Проект по теме линейные уравнения (2 видео)

Проект по теме «Линейные уравнения» Руководитель проекта Кудоспаева Надежда Николаевна. Выполнила: Воробьёва Алеся Александровна 14лет Ученица 7 г класса. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемМарта Мелехова

Содержание

Похожие презентации
Презентация 7 класса по предмету «Математика» на тему: «Проект по теме «Линейные уравнения» Руководитель проекта Кудоспаева Надежда Николаевна. Выполнила: Воробьёва Алеся Александровна 14лет Ученица 7 г класса.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:
Исследовательская работа по математике на тему: «Способы решения линейных уравнений, содержащих знак модуля».
Проект по математике 5 класс по теме «Линейные уравнения и способы их решения».
🎦 Видео

Презентация 7 класса по предмету «Математика» на тему: «Проект по теме «Линейные уравнения» Руководитель проекта Кудоспаева Надежда Николаевна. Выполнила: Воробьёва Алеся Александровна 14лет Ученица 7 г класса.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:

2 Проект по теме «Линейные уравнения» Руководитель проекта Кудоспаева Надежда Николаевна. Выполнила: Воробьёва Алеся Александровна 14лет Ученица 7 г класса Средней школы 11

3 Цели проекта. Донести до ребят что такое линейные уравнения и где они использовались в древностиДонести до ребят что такое линейные уравнения и где они использовались в древности.

4 Проект по алгебре «Линейные уравнения» «Линейные уравнения»

5 Линейное уравнение. Линейным уравнением с неизвестным х1, х2, …, хn называют уравнение вида а1х1+а2х2+….+аn x n =b : (1) Линейным уравнением с неизвестным х1, х2, …, хn называют уравнение вида а1х1+а2х2+….+аn x n =b : (1) Числа а1,а2,…,аn называют коэффициентами при неизвестных, число b-свободным членом уравнения Числа а1,а2,…,аn называют коэффициентами при неизвестных, число b-свободным членом уравнения

6 Линейное уравнение с одним неизвестным Линейные уравнения с одним неизвестным умели решать ещё в Древнем Вавилоне и в Египте более 4 тыс. лет назад

7 Задача. Приведём, например,задачу из папируса Ринда ( его называют также папирусом Ахмеса), хранящегося в Британском музее и относящегося к периоду гг. До. Н. э.: «найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитание от полученной суммы её трети получается число10» Приведём, например,задачу из папируса Ринда ( его называют также папирусом Ахмеса), хранящегося в Британском музее и относящегося к периоду гг. До. Н. э.: «найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитание от полученной суммы её трети получается число10»

8 Решение предыдущей задачи. Приведём также задачу Метродора,о жизни которого ни чего не известно, кроме того, что он автор интересных задач, составленных в стихах. Приведём также задачу Метродора,о жизни которого ни чего не известно, кроме того, что он автор интересных задач, составленных в стихах. Решение предыдущей задачи сводится к решению линейного уравнения Решение предыдущей задачи сводится к решению линейного уравнения х+2/3х-1/3(х+2/3х)=10 х+2/3х-1/3(х+2/3х)=10 Откуда х=9. Откуда х=9.

9 Диофант Здесь погребён Диофант, и камень могильный При счёте искусном расскажет нам,Здесь погребён Диофант, и камень могильный При счёте искусном расскажет нам, Сколь долог был его век.Сколь долог был его век.

10 Задача в стихах Но горе ребёнку ! Едва половину он прожил тех лет, что отец, как скончался несчастный,Но горе ребёнку ! Едва половину он прожил тех лет, что отец, как скончался несчастный, Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжелойЧетыре года страдал Диофант от утраты такой тяжелой И умер прожив дня науки. Скажи мне, сколько лет достигнув, смерть воспринял ДиофантИ умер прожив дня науки. Скажи мне, сколько лет достигнув, смерть воспринял Диофант? ВЕЛЕНИЕМ БОГА ОН МАЛЬЧИКОМ БЫЛ ШЕСТУЮ ЧАСТЬ ЧАСТЬ СВОЕЙ ЖИЗНИВЕЛЕНИЕМ БОГА ОН МАЛЬЧИКОМ БЫЛ ШЕСТУЮ ЧАСТЬ ЧАСТЬ СВОЕЙ ЖИЗНИ В ДВЕННАДЦАТОЙ ЧАСТИ ЗАТЕМ ПРОШЛА ЕГО СВЕТЛАЯ ЮННОСТЬВ ДВЕННАДЦАТОЙ ЧАСТИ ЗАТЕМ ПРОШЛА ЕГО СВЕТЛАЯ ЮННОСТЬ СЕДЬМУЮ ЧАСТЬ ЖИЗНИ ПРИБАВИМ. ПРЕД НАМИ ОЧАГ ГИМЕНЕЯСЕДЬМУЮ ЧАСТЬ ЖИЗНИ ПРИБАВИМ. ПРЕД НАМИ ОЧАГ ГИМЕНЕЯ ПЯТЬ лет протекли; и прислал Гименей ему сынаПЯТЬ лет протекли; и прислал Гименей ему сына

