Проект по теме квадратные уравнения и способы их решения

Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Значимость ее заключается не только в теоретическом значении для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.

Просмотр содержимого документа
«Исследовательская работа на тему»10 способов решения квадратных уравнений»»

Муниципальное учреждение «Отдел образования администрации муниципального района Мишкинский район

Муниципальное Бюджетное Общеобразовательное

Учреждение Лицей № 1 им. Флорида Булякова с. Мишкино

Тема: 10 способов решения квадратных уравнений

Выполнила: ученица 9 В класса

МБОУ Лицей № 1 им. Флорида Булякова с. Мишкино

Руководитель: учитель математики

МБОУ Лицей № 1 им. Флорида Булякова с. Мишкино

Алексеева Гузель Фанавиевна

Мишкино 2017 год

Исторические сведения о квадратных уравнениях……………………..стр.4

Определение квадратного уравнения………………………………. стр.7

Способы решения квадратных уравнений…………………………. стр.8

Разложение на множители левой части……………………………. стр.10

Метод выделения полного квадрата…………………………………стр.10

Решение квадратных уравнений по формуле…………………. стр.11

Решение уравнений с использованием теоремы Виета………. стр.11

Решение уравнений способом «переброски»…………………. стр.12

Свойства коэффициентов квадратного уравнения………………….стр.13

Графическое решение квадратного уравнения……………………. стр.13

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки….стр.14

Уменьшение степени уравнения (использование теоремы Безу)….стр.15

Геометрический способ решения квадратных уравнений…………стр.15

Тренировочные задания для отработки различных способов решения квадратных уравнений…………………………………………………. стр.16

Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Значимость ее заключается не только в теоретическом значении для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.

В школьной программе рассматривается только 3 способа их решения. Готовясь к предстоящим экзаменам, я заинтересовался другими способами их этих уравнений. Поэтому я выбрала тему «10 способов решения квадратных уравнений».

Актуальность темы: на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно, и рационально решать квадратные уравнения, что также пригодится и при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов. Плюс выбранная тема мне очень интересна.

Цель работы: выявить способы решения уравнений второй степени и рассмотреть применение данных способов решения квадратных уравнений на конкретных примерах.

1) Проследить историю развития теории и практики решения квадратных уравнений;

2) Описать технологии различных существующих способов решения квадратных уравнений;

3) Выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;

4) Подобрать тренировочные задания для отработки изученных приемов;

5) Провести кружок для одноклассников.

Гипотеза: любое квадратное уравнение можно решить всеми существующими способами.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.

теоретические: изучение литературы по теме исследования, изучение тематических Интернет-ресурсов;

анализ полученной информации;

сравнение способов решения квадратных уравнений на удобство и рациональность.

Время исследования: с 12 октября 2016 года по 20 декабря 2016 года.

Исторические сведения о квадратных уравнениях.

Уравнения второй степени умели решать еще в древнем Вавилоне. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид — при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактах.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем, виде имеется у Виета. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Квадратные уравнения в древнем Вавилоне

В математических текстах, выполненных клинописью на глиняных пластинках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При этом вавилоняне также не использовали букв, а приводили решение «типовых» задач, из которых решение аналогичных задач получались заменой числовых данных.

Необходимость решать квадратные уравнения возникла ещё в древности, была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются кроме неполных квадратных уравнений и полные уравнения. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общее методы решения квадратных уравнений.

Квадратные уравнения у ал-Хорезми

В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений. Основная идея для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-Джабр и ал-Мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с современным решением. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и все математики до XVII века., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

XIII-XVII ввКвадратные уравнения в Европе . Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII в.

