Проект на тему теорема виета в уравнениях n степени (6 видео)

Творческие проекты и работы учащихся

В ходе работы над исследовательским проектом по математике на тему «Теорема Виета в уравнениях N-степени» учащаяся 10 класса определила спектр задач, которые нужно уметь решать в данной теме, составила алгоритмы решения уравнений и связанных с ними задач с помощью т. Виета.

Содержание

Подробнее о проекте:
Оглавление
Введение
Исследовательская работа на тему: «Теорема Виета и её применение»
теорема Виета проект (разработка)
🌟 Видео

Подробнее о проекте:

В рамках выполнения проекта о теореме Виета представлено применение теоремы Виета в решении уравнений и задач, примеры задач с параметром, а также методы, применяемые при решении уравнений 3 и 4 степени. Была произведена разработка интерактивного тренажера «Теорема Виета в уравнениях 3 и 4 степени», анализ тренажеров и характеристика сетевого сервиса, с помощью которого будет создаваться продукт.

Введение
1. Основные теоретические сведения
2. Основные понятия
3. Методы, применяемые при решении уравнений 3 и 4 степени
4. Теорема Виета в решении уравнений n степени
Выводы по главе
5. Задачи, решаемые с использованием теоремы Виета
6. Применение теоремы Виета в решении уравнений и задач
7. Примеры решения уравнений и задач
8. Примеры решения задач с параметром
Выводы по главе
9. Разработка интерактивного тренажера «Теорема Виета в уравнениях 3 и 4 степени»
10. Анализ тренажеров и характеристика сетевого сервиса, с помощью которого будет создаваться продукт
11. Создание контента тренажера
12. Апробация продукта
Заключение
Список литературы

в заданиях ЕГЭ и олимпиадных задачах часто встречается необходимость решать уравнения n степени и задачи, связанные с ними.

нам часто приходится решать уравнения n степени и связанные с ними задачи, но некоторым способам их решения уделяется недостаточно внимания при изучении, из-за чего они не используются учениками.

изучить применение теоремы Виета для решения уравнений n степени.

данный проект может быть полезен ученикам старшей школы при решении уравнений степени выше 2.

интерактивный тренажёр. Критерии: понятность, удобный интерфейс, доступность, бесплатность.

Введение

Данный проект посвящен решению уравнений n степени с помощью теоремы Виета. Проект является актуальным, т.к. в заданиях ЕГЭ и олимпиадных задачах часто встречается необходимость решать уравнения n степени и задачи, связанные с ними. При выполнении различных заданий на уроках математики я столкнулась с проблемой, что нам часто приходится решать уравнения n степени и различные основанные на них задачи, но некоторым способам их решения уделяется недостаточно внимания при изучении, из-за чего они не используются учениками.

данного проекта являются уравнения. Предмет исследования: способы решения уравнений.

Также была поставлена цель: изучить применение теоремы Виета для решения уравнений n степени.

Для дополнительной практики в данной теме продуктом проекта был выбран интерактивный тренажер. Для удобного и продуктивного использования тренажера необходимо установить критерии оценки продукта: понятность предоставляемой информации, удобный интерфейс, доступность, бесплатность.

После была сформулирована гипотеза, что использование тренажера позволит ученикам самостоятельно научиться применять теорему Виета при решении уравнений n степени.

В процессе создания проекта были поставлены некоторые

изучить литературу о применении теоремы Виета в решении уравнений n степени;
определить спектр задач, которые нужно уметь решать в данной теме;
составить алгоритмы решения уравнений и связанных с ними задач с помощью теоремы Виета;
проанализировать тренажёры, предлагаемые в Интернете;
выбрать платформу для создания интерактивного тренажера;
составить тренажер по заданным критериям;
апробировать тренажёр, сравнить с заданными критериями;
отредактировать недочеты;
провести предзащиту;
защитить проект.

, используемые при работе над проектом: изучение и обобщение, анализ, сравнение, анкетирование.

в результате работы над проектом был создан уникальный интерактивный тренажер для практики в решении уравнений n степени с помощью теоремы Виета.

был разработан алгоритм решения уравнений 3 и 4 степени с применением теоремы Виета.

созданный тренажер может использоваться учениками для дополнительного изучения данной темы и подготовки к ЕГЭ, а также учителями.

