Проект на тему показательные уравнения

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащегося, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене. По итогам ЕГЭ разных лет можно сделать вывод, что решение задач с параметрами вызывает наибольшею трудность у учащихся. Цель моего исследования: поиск оптимальных способов решения показательных уравнений с параметрами. Исследовательская составляющая моего проекта содержит решение показательных уравнений с параметрами, анализ корней в зависимости от параметра, решение вопроса о рациональности выбранного способа решения.

Видео:ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Скачать:

Видео:11 класс, 12 урок, Показательные уравненияСкачать

Предварительный просмотр:

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Самарской области гимназия города Сызрани городского округа Сызрань

«Решение показательных уравнений с параметрами»

Секция «Математика»

Автор исследовательской работы:
учащаяся 11 класса,
Дуплищева Анна
Научный руководитель:
Константинова Ирина Альбертовна

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащегося, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене. По итогам ЕГЭ разных лет можно сделать вывод, что решение задач с параметрами вызывает наибольшею трудность у учащихся. По данным Рособрнадзора около 87.9% не приступают к выполнению данного типа заданий.

Эти задачи представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков.

Цель моего исследования: поиск оптимальных способов решения показательных уравнений с параметрами. При этом я использовала следующие методы.

1. Изучение учебной литературы.
2. Использование информационных ресурсов (интернет).
3. Обобщение и систематизация материала по данной теме.
4. Анализ условий задач и полученного результата.

Исследовательская составляющая моего проекта содержит решение показательных уравнений с параметрами, анализ корней в зависимости от параметра, решение вопроса о рациональности выбранного способа решения.

2. Основная часть

Уравнение 2 9-10

Уравнение 3 10-11

Уравнение 4 12-13

3. Заключение 14

4. Библиографический список 15

Актуальность выбранной темы :

1. Необходимость подготовки к итоговой аттестации, т.к. одним из важных проверяемых элементов содержания является умение решать уравнения, составляя математическую модель.
2. Необходимость применений знаний в современной жизни, анализ заданий с изменяющимися условиями.

Проблема исследования : систематизация способов решения показательных уравнений с параметрами.

Объект исследования : показательные уравнения.

Предмет исследования : условия, при которых решения показательных уравнений с параметрами будет рациональным.

Цель исследования : поиск оптимальных способов решения показательных уравнений с параметрами.

1. Использовать знания теорий показательных уравнений для решения показательных уравнений с параметрами.
2. Рассмотреть графический и аналитический способы решения и выяснить, какой из них является наиболее рациональным.
3. Выработать рекомендации к решению уравнений с параметрами для ознакомления с ними обучающихся.

Гипотеза: является ли аналитический способ решения наиболее рациональным.

Теоретические основы решения уравнений с параметрами

Уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени, называется показательным. Это уравнение относительно показательной функции, т.е. функции вида . При решении показательных уравнений используется свойство показательной функции.

Свойства показательной функции:

1. Область определения:
   все действительные числа

1. Множество значений:
   все положительные числа

1. При а > 1 функция возрастающая;
   при 0

Параметр — величина, значения которой служат для различения групп элементов некоторого множества между собой. Например, уравнение y = kx + b задаёт множество прямых на плоскости, k и b в данном случае — параметры прямой, то есть, если предположить, допустим, что k = 2 и b = 7, мы получим конкретную прямую y = 2x + 7: один из элементов множества.

Под термином «уравнение с параметром», фактически, скрывается целое семейство «почти одинаковых уравнений» , которые отличаются друг от друга только одним числом (одним слагаемым или одним коэффициентом) и одинаково решаются. Параметр — это число, которое меняется от уравнения к уравнению. В уравнениях с параметрами параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня чётной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

При решении уравнений с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства – привести заданные уравнения к более простому виду.

Тип 1. Уравнения, которые необходимо решить для всех значений параметра или для значения параметра из заданного промежутка.

Тип 2. Уравнения, где требуется найти количество решений в зависимости от значений параметра.