11 Решение линейного уравнения к предыдущей задачи. 1/6 х+1/12х+1/7х+5+1/2х+4=х, 14/84х + 7/84х + 12/84х + 42/84х –х = -4-5, 75/84х – х = -9, -9/84х = -9. Х = -9 : (-9/84), Х = 84. Значит, 84 года прожил Диофант

12 Диофант –С–С–С–Сам Диофант много внимания уделял неопределённым уравнениям (так называют алгебраические уравнения или системы таких уравнений с двумя и большим числом неизвестных с целыми,коэффициентами, для которых разыскиваются целые или рациональные решения ; число неизвестных должно быть больше числа уравнений)

13 продолжение Эти уравнения называются диофантовыми уравнениями Эти уравнения называются диофантовыми уравнениями Правда, Диофант, живший на рубеже 2- 3вв., в основном занимался неопределёнными уравнениями более высоких степеней. Правда, Диофант, живший на рубеже 2- 3вв., в основном занимался неопределёнными уравнениями более высоких степеней.

14 Система алгебраических уравнений Систему алгебраических уравнений, каждое из которых имеет вид(1), называют линейной системой. Коэффициенты уравнений, входящих в систему нумеруют обычно двумя индексами,первый из которых номер уравнения,а второй(как и в (1)) номер неизвестного. Например,систему м уравнений с n неизвестными записывают в виде A11x1+a12x2+….+a1nxn =b1, A21x1+a22x2+….+a2nxn =b2 am1x1+am2x2+….+am n x n=b m (2)

15 Система двух линейных уравнений Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: a 11 x 1 +a 12 x 2 =b 1, a 11 x 1 +a 12 x 2 =b 1, A 21 x 1 +a 22 x 2 =b 2 (3) A 21 x 1 +a 22 x 2 =b 2 (3)

16 Уравнение Умножим первое уравнение системы(3) на а 22 и вычтем из полученного уравнения второе, умноженное на а 12 ; аналогично умножим второе уравнение системы(3) на а 11 и вычтем из полученного уравнения первое, умноженное на а 21. Умножим первое уравнение системы(3) на а 22 и вычтем из полученного уравнения второе, умноженное на а 12 ; аналогично умножим второе уравнение системы(3) на а 11 и вычтем из полученного уравнения первое, умноженное на а 21.

17 Полученная система (а11а22-а12а21)х2=а11b2-b1а21, (а11а22-а12а21)х1=b1а22-а12b2 ( (4)

18 Система. После этого получится система: которая есть следствие системы(3). Систему (4) можно записать в виде После этого получится система: которая есть следствие системы(3). Систему (4) можно записать в виде А*х 1 =а 1 А*х 1 =а 1 А* х 2 =а А* х 2 =а

19 Что значит А?Что значит А? А — определитель матрицы,составленной из коэффициентами системы (см. определитель),Аi- Определители матриц, получаемых из предыдущей заменой i-го столбца на столбец из свободных членов,i=1,2. далее, если а не равно нулю, то система(5) имеет единственное решение:

20 Решение Х1=а1/а,х2=а2/а Х1=а1/а,х2=а2/а

21 Непосредственная подстановка Непосредственной подстановкой проверяется, что эта пара чисел является также и решением системы(3). По такому же правилу ищут решение системы nлинейных уравнений с n неизвестными: если определитель системы а отличен от нуля, то система имеет единственное решение, причём Х1=аi/a,

22 Определитель матрицы. Где А- определитель матрицы, получаемой из матрицы, составленной из коэффициентов системы,заменой в ней i-го столбца на столбец из свободных членов. Описанное правило решения линейных систем носит название правила Крамера.(Г. Крамер – швейцарский математик, ). Где А- определитель матрицы, получаемой из матрицы, составленной из коэффициентов системы,заменой в ней i-го столбца на столбец из свободных членов. Описанное правило решения линейных систем носит название правила Крамера.(Г. Крамер – швейцарский математик, ).