данный проект может быть полезен ученикам старшей школы при решении уравнений степени выше 2.

Основные теоретические сведения

В этой главе будут рассмотрены основные понятия и различные методы, которые используются при решении уравнений n степени.

уравнение- математическое равенство, содержащее неизвестные величины;
корень уравнения- значение переменной, при котором данное равенство обращается в верное;
переменная- величина, которая может изменять своё (как правило, численное) значение;
решить уравнение- найти все значения переменных, при которых выполняется равенство, или доказать, что их нет.

Приведем алгоритм деления многочлена на двучлен с помощью

записать многочлен в стандартном виде;
выразить из двучлена x (x=a);
записать в первой строке таблицы коэффициенты многочлена в порядке убывания (an, an-1, …, a1, a0);
заполнить таблицу по правилу.

Выполнить деление многочленов по схеме Горнера.

Ещё одним методом, применяемым при решении уравнений n степени является теорема Безу. Подобная теорема, по сути, была сформулирована ещё в 1687 году Исааком Ньютоном в первом томе его труда «Математические начала натуральной философии». Позднее, в 1779 году, эта теорема была опубликована французским математиком Этьеном Безу. Формулировка теоремы Безу: остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x-a равен значению этого многочлена при x= a.

Разберем алгоритм нахождения остатка от деления многочлена на двучлен с помощью теоремы Безу:

записать многочлен в стандартном виде;
определить, чему равно a;
посчитать значение многочлена P(a);
получить остаток R=P(a) (если R=0, то многочлен P(x) делится на двучлен x-a, и a- корень многочлена).

В данной главе были разобраны некоторые методы решения уравнений n степени (схема Горнера, теорема Безу, метод решения возвратных уравнений), которые часто используются на практике, а также доказательства теоремы Виета для уравнений 3 и 4 степени. Рассмотренные методы достаточно просты в применении и всегда позволяют прийти к верному результату.

Задачи, решаемые с использованием теоремы Виета

В данной главе будут рассмотрены примеры и способы решения различных задач, в основе которых лежат уравнения 3 и 4 степени, с использованием теоремы Виета.

Для начала необходимо отметить, что применение теоремы Виета для уравнений 3 и 4 степени разумно, если задано некоторое условие на корни многочлена.

Решая задачи на нахождение значений выражений, зависящих от корней многочлена, с применением теоремы Виета, стоит обратить внимание на то, что эти выражения не изменяются при перестановке корней, следовательно, они являются симметрическими многочленами, в которых переменными служат обозначения корней многочлена.

Таким образом, значение любого симметрического многочлена от n переменных, где вместо переменных подставлены все корни данного многочлена n-й степени, может быть выражено только через коэффициенты данного многочлена. Следовательно, в решении задач, связанных с корнями уравнений n степени, нужно стремиться представить данный многочлен через основные симметрические многочлены.

Рассмотрим основные шаги решения подобных задач:

определить степень многочлена;
записать теорему Виета для выражения необходимой степени;
представить данный многочлен через основные симметрические многочлены;
вычислить необходимые значения;
записать ответ.

Отдельно выделим алгоритм решения системы уравнений, представляющих собой

используя уравнения системы и формулы Виета составить уравнение (корни полученного уравнения будут решениями исходной системы);
разложить многочлен на множители;
найти корни уравнения;
записать ответ.

Теорема Виета также применяется в решении уравнений, но необходимо отметить, что данный способ применим только к уравнениям, имеющим целые корни.

В качестве продукта проекта был выбран интерактивный тренажер, который позволит попрактиковаться в решении уравнений 3 и 4 степени с помощью теоремы Виета. Размещение тренажера на сетевой платформе позволит сделать данный продукт доступным для всех, кто хочет разобраться в этой теме.

При создании продукта были проанализированы следующие сетевые сервисы:

LearningApps
Quizizz
Wordwall
PurposeGames
Wizer .me

Платформы были проанализированы по критериям:

интуитивно понятный и удобный в использовании интерфейс сайта;
возможность составления разнотипных заданий, для создания интересного и разнообразного контента;
возможность бесплатного использования ресурсов сетевого сервиса при создании и дальнейшем использовании тренажера;
доступность (возможность быстрого распространения (с помощью ссылок, QR-кодов и т.п.) и использования);
наличие мобильной версии;
возможность использования русского языка.

