинеарны. Это значит, что прямые, на которых они расположены, находятся под одним углом к оси:

Остается лишь определиться со знаками. Данный вектор направлен по оси Х, а обратный ему – против. Значит, первый положителен, а второй отрицателен. Но модули их равны, так как равны их длины.

Проекции обратных векторов равны по модулю и противоположны по знаку.

Давайте еще раз уточним.

Вектор сам по себе не может быть отрицательным (обратный вектор есть вектор, умноженный на минус единицу).

Длина вектора так же не может быть отрицательной. Длина есть модуль вектора, а модуль всегда положителен.

Проекция вектора бывает отрицательной. Это зависит от направления вектора.

Способы нахождения проекций и векторов с помощью тригонометрии

Зная угол между вектором и осью, можно не прибегать к координатам. Углы, прямоугольные треугольники… Всегда стоит помнить, что, если ты видишь прямоугольный трегольник, тригонометрия протянет тебе руку помощи.

Именно тригонометрия чаще всего применяется в задачах, где требуется работать с проекциями. Особенно она помогает в задачах на второй закон Ньютона.

Рассмотрим вектор и его проекции на оси:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Можем заметить, что проекции вектора соответствуют катетам прямоугольного треугольника, который легко можно достроить:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Тогда обозначим прямой угол и угол между вектором и осью:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Зная, что проекции соответствуют катетам, мы можем записать, чему равны синус и косинус угла. Они равны отношению проекций к гипотенузе. За гипотенузу считаем длину данного вектора.

Из этих уравнений легко выражаются проекции.

А еще следует помнить, что из проекций мы можем найти длину данного вектора с помощью теоремы Пифагора:

Зная, как работать с проекциями векторов и часто практикуясь, можно довести свои навыки решения большинства задач механики до совершенства.

Видео:Как построить проекцию вектора?Скачать

Как построить проекцию вектора?

Действия над проекциями векторов. Решение задач

Умение применять свои знания на практике невероятно важны. Это касается не только физики.

Мы знаем, что проекции были придуманы для того, чтобы работать не с векторами, а с числами.

Сложение проекций. Доказательство главного свойства

Предположим, у нас есть два вектора и нам нужно найти их сумму. Посчитать по клеткам нам вряд ли удастся:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Спроецируем оба вектора на ось Х. Заметим, что конец одного вектора есть начало второго, то есть их координаты совпадают:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Давай посчитаем проекции векторов и проекцию вектора их суммы:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Мы можем заметить, что сумма проекций двух данных векторов оказалась равна проекции вектора их суммы!

Намного важнее уметь доказывать гипотезы в общем виде.

Тогда никто не сможет упрекнуть тебя в том, что твои утверждения – просто результат совпадения!

Согласно определению проекции, запишем уравнения проекций для двух данных векторов и вектора их суммы:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Затем запишем, чему равна сумма этих векторов.

Проекция вектора на плоскость уравнение

Проекция вектора на плоскость уравнение

Проекция вектора на плоскость уравнение

Мы доказали нашу гипотезу.

Но что насчет разности?

Все очень просто! Помнишь, как мы считали разность через сумму? Здесь это делается аналогично!

Проекция суммы векторов равна сумме проекций векторов.

Проекция разности векторов равна разности проекций векторов.

Или можно записать так:

Простейшие задачи на нахождение проекций

Простейшие задачи на нахождение проекций чаще представлены в виде различных графиков или рисунков.

Давай научимся с ними работать.

Нам даны оси и векторы. Задача: найти проекции каждого из них на обе оси.

Проекция вектора на плоскость уравнение

Будем делать все по порядку. Для каждого вектора предлагаю сначала определить знак проекций, а затем посчитать их.

В первом случае вектор направлен против оси Х.

Значит, его проекция на эту ось будет отрицательна. Мы убедимся в этом с помощью вычислений.

Сразу бросается в глаза то, что вектор расположен перпендикулярно оси Y. Его проекция на эту ось будет равна нулю, ведь расстояние между проекциями точек начала и конца равно нулю!

Проекция вектора на плоскость уравнение

Рассмотрим второй вектор.

Он «сонаправлен» оси Y и «противонаправлен» оси Х. Значит, проекция на ось будет положительна, а на ось Х – отрицательна.

Убедимся в этом.

На осях для удобства отметим проекции точек начала и конца вектора, проведя перпендикуляры. Затем проведем вычисления:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Рассмотрим (vec). Заметим, что он является обратным для (vec): их длины равны, а направления противоположны.

Мы помним, что в таком случае их проекции отличаются лишь знаками. И это действительно так:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Поступаем с (vec) так же, как поступали с первым вектором.

Он перпендикулярен оси Х, а значит его проекция (что есть разность между проекциями точки конца и начала!) на эту ось равна нулю.

Проведя перпендикуляры, считаем проекцию на ось Y:

Проекция вектора на плоскость уравнение

С (vec) работать приятно: он расположен по направлению обеих осей. Обе его проекции будут положительны, остается лишь посчитать их:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Задачи на нахождение вектора и его угла с осью

С помощью проекций можно найти длину вектора и его направление, а также угол, под которым он находится относительно оси.

Давай попробуем это сделать.