Квадратные уравнения в ИНДИИ

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «АРИАБХАТТИАМ», составленном в 499г. индийским математиком и астрономом АРИБХАТТОЙ. Другой индийский ученый, БРАХМАГУПТА VII век, изложил общее правило решения квадратных уравнений приведенных к единой канонической форме. В уравнении коэффициенты, кроме положительных, могут быть и отрицательными. Правило БРАХМАГУПТЫ по существу совпадает с современным решением. В древней ИНДИИ были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующие: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Одна из задач знаменитого индийского математика XIIв. Бхаскары:

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам…

Стали прыгать повисая…

Сколько было обезьянок

Ты скажи мне, в этой стае?

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Часть страницы из алгебры Бхаскары (вычисление корней).

2.Определение квадратного уравнения

Квадратным уравнением называют уравнение вида ах²+bх+с=0, где коэффициенты а, b, с — любые действительные числа, причем, а≠0. Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а – первый или старший коэффициент; b – второй или коэффициент при х; с – свободный член, свободен от переменной х.

Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

х²+рх+q=0 – стандартный вид приведенного квадратного уравнения

Кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.

Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.

Корнем квадратного уравнения ах²+вх+с=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах²+bх+с обращается в нуль.

Можно сказать и так: корень квадратного уравнения – это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство (0=0).

Решить квадратное уравнение – найти все его корни или установить, что их нет.

3.Способы решения квадратных уравнений

Сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать.

Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Научно-исследовательсий проект по теме «Квадратные уравнения и способы их решения»

Данная работа была выполненена в рамках научно-практической конференции «Шаг в науку». Работа заняла второе место в конкурсе научно-исследовательских проектов, была представлена на заседании ГМО учителей математики. Презентацию к работе можно скачать здесь: https://yadi.sk/i/bBw7ic-X791BCg

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Скачать:

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Предварительный просмотр:

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Квадратные уравнения и способы их решения»

Автор: Колганов Андрей Алексеевич

Руководитель: Латышева Наталья Алексеевна,

1. Опрос учащихся 8-10 классов и его результаты, стр. 3-4
2. История квадратных уравнений…………………стр. 5-9

1. Квадратные уравнения в Вавилоне. стр. 5
2. Квадратные уравнения в Индии. стр. 5-6
3. Квадратные уравнения в Китае. стр. 6
4. Квадратные уравнения в Древней Греции. стр. 7
5. Квадратные уравнения в Древнем Египте. стр. 7-8
6. Квадратные уравнения в Средней Азии. стр. 8-9
7. Квадратные уравнения в Европе. стр. 9

1. Способы решения квадратных уравнений . стр. 10-14
2. Итоги. стр.14
3. Список литературы . стр.15

Образовательное учреждение: МОУ «Лицей №1», город Подольск Московской области, ул. Большая Серпуховская, д.2/24, тел. 63-01-82

Название тезисов: «Квадратные уравнения и способы их решения».

Автор: Колганов Андрей Алексеевич

Руководитель: Латышева Наталья Алексеевна, учитель математики.

Изучить устные приёмы решения квадратных уравнений.

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Гипотеза:

Видео:Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

Используя устные приёмы некоторые виды уравнений можно решать легко и просто.

Видео:Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать

Актуальность:

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

В 8 классе в курсе алгебры изучается тема «Квадратные уравнения». При изучении этой темы затруднение вызывает решение квадратных уравнений с большими коэффициентами, так как в ходе решения необходимо выполнять много вычислений , извлекать корни из больших чисел. Исходя из актуальности данной проблемы, мне стало интересно найти и изучить приёмы и способы, облегчающие решение всех этих задач.

Видео:Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Задачи проекта:

Изучить историю развития теории и практики решения квадратных уравнений; устные способы их решения. Научиться применять данные способы при решении уравнений с большими коэффициентами. Подобрать тренировочные упражнения для отработки изученных приёмов.

Видео:Как решать квадратные уравнения без дискриминантаСкачать

Методы исследования:

1. Работа с научно-популярной литературой для более детального изучения проблемы.

2. Социологическое исследование.