В данной таблице приведены результаты оценки сетевых сервисов по выбранным критериям:

Критерии
Сетевой сервис	Интерфейс	Разнообразие шаблонов	Бесплатность
LearningApps	+	+	+
Quizizz	+	—	+
Wordwall	+	+	—
PurposeGames	+	+	+
Wizer .me	+	+	+

Критерии
Сетевой сервис	Доступность	Мобильная версия	Русский язык
LearningApps	+	—	+
Quizizz	+	+	—
Wordwall	+	+	+
PurposeGames	+	+	—
Wizer.me	+	+	—

В результате сравнения сетевых сервисов по указанным критериям для создания интерактивного тренажера был выбран сервис Wizer.me, который позволяет создавать уникальные рабочие листы для практики.

подбор корней уравнения;
составление системы уравнений для данного многочлена;
представление многочленов через основные симметрические многочлены путем равносильных преобразований;
составление уравнения по данным системы, уравнения которой являются основными симметрическими многочленами.

Задания для отработки указанных выше умений были заложены в тренажер.

После создания тренажера проводилась его апробация, которая позволила оценить соответствие продукта поставленным критериям. Тренажер был предложен для апробации ученикам 10 класса.

В результате опроса также выяснилось, что после выполнения заданий тренажера ученики готовы применять полученные знания при решении заданий ЕГЭ и олимпиадных задач, а сам тренажер был для них полезен и интересен.

Данная глава была посвящена практической части данного проекта. В первую очередь было проведено сравнение нескольких сетевых сервисов и выбран один, наиболее соответствующий обозначенным ранее критериям. Далее были выделены основные умения, задания для отработки которых были вложены в тренажер. Затем была проведена апробация созданного продукта, и сделаны выводы о соответствии созданного тренажера заданным критериям.

В данной работе были исследованы уравнения 3 и 4 степени и способы их решения. Также были рассмотрены универсальные методы решения уравнений n степени.

Для углубления знаний в исследуемой теме были проанализированы несколько учебников, изучен рад математических статей. После обобщения полученной информации были составлены основные алгоритмы решения уравнений n степени. Так были выполнены поставленные задачи.

В ходе работы над проектом были рассмотрены способы применения теоремы Виета в решении уравнений n степени, рассмотрены различные уравнения и задачи, цель проекта достигнута.

Отдельно рассматривалось применение теоремы Виета в решении уравнений и задач. Был создан интерактивный тренажер, который позволяет ученикам самостоятельно разобраться в описываемой теме. Таким образом, гипотеза проекта подтверждена.

В ходе работы над практической составляющей проекта был создан интерактивный тренажер, который позволяет всем желающим разобраться и попрактиковаться в рассматриваемой теме. Создание такого общедоступного, информативного, удобного в использовании тренажера позволяет решить выявленную ранее проблему.

Подводя краткий итог описываемой теме, стоит сказать, что формулы Виета незаслуженно забываются людьми при решении уравнений. Хочется отметить, что теорема Виета действительно является незаменимой для решения уравнений разных степеней.

Видео:Теорема Виета. 8 класс.Скачать

Исследовательская работа на тему: «Теорема Виета и её применение»

МОУ «Сарыевская основная общеобразовательная школа №2» Вязниковского района

«Теорема Виета и её применение»

ученица 9кл. Тараканова Дарья

2.Решение приведенных квадратных уравнений…….…….

3. Решение полных квадратных уравнений…………………

4. Решение задач с параметрами………………………………

III. Обратная теорема Виета. Решение задач с использованием компьютерного программирования…………………………….

В этом году 470 лет с года рождения замечательного французского математика, положившего начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создателя буквенного исчисления Франсуа Виета. Теорема Виета стала ныне самым знаменитым утверждением школьной алгебры. Изучая алгебру в школе, не задумываемся об её истории, о её создателях. Данная работа – возможность как можно лучше узнать историю, улучшить свои знания и раскрыть творческий потенциал.

Кроме этого, связи с последними реформами в системе образования – введение ЕГЭ положением «О проведении единого государственного экзамена», утвержденное приказом Министерством образования России [1]- серьезная подготовка к сдаче экзамена для каждого выпускника крайне важна. Решения задач, приведенных в данной работе, способствуют формированию логического мышления и определенного уровня знаний для подготовки к Единому государственному экзамену. Таким образом, избранная тема настоящей исследовательской работы является крайне актуальной.

