Привести уравнение к каноническому виду и найти его общее решение

Федеральное агентство по образованию

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики, экономики и информатики

Кафедра дифференциальных и интегральных уравнений

ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными …………………………………………………………………………

1.1. Необходимый теоретический материал………………………..

1.2. Пример выполнения задачи1 (приведение к

каноническому виду уравнений гиперболического типа) .

1.3. Пример выполнения задачи 2 (приведение к

каноническому виду уравнений параболического типа)

1.4. Пример выполнения задачи 3 (приведение к

каноническому виду уравнений эллиптического типа) ..

1.5. Задачи для самостоятельного решения ………………….….

Упрощение группы младших производных

для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

2.1. Необходимый теоретический материал …………………..

2.2. Пример выполнения задачи 4

2.3. Задачи для самостоятельного решения ……………………..

В настоящих методических указаниях изложен теоретический материал и на конкретных примерах разобрано приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными для уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов.

Методические указания предназначены для студентов математических специальностей очной и заочной формы обучения.

§1. Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными.

Задача. Определить тип уравнения

(1)

и привести его к каноническому виду.

1.1. Необходимый теоретический материал.

I. Тип уравнения (1) определяется знаком выражения :

· если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением гиперболического типа в этой точке;

· если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа в этой точке;

· если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением параболического типа в этой точке.

Уравнение (1) будет являться уравнением гиперболического, эллиптического, параболического типа в области D, если оно гиперболично, эллиптично, параболично в каждой точке этой области.

Уравнение (1) может менять свой тип при переходе из одной точки (области) в другую. Например, уравнение является уравнением эллиптического типа в точках ; параболического типа в точках ; и гиперболического типа в точках .

II. Чтобы привести уравнение к канонического виду, необходимо:

1. Определить коэффициенты ;

2. Вычислить выражение ;

3. Сделать вывод о типе уравнения (1) (в зависимости от знака выражения );

4. Записать уравнение характеристик:

; (2)

5. Решить уравнение (2). Для этого:

а) разрешить уравнение (2) как квадратное уравнение относительно dy:

; (3)

б) найти общие интегралы уравнений (3) (характеристики уравнения (1)):

· (4)

в случае уравнения гиперболического типа;

· , (5)

в случае уравнения параболического типа;

· , (6)

в случае уравнения эллиптического типа.

6. Ввести новые (характеристические) переменные и :

· в случае уравнения гиперболического типа в качестве и берут общие интегралы (4) уравнений (3), т. е.

· в случае уравнения параболического типа в качестве берут общий интеграл (5) уравнения (3), т. е. , в качестве берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию , не выражающуюся через , т. е. ;

· в случае уравнения эллиптического типа в качестве и берут вещественную и мнимую часть любого из общих интегралов (6) уравнений (3):

7. Пересчитать все производные, входящие в уравнение (1), используя правило дифференцирования сложной функции:

,

,

, (7)

,

.

8. Подставить найденные производные в исходное уравнение (1) и привести подобные слагаемые. В результате уравнение (1) примет один из следующих видов:

· в случае уравнения гиперболического типа:

;

· в случае уравнения параболического типа:

;

· в случае уравнения эллиптического типа:

.

1.2. Пример выполнения задачи 1.

Определить тип уравнения

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты :

2. Вычислим выражение :

.

3. уравнение гиперболического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

. (9)

5. Решим уравнение (9). Для этого:

а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy: ;

;

(10)

б) найдём общие интегралы уравнений (10) (характеристики уравнения (9)):

6. Введём характеристические переменные:

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Используя формулы (7), получим:

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (8) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Или после деления на -100 (коэффициент при ):

Ответ. Уравнение (8) является уравнением гиперболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

где

1.3. Пример выполнения задачи 2.

Определить тип уравнения

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты . В нашем примере они постоянны:

2. Вычислим выражение :

.

3. уравнение параболического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

. (12)

5. Решим уравнение (12). Для этого:

а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy. Однако в этом случае левая часть уравнения является полным квадратом:

;

(13)

б) имеем только одно уравнение характеристик (13). Найдём его общий интеграл (уравнения параболического типа имеют только одно семейство вещественных характеристик):

6. Введём характеристические переменные: одну из переменных вводим как и ранее

а в качестве берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию, не выражающуюся через , пусть

;

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Используя формулы (7), получим:

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (11) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Функцию, стоящую в правой части уравнения (11) необходимо также выразить через характеристические переменные.