Тип 3. Уравнения, где необходимо найти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений.

Тип 4. Уравнения, в которых необходимо найти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям.

В данной работе рассматриваются показательные уравнения с параметрами и определённые алгоритмы, которые могут помочь в решении столь нелёгких заданий.

Видео:Показательные уравнения. 11 класс.Скачать

Презентация по алгебре по теме «Показательные уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Показательные уравнения
Учитель математики Кареева Н.Г.
Г.Ногинск
МБОУ ЦО №3
10 класс

Показательными уравнениями называются уравнения вида
аf(х) = bg(x),
где а > 0, а ≠ 1
и уравнения,
сводящиеся к этому виду.

аf(х) = аg(x) f(x) = g(x)

Методы решения показательных уравнений
4х-1 = 1
Решение:
4х-1 = 40
х-1 = 0
х = 1

3∙9х = 81
Решение:
31+2х = 34
1+2х = 4
2х = 3
х = 1,5
Решение:

х1 = -4
х2 = 3
Метод уравнивания показателей

Методы решения показательных уравнений
Деление обеих частей уравнения на выражение, стоящее в правой части
5х = 8х
Решение:
(5/8)х = 1
(5/8)х = (5/8)0
х = 0

Методы решения показательных уравнений
Вынесение за скобки общего множителя
32x-1 + 32x = 108
Решение:
32х ∙ 3-1 + 32х = 108
32х∙(⅓ + 1) = 108
32х = 108 ∙ ¾
32х = 34
2х = 4
х = 2

Методы решения показательных уравнений
Метод введения новой переменной
9x — 4∙3x + 3 = 0
t1 = 1, t2 = 3
3x = 1, 3x = 3
х1 = 0, х2 = 1.
Решение:
32х — 4 ∙ 3х + 3= 0

3x = t, t>0
t2 – 4t + 3 = 0

Методы решения показательных уравнений
Графический метод
3x = 4 – x
у
х
0
1
2
— 1
— 2
1
2
3
9
у = 3х
у = 4 – x
1
Ответ: х = 1
у = 3х
у = 4 – x

Методы решения показательных уравнений
Графический метод
3x = 2
у
х
0
1
2
— 1
— 2
1
2
3
9
у = 3х
у = 2

Проверка
За 5 правильно решенных уравнений — «5»;
за 4 — «4»;
за 3 — «3»;
за 2 — «2».

Домашнее задание
п.13,
№№ 210(2,4,6), 214(2,4), 217(2,4).

Итоги урока
Какие методы решения показательных уравнений вы изучили?
Какие из этих методов используются при решении уравнений других типов?
Напишите синквейн по теме нашего урока и выразите свое отношение к уроку.

Спасибо за урок

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Как решать Показательные Уравнения? (часть 2)Скачать

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 568 047 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

§ 12. Показательные уравнения

Другие материалы

• 28.10.2021
• 62
• 0

• 28.10.2021
• 93
• 0

• 28.10.2021
• 85
• 3

• 28.10.2021
• 73
• 0

• 28.10.2021
• 215
• 5

• 28.10.2021
• 47
• 0

• 28.10.2021
• 117
• 0

• 28.10.2021
• 74
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 28.10.2021 347
• PPTX 107.5 кбайт
• 43 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Кареева Наталья Геннадьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 1 год и 8 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 829
• Всего материалов: 6

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Показательные уравнения | Алгебра 11 класс #8 | ИнфоурокСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Показательные и логарифмические уравнения. Вебинар | МатематикаСкачать

Проект по алгебре и началам анализа на тему: Показательные уравнения Ученика 11 класса -Доманова Виктора. Учитель математики- Лаврова Рейхана Анверовна. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемВячеслав Выростов

Похожие презентации

Видео:Показательные уравнения. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Презентация 11 класса по предмету «Математика» на тему: «Проект по алгебре и началам анализа на тему: Показательные уравнения Ученика 11 класса -Доманова Виктора. Учитель математики- Лаврова Рейхана Анверовна.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:

2 Проект по алгебре и началам анализа на тему: Показательные уравнения Ученика 11 класса -Доманова Виктора. Учитель математики- Лаврова Рейхана Анверовна. МБОУ Архангельская СОШ им. А.Н.Косыгина. Красногорский район. Московская область.