Целью исследования является рассмотрение практического применения теоремы Виета в системе подготовки к ЕГЭ и в компьютерном программировании. Для достижения поставленной цели предполагается решить следующие задачи:

1. Определить вклад в развитие алгебры Франсуа Виета.

2. Доказать и рассмотреть на практических примерах применение прямой теоремы Виета (задачи с параметрами). Сформулировать рекомендации для учащихся при решении задач с параметрами.

3. Доказать обратную теорему Виета и показать как с помощью компьютерных технологий можно составить квадратное уравнение с заданными корнями.

Цель и задачи определили структуру работы, которая состоит из введения, трех разделов, заключения, списка литературы и приложения.
I.Франсуа Виет — «отец» алгебры

Франсуа Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом «Введение в аналитическое искусство». Перечисление шло в том порядке, в каком эти труды должны были издаваться, чтобы составить единое целое — новое направление в науке. К сожалению, единого целого не получилось, трактаты публиковались в совершенно случайном порядке, и многие увидели свет только после смерти Виета. Один из трактатов вообще не найден. Однако главный замысел ученого замечательно удался: началось преобразование алгебры в мощное математическое исчисление. Само название «алгебра» Франсуа Виет в своих трудах заменил словами «аналитическое искусство». Он писал в письме к де Партене. «Все математики знали, что под алгеброй и алмукабалой. скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти. Задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства. »

Основу своего подхода Франсуа Виет называл видовой логистикой. Следуя примеру древних, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему «видов». В эту систему входили, например, переменные, их корни, квадраты, кубы, квадрато-квадраты и т д., а также множество скаляров, которым соответствовали реальные размеры — длина, площадь или объем. Для этих видов Виет дал специальную символику, обозначив их прописными буквами латинского алфавита.

Франсуа Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т. е решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало возможным буквенное исчисление. Не случайно, что за это Виета называют «отцом» алгебры, основоположником буквенной символики.

Демонстрируя силу своего метода, ученый привел в своих работах запас формул, которые могли быть использованы для решения конкретных задач. Из знаков действий он использовал «+» и «-», знак радикала и горизонтальную черту для деления. Произведение обозначал словом «т». Виет первым стал применять скобки, которые, правда, у него имели вид не скобок, а черты над многочленом. Но многие знаки, введенные до него, он не использовал. Так, квадрат, куб и т. д. обозначал словами или первыми буквами слов.

Таким образом, в трудах Виета алгебра становится общей наукой об алгебраических уравнениях, основанной на символических обозначениях. Виет первый обозначил буквами не только неизвестные, но и данные величины, т. е. коэффициенты соответствующих уравнений. Правда у самого Виета алгебраические символы были еще мало похожи на наши. Например, современную запись уравнения x3 + 3bx = d Виет записывал так: A cubus + B planum in A3 aequatur D solido.

Вот другой пример: 1C-8Q=16N aequatur 40, что означает в современной записи: .

Здесь еще, как видим, много слов. Но ясно, что они уже играют роль наших символов.

Ему принадлежит установление единообразного приема решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени, новый метод решения кубического уравнения, тригонометрическое решение уравнения 3-й степени в т. н. неприводимом случае, различные рациональные преобразования корней и пр. Среди этих открытий сам Виет особенно ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений (формулы Виета). Для приближенного решения уравнений с числовыми коэффициентами Виет предложил метод, сходный с позднейшим методом И. Ньютона. В тригонометрии Виет дал полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольников по трем данным элементам, нашел важные разложения cosnx и sinnx по степеням cosx и sinx. Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком A. Рооменом; Виет показал, что решение этого уравнения сводится к разделению угла на 45 равных частей и что существуют 23 положительных корня этого уравнения.
Виет решил задачу Аполлония Пергского о построении круга, касательного к трем данным кругам с помощью линейки и циркуля. Гордясь найденным решением, Виет называл себя Аполлоном Гальским (Галлией во времена древнего Рима называли современную Францию). Bиет впервые рассмотрел бесконечное произведение, именно он установил, что 2/π есть предел выражения

В «Математическом каноне» Виета (1579), содержатся таблицы синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов, секансов, косекансов. По существу здесь применяются десятичные дроби, но для их записи Виет не придерживается какого-либо одного обозначения. Виет впервые употребил фигурные скобки. Виет нашел ключ к шифру, который применяли испанцы во время войны с Францией и даже нашел средство следить за всеми изменениями этого шифра.