После деления на 25 (коэффициент при ):

Ответ. Уравнение (11) является уравнением параболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

где

1.4. Пример выполнения задачи 3.

Определить тип уравнения

(14)

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты :

2. Вычислим выражение :

.

3. уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

. (15)

5. Решим уравнение (15). Для этого:

а) разрешаем уравнение (15) как квадратное уравнение относительно dy: ; (16)

б) уравнения (16) – это пара комплексно-сопряженных уравнений. Они имеют пару комплексно-сопряженных общих интегралов. (Уравнения эллиптического типа не имеют вещественных характеристик)

(17)

6. Введём характеристические переменные как вещественную и мнимую части одного из общих интегралов (17):

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Используя формулы (7), получим:

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (14) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Или после деления на 4 (коэффициент при и ):

Ответ. Уравнение (14) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

где

1.5. Задачи для самостоятельного решения.

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

§2. Упрощение группы младших производных

для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

2. 1. Необходимый теоретический материал

В самом общем виде линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными имеет вид

(1)

Преобразованием независимых переменных группа старших производных уравнения может быть упрощена. Уравнение (1) приводится к одному из следующих видов

· в случае уравнения гиперболического типа:

; (11)

· в случае уравнения параболического типа:

; (12)

· в случае уравнения эллиптического типа:

. (13)

Если коэффициенты исходного уравнения постоянны, то для дальнейшего упрощения уравнения любого типа нужно сделать замену неизвестной функции

, (14)

где — новая неизвестная функция, — параметры, подлежащие определению. Такая замена не «испортит» канонического вида, но при этом позволит подобрать параметры так, чтобы из трех слагаемых группы младших производных в уравнении осталось только одно. Уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов соответственно примут вид

;

;

.

Чтобы реализовать замену (14) в уравнениях (11), (12), (13), необходимо пересчитать все производные, входящие в эти уравнения по формулам

(15)

Подробно рассмотрим этот процесс на примере уравнения гиперболического типа, т. е. уравнения (11). Пересчитаем производные, входящие в это уравнение, используя формулы (15).

Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (11). Собирая подобные слагаемые, получим

. (16)

В уравнении (16) приравняем к нулю коэффициенты при и

Откуда Подставив эти значения параметров в уравнение (16) и разделив его на , придем к уравнению

,

где .

2.2. Пример выполнения задачи 4

к каноническому виду и упростить группу младших производных.

9. Определим коэффициенты :

10. Вычислим выражение :

.

11. уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.

12. Запишем уравнение характеристик:

. (18)

5. Решим уравнение (18). Для этого:

а) разрешаем уравнение (18) как квадратное уравнение относительно dy: ;

; (19)

б) найдём общие интегралы уравнений (19) (характеристики уравнения (17)):

6. Введём характеристические переменные:

13. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Используя формулы (7), получим:

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (17) при соответствующих производных.

14. Собирая подобные слагаемые, получим:

(20)

Теперь с помощью замены неизвестной функции (14)

упростим группу младших производных.

Пересчитаем производные, входящие в уравнение (20), используя формулы (15).

Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (20). Собирая подобные слагаемые, получим

. (21)

В уравнении (21) приравняем к нулю коэффициенты при и

Откуда Подставив эти значения параметров в уравнение (21) и разделив его на , придем к уравнению

.

Ответ. Уравнение (20) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Его канонический вид

,

где .

2.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 4. Привести уравнения к каноническому виду и упростить группу младших производных.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Видео:Приведение ДУ 2 порядка в частных производных к каноническому видуСкачать

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1 . Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.

Пример №2 . Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.

Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1 . 4y=-6-sqrt(4x-x 2 )
sqrt(4x-x 2 ) = -(4y+6)
Возведем в квадрат
4x-x 2 = (4y+6) 2
Раскрывая скобки, получаем:
16y 2 +48y + 36 +x 2 -4x = 0

Далее решается калькулятором. Если самостоятельно решать, то получим:
4x-x 2 = (4y+6) 2
-(x 2 — 4x) = 2(y+3/2) 2
-(x 2 — 4x + 4) = (y+3/2) 2
-(x — 2) 2 = (y+3/2) 2
(y+3/2) 2 + (x — 2) 2 = 0

Пример №2 . x=1-2/3 sqrt(y 2 -4y-5)
Здесь надо сначала привести к нормальному виду.
3/2(x-1)=sqrt(y 2 -4y-5)
Возводим в квадрат
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4x 2 -9/4*2x+9/4-y 2 +4y+5=0
9/4x 2 -9/2x-y 2 +4y+29/4=0

Далее можно решать как с калькулятором, так и без него:
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y+4-4-5
9/4(x-1) 2 =(y 2 -2)-9
9/4(x-1) 2 -(y 2 -2) = -9
-1/4(x-1) 2 +1/9(y 2 -2) = 1

Видео:13. Общие уравнения прямой в пространстве / приведение к каноническому видуСкачать

Лекция 13. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 2-ГО ПОРЯДКА, ПРИВЕДЕНИЕ ИХ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ И НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ

, (13.1)

которое можно также записать в виде

, (13.1*)

, (13.2)

которое можно также записать в виде

, (13.2*)

где u – искомая функция х и у; A, B, C, E, D, K – коэффициенты, которые могут быть как функциями х и у, так и постоянными величинами, некоторые из которых могут быть равные нулю.

Уравнение (13.1) или (13.1*) называется линейным, а уравнение (13.2) или (13.2*) называется квазилинейным, поскольку оно линейно только относительно старших производных, входящих в это уравнение.

Линейные уравнения в частных производных классифицируются на три типа:

— линейные уравнения гиперболического типа (ГТ);

— линейные уравнения параболического типа (ПТ);

— линейные уравнения эллиптического типа (ЭТ).

Для того, чтобы классифицировать уравнения в частных производных необходимо проанализировать выражение

состоящее из коэффициентов при старших производных в уравнениях (13.1) — (13.2*).

Если В 2 – АС > 0, то исходное уравнение будет принадлежать к уравнениям ГТ.

Если В 2 – АС = 0, то исходное уравнение будет принадлежать к уравнениям ПТ.

убедимся в том, что все волновые уравнения принадлежат к уравнениям ГТ.

2. Запишем уравнение теплопроводности, описывающее распределение нестационарного температурного поля в тонком стержне без влияния внешних источников температуры

и, сравнив его с уравнением (13.2*), определим значения коэффициентов

убедимся в том, что все уравнения, описывающие тепловые и диффузионные процессы, принадлежат к уравнениям ПТ.

3. Запишем стационарное уравнение Лапласа, описывающее распределение нестационарного температурного поля в мембране без влияния внешних источников температуры

и, сравнив его с уравнением (13.2*), определим значения коэффициентов

В 2 – АС = 0 2 – 1×1 =-1 2 , привести к виду

. (13.3*)

Это уравнение представляет собой уравнение первого порядка, второй степени, которое можно легко разрешить относительно производной

.

Полученное уравнение распадается на два уравнения

. (13.4)

Решая эти уравнения, найдем два интеграла, т.е. два семейства характеристик:

.

Используя эти интегралы, введем новые независимые переменные

. (13.5)

Вычислим все производные, входящие в уравнение (13.1*):

(13.6)

Подставляя вычисленные производные в уравнение (13.1*), получим его каноническую форму.

I.Для уравнений гиперболического типа уравнение характеристик имеет вид (13.3*), которое распадается на уравнения (13.4). С помощью их интегралов, произведя замену переменных (13.5) и, вычислив производные (13.6), после подстановки их в исходное уравнение, получим каноническую форму уравнения гиперболического типа

(13.7)

II. Для уравнений параболического типа уравнения характеристик принимает вид одного уравнения

,

которое имеет только одно семейство характеристик:

.

В этом случае для того, чтобы произвести замену переменных (13.5), необходимо в качестве недостающего второго интеграла C₂ выбрать некоторую произвольную функцию , такую, чтобы она была линейно независимая с функцией , т.е. для интегралов C₁ и C₂ должно выполнятся

.

После такой замены, вычисления производных (13.6) и их подстановки в уравнение параболического типа получим его каноническую форму

. (13.8)

III.Для уравнений эллиптического типа уравнения характеристик принимает вид (13.3*) и оно распадается на два уравнения в комплексной форме:

,

.

следовательно, уравнения (13) имеют два комплексно-сопряженных интеграла

,

причем функции являются действительными функциями своих аргументов и с их помощью вводим новые переменные, причем

.