3. Анализ полученных результатов, обработка данных

Видео:Решение квадратных уравнений. Метод разложения на множители. 8 класс.Скачать

Этапы исследования:

1. Опрос на тему: «Квадратные уравнения. Способы их решения. Трудности при решении».
2. Изучение теоретического материала по дано теме и различных способов решения квадратных уравнений.
3. Освоение устных приёмов решения квадратных уравнений
4. Создание презентации для использования на занятиях математического кружка или для самостоятельного изучения учащимися данного вопроса.

«Большинство жизненных задач

решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду».

Лев Николаевич Толстой.

Проводя опрос, учащимся разных классов (8-10) был предложен ряд вопросов (с вариантами ответов):

1) Умеете ли вы решать квадратные уравнения? Да или Нет

2) Какими способами решения квадратных уравнений вы владеете?

А. выделение полного квадрата

Б. по формуле через D

В. по формуле через D 1 Г. другие.

3) Какие сложности вы испытываете при решении квадратных уравнений?

А. не знаю формул

Б. сложно вычислять

В. путаю коэффициенты Г. допускаю вычислительные ошибки Д. слишком много времени уходит на решение

Е. не испытываю затруднений

4) Знакомы ли вам какие-либо другие пути решения квадратных уравнений? Да или Нет

1. Первый вопрос (Умеете ли вы решать квадратные уравнения?).

Абсолютно все участники анкетирования умеют решать квадратные уравнения.

1. Второй вопрос (Какими способами решения квадратных уравнений вы владеете? ).

Большинство учеников по показаниям опроса при решении уравнений чаще всего пользуются приобретёнными в школе навыками (через D или D 1 ).

1. Третий вопрос (Какие сложности вы испытываете при решении квадратных уравнений?).

Проблемы, возникающие у учащихся разных классов, в целом одинаковы, они заключаются в сложности вычислительных действиях.

1. Четвёртый вопрос ( Знакомы ли вам какие-либо другие пути решения квадратных уравнений?).

Многие участники анкетирования пользуются школьными приёмами решения квадратных уравнений, но при этом знают другие способы.

• Все школьники умеют решать квадратные уравнения.
• Некоторые знают иные пути решения, но в основном они пользуются обычными школьным приёмом нахождения корней через D.
• Способ решения квадратных уравнений через D подходит для всех квадратных уравнений, но, как выяснилось в ходе опроса, при решении уравнений с большими коэффициентами возникают затруднения, связанные с вычислением: сложно вычислять и велика вероятность допустить вычислительные ошибки.
• В некоторых случаях этих трудностей можно избежать.

2.1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость обратить внимание на квадратные уравнения в Древности была вызвана потребностью решения задач, связанных с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне [1] . В их клинописных текстах встречаются уравнения типа:

X 2 + X = ; X 2 — X = 14, 5.

В действительности правило решения этих уравнений, предложенное в Вавилоне, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, всё же в клинописных текстах отсутствуют общие методы решения квадратных уравнений.

2.2. Квадратные уравнения в Индии

Уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой встречаются задачи на квадратные уравнения. Индийские учёные внесли огромный вклад в науку, учёный Брахмагупта (VII в.) в свою очередь, изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой установленной форме:

ах 2 + bх = с, а > 0.

В данном уравнении коэффициенты, кроме а , могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты собственно совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары [2] :

«Обезьянок резвых стая,

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась,

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая…

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?»

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая…

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Вот уравнение соответствующее задаче:

Бхаскара пишет под видом (он раскрывает скобки, домножая уравнение на 64, и переносит все неизвестные в левую часть, а известные в правую):

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем:

х 2 — 64х + 32 2 = -768 + 1024,

х 1 = 16, х 2 = 48. [2]

Сейчас метод, используемый Бхаскарой в этой задаче, известен как выделения полного квадрата.

2.3. Квадратные уравнения в Древнем Китае

Наиболее содержательное математическое сочинение древнего Китая — «Математика в девяти книгах». Это слабо согласованная книга более старых трудов разных авторов, предназначенная для землемеров, инженеров, чиновников и торговцев. Задачи на квадратные уравнения встречаются именно там.