Труды Виета были собраны после его смерти профессором математики в Шоотеном и изданы в 1646 в Лейдене Галиусом, М. Мерсенном и А. Андерсоном под заглавием «Opera Vietal».
II. 1.Теорема Виета

Теорема Франсуа Виета стала ныне самым знаменитым утверждением школьной алгебры. Теорема Виета достойна восхищения, тем более что ее можно обобщить на многочлены любой степени.

Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал ее так: «Если B+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно BD, то А равно В и равно D».

Сегодня же эта теорема (для частного случая, если a = 1) формулируется так: Если и — корни уравнения , то справедливы формулы:

, ,

т. е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Доказательство: По формуле корней приведенного квадратного уравнения имеем:

, .

Складывая эти равенства, получаем: .

Перемножая эти равенства, по формуле разности квадратов получаем:

Отметим, что теорема Виета справедлива и в случае, когда квадратное уравнение имеет два равных корня: .

Заметим, что теорему Виета в принципе можно сформулировать и для полного квадратного уравнения: если квадратное уравнение имеет корни и , то для них выполняются равенства

, .

Однако применение этой теоремы довольно проблематично, так как в полном квадратном уравнении по крайней мере один из корней (при их наличии, конечно) является дробным числом.

Из теоремы Виета следует следующее разложение на множители квадратного трехчлена:

Для уравнений 3-ей и 4-ой степени явные формулы для корней, хотя и существуют, являются весьма громоздкими и малопригодными для использования. Для общего вида уравнений еще более высоких степеней, как доказывается в высшей математике, явных формул записи корней через коэффициенты вообще не существует. Поэтому и представить через коэффициенты уравнения произвольное выражение от его корней невозможно. Но теорема Виета оказывается справедливой для уравнения произвольной степени. Только связывает она коэффициенты уравнения лишь с некоторыми специального вида выражениями от его корней. И доказывается она, естественно, без привлечения явных формул для вычисления корней уравнения по его коэффициентам.

Например, в случае кубического уравнения x3 + bx2 + cx + d = 0 между его корнями x1 , x2 , x3 и коэффициентами b, c, d справедливы следующие соотношения Виета:

x1 + x2 + x3 = − b, x1x2 + x2x3 + x3x1 = c, x1x2x3 = − d.

Конечно, через коэффициенты кубического уравнения с помощью этих соотношений можно выражать и различные их следствия, например, получить представление для выражения (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 через b, c и d.

2. Решение приведенных квадратных уравнений

На теореме Виета основан целый ряд традиционных задач и методов решения. Перейдем непосредственно к задачам, которые и раскроют возможности применения этой теоремы.

1. Решить уравнение .

Решение: Допустим, это уравнение имеет корни, а именно, и . Тогда по теореме Виета одновременно должны выполняться равенства

Обратим внимание, что произведение корней – положительное число. А значит, корни уравнения одного знака. А так как сумма корней также является положительным числом, делаем вывод, что оба корня уравнения – положительные. Вернемся снова к произведению корней. Допустим, что корни уравнения – целые положительные числа. Тогда получить верное первое равенство можно только двумя способами (с точностью до порядка множителей): 1*6=6 или 2*3=6. Проверим для предложенных пар чисел выполнимость второго утверждения теоремы Виета: . Таким образом, числа 2 и 3 удовлетворяют обоим равенствам, а значит, и являются корнями заданного уравнения.

2. Решите уравнение .

Решение: Пусть и — корни заданного уравнения. Тогда по теореме Виета

Заметим, что произведение – положительное, а сумма – отрицательное число. Значит, оба корня – отрицательные числа. Подбираем пары множителей, дающих произведениеи -10; -2 и -5).

Вторая пара чисел в сумме дает -7. Значит, числа -2 и -5 являются корнями данного уравнения.

3. Решите уравнение .