После такой замены, вычисления производных (13.6) и их подстановки в уравнение эллиптического типа получим его каноническую форму

. (13.9)

Пример 13.1. Привести к каноническому виду уравнение:

. (П13.1.1)

▲ Запишем общий вид уравнения второго порядка

(П13.1.2)

и сравним коэффициенты при производных в уравнении (П13.1.2) и в исходном (П13.1.1):

.

Определим, к какому типу принадлежит исходное уравнение:

,

следовательно, исходное уравнение (П13.1.1) принадлежит к уравнениям гиперболического типа.

Осуществим переход к канонической форме с помощью общих интегралов уравнения характеристик (13.3). В нашем случае это уравнение имеет вид:

Следовательно, С₁ и С₂ определяют уравнения семейств характеристик. Тогда преобразование независимых переменных (13.5) будет иметь вид

Найдем в новых переменных

.Таким образом, исходное уравнение (П13.1.1) в новых переменных имеет вид:

и после преобразований, получим

,

с учетом того, что каноническая форма исходного уравнения имеет вид:

.▲

Пример 13.2. Привести к каноническому виду уравнение:

. (П13.2.1)

▲ Запишем общий вид уравнения второго порядка

(П13.2..2)

и сравним коэффициенты при производных в уравнении (П13.2.2) и в исходном (П13.2..1):

.

Определим, к какому типу принадлежит исходное уравнение (П13.2.1)

,

следовательно, исходное уравнение (П13.2.1) принадлежит к уравнениям параболического типа.

Осуществим переход к канонической форме с помощью общих интегралов уравнения характеристик (13.3). В нашем случае это уравнение имеет вид:

Произведем замену переменных и вычислим :

Подставим полученные производные в исходное уравнение (П13.2.1) и после преобразований, получим

так как .

Таким образом, окончательно каноническая форма исходного уравнения (П13.2.1) имеет вид:

.▲

Пример 13.3. Привести к каноническому виду уравнение:

.

▲ Запишем общий вид уравнения второго порядка

и сравним коэффициенты при производных в уравнении и в исходном:

.

Определим, к какому типу принадлежит исходное уравнение

,

следовательно, исходное уравнение принадлежит к уравнениям эллиптического типа.

Осуществим переход к канонической форме с помощью общих интегралов уравнения характеристик (13.3). В нашем случае это уравнение имеет вид:

.

Следовательно, получаем два семейства мнимых характеристик

.

Произведем замену

и вычислим :

Подставим полученные производные в исходное уравнение и после преобразований окончательно получим каноническую форму исходного уравнения

.▲

Пример 13.4. Найти решение уравнения

,

▲ Во-первых, осуществим переход к канонической форме с помощью общих интегралов уравнения характеристик (13.3). В нашем случае это уравнение имеет вид:

или .

Это степенное уравнение первого порядка распадается на два уравнения

и

Следовательно, получаем два семейства мнимых характеристик

.

Произведем замену

и вычислим :

Подставим полученные производные в исходное уравнение и после преобразований

окончательно получим каноническую форму исходного уравнения

.▲

Приведение исходного уравнения к канонической форме в ряде случаев позволяет достаточно легко найти общее решение исходного уравнения. Поскольку в данном методе используется уравнение характеристик (13.3), то данным метод нахождения общего решения называется методом характеристик. Рассмотрим примеры нахождения решения уравнений методом характеристик.

Пример 13.5. Найти общее решение уравнения:

.

▲ Запишем общий вид уравнения второго порядка

и сравним коэффициенты при производных в этом уравнении и в исходном:

Осуществим переход к канонической форме с помощью общих интегралов уравнения характеристик (13.3). В нашем случае это уравнение имеет вид:

Следовательно, С₁ и С₂ определяют уравнения семейств характеристик. Тогда преобразование независимых переменных (13.5) будет иметь вид

Найдем в новых переменных

Подставим полученные производные в исходное уравнение, и после преобразований окончательно получим каноническую форму исходного уравнения

или

Интегрируя дважды это уравнение, получим решение

Возвращаясь к «старым» переменным х и у, запишем окончательно общее решение исходного уравнения

.▲

Пример 13.6. Найти решение уравнения

,

▲ Во-первых, осуществим переход к канонической форме с помощью общих интегралов уравнения характеристик (13.3). В нашем случае это уравнение имеет вид:

,

которое распадается на два уравнения

,

для которых семейство характеристик имеет вид

.

