Проект на тему графическое решение уравнений (3 видео)

Исследовательская работа по теме: «Функционально-графический метод решения уравнений»

Понятие функциональной зависимости является одним из центральных в математике, пронизывает все ее приложения. Оно, как ни одно другое, приучает воспринимать величины в их живой изменчивости, во взаимной связи. Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом школьного курса. Существуют различные способы задания функции: аналитический, табличный, графический. Иногда график является единственным возможным способом задания функции. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать сложные задачи, а порой является единственным средством их решения.

Я выбрала эту тему, так как она является неотъемлемой частью изучения школьного курса алгебры. Думаю, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче экзаменов. Мой проект поможет понять другим ученикам применение функционально-графического метода решения задач, узнать о происхождении, развитии этого метода. Материал данной работы можно рекомендовать к использованию на уроках математики или на занятиях школьного математического кружка в качестве дополнительного материала.

Содержание

Скачать:
Подписи к слайдам:
Индивидуальный проект на тему : “Графическое решение уравнений и неравенств”
Посмотрите также:
Методика организации решения уравнений графическим способом как средство формирования графических умений у учащихся
🌟 Видео

Видео:8 класс, 21 урок, Графическое решение уравненийСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
Презентация исследовательской работы	341.78 КБ

Предварительный просмотр:

Видео:7 класс, 35 урок, Графическое решение уравненийСкачать

Подписи к слайдам:

Подготовила: Гребеникова Софья Викторовна 10 класс Руководитель: Товменко Светлана петровна учитель математики Функционально-графический метод решения уравнений

Содержание 1.Суть функционального метода 2.Применение функционального метода при решении уравнений и неравенств 3.Решение задач из КИМ ЕГЭ по теме «Функционально-графический метод решения уравнений» 4.Заключение 5.Список литературы

Суть функционального метода В ряде случаев точное решение уравнений f (x) = g (x) по изученным правилам затруднительно и ли даже невозможно. Однако бывает достаточно обратить внимание на свойства функций f и g , как сразу решается вопрос о наличии решений уравнения или выявляется наиболее рациональный приём его решения. Основу для таких утверждений даёт нам одно из определений уравнения, как равенства двух функций. Значит , суть функционального метода: использование свойств Функций или построение графиков для решения уравнений. Выделим следующие компоненты метода:

Отыскание области определения функций Отыскание области значения функции Исследование функций на монотонность Исследование функций на чётность Соотнесение свойств функций, входящих в уравнение, с условием Построение графиков функций, входящих в уравнение Отыскание корней уравнения методом подбора Учитывая компоненты метода, выделим способы реализации: Доказательство отсутствия решения уравнения на основе использования области определения, области значения, свойств монотонности и т.д. Отыскание одного или нескольких корней уравнения с последующим доказательством Выяснение того, что область определения содержит один элемент и проверка этого значения на основании определения корня уравнения Преобразование функций, входящих в уравнение к виду, удобному для установления монотонности одной из частей уравнения (или обеих) либо оценки её множества значений Графическое решение уравнений

Применение функционального графического метода при решении уравнений Графический метод решения уравнений На практике довольно часто оказывается полезным г рафический метод решения уравнений. Он заключается В следующем: пусть нам дано уравнение вида f(x)=g(x). Мы строим два графика y=f(x) и y=g(x) на одной координатной плоскости и отмечаем точки, в которых наши графики пересекаются. Абцисса точки пересечения (координата по Х) – это и есть решение нашего уравнения.

Пример. Решить уравнение: √x+1=|x− 1| Решение. Построим графики функций, на одной координатной плоскости: y=√ x+1 и y=|x− 1| Как видно из рисунка наши графики пересекаются в двух точках с координатами: А(0;1) и B(4;3). Решением исходного уравнения будут абсциссы этих точек. Ответ: х=0 и х=4.

Функциональный метод Пример Решим уравнение х5 + 5х – 42 = 0 По виду это уравнение относится к числу тех, которые решаются методом разложения на множители. Этот метод требует значительных усилий. Представив это уравнение в виде: х5 = 42 – 5х и заметив, что функция у=х5 возрастает, а функция у=42-5х убывает, можно с делать вывод, что уравнение имеет не больше одного корня. Подбором выясняем, что этот корень х=2

Применение области определения функции Пример Решений нет Ответ

Пример Проверим, является ли корнем уравнения : ответ:х=0

Использование области значений функции Пример нет решений Ответ: 

Решение уравнений и неравенств с использованием области о пределения, области значения и монотонности функции Пример Подбором находим