Вот одна из них:

«Имеется город с границей в виде квадрата со стороной неизвестного размера, в центре каждой стороны находятся ворота, на расстоянии 20 бу (1 бу=1,6м) от северных ворот (вне города) стоит столб, если пройти от южных ворот 14 бу прямо, затем повернуть на запад и пройти еще 1775 бу, то можно увидеть столб. Спрашивается: какова сторона границы города?» [1]

Обозначим сторону квадрата через х. Из подобия треугольников ВЕД и АВС получим . Поэтому чтобы определит неизвестную сторону квадрата, получаем квадратное уравнение х 2 +(k+l)-2kd=0 , в данном случае уравнение имеет вид: х 2 +34х-71000=0, откуда х=250 (бу). Отрицательных корней (в данном случае х=-284) китайские математики не рассматривали.

2.4. Квадратные уравнения в Древней Греции.

Знаменитый древнегреческий математик Диофант, живший предположительно в III веке н. э., умел составлять и решать квадратные уравнения. В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления квадратных уравнений.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач:

«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96».

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 — х.

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения:

у 2 — 20у + 96 = 0.

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.

Греческий математик Герон (I или II век нашего летосчисления) вывел формулу для решения квадратного равнения ax 2 + bx = c умножением всех

членов на а и прибавлением к обеим половинам уравнения.

А в общей сложности все м атематики Древней Греции для решали линейные и квадратные уравнения геометрически [1] . Выбирали способ решения квадратного уравнения, обращая внимание на его вид.

2.5. Квадратные уравнения в Древнем Египте.

Познания о древнеегипетской математике сформированы главным образом на двух больших папирусах математического характера и на нескольких небольших отрывках [7] . Содержащиеся в них математические сведения относятся примерно к 2000г. до н.э. Это папирусы Ринда (по имени обнаружившего его ученого), хранится один из них в Лондоне, другой большой папирус находится в Москве. Папирус Ринда представляет собой собрание 84 задач прикладного характера.

Вот надпись из берлинского папируса эпохи среднего царства (2000-1800г. до н.э.):

«Квадрат и другой квадрат, сторона которого есть стороны первого квадрата, имеют вместе площадь 100. Вычисли мне это» [6] .

Ответ звучит так (геометрическое решение):

Возьми квадрат со стороной 1, и возьми от 1, то есть в качестве стороны второй площади. Помножь на самого себя; это дает . Поскольку сторона первой площади взята за 1, а второй за , то сложи обе площади вместе; это дает . Возьми корень отсюда: это будет . Возьми корень из данных 100: это будет 10. Сколько раз входит в 10? 8 раз.

Далее текст на папирусе прочесть невозможно, но конец очевиден: 8 × 1 = 8 — сторона первого квадрата, 8 ×( ) = 6 — второго.

Древнеегипетские вычислители использовали дроби вида , где k-целое положительное число и дроби , . Условие задачи можно записать так: х 2 + ( ) +2х 2 =100. Египтяне умели решать только линейные и простейшие квадратные уравнения с одним неизвестным [6] .

2. 6. Квадратные уравнения в Средней Азии.

Знаменитым среднеазиатским ученым, изучавшим квадратные уравнения, был ал — Хорезми.

В алгебраическом трактате ал — Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Он насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = bх.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .

Для ал — Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих

уравнений слагаемые, а не вычитаемые.

При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Ал — Хорезми излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал — джабр и ал – мукабала [1] . Слова «аль-джебр» и «алмукабала» означали две простейшие алгебраические операции при решении уравнений [3] .

Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения ал — Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения.

При решении полных квадратных уравнений ал — Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

«Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

Решение звучит так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал — Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения [3] .

2.7. Квадратные уравнения в Европе.

В Европе формулы для решения квадратных уравнений, по образцу ал — Хорезми, были впервые изложены в « Книге абака» итальянским математиком Леонардо Фибоначчи в 1202 году [4] .