23 Если а = 0,то должны обращаться в нуль и а1 и а2 (иначе(5), а тем более (3) не имеет решений). При выполнении условия а=а1=а2=0, если соответственные коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнения системы (3) пропорциональны, то система будет иметь бесконечно много решений; если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля (например,если а12не равно 0),то х1 можно взять любым.Если а = 0,то должны обращаться в нуль и а1 и а2 (иначе(5), а тем более (3) не имеет решений). При выполнении условия а=а1=а2=0, если соответственные коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнения системы (3) пропорциональны, то система будет иметь бесконечно много решений; если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля (например,если а12не равно 0),то х1 можно взять любым.

24 Х любое тогда получается, что, Х 2 =b 1 /a 12 -a 11 x 1 /a 12 Х 2 =b 1 /a 12 -a 11 x 1 /a 12

25 Последняя система. Осталось разобрать случай, когда система имеет вид 0*x1+0*х2=b1 0*x1+0*x2=b2 ( (5)

26 Ответ. Для которого ответ очевиден :если b1=b2=0, то решением является любая пара чисел, в противном случае решений нет.Для которого ответ очевиден :если b1=b2=0, то решением является любая пара чисел, в противном случае решений нет. Если а=0 и хотя бы один из определителей а i отличен от нуля,система несовместна (т.е.не имеет решений). В общем случае для системы из n уравнений с n неизвестными при а=0 система имеет единственное решение, которое, как уже говорилось, можно найти по правилу Крамера. Установить какой из этих двух случаев реализуется с помощью определителей,довольно сложно, и мы этим заниматься не будем

27 Практика. На практике для решения линейных систем правилом Крамера обычно не пользуются. Чаще всего для этих целей, применяют метод Гаусса (см.неизвестных исключение). На практике для решения линейных систем правилом Крамера обычно не пользуются. Чаще всего для этих целей, применяют метод Гаусса (см.неизвестных исключение).

28 Линейное уравнение. Как известно, линейное уравнение а 1 х 1 +а 2 х 2 =b определяет прямую на плоскости(х1;х2)в случае, когда хотя бы один из коэффициентов а1 и а2 отличен от нуля. Как известно, линейное уравнение а 1 х 1 +а 2 х 2 =b определяет прямую на плоскости(х1;х2)в случае, когда хотя бы один из коэффициентов а1 и а2 отличен от нуля.

29 Линейное уравнение. Если мы возьмём на плоскости две прямые то возможны следующие случаи.(рис1)Если мы возьмём на плоскости две прямые то возможны следующие случаи.(рис1)

30 Прямые. 1)прямые параллельны и не имеют общих точек,и тогда система не имеет решений; 1)прямые параллельны и не имеют общих точек,и тогда система не имеет решений; 2)прямые пересекаются, и тогда система имеет одно решение ; 2)прямые пересекаются, и тогда система имеет одно решение ; 3)прямые совпадают, и тогда система имеет бесконечно много решений. 3)прямые совпадают, и тогда система имеет бесконечно много решений.

31 Две прямые. Но две «случайно» взятые прямые, «как правило», будут пересекаться,т.е. как правило, система двух линейных уравнений с двумя переменными будет иметь одно решение. Но две «случайно» взятые прямые, «как правило», будут пересекаться,т.е. как правило, система двух линейных уравнений с двумя переменными будет иметь одно решение.

32 Любая точка некоторой прямой на плоскости соответствует решению «системы» (состоящей из одного уравнения), т.е., как правило, имеет место случай 3 (случай 2 невозможен, а случай 1 реализуется, если мы возьмём уравнение 0*х1+0*х2=b, где b не равно нулю,не определяющее прямой на плоскости). Если же на плоскости взять 3 или больше прямых,то, вообще говоря, они могут все совпадать или проходить через одну точку,но, как правило, имеет место первый случай — у прямых нет общей точки.Любая точка некоторой прямой на плоскости соответствует решению «системы» (состоящей из одного уравнения), т.е., как правило, имеет место случай 3 (случай 2 невозможен, а случай 1 реализуется, если мы возьмём уравнение 0*х1+0*х2=b, где b не равно нулю,не определяющее прямой на плоскости). Если же на плоскости взять 3 или больше прямых,то, вообще говоря, они могут все совпадать или проходить через одну точку,но, как правило, имеет место первый случай — у прямых нет общей точки.

33 Мотивационный материал. Эта тема понадобится ещё в дальнейшем например в Вузах, в институтах, в техникумах и др. она используется везде и даже в школах в старших классах. Эта тема понадобится ещё в дальнейшем например в Вузах, в институтах, в техникумах и др. она используется везде и даже в школах в старших классах.