Даны проекции вектора на две оси. Для начала нарисуем оси:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Расположить вектор можно как угодно, поэтому произвольно отметим на осях его проекции. Мы помним, что проекции и вектор образуют прямоугольный треугольник. Давай попробуем его составить.

С проекцией на ось Х все понятно, просто поднимаем ее. Но куда поставить проекцию оси Y?

Проекция вектора на плоскость уравнение

Для этого нам нужно определить направление вектора. Проекция на ось Х отрицательна, значит вектор направлен в другую сторону от оси.

Проекция на ось Y положительна. Вектор смотрит в ту же сторону, что и ось.

Исходя из этого, мы можем нарисовать вектор и получить прямоугольный треугольник:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Теперь нужно найти длину этого вектора. Используем старую добрую теорему Пифагора:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Обозначим угол (alpha ), который необходимо найти, мы учились это делать в начале изучения проекций. Он расположен вне треугольника. Мы ведь не ищем легких путей, верно?

Рассмотрим смежный ему угол (beta ). Его найти гораздо проще, а в сумме они дадут 180 градусов.

Чтобы сделать это, абстрагируемся от векторов, проекций и просто поработаем с треугольником, стороны которого равны 3, 4 и 5. Найдем синус угла (beta ) и по таблице Брадиса (либо с помощью инженерного калькулятора) определим его значение.

Вычитанием угла (beta ) из 180 градусов найдем угол (alpha ):

Проекция вектора на плоскость уравнение

Проекция вектора на плоскость уравнение

Главный метод работы с осями и проекциями в решении физических задач

В большинстве задач по физике, когда в условиях нам дают значения векторных величин, например, скорости, нам дают длину вектора.

Поэтому важно научиться искать проекции вектора и связывать их с ней.

Рассмотрим следующий рисунок (вектор F2 перпендикулярен вектору F3):

Проекция вектора на плоскость уравнение

Чаще всего с подобным расположением векторов мы встречаемся в задачах, где необходимо обозначить все силы, действующие на тело.

Одним из важных этапов решение «векторной части» этих задач является правильный выбор расположения осей. Он заключается в том, чтобы расположить оси так, чтобы как можно большее число векторов оказались им параллельны.

Как правило, оси располагаются под прямым углом друг к другу, чтобы не получить лишней работы с углами.

Сделаем это для данного рисунка:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Мы видим, что остальные векторы расположены к осям под каким-то углом.

Пунктиром проведем горизонтальную линию и отметим этот угол, а затем отметим другие равные ему углы:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Пришло время искать проекции. У нас две оси, поэтому сделаем для удобства табличку:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Мы располагали оси так, чтобы некоторые векторы были расположены параллельно осям, значит их проекции будут равняться их длинам.

Оси перпендикулярны друг другу, поэтому некоторые проекции будут равняться нулю. Запишем это:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Переходим к векторам, которые расположены под углом.

Выглядит страшно, но это не так!

Дальше идет чистая геометрия. Чтобы не запутаться, рассмотрим лишь часть рисунка. А лучше и вовсе перерисовать его часть, могут открыться много новых вещей.

Проекция вектора на плоскость уравнение

Из конца вектора F1 проведем перпендикуляр к оси Y. Мы получим прямоугольный треугольник, где нам известен угол (альфа) и гипотенуза (вектор).

Обозначим, что является проекцией. Это катет:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Здесь на помощь придет тригонометрия. Этот катет прилежащий к известному углу. Синус угла есть проекция катета, деленная на гипотенузу. Отсюда можно выразить катет (проекцию) и записать ее в таблицу.

Вспомни, когда мы первый раз встретились с тригонометрией, изучая векторы. Мы тоже рассматривали прямоугольный треугольник.

Найдем проекцию на ось Х. Это, кажется, сложнее, ведь мы не знаем угол…

Знаем! Ведь проекция вектора на ось Х – то же самое, что противолежащий катет уже рассмотренного треугольника, смотри:

Проекция вектора на плоскость уравнение

Значит, проекцию на ось Х можно найти через косинус.

Не забываем смотреть на направления векторов!

Попробуй найти проекции четвертого вектора самостоятельно и сверься с таблицей.

Проекция вектора на плоскость уравнение

Значит, проекцию на ось Х можно найти через косинус.

Не забываем смотреть на направления векторов!

Попробуй найти проекции четвертого вектора самостоятельно и сверься с таблицей.

Видео:Подготовка к экзамену. Динамика.Скачать

Подготовка к экзамену. Динамика.

Заключение

Итак, теперь мы знаем о векторах очень много! Мы выяснили, зачем они нужны и как с ними работать, а еще разобрали их роль в решении различных задач. Теперь векторы — наша прочная опора.

Именно из таких знаний складывается порой нечто более сложное и комплексное, что-то, что безусловно нам однажды поможет.

💡 Видео

ФИЗИКА 10 класс. Проекции вектора на оси координат | ВидеоурокСкачать

ФИЗИКА 10 класс. Проекции вектора на оси координат | Видеоурок

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Основы кинематики. Тема 3. Проекция вектора на осьСкачать

Основы кинематики. Тема 3. Проекция вектора на ось
Поделиться или сохранить к себе: