Проект методы решения показательных уравнений (4 видео)

Исследовательский проект «Решение показательных уравнений с параметрами»

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащегося, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене. По итогам ЕГЭ разных лет можно сделать вывод, что решение задач с параметрами вызывает наибольшею трудность у учащихся. Цель моего исследования: поиск оптимальных способов решения показательных уравнений с параметрами. Исследовательская составляющая моего проекта содержит решение показательных уравнений с параметрами, анализ корней в зависимости от параметра, решение вопроса о рациональности выбранного способа решения.

Содержание

Скачать:
Предварительный просмотр:
Проект методы решения показательных уравнений
Способы решения показательных уравнений
🎦 Видео

Видео:Показательные уравнения. 11 класс.Скачать

Скачать:

Вложение	Размер
https://nsportal.ru/sites/default/files/2019/02/09/proekt_2.docx	153.44 КБ

Видео:Методы решения показательных уравнений. Урок №25.Скачать

Предварительный просмотр:

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Самарской области гимназия города Сызрани городского округа Сызрань

«Решение показательных уравнений с параметрами»

Секция «Математика»

Автор исследовательской работы:
учащаяся 11 класса,
Дуплищева Анна
Научный руководитель:
Константинова Ирина Альбертовна

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащегося, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене. По итогам ЕГЭ разных лет можно сделать вывод, что решение задач с параметрами вызывает наибольшею трудность у учащихся. По данным Рособрнадзора около 87.9% не приступают к выполнению данного типа заданий.

Эти задачи представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков.

Цель моего исследования: поиск оптимальных способов решения показательных уравнений с параметрами. При этом я использовала следующие методы.

Изучение учебной литературы.
Использование информационных ресурсов (интернет).
Обобщение и систематизация материала по данной теме.
Анализ условий задач и полученного результата.

Исследовательская составляющая моего проекта содержит решение показательных уравнений с параметрами, анализ корней в зависимости от параметра, решение вопроса о рациональности выбранного способа решения.

2. Основная часть

Уравнение 2 9-10

Уравнение 3 10-11

Уравнение 4 12-13

3. Заключение 14

4. Библиографический список 15

Актуальность выбранной темы :

Необходимость подготовки к итоговой аттестации, т.к. одним из важных проверяемых элементов содержания является умение решать уравнения, составляя математическую модель.
Необходимость применений знаний в современной жизни, анализ заданий с изменяющимися условиями.

Проблема исследования : систематизация способов решения показательных уравнений с параметрами.

Объект исследования : показательные уравнения.

Предмет исследования : условия, при которых решения показательных уравнений с параметрами будет рациональным.

Цель исследования : поиск оптимальных способов решения показательных уравнений с параметрами.

Использовать знания теорий показательных уравнений для решения показательных уравнений с параметрами.
Рассмотреть графический и аналитический способы решения и выяснить, какой из них является наиболее рациональным.
Выработать рекомендации к решению уравнений с параметрами для ознакомления с ними обучающихся.

Гипотеза: является ли аналитический способ решения наиболее рациональным.

Теоретические основы решения уравнений с параметрами

Уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени, называется показательным. Это уравнение относительно показательной функции, т.е. функции вида . При решении показательных уравнений используется свойство показательной функции.

Свойства показательной функции:

Область определения:
все действительные числа

Множество значений:
все положительные числа

При а > 1 функция возрастающая;
при 0

Параметр — величина, значения которой служат для различения групп элементов некоторого множества между собой. Например, уравнение y = kx + b задаёт множество прямых на плоскости, k и b в данном случае — параметры прямой, то есть, если предположить, допустим, что k = 2 и b = 7, мы получим конкретную прямую y = 2x + 7: один из элементов множества.

Под термином «уравнение с параметром», фактически, скрывается целое семейство «почти одинаковых уравнений» , которые отличаются друг от друга только одним числом (одним слагаемым или одним коэффициентом) и одинаково решаются. Параметр — это число, которое меняется от уравнения к уравнению. В уравнениях с параметрами параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня чётной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

При решении уравнений с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства – привести заданные уравнения к более простому виду.

Тип 1. Уравнения, которые необходимо решить для всех значений параметра или для значения параметра из заданного промежутка.

Тип 2. Уравнения, где требуется найти количество решений в зависимости от значений параметра.

Тип 3. Уравнения, где необходимо найти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений.

Тип 4. Уравнения, в которых необходимо найти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям.

В данной работе рассматриваются показательные уравнения с параметрами и определённые алгоритмы, которые могут помочь в решении столь нелёгких заданий.

Видео:ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Проект методы решения показательных уравнений

Из предложенных тем я выбрала: «Методы решения показательных уравнений и неравенств», так как она наиболее актуальна не только для меня, но и для детей моего возраста. В связи с приближающимися экзаменами, данный проект так же поможет мне при решении заданий из ЕГЭ.

В данной работе исследуются разные способы решений показательных уравнений и неравенств.

В процессе выполнения проекта я приобрела навыки проектной деятельности, развила коммуникативные и аналитические способности, а также навыки самостоятельного поиска необходимого материала с помощью учебной и художественной литературы и интернет-источников, более того получила знания как по математики, так и по истории.

Для достижения цели исследовательской работы необходимо было решить следующие задачи:

— осваивание математических знаний и умений, необходимых для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне.

-изучить различные методы решения показательных уравнений и неравенств.

— развитие логического мышления и алгоритмической культуры;

Обычно математику считают прямой противоположностью поэзии. Однако математика и поэзия — ближайшие родственники, ведь и то и другое — работа воображения.
Томас Хилл

Определенно, чтобы понять и научиться решать любые математические задания, мало просто знать все многочисленные формулы и свойства, которыми богата данная наука. Если не подходить к заданию творчески, широко и открыто мыслить, то легко попадешь «в тупик», что может привести не только к разочарованию в науке, но и в самом себе. Математика как игра привлекательна свое содержательностью, сложностью и неожиданностью результатов. Так же для овладения почти любой современной профессии требуются математические познания. Строгое и абстрактное мышление, необходимое в реальной действительности, легче развить, занимаясь математикой, поскольку эта наука строга и абстрактна. Именно поэтому, на примере решения показательных уравнений и неравенств, я хочу показать, что данный процесс может не только увлечь вас, но и так же заставить ваш мозг работать куда продуктивнее.

История Показательных уравнений

Термин «показатель» для степени ввел в 1553 г. немецкий математик (сначала монах, а затем − профессор) Михаэль Штифель (1487-1567). По-немецки показатель − Exponent: «выставлять напоказ». Штифель же ввел дробные и нулевой показатели степени. Само обозначение ax для натуральных показателей степени ввел Рене Декарт (1637 г.), а свободно обращаться с такими же дробными и отрицательными показателями стал с 1676 г. сэр Исаак Ньютон.
Степени с произвольными действительными показателями, без всякого общего определения, рассматривали и Готфрид Вильгельм Лейбниц, и Иоганн Бернулли; в 1679 г. Лейбниц ввел понятия экспоненциальной (т.е., по-русски, показательной) функции для зависимости y=ax и экспоненциальной кривой для графика этой функции.

Уравнение, которое содержит неизвестное в показателе степени, называется показательным уравнением.

Самое простое показательное уравнение имеет вид:

Показательные уравнения путём алгебраических преобразований приводят к стандартным уравнениям, которые решаются, используя следующие методы:

метод приведения к одному основанию;
метод введения новых переменных;
метод вынесения общего множителя за скобки;
метод почленного деления;
метод группировки;
метод оценки.

Метод приведения к одному основанию

Способ основан на следующем свойстве степеней: если равны две степени и равны их основания, то равны и их показатели, т. е. уравнение надо попытаться свести к виду:

Представим правую часть в виде 3 log 3 7 x+1 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

И запишем уравнение равносильное исходному

3 2x-1 = 3 log 3 7 x+1 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Перейдем к уравнению для показательных степеней

2x-1= log 3 7 x+1 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

2x-1=x log 3 7 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image005.png» /> + log 3 7 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

x(2- log 3 7 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image005.png» /> )= log 3 7 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

x= 1+ log 3 7 2- log 3 7 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

x= log 3 3+ log 3 7 log 3 3 2 — log 3 7 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

x= log 3 21 log 3 9 7 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

x= log 9 7 21 ≈12.1144 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Ответ: 12.1144 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Метод введения новых переменных

Введение новой переменной обычно производится после преобразований членов уравнения.

4 x 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image012.png» /> — 2 x 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Обозначим t= 2 x 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image013.png» /> ,где t>0, тогда

t 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

t 1 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

t 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Так как -1 2 x 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image013.png» /> =2 , откуда

x 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Метод вынесения общего множителя за скобки

Тождественное преобразование, в результате которого многочлен
приводится к произведению нескольких множителей, называют
разложением многочлена на множители.

x2·2x+1 + 2|x-3|+2 = x2·2|x-3|+4 + 2x-1

То, что находится в правой части, мы перенесем в левую часть и сгруппируем многочлены с одинаковыми показателями

(x2·2x+1 -2x-1)+(2|x-3|+2- x2·2|x-3|+4) = 0

Вынесем общие множители за скобки

2x-1(4×2-1) +2|x-3|+2(1-4×2) = 0,

Последнее уравнение равносильно совокупности

Из первого уравнения совокупности находим x1 = — 1 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image019.png» /> ,x2= 1 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Из второго уравнения получаем:

x — 1= x — 3 +2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

x — 3= x — 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

x — 3= x — 3, если x ≥3 x — 3=- x +3, если x <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

0∙ x =0, если x ≥3 2 x =6, x =3, если x <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Ответ: — 1 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image025.png» /> ∪ <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image026.png» /> 1 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image027.png» /> ∪ <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image026.png» /> 3; +∞ <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Метод почленного деления

Данный метод заключается в том, чтобы разделить каждый член уравнения, содержащий степени с одинаковыми показателями, но разными основаниями, на одну из степеней. Этот метод применяется для решения однородных показательных уравнений.

22х·2– 7·2х·5х+52х·5=0 /52х≠ 0
2· 2 5 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image029.png» /> 2х– 7· 2 5 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image029.png» /> х +5=0

Пусть 2 5 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image029.png» /> х =t, t>0
2t2-7t+5=0
D=b2-4ac=49-4·2·5=9
t1=1, t2= 5 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image030.png» />
2 5 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image029.png» /> х=1, 2 5 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image029.png» /> х = 5 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image030.png» />
х=0, х=-1

3·22х+ 1 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image020.png» /> ·9х+1– 6·4х+1= — 1 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

1 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image020.png» /> ·9х+1+ 1 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image020.png» /> ·9х·9+ 1 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

31,5= 21· 4 9 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

4 9 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image032.png» /> х= 3 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

2 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image034.png» /> 2х= 2 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

( 5 ) 2+4+6+. +2 x <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image035.png» /> = 5 45 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image036.png» /> , x Î N

Логарифмируя по основанию 5 (обе части уравнения положительны), получим

1 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image020.png» /> (2+4+6+. +2x) = 45

Используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии

Sn =n( a 1 + a n 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

x 1+ x 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image038.png» /> =45 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

корни которого x1 = -10 и x2 = 9.

Поскольку x ÎN, остается x = 9.

Неравенства, содержащие переменные в показатели степени, называются показательными. Методы применяемы при решении показательных уравнений, мы также можем использовать и при решении показательных неравенств. Приведем несколько примеров.