Решение: Пусть и — корни заданного уравнения. Тогда по теореме Виета

Заметим, что произведение – отрицательное. Значит, корни – разного знака. Сумма корней – также отрицательное число. Значит, больший по модулю корень – отрицательный. Подбираем пары множителей, дающих произведение и -10; 2 и -5). Вторая пара чисел в сумме дает -3. Значит, числа 2 и -5 являются корнями данного уравнения.

3. Решение полных квадратных уравнений

Рассмотрим полное квадратное уравнение . Умножим обе части уравнения на первый коэффициент а и запишем уравнение в виде . Введем новую переменную и получим приведенное квадратное уравнение , корни которого и (при их наличии) могут быть найдены по теореме Виета. Тогда корни исходного уравнения будут ,. Обратим внимание, что составить вспомогательное приведенное уравнение очень просто: второй коэффициент сохраняется, а третий коэффициент равен произведению ас. При определенном навыке учащиеся сразу составляют вспомогательное уравнение, находят его корни по теореме Виета и указывают корни заданного полного уравнения. Приведем примеры.

1. Решите уравнение .

Решение: Составим вспомогательное уравнение и по теореме Виета найдем его корни . А значит, корни исходного уравнения , .

Ответ: ,

2. . Решите уравнение .

Решение: Вспомогательное уравнение имеет вид . По теореме Виета его корни . Находим корни исходного уравнения , .

Ответ: .

И еще один случай, когда применение теоремы Виета позволяет устно найти корни полного квадратного уравнения. Нетрудно доказать, что число 1 является корнем уравнения , тогда и только тогда, когда . Второй корень уравнения находится по теореме Виета и равен . Еще одно утверждение: чтобы число –1 являлось корнем уравнения необходимо и достаточно, чтобы . Тогда второй корень уравнения по теореме Виета равен . Аналогичные утверждения можно сформулировать и для приведенного квадратного уравнения.

1. Решить уравнение 319+1988х+1669=0.

Решение: Решение этого уравнения непосредственно по формуле корней квадратного уравнения приводит к большим вычислительным трудностям.

Если же заметить, что +1669=0, откуда следует, что является корнем уравнения, то по теореме Виета

Ответ: .

2. Решите уравнение .

Решение: Заметим, что сумма коэффициентов уравнения равна нулю. Значит, корни уравнения , .

Ответ: , .

3. Решите уравнение .

Решение: Для коэффициентов этого уравнения выполняется свойство (действительно, 1-(-999)+(-1000)=0). Значит, корни уравнения , .

Ответ: , .

Сталкиваясь с квадратным уравнением, решение которого требует громоздких арифметических или алгебраических преобразований, попытайтесь выяснить, не имеет ли это уравнение «Хорошего» целого корня, в частности 1 (в этом случае имеет место равенство а+b+c=0) или -1(a-b+c=0).

3.Решение задач с параметрами.

1. При каких значениях параметра а множество решений неравенства x2+ax -1 5. Точно также рассматриваются другие случаи.

Ответ: Если a 5, то , .Ответ выглядит сложнее, чем решение задачи.

8. При каких а корни x1 и x2 уравнения удовлетворяют неравенству ?

Решение: Обозначим левую часть данного уравнения через f(x). Условие существования его корней можно получить без вычисления дискриминанта. Так, старший коэффициент квадратного трехчлена f положителен при любых а, , и, следовательно, уравнение имеет корни всегда. Этот факт совершенно очевиден с графической точки зрения: ветви параболы направлены вверх и существуют точки, в которых функция принимает неположительные значения. Причем, если , то уравнение имеет два различных корня.

Нетрудно догадаться, что возникла необходимость разобрать отдельно случай, когда а=0. При таком а уравнение имеет один двойной корень х=0. Очевидно полученные значения не удовлетворяют исходному неравенству. Если, то имеем ,т. е. корни уравнения разных знаков. (С помощью теоремы Виета легко определяются знаки корней). Отсюда или .

Перепишем исходное неравенство в таком виде . Тогда искомые значения параметра а найдем, решив систему

Отсюда с учетом запишем

Решив эту систему, получим

Ответ: или .

9. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений

Имеет четыре различных решения.

Решение: Подставив из второго уравнения в первое, получим . Если нам удается найти условия для а, при которых это уравнение имеет два различных корня и таких, что выражение и становятся положительными, то задача очевидно будет решена.