Решение уравнений и неравенств с использованием свойства монотонности функции Пример 1. где убывающая  – убывающая, то уравнение по утверждению имеет хотя бы одно решение. Подбором выясняем

Решение задач из КИМ ЕГЭ по теме «Функционально-графический метод решения уравнений» Найти все значения p , при которых уравнение /х-2/ + /х-3/ = р имеет хотя бы один корень Решение: Построим два графика функций: у= /х-2/ + /х-3/ и у=р Для построения графика функции у= /х-2/ + /х-3/ найдем нули выражений х-2=0 и х-3=0; х1=2,х2=3. Рассмотрим, как поведёт себя функция на промежутках: 1.(- ∞; 2) 2. [2;3 3.(3 ; + ∞)

Заключение Выполнив работу, изучив теоретическую часть и изучив примеры решения уравнений, я пришла к выводу, что функциональный метод решения уравнений имеет несколько преимуществ, против других способов решения: упрощённое и ускоренное решения уравнений В современной жизни решение уравнений именно функционально-графическим методом является неотъемлемой частью выпускных и вступительных экзаменов в различные учебные заведения, поэтому очень важно понять и разобраться с этой темой ещё в школе. Для того, чтобы научиться решать уравнения функционально-графическим методом, необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе .

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№6 - Решение уравнений графическим способом.)Скачать

Индивидуальный проект на тему : “Графическое решение уравнений и неравенств”

Предмет:	Математика
Категория материала:	Другие методич. материалы
Автор:	Серкова Наталья Алексеевна это Вы?
Тип материала:	Документ Microsoft Word (docx)
Размер:	395.71 Kb

Полезно? Поделись с другими:

Просмотров: 902 Скачиваний: 766

Если Вы являетесь автором этой работы и хотите отредактировать, либо удалить ее с сайта — свяжитесь, пожалуйста, с нами.

Видео:Решение системы уравнений графическим методомСкачать

Посмотрите также:

Учебно-методические пособия и материалы для учителей, 2015-2022
Все материалы взяты из открытых источников сети Интернет. Все права принадлежат авторам материалов.
По вопросам работы сайта обращайтесь на почту [email protected]

Видео:Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 классСкачать

Методика организации решения уравнений графическим способом как средство формирования графических умений у учащихся

Разделы: Математика

Графический метод обладает рядом преимуществ:

он часто проще аналитического;
обладает наглядностью. Особенно когда нет решений или требуется установить количество корней.
он красив и доставляет эстетическое наслаждение. Выполнять графики нужно в цвете. Это помогает в выборе ответа.

Умение строить графики функций не является самоцелью. Часто построение графиков связано с исследованием поведения функций. Однако необходимость построения графиков облегчают нахождение решений уравнений и неравенств, сокращая или упрощая аналитические выкладки и часто при этом являются единственным методом решения таких задач. Графический метод решения способствует лучшему усвоению ряда понятий: функции, корней уравнения и неравенства, систем уравнений. При этом целесообразно при графическом решении уравнений устанавливать связи с такими свойствами функций как возрастание и убывание, знакопостоянство, обращение функции в ноль и т.д., что помогает глубже понять функциональную зависимость между величинами. Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи и порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить график представляет большой самостоятельный интерес. Материал, связанный с построением графиков функций, в средней школе изучается недостаточно полно с точки зрения требований, предъявляемых на экзаменах. Поэтому задачи на построение графиков нередко вызывают затруднения у учащихся.

Для того, чтобы по графикам можно было получать достаточно приемлемые числовые ответы, графики должны быть особенно тщательно построены. Решается задача организации работы таким образом, чтобы выработать навыки быстрого построения графиков элементарных функций и их преобразований. Работа над формированием графических умений начинается с 5-го класса.

Изящно выполненная работа способствует развитию чувства красоты, удовлетворения от проделанной работы.

Изучение поведения функций и построение их графиков являются важным разделом школьного курса. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать сложные задачи, а порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой интерес для самих учащихся. Однако на базе основной школы материал, связанный с этим вопросом, представлен несколько хаотично, изучается недостаточно полно, многие важные моменты не входят в программу.

Цель – прояснить и дополнить школьный материал, связанный с функциями и построение их графиков, применением их к решению уравнений, их систем.

В требованиях к уровню подготовки выпускников по разделу «Функции и графики» прописано:

решать уравнения, системы уравнений, используя свойства функций и их графические представления;
находить приближённые решения уравнений и их систем, используя графический метод.