34 Теоретический курс. Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение,стоящее с лева от знака равенства,называется левой частью уравнения, а выражение,стоящее с права от знака равенства, -правой частью уравнения. Каждое слагаемое левой или правой части уравнения называется членом уравнения. Выражение,стоящее с лева от знака равенства,называется левой частью уравнения, а выражение,стоящее с права от знака равенства, -правой частью уравнения. Каждое слагаемое левой или правой части уравнения называется членом уравнения.

35 Корень уравнения. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение- это значит найти все его корни или установить,что их нет. Решить уравнение- это значит найти все его корни или установить,что их нет.

36 Задача. Конверт с новогодней открыткой стоит 17к. Конверт дешевле открытки на 5к. Найти стоимость открытки. Решение Решение Пусть открытка стоит х к., тогда конверт стоит (х-5) к. Пусть открытка стоит х к., тогда конверт стоит (х-5) к. По условию задачи х +(х-5)=17, откуда По условию задачи х +(х-5)=17, откуда 2х-5=17, 2х=22, х=11. 2х-5=17, 2х=22, х=11. Значит, открытка стоит 11 копеек. Значит, открытка стоит 11 копеек. Ответ : 11 к. Ответ : 11 к.

37 Практическое применение. Уравнение может иметь бесконечно много решений. Например,уравнение 2(х-1)=2х-2 имеет бесконечно много корней: любое значение х является корнем этого уравнения, так как при любом х левая часть уравнения равна правой части. Уравнение может и не иметь корней.

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Исследовательская работа по математике на тему: «Способы решения линейных уравнений, содержащих знак модуля».

Понятие «модуль» широко применяется во многих разделах школьного курса математики, например, в изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике будут изучаться понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях. Несмотря на то, что тема «Модуль числа» проходит «красной нитью» через весь курс школьной и высшей математики, для ее изучения по программе отводится очень мало времени (в 6 классе -2 часа, в 8 классе — 4 часа).

Исходя из всего вышесказанного, возникает проблема: найти разнообразные методы в обучении решению задач с модулем.

Практически у каждого обучающегося вызывают затруднения задания, содержащие модуль. Это один из самых трудных материалов, с которыми школьники сталкиваются на экзаменах (в заданиях ЕГЭ это задания С5 и С6).

Считаю, что эта тема требует более глубокого исследования, так как она прослеживается в различных заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, в заданиях вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения и на ЕГЭ.

Указанные обстоятельства обусловили мой выбор темы исследовательской работы.

Основной целью работы считаю получение расширенной информации о модуле числа, его применении, а также о различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

Цель исследовательской работы определяет следующие задачи:

— показать необходимость более глубокого рассмотрения темы «Решение линейных уравнений, содержащих знак модуля» в школьной программе;

— разработать алгебраический метод решения линейных уравнений, содержащих знак модуля;

— разработать графический методы решения линейных уравнений, содержащих знак модуля.

Я предположила, что в результате исследования я смогу показать своим одноклассникам и друзьям, что решение уравнений с модулями не являются одним из сложнейших заданий.

Формулирование цели исследовательской работы определяет:

объект исследования – решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины;

предмет исследования – алгебраический и графический методы решения линейных уравнений, содержащих знак модуля.

Видео:Линейное уравнение с одной переменной. 6 класс.Скачать

Проект по математике 5 класс по теме «Линейные уравнения и способы их решения».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное Казённое Образовательное Учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №4»

Научный проект по математике

«Виды линейных уравнений»

Ученица 5Г класса

2016-2017 уч. год

1.1 Возникновение проблемы.

1.2 Цель и задачи проекта.

2. Теоретическая часть:

2.1 Понятие линейного уравнения.

2.2 Случаи решения линейного уравнения.

3. Практическая часть:

3.3 Решение уравнений с дробными коэффициентами (с переносом

Примеры решение уравнений.

3.4 Применение линейных уравнений при решении задач.

4. Заключение: Решение линейных уравнений, делением на коэффициент.

Примеры решение уравнений.

3.2 Решение линейных уравнений, способом переноса слагаемых

из одной части равнения в другую.

Примеры решение уравнений.

6. Отзыв учителя.

7. Информационные ресурсы.

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Актуальность: чтобы перейти к исследованию данной темы, нам необходимо было ответить на вопрос «Зачем нужно изучать уравнения?». С линейными уравнениями мы знакомы из математики начальной школы, но в курсе 6 класса будет изучена новая тема — перенос слагаемых из одной части уравнения в другую и свойства уравнений. Этот материал в курсе математики -5 класса представляет некоторую сложность и научный интерес.