2 x — 3 ≥ <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image040.png» /> 4+ 1 6- 2 x — 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

В этом неравенстве мы используем метод введения новой переменной.

Пусть 2 x — 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image042.png» /> =t, тогда получаем неравенство

t ≥ <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image043.png» /> 4+ 1 6- t <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Преобразуем последнее неравенство

4+ 1 6- t <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image045.png» /> – t ≤ <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

t 2 — 10 t +25 6- t ≤ <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

(t-5) 2 6-t ≤ <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Используя метод интервалов, найдем решение неравенства с переменной

t=5, t > <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image049.png» /> 6. Отсюда 2 x — 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image042.png» /> =5 и 2 x — 3 > <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Пусть 2 x <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image051.png» /> =a, решим уравнение и неравенство с модулем.

Из уравнения a-3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image052.png» /> =5 получаем

a-3=5 a-3=-5 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

a=8 a=-2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Подставим вместо a= 2 x <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

2 x =8 2 x =-2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Модуль a — 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image052.png» /> есть расстояние на координатной оси от точки a до точки 3.

Для решения неравенств a — 3 > <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image056.png» /> 6 необходимо найти такие точки, расстояние от которых до точки 3 больше 6. Справа от точки 3 расположена точка 9 на расстоянии 6 единиц, а слева — точка (-3). Поэтому из неравенства

a — 3 > <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image056.png» /> 6 получаем a <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image057.png» /> -3 или a > <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

2 x 2 x >9 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

2 x > 2 log 2 9 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

x > log 2 9 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Ответ: ∪ ( log 2 9 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

2 (3 2x + 2 x ∙ 3 x+1 + 3 0 ) > 3 (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 + log 3 2) <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Так как и левая, и правая части неравенства положительны, то от них можно взять log2 :

3 2x + 2 x ∙ 3 x +1> log 2 3 (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 + log 3 2) <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

3 2x + 2 x ∙ 3 x +1> (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 + log 3 2)∙ log 2 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

3 2x + 2 x ∙ 3 x +1> (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 )∙ log 2 3 +1 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

3 2x + 2 x ∙ 3 x > (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 )∙ log 2 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Поделим каждое слагаемое неравенства на ( 2 x ∙ 3 x ) <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

3 2 x +1> 2 3 x — 3 ∙ log 2 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Обозначим: 3 2 x <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image069.png» /> =y, где y > <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

y+1 > 1 y — 3 ∙ log 2 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Умножим каждое слагаемое на y:

y 2 +y> 1-3y ∙ log 2 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Перенесем многочлен из левой стороны в правую сторону:

y 2 +y- 1-3y ∙ log 2 3 >0 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

y 2 +y — log 2 3+3y log 2 3 >0 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

y 2 + 3 log 2 3 +1 y- log 2 3 >0 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

y 2 + 3 log 2 3 +1 y- log 2 3=0 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

D = 3 log 2 3 +1 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image076.png» /> 2 + <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image077.png» /> 4 log 2 3= 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

D >0 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

y = — 3 log 2 3 +1 ± 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

В связи с тем, что log 2 3 >0 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image081.png» /> , то и D > 3 log 2 3 +1 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Из этого следует, что только один из корней будет больше нуля:

y = — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Отметим точку y на оси, y >0 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

y Î — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 ;+∞ <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Из этого следует, что x Î log 3 2 — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 ;+∞ <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Ответ: x Î log 3 2 — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 ;+∞ <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

— 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Работа над данным проектом была интересной и увлекательной. Но что самое главное — она стала очень полезной для меня, так как совсем скоро мне предстоит сдавать экзамены. Ведь изучение над этой темой не только дало мне новые знания, но также помогло развить логическое мышление и научило находить решение в, казалось бы, безвыходных ситуациях.
Мне понравилось работать над данной темой, потому что благодаря этому проекту я смогла расширить свои знания в области показательных уравнений и неравенств.

Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс:/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачев, Н.Е.Федоров, М.И.Шабунин

Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни. Колягин Ю. М.

ЕГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов/ под редакцией И.В. Ященко.

ЕГЭ 2016. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов/ под редакцией И.В. Ященко.

Видео:Это просто! Как решать Показательные Неравенства?Скачать

Способы решения показательных уравнений

Разделы: Математика

Урок посвящен изучению нового материала и построен в форме лекции с элементами беседы. Показательные уравнения являются обязательным элементом подготовки выпускников, а потому достаточно часто встречаются в заданиях ЕГЭ. На последующих уроках отрабатываются рассмотренные способы решения показательных уравнений. Для более полного усвоения темы учащиеся выполняют индивидуальное задание, состоящее из 10 уравнений различных видов. Урок сопровождается компьютерной презентацией (Приложение 1).

1. Изучение нового материала

Определение Уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени, называется показательным.

Примеры показательных уравнений:

В ходе беседы выявляется характерная особенность этих уравнений – переменная находится в показателе степени. Далее учащимся на интерактивной доске предлагается задание, направленное на «узнавание» показательных уравнений. Анимация настроена так, что при верном выборе уравнение увеличивается в размере.

Выберите показательные уравнения:

Учащиеся выбирают уравнения №№ 2, 3, 4, 6, 8, эти уравнения предлагается записать в тетрадь для решения дома.

2. Способы решения показательных уравнений

Выделяют две группы способов: графический и аналитические.

2.1. Вспомним суть графического способа решения уравнений:

Построить графики двух функций (левая и правая части уравнения);
Найти абсциссы точек пересечения графиков;
Записать ответ.

Рассмотрим графический способ решения на примере уравнения 2 x = 4 Построим графики функций y = 2 x , y = 4 и найдем абсциссу точки пересечения графиков: x = 2.

Графический способ можно применить не всегда, поэтому рассмотрим более универсальные основные аналитические способы решения показательных уравнений.

2.2. Аналитические способы:

Приравнивание показателей;
Вынесение общего множителя за скобки;
Введение новой переменной;
Использование однородности.

Рассмотрим каждый способ подробнее и разберем на примере.

2.2.1. Приравнивание показателей.

1. Уединить слагаемое, содержащее переменную;
2. Привести степени к одному основанию;
3. Приравнять показатели;
4. Решить полученное уравнение;
5. Записать ответ.

2.2.2. Вынесение общего множителя за скобки

Примечание: выносим за скобки множитель с меньшим показателем.

2.2.3. Введение новой переменной

Как правило, уравнения, решаемые этим способом, сводятся к квадратным.

Пример:

Пусть 4 x = а тогда уравнение можно записать в виде:

Сделаем обратную замену:

2.2.4. Использование однородности

Определение Показательные уравнения вида называются однородными.

Суть метода: Так как показательная функция не может принимать значение, равное нулю, и обе части уравнения можно делить на одно и то же не равное нулю число, разделим обе части уравнения, например, на .

Разделим обе части уравнения на

3. Первичное закрепление материала

Учащимся предлагается выбрать способ решения для каждого из уравнений, записанных в тетради для решения дома:

Далее на интерактивной доске решаются уравнения (после решения уравнение «растворяется», и появляется новое, что очень удобно):

4. Подведение итогов урока, домашнее задание

Итоги урока: вопросы, обсуждение того, что на уроке было непонятно, что понравилось, выставление оценок за урок.

Задание на дом: конспект; выписанные 5 уравнений.

Список литературы

Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Задачник/ Под ред. А.Г.Мордковича. – М.:Мнемозина, 2003. – 315с.
Кодификатор элементов содержания к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений для проведения в 2011 году единого государственного экзамена по математике, «Федеральный институт педагогических измерений», 2011.
Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл.сред.школы. – М.: Просвещение, 1990. – 320 с.
Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учебник. – М.:Мнемозина, 2002. – 375с.