Он самостоятельно разработал некоторые новые алгебраические примеры решения задач, и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому установленному виду:

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имелся у французского учёного Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Из итальянских математиков Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. стали учитывать, помимо положительных, и отрицательные корни [5] . Лишь в XVII в. благодаря труду Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

3 . С пособы решения квадратных уравнений

Для начала повторим то, что нам уже известно. Квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение общего вида: де — x свободная переменная, a,b и c — коэффициенты, причём a 0 .

В школьной программе мы изучаем всего несколько различных способов решения квадратных уравнений, такие как:

1. Решение через дискриминант, при этом:

1. Если D > 0 , то квадратное уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле
2. Если D = 0 , то квадратное уравнение имеет единственный корень ;
3. Если D , то действительных корней нет;

1. Решение через D 1 (в случае если коэффициент b чётной), который находится по формуле D 1 где k = , отсюда формула нахождения корней: . Данный способ облегчает решение уравнения, но коэффициент b не всегда чётный;

1. Исходя из теоремы Виета, учащиеся методом подбора могут находить корни приведённого квадратного уравнения. По теореме Виета в уравнении сумма корней равна его второму коэффициенту , а произведение – свободному члену q, тоесть: ;
2. Также учениками изучается способ выделение полного квадрата, используется он реже всего.

Т еперь давайте разберём способы, облегчающие решение некоторых квадратных уравнений:

Способ № I : «Решение уравнений способом «переброски»». [9]

Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + аbх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем: х 1 = и х 2 = .

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, отсюда и название. Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета.

Видео:Метод выделения полного квадрата. 8 класс.Скачать

Проект по математике на тему: «Квадратные уравнения и способы их решения «

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

ОГАОУ ДПО «Белгородский институт развития образования»

и способы их решения

Кичигина Галина Михайловна

МБОУ «Репьевская ООШ»

Практически все, что окружает современного человека — это все так или иначе связано с математикой. А достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем решение многих практических задач сводится к решению квадратных уравнений.

Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они представляют собой большой и важный класс уравнений, которые решаются как с помощью формул, так и с помощью нестандартных способов. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств.

В школьном курсе математики мы изучили квадратные уравнения, узнали различные способы решения уравнений второй степени. Этот материал нас заинтересовал, и мы решили узнать, существуют ли другие способы решения квадратных уравнений. Это определило тему нашего исследования: «Квадратные уравнения и методы их решения».

В учебниках мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем решение по формулам. Нам пришла идея рассмотреть те способы решения квадратных уравнений, на которые недостаточно времени уделено на уроках или совсем не рассматриваются в школьном курсе. Вместе с тем, современные научно – методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.

Цель исследования : изучение различных методов решения квадратных уравнений .

1. Произвести анализ учебно – методической литературы по решению квадратных уравнений.
2. Произвести анализ различных способов решения квадратных уравнений.
3. Изучить различные способы решения квадратных уравнений , апробировать их на практике, собрать дидактический материал . (Приложения 1-3) .

Гипотеза: существуют методы решения квадратных уравнений не изучаемые в школе.

Новизна исследования состоит в комплексном рассмотрении способов решения уравнений второй степени.

Объект исследования : квадратные уравнения.

Предмет исследования : методы решения квадратных уравнений.

Практическая значимость работы состоит в приобретении навыка решения квадратных уравнений различными способами.

Применяемые методы исследования :

1) эмпирические: изучение литературы, обработка материалов.

2) теоретические: сравнение, классификация, анализ, обобщение.

Структура работы: работа состоит из введения, теоретической и практической частей, заключения, списка литературы и приложения.

1. История развития квадратных уравнений.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Уравнения — это наиболее объёмная тема всего курса математики.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. «Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37.», — поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес.

В древних математических задачах Междуречья, Индии . [4, c.23], Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) — собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Уравнения второй степени умели решать еще в древнем Вавилоне. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения с помощью геометрических построений [4, c.21]; например, Евклид — при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактах.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения: X 2 + X = ѕ; X 2 — X = 14,5 . [4, c.20]

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 — х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение: (10 + х)(10 — х) = 96

или же: 100 — х 2 = 96, х 2 — 4 = 0 (1) Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа. Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения: у(20 — у) = 96,

у 2 — 20у + 96 = 0. (2)

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

1.3 Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам» [4, c.23], составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта ( VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах 2 + b х = с, а > 0. (1)

В уравнении (1) коэффиценты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).

Соответствующее задаче 13 уравнение: ( x /8) 2 + 12 = x .

Бхаскара пишет под видом: х 2 — 64х = -768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем:

х 2 — 64х + 32 2 = -768 + 1024,

(х — 32) 2 = 256, х — 32 = ± 16, х₁ = 16, х₂ = 48.

1.4 Квадратные уравнения у ал – Хорезми

В алгебраическом трактате ал — Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = b х.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = b х.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .

Для ал — Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал — джабр и ал — мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал — Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал — Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал — Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал — Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII .

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: х 2 + bx = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

1.6 О теореме Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D , умноженное на A — A 2 , равно BD , то A равно В и равно D ».

Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А, как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х), гласные же В, D — коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место (а + b )х — х 2 = ab , т.е. х 2 — (а + b )х + а b = 0, то х₁ = а, х₂ = b .

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. [4, c.25]

Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

Способы решения квадратных уравнений.

Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения ( Приложение 1).

Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно остановимся на каждом из них.

1 способ : разложение левой части уравнения на множители.

х 2 + 10х — 24 = 0 .

Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х — 24 = х 2 + 12х — 2х — 24 = х(х + 12) — 2(х + 12) = (х + 12)(х — 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = — 12. Это означает, что число 2 и — 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х — 24 = 0.

2 способ : метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х 2 + 6х — 7 = 0.

Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде:

х 2 + 6х = х 2 + 2• х • 3.

В полученном выражении первое слагаемое — квадрат числа х, а второе — удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как х 2 + 2• х • 3 + 3 2 = (х + 3) 2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения

прибавляя к ней и вычитая 3 2 . Имеем:

х 2 + 6х — 7 = х 2 + 2• х • 3 + 3 2 — 3 2 — 7 = (х + 3) 2 — 9 — 7 = (х + 3) 2 — 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 — 16 =0, (х + 3) 2 = 16.

Следовательно, х + 3 — 4 = 0, х₁ = 1, или х + 3 = -4, х₂ = -7.

3 способ : решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах 2 + b х + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

4а 2 х 2 + 4а b х + 4ас = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 — 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 — 4ac,

2ax = — b ± √ b 2 — 4ac,

Примеры . Сколько корней имеет уравнение?

а) 4х 2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 — 4 ac = 7 2 — 4 • 4 • 3 = 49 — 48 = 1,

D > 0, два разных корня;

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

b 2 — 4 ac >0 , уравнение ах 2 + b х + с = 0 имеет два различных корня.

а = 4, b = — 4, с = 1, D = b 2 — 4 ac = (-4) 2 — 4 • 4 • 1= 16 — 16 = 0,

D = 0, один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b 2 — 4 ac = 0 , то уравнение

ах 2 + b х + с = 0 имеет единственный корень,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b 2 — 4 ac = 3 2 — 4 • 2 • 4 = 9 — 32 = — 13 , D

Данное уравнение корней не имеет.

Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b 2 — 4 ac ,

уравнение ах 2 + b х + с = 0 не имеет корней.

Формула (1) корней квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

4 способ : решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x ₁ x ₂ = q ,

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен ( q > 0 ), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p . Если р > 0, то оба корня отрицательны, если р

Например, x 2 – 3 x + 2 = 0; x ₁ = 2 и x ₂ = 1, так как q = 2 > 0 и p = — 3

x 2 + 8 x + 7 = 0; x ₁ = — 7 и x ₂ = — 1, так как q = 7 > 0 и p = 8 > 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен ( q ), то имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p , или отрицателен, если p > 0 .