В преподавание алгебры по учебнику под редакцией А.С.Теляковского. Линейная функция и функции у=х 2 , у=х 3 изучаются в 7 классе. Практически не вырабатываются навыки в применении графиков этих функций. Единственное упражнение: найти координаты точек пересечения графиков функций у=8,5х и у=0,5х-19,5. графики линейных функций только иллюстрируют решение систем линейных уравнений.

Автор вводит некоторые упражнения, необходимые в дальнейшем при решении уравнений и их систем:

— постройте в одной и той же координатной плоскости а) у=х 2 ; у=4; б) у=х 2 ; у=2х.

— изобразите схематически графики функций у = -0,9х + 4; у = 2,3х; у = х/10 . Но упражнения вводятся как дополнительные. И в «Задачах повышенной трудности» (в конце учебника) есть уравнения, которые тоже можно решать графическим способом: |х -3| = 7; |х+2| = 9; |4 — х| = 1,5.

В 8 классе изучаются функции у = к/х; у =. Представлены функции у = 4/|х|, у = -6/|х|.

— Могут ли графики функций у=к/х и у = ах +в пересекаться

а) в одной точке;

б) в двух точках;

в) в трёх точках.

— Могут ли графики функций у = к/х и у = ах +в пересекаться в двух точках, лежащих

а) в одной четверти;

б) в первой и второй четвертях;

в) в первой и третьей четвертях.

Опять же эти упражнения в дополнительных.

В 8 классе обучающихся знакомят с графическим способом решения уравнений (8/х = -х+6; (8/х = х 2 ). Появляются уравнения третьей степени, которые не решаются аналитическим способом. (х 3 — х + 1 = 0; х 3 + 2х — 4=0) На изучение этой темы отводится 1 час.

В 9 классе подробно изучается квадратичная функция и её график. Получены обучающимися представления о преобразовании графического объекта относительно осей координат. Именно в это время отрабатываются навыки в построении параболы. Но данные преобразования почти не переносятся на преобразования других графических объектов. Хотя есть два упражнения, которые соотносятся с заданиями, встречающимися в материалах ЕГЭ.

На рисунке изображён график одной их функций . Какой именно?

— Какой из трёх графиков, изображённых на рисунке, является графиком функции у = |х -2|

Сделаны попытки преобразования графических объектов.

— Какие преобразования надо выполнить, чтобы

а) из графика функции у=х 3 получить графики функций у = — х 3 ; у = (х-3) 3 ; у = х 3 + 4.

б) из графика функции у = получить графики функций у = — ;

— Постройте в одной координатной плоскости графики функций у = | х|; у =|х -4| ; у = |х -4|-3.

В учебнике 9 класса в главе «Целое уравнение и его корни» упоминается графический способ уравнений третьей и более высокой степени как один из способов наряду с разложением на множители.

Поэтому: уже в 7 классе строим графики функций у = | х| — 3, у = 4 — | х|; у =|х +4|; у = | х — 3|.

При построении параболы вводим первые преобразования:

— построить графики функций у = х 2 +3; у=х 2 -5, где смещение по оси ординат. А затем у = (х+2) 2 ; у = (х-1) 2 . Конечно, не все ученики усваивают, впрочем, как и всё содержание материала. Для успешных учеников это не сложно. Тем более это только пропедевтика.

В 8-м классе: Урок-практикум.

Тема: «График функции у = . Графический способ решения иррациональных уравнений»

Цель: отработать навыки в преобразовании графика функции у = , закрепить умения графически решать иррациональные уравнения.

I. Фронтально

1). Схематически в одной системе координат изобразить графики функций

2). Решить уравнения

II. Построить графики функций

III. Решение уравнений

X 2 -3 =

В 8 классе строим преобразования гиперболы и графика функции у = .

Упражнения взяты из «Сборника задач по алгебре 8-9 класса» М.Л.Галицкого, А.И.Звавича. Уже на факультативных занятиях или занятиях кружка решаем уравнения с параметром |х 2 -2х-3| = а. Определить, при каком а уравнение имеет три корня. Строим графики функций у = |х 2 -2х-3|; у = а. Получаем ответ а = 4.

В 9 классе больше занимаемся исследованием квадратного трёхчлена. Формулы функций усложняю. Рассматриваем графики вида у = (х 2 -2) 2 — (х 2 -1) 2 ;

Необычность конструкций, разрыв графиков, удаление точек вызывает некоторую удивлённость. Тем самым преодолевается стандартность мышления, развивается воображение, повышается интерес: а что ещё может получиться? В каких случаях?

Уравнения, решаемые графическим способом.

I. Решение уравнений Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен степени большей 2.