Ясно, что а=0 не подходит. Имеем . Получим . Обозначим ax=t. Тогда последнее уравнение становится таким: Теперь осталось найти значения а, при которых это уравнение имеет два различных положительных корня. Имеем

Решив эту систему, получим

Ответ: .

3.Рекомендации для «решающих».

1. Прежде, чем приступить к решению задачи с параметрами, советуем разобраться в ситуации для конкретного числового значения параметра. Например, возьмите значение параметра а=1 и ответьте на вопрос: является ли значение параметра а=1 искомым для данной задачи. Отметим, что подстановка фиксированного значения параметра позволяет во многих случаях нащупать путь решения задачи.

2. При решении многих задач с параметрами удобно воспользоваться геометрическими интерпретациями. Если изобразить графики функций, входящих в левые и правые части рассматриваемых уравнений, то тогда точки пересечения графиков будут соответствовать решениям уравнения, а число точек пересечения — числу решений. Аналогично, при решении систем уравнений или неравенств можно изобразить геометрические места точек плоскости, удовлетворяющих рассматриваемым уравнениям или неравенствам. Это часто позволяет существенно упростить анализ задач, а в ряде случаев представляет собой единственный “ключ” к решению.

3. Решение многих задач с параметрами требует умения правильно формулировать необходимые и достаточные условия, соответствующие различным условиям расположения корней квадратного трехчлена на числовой оси.

4. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы “ветвится” в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа — это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения. Также рекомендуем прежде, чем записывать ответ, еще раз внимательно прочитать условие задачи и четко уяснить, что именно спрашивается.

5. Для того, чтобы освоить приемы решения задач с параметрами, необходимо внимательно разобрать приведенные примеры решения таких задач и постараться прорешать как можно больше задач для самостоятельного решения.

III. Обратная теорема Виета. Решение задач с использованием компьютерного программирования

Если числа b, c, , таковы, что , , то и — корни уравнения .

Доказательство: Подставим в левую часть вместо b выражение , а вместо с произведение .

Таким образом, если числа b, c, и связаны указанными соотношениями, то при всех х выполняется равенство , из которого следует, что и — корни уравнения.

Используя теорему, обратную теореме Виета, иногда можно подбором найти корни квадратного уравнения.

Для нахождения коэффициентов приведенного квадратного уравнения можно написать программу, используя язык визуального объектно-ориентированного программирования Visual Basic.

В объектно-ориентированном программировании основным понятием является объект. Объект –это совокупность взаимосвязанных полей и методов, существующих как единое целое.

Объектно-ориентированное программирование – это методология программирования, которая основана на представлении программы в виде совокупности объектов. Процесс разработки программы в среде визуального объектно-ориентированного программирования сводится к выбору набора объектов и их свойств, заданию событий и процедур их обработки, которые в совокупности обеспечивают решение поставленной задачи.

Цель программы: вычисление коэффициентов b и c по заданным корням.

Набор управляющих элементов (выполняют определенные, уже запрограммированные функции): Label, TextBox, CommandButton.

Значения корней Х1 и Х2 будем вводить в текстовые поля, которые названы kor1и kor2, а выводится коэффициенты будут в текстовых полях txtB и txtC, которые получаются в результате событийных процедур

1. Находим коэффициент B

Private Sub kofb_Click()

txtB = — kor1 — kor2

2. Находим коэффициент С

Private Sub kofc_Click()

txtC = kor1 * kor2

Запускаем проект. Для ввода корней устанавливаем курсив в текстовых полях «kor1» и «kor2» и вводим корни. Вывод коэффициентов произойдет после щелчка по кнопке «В=», а затем по кнопке «С=». (программа находится в папке «программа Виет»).

Теорема Виета позволяет не только устно решать квадратные уравнения, но находить решение непростых алгебраических задач, позволяет сделать решение лаконичным и сэкономить время. С помощью обратной теоремы Виета можно всегда сделать проверку решения квадратного уравнения.

Теорема Виета
для корней
квадратного уравнения

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни — и дробь уж готова:

В числителе с, в знаменателе а,

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта, что за беда —

В числителе Ь, в знаменателе а.

Задание 1. Решите приведенное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета.