Пример: x 2 + 4 x – 5 = 0; x ₁ = — 5 и x ₂ = 1, так как q = — 5 и p = 4 > 0;

5 способ : решение уравнений способом «переброски»( Приложение 2).

Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а 2 х 2 + а b х + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению

у 2 + by + ас = 0, равносильно данному. Его корни у₁ и у₂ найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х₁ = у₁/а и х₁ = у₂/а.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример. Решим уравнение 2х 2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у 2 – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

у₁ = 5 х₁ = 5/2 x ₁ = 2,5

6 способ : свойства коэффициентов квадратного уравнения (Приложение 2)

А. Пусть дано квадратное уравнение

ах 2 + b х + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х₁ = 1

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

Согласно теореме Виета

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

x₁ + x₂ = — а + b/a= -1 – c/a,

1) Решим уравнение 345х 2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

2)Решим уравнение 132х 2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

Б. Если второй коэффициент b = 2 k – четное число, то формулу корней

Решим уравнение 3х2 — 14х + 16 = 0.

Решение . Имеем: а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7 ;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;

В. Приведенное уравнение х 2 + рх + q = 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней принимает вид:

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р — четное число.

Пример. Решим уравнение х 2 – 14х – 15 = 0.

7 способ : Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении х 2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х 2 = — px — q .

Построим графики зависимости у = х 2 и у = — px — q .

График первой зависимости — парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости — прямая (рис.1). Все данные вводим в программу«Advanced Grapher» и получаем ответы [13].

Искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B (х₁ ;0) и D (х₂ ;0), где х₁ и х₂ – корни уравнения ах 2 + bх + с=0, и проходит через точки А (0;1) и С (0; ) на оси ординат. [5, c.34]

Возможны следующие случаи:

— прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

— прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

— прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

1) Решим графически уравнение х 2 — 3х — 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 3х + 4.

Построим параболу у = х 2 и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13) . Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х₁ = — 1 и х₂ = 4.

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х 2 — 2х + 1 = 0.

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 2х — 1.

Построим параболу у = х 2 и прямую у = 2х — 1.

Прямую у = 2х — 1 построим по двум точкам М (0; — 1)

и N (1/2; 0) . Прямая и парабола пересекаются в точке А с

3) Решим графически уравнение х 2 — 2х + 5 = 0 (рис. 4).

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 5х — 5. Построим параболу у = х 2 и прямую у = 2х — 5. Прямую у = 2х — 5 построим по двум точкам М(0; — 5) и N (2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Уравнение х 2 — 2х + 5 = 0 корней не имеет.

8 способ :: решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика. Найти корни квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5). [5, c.34]

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х₁; 0 ) и D (х₂; 0), где х₁ и х₂ — корни уравнения ах 2 + b х + с = 0 , и проходит через точки А(0; 1) и С(0; c / a ) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC , откуда OC = OB • OD / OA = х₁х₂/ 1 = c / a .

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK , восстановленных в серединах хорд AC и BD , поэтому

Итак: 1) построим точки (центр окружности) и A (0; 1) ;

2) проведем окружность с радиусом SA ;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра ( AS > SK , или R > a + c /2 a ) , окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х₁; 0) и D (х₂; 0) , где х₁ и х₂ — корни квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 .

2) Радиус окружности равен ординате центра ( AS = SB , или R = a + c /2 a ) , окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х₁; 0), где х₁ — корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Пример. Решим уравнение х 2 — 2х — 3 = 0 (рис. 7).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA , где А (0; 1).

9 способ : решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Это старый и незаслуженно забыты способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990) [ 3, c.83] .

Таблица XXII . Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 . Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициен там определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.11):

Полагая ОС = р, ED = q , ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

1) Для уравнения z 2 — 9 z + 8 = 0 номограмма дает корни z ₁ = 8,0 и z ₂ = 1,0 (рис.12).