Проблема: углубить представления об уравнениях. Ответить на вопрос: «Какими способами можно решить уравнение и показать где, когда и какие уравнения приходится решать современному человеку.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал и изучить новый.

Цель и задачи проекта.

Цель проекта: Рассмотреть различные виды линейных уравнений и способы их решений.

Рассмотреть виды линейных уравнений.

Привести примеры различных способов решения уравнений..

Обобщить знания по этой теме.

Защитить проект и приготовить презентацию.

2.1 Понятие линейного уравнения.

Существуют уравнение в правах, уравнение времени (перевод истинного солнечного времени в среднее солнечное время, принятое в общежитии и в науке; астр.) и т.д..

В математике – это математическое равенство, содержащее одну или несколько неизвестных величин и сохраняющее свою силу только при определенных значениях этих неизвестных величин.

В уравнениях с одной переменной неизвестное обычно обозначают буквой «х».

Уравнения бывают разных видов:

ax + b = 0. — Линейное уравнение.

ax2 + bx + c = 0. — Квадратное уравнение.

ax3 + bx2 + cx + d = 0. — Кубическое уравнение.

ax4 + bx2 + c = 0. — Биквадратное уравнение.

Уравнение вида a·x=b, где x – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Примеры линейных уравнений.

5·x=10 – это линейное уравнение с одной переменной x, здесь коэффициент a равен 5, а число b есть 10.

− 2,3·y=0 – это тоже линейное уравнение, но с переменной y, в котором a=−2,3 и b=0.

А в линейных уравнениях x=−2 и −x=3,33 числовые коэффициенты a не присутствуют в явном виде и равны 1 и −1 соответственно, при этом в первом уравнении b=−2, а во втором — b=3,33.

А годом ранее в учебнике математики Виленкина Н. Я. линейными уравнениями с одним неизвестным помимо уравнений вида a·x=b считали и уравнения, которые можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также с помощью приведения подобных слагаемых. Согласно этому определению, уравнения вида 5·x=2·x+6, и т.п. тоже линейные.

2.2 Случаи решения линейного уравнения.

Рассмотрим способы решения линейных уравнений a·x+b=0. Выясним , имеет ли линейное уравнение корни, и если имеет, то сколько их и как их найти.

Наличие корней линейного уравнения зависит от значений коэффициентов a и b. При этом линейное уравнение a·x+b=0 имеет

единственный корень при a≠0,

не имеет корней при a=0 и b≠0,

имеет бесконечно много корней при a=0 и b=0, в этом случае любое число является корнем линейного уравнения.

При a=0 линейное уравнение a·x+b=0 принимает вид 0·x+b=0. Из этого уравнения и свойства умножения чисел на нуль следует, что какое бы число мы не взяли в качестве x, при его подстановке в уравнение 0·x+b=0 получится числовое равенство b=0. Это равенство верное, когда b=0, а в остальных случаях при b≠0 это равенство неверное.

Следовательно, при a=0 и b=0 любое число является корнем линейного уравнения a·x+b=0, так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа дает верное числовое равенство 0=0. А при a=0 и b≠0 линейное уравнение a·x+b=0 не имеет корней, так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа приводит к неверному числовому равенству b=0.

Приведенные обоснования позволяют сформировать последовательность действий, позволяющую решить любое линейное уравнение. Итак, алгоритм решения линейного уравнения таков:

Сначала по записи линейного уравнения находим значения коэффициентов a и b.

Если a=0 и b=0, то это уравнение имеет бесконечно много корней, а именно, любое число является корнем этого линейного уравнения.

Если a=0 и b≠0, то исходное уравнение не имеет корней.

Если же a отлично от нуля, то

коэффициент b переносится в правую часть с противоположным знаком, при этом линейное уравнение преобразуется к виду a·x=−b,

после чего обе части полученного уравнения делятся на отличное от нуля число a, что и дает искомый корень исходного линейного уравнения .

Записанный алгоритм является исчерпывающим ответом на вопрос, как решать линейные уравнения.

Похожий алгоритм применяется для решения уравнений вида a·x=b. Его отличие состоит в том, что при a≠0 сразу выполняется деление обеих частей уравнения на это число, здесь b уже находится в нужной части уравнения и не нужно осуществлять его перенос.

Для решения уравнений вида a·x=b применяется такой алгоритм:

Если a=0 и b=0, то уравнение имеет бесконечно много корней, которыми являются любые числа.

Если a=0 и b≠0, то исходное уравнение не имеет корней.

Если же a отлично от нуля, то обе части уравнения делятся на отличное от нуля число a, откуда находится единственный корень уравнения, равный b/a.