Видео:Теорема Виета для уравнений высших степеней. Рациональные уравнения Часть 4 из 4Скачать

теорема Виета проект (разработка)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Муниципальное казенное образовательное учреждение

«Очкуровская средняя общеобразовательная школа»

Николаевского муниципального района Волгоградской области

Выполнила: Оноприенко Кристина,

обучающаяся 8 класса

МКОУ «Очкуровская СОШ»

2.Докозательство теоремы Виета……………………………………………..6

3.Состаление блока уравнений решаемых по теореме Виета……………….8

Практическая значимость проекта…………………………………… . 12

Список источников информации…………………….………………………. 14

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни — дробь уж готова!
В числителе с, в знаменателе а.
А сумма корней тоже дроби ровна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе b , в знаменателе а.

Актуальность темы проекта: Применение теоремы Виета является уникальным приемом для решения квадратных уравнений устно. В учебнике очень мало квадратных уравнений, решаемых по теореме Виета. Я и мои одноклассники допускаем ошибки.

Объектом исследования является теорема Виета , как неотъемлемая часть решения квадратных уравнений на уроках алгебры .

Предмет исследования – теорема Виета и составление блока уравнений для закрепления навыка решения квадратных уравнений.

Гипотеза: я предположила, что научиться безошибочно решать уравнения по теореме Виета можно, для этого нужен применяя тренажер.

Цель проекта : составить тренажер уравнений, решаемых по теореме Виета.

узнать историю открытия теоремы Виета;

провести исследование зависимости коэффициентов квадратного

уравнения и произведения и суммы его корней.

научиться доказывать теорему Виета;

самостоятельно составить уравнения, решаемые по теореме Виета

оформить блок уравнений на бумажном носителе и составить тренажер в электронном виде

предложить одноклассникам тренажер для решения уравнений по теореме Виета

сравнение результатов самостоятельной работы до проекта и после тренировки решение квадратных уравнений применяя теорему Виета

изучение и анализ электронных источников и литературы

самостоятельная работа по составлению блока уравнений и тренажера

Франсуа Виет родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт.

Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери двенадцатилетней Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.

Когда ученица выросла и вышла замуж, Виет не расстался с ее семьей и переехал с нею в Париж, где ему было легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. Он общался с видным профессором Сорбонны Рамусом, с крупнейшим математиком Италии Рафаэлем Бомбелли вел дружескую переписку.

В 1571 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.

В 1580 году Генрих III назначил Виета на важный государственный пост рекетмейстера, который давал право контролировать выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов.

В 1584 году по настоянию Гизов Виета отстранили от должности и выслали из Парижа. Обретя покой и отдых, ученый поставил своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи.

Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом «Введение в аналитическое искусство». Основу своего подхода Виет называл видовой логистикой, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему «видов». В эту систему входили, например, переменные, их корни, квадраты, кубы, квадрато-квадраты и т. д. Для этих видов Виет дал специальную символику, обозначив их прописными буквами латинского алфавита. Для неизвестных величин применялись гласные буквы, для переменных — согласные.

Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т. е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало возможным буквенное исчисление.

Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал ее так: «Если В+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно ВD, то А равно В и равно D».

В трактате «Дополнения к геометрии» он стремился создать некую геометрическую алгебру, используя геометрические методы для решения уравнений третьей и четвертой степеней. Любое уравнение третьей и четвертой степени, утверждал Виет, можно решить геометрическим методом трисекции угла или построением двух средних пропорциональных.

Математиков столетиями интересовал вопрос решения треугольников, так как он диктовался нуждами астрономии, архитектуры, геодезии. Виет первым явно сформулировал в словесной форме теорему косинусов, хотя положения, эквивалентные ей, эпизодически применялись с первого века до нашей эры. Известный ранее своей трудностью случай решения треугольника по двум данным сторонам и одному из противолежащих им углов получил у Виета исчерпывающий разбор. Глубокое знание алгебры давало Виету большие преимущества. Причем интерес его к алгебре первоначально был вызван приложениями к тригонометрии и астрономии. Не только каждое новое применение алгебры давало импульс новым исследованиям по тригонометрии, но и полученные тригонометрические результаты являлись источником важных успехов алгебры. Виету, в частности, принадлежит вывод выражений для синусов (или хорд) и косинусов кратных дуг.

В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Виет звался сеньор де ла Биготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал: «. 14 февраля 1603 г. господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер. в Париже. Ему было более шестидесяти лет».

2 .Доказательство теоремы Виета