2) Решим с помощью номограммы уравнение

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение

Номограмма дает корни z ₁ = 4 и z ₂ = 0,5.

3) Для уравнения

z 2 — 25 z + 66 = 0

коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5 t , получим уравнение t 2 — 5 t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t ₁ = 0,6 и t ₂ = 4,4, откуда z ₁ = 5 t ₁ = 3,0 и z ₂ = 5 t ₂ = 22,0.

10 способ : геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми.

1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD , достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х 2 + 10х + 25. Заменяя

х 2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64 , откуда следует, что сторона квадрата ABCD , т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

А вот, например, как древние греки решали уравнение у 2 + 6у — 16 = 0.

Решение представлено на рис. 16, где у 2 + 6у = 16,

или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у 2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у₁ = 2, у₂ = — 8 (рис.16).

3) Решить геометрически уравнение у 2 — 6у — 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаему 2 — 6у = 16.

На рис. 17 находим «изображения» выражения у 2 — 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению у 2 — 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у — 3. Заменяя выражение у 2 — 6у равным ему числом 16,

получаем: (у — 3) 2 = 16 + 9, т.е. у — 3 = ± √25, или у — 3 = ± 5, где у₁ = 8 и у₂ = — 2.

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений. Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней. Здесь мы остановилась на вопросе решения квадратных уравнений, а что, если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ. В результате изучения новых способов решения квадратных уравнений мы получили возможность решать уравнения не только по формуле, но и более интересными способами. Решили множество уравнений, изучили программу «Advanced Grapher».Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт. Данная исследовательская работа может быть использована учителями математики на уроках и элективных курсах по математике при изучении темы «Квадратные уравнения» (Приложения 1-3), учениками для расширения и углубления знаний по решению квадратных уравнений. Любой учащийся, используя эту исследовательскую работу, может самостоятельно изучить данную тему (Приложения 1-2).

Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должны заинтересовать увлекающихся математикой учеников, всё это нам даёт возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

1. Алимов, Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. / Пробный учебник для 6-8 классов средней школы. — М., Просвещение, 1981.

2 . Арутюнян, Е.Б.Занимательная математика/ Е.Б. Арутюнян Москва «Аст – пресс» 1999.

3. Брадис, В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. Изд. 57-е. — М., Просвещение, 1990. С. 83.

4. Глейзер, Г.И. История математики в школе. 7-8 классы. – М., Просвещение, 1982.

5. Окунев , А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. / Пособие для учителя. — М., Просвещение, 1972.

6. Пресман, А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. — М., Квант, № 4/72. С. 34.

7. Соломник , В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. — 4-е, дополн. — М., Высшая школа, 1973.

8. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. — М., Просвещение,

9.Пичурин, Л.Ф. За страницами учебника алгебры/ Л.Ф. Пичурин. Москва «Просвещение» 1990г.

10.Энциклопедический словарь юного математика. – 2-е издание, испр. и доп. – М.:Педагогика, 1989.

11.Энциклопедия для детей. Т.11. Математика.- М.: Аванта+, 1999.

12.Ресурсы сети Интернет.

13.Программы «Advanced Grapher» и «Открытая математика».

Что необходимо знать для решения квадратных уравнений?

О чем надо помнить решая квадратные уравнения?

📸 Видео

Альтернативные способы решений квадратных уравненийСкачать

Квадратное уравнение. 8 класс.Скачать

Квадратные уравнения. История. STEAM урокСкачать

Повторяем решение уравнений. Полезно всем! Вебинар | МатематикаСкачать

МАТЕМАТИКА 8 класс - Неполные Квадратные Уравнения. Как решать Неполные Квадратные Уравнения?Скачать

Как решать квадратные уравнения для чайниковСкачать

5 способов решения уравнений | Эрик Легион | 100балльный репетиторСкачать

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Как решают уравнения в России и СШАСкачать