3 Содержание 1.Цель 2.Теорема.Способы решения уравнений 3.Применение способов на конкретных примерах 4.Список литературы

4 ЦЕЛЬ СИСТЕМАТИЗИРОВАТЬ ЗНАНИЯ О СПОСОБАХ РЕШЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

6 Методы решения показательных уравнений Метод введения новой переменной Функционально- графический метод Метод уравнивания показателей при одинаковых основаниях.

7 Задание 1. Решить уравнение Решение: основная идея решения данной задачи заключается в использовании свойств степеней для приведения степеней в левой и правой частях уравнения к одному и тому же основанию. Запишем цепочку преобразований, откуда, из которого находим. Поскольку функция монотонна и поэтому каждое свое значение принимает ровно один раз, то последнее уравнение равносильно уравнению Ответ:

8 Задание 2. Решить уравнение Решение: используя свойства степеней, преобразуем исходное уравнение к виду Ответ: Полученное уравнение удобнее всего решать, вводя новую переменную Тогда уравнение сводится к квадратному относительно новой переменной t, решая которое, находим и Корень не удовлетворяет условию, поэтому единственное решение исходного уравнения определяется из соотношения

9 Задание 3. Решить уравнение Решение: запишем исходное уравнение в виде Ответ: Получим однородное уравнение 2 степени. Разделим левую и правую части исходного уравнения на, получим Введем новую переменную, придем к, решив которое, найдем квадратному уравнению и Второй корень не удовлетворяет условию Возвращаясь к исходной переменной, получаем уравнение, откуда находим.

10 Задание 4. Решить уравнение Решение: числа Ответ: и являются взаимно обратными (вообще, числа ииногда называют сопряженными числами). В самом деле,, поэтому Введем новую переменную Тогда исходное уравнение можно переписать в виде или Корни последнего уравнения равны откуда находим значения исходной переменной

11 Задание 5. Решить уравнение Решение: легко заметить, что является корнем данного уравнения (вспомните «египетский треугольник»). Докажем, что других корней данное уравнение не имеет. Для этого разделим левую и правую части уравнения на. Получим Ответ: 2 Функция, стоящая в левой части последнего уравнения монотонно убывает (основание степени меньше единицы), а функция, стоящая в правой его части монотонно возрастает. Поэтому уравнение не может иметь более одного решения. Таким образом, единственное решение исходного уравнения.

12 Используемая литература 1.А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. Часть 1.Учебник классы, изд.: Мнемозина, 2010год. 2.О.Ю Черкасов, А.Г.Якушев Математика для поступающих в ВУЗЫ. Учебный сектор «Московский лицей». Москва

📹 Видео

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 10 класс решение показательных уравненийСкачать

Показательные уравнения. Проект по математике.Скачать

Показательные уравнения в ЕГЭ 🥊Скачать

Это просто! Как решать Показательные Неравенства?Скачать

Сложные показательные уравнения: примеры и способы решенияСкачать

10 класс. Алгебра. Системы показательных уравнений.Скачать

Все о показательных уравнениях №13 | Математика ЕГЭ для 10 класса | УмскулСкачать

Алгебра 10 класс (Урок№22 - Показательные уравнения. Системы показательных уравнений.)Скачать

Методы решения показательных уравнений. Урок №25.Скачать

Показательные уравнения за 50 минут | Математика ЕГЭ 10 класс | УмскулСкачать

Показательные уравнения — что это такое и как решатьСкачать

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ😩 #математика #shorts #егэ #огэ #уравнение #показательныеуравненияСкачать

Показательные уравнения. Видеоурок 11. Алгебра 10 классСкачать