,

приведем исходное уравнение к каноническому виду.

Вычислим :

Подставим полученные производные в исходное уравнение и после преобразований получим каноническую форму исходного уравнения

(П13.6.1)

, (П13.6.2)

тогда уравнение (П13.6.1) принимает вид

Это однородное линейное уравнение, которое к тому же является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные, найдем

.

Подставив найденную функцию в (П13.6.2) и проинтегрировав полученное выражение, окончательно получим решение уравнения (П13.6.1)

.

Обозначив , получим

и, возвращаясь к «старым» переменным получим общее решение исходного уравнения

.▲

Пример 13.7. Найти решение уравнения

,

▲ Во-первых, осуществим переход к канонической форме с помощью общих интегралов уравнения характеристик (13.3). В нашем случае это уравнение имеет вид:

,

которое распадается на два уравнения

,

для которых семейство характеристик имеет вид

.

,

приведем исходное уравнение к каноническому виду.

Вычислим :

Подставим полученные производные в исходное уравнение и после преобразований получим каноническую форму исходного уравнения

,

если а ≠ 0, то окончательный вид канонической формы исходного уравнения будет выглядеть следующим образом

. (П13.7.1)

Уравнение (П13.7.1) означает, что функция u(ξ,η) является вещественной (или мнимой) частью аналитической функции f(ξ+ηi). Поэтому общее решение исходного уравнения имеет вид

.▲

Пример 13.8. Найти решение уравнения

,

▲ Во-первых, осуществим переход к канонической форме с помощью общих интегралов уравнения характеристик (13.3). В нашем случае это уравнение имеет вид:

,

которое распадается на два уравнения

,

для которых семейство характеристик имеет вид

.

,

приведем исходное уравнение к каноническому виду.

Вычислим :

Подставим полученные производные в исходное уравнение и после преобразований получим каноническую форму исходного уравнения

окончательный вид канонической формы исходного уравнения будет выглядеть следующим образом

. (П13.8.1)

Уравнение (П13.8.1) означает, что функция u(ξ,η) является вещественной (или мнимой) частью аналитической функции f(ξ+ηi). Поэтому общее решение исходного уравнения имеет вид

.▲

Видео:Приведение линейного уравнения в частных производных c постоянными коэфф--ми к каноническому виду.Скачать

Поверхности второго порядка: их виды, уравнения, примеры

Видео:2. Приведение уравнений второго порядка к каноническому видуСкачать

Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат

Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид

Для определения вида поверхности второго порядка по общему уравнению и приведения общего уравнения к каноническому, нам понадобятся выражения, которые называются инвариантами. Инварианты — это определители и суммы определителей, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при переносе и повороте системы координат. Эти инварианты следующие:

Следующие два выражения, называемые семиинвариантами, являются инвариантами поворота декартовой прямоугольной системы координат:

В случае, если I 3 = 0 , K 4 = 0 , семиинвариант K 3 будет также и инвариантом переноса; в случае же I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 семиинвариант K 2 = 0 будет также и инвариантом переноса.

Видео:Общее уравнение прямой привести к каноническому видуСкачать

Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому

I. Если I 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ 1 , λ 2 , λ 3 — корни характеристического уравнения

.

В зависимости от того, какие знаки у чисел λ 1 , λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 , определяется вид поверхности второго порядка.

Эллипсоид

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 одного знака, а K 4 /I 3 имеет знак им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно переписать в следующем виде:

.

Тогда полуоси эллипсоида будут

, , .

Поэтому каноническое уравнение эллипсоида имеет вид

.

Мнимый эллипсоид

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого эллипсоида:

,

, , .

Мнимый конус

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 , а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый конус.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого конуса:

,

, , .

Однополостный гиперболоид

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, а третий корень и K 4 /I 3 имеют знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет однополостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни характеристического уравнения, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

.

, , ,

то каноническое уравнение однополостного гиперболоида будет иметь вид

.

Двуполостный гиперболоид

Если два корня характеристического уравнения и K 4 /I 3 имеют один и тот же знак, а третий корень характеристического уравнения им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет двуполостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

.

Последняя запись и есть каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.

Конус

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, третий корень имеет знак, им противоположный, а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет конус.

Считая, что одинаковый знак имеют корни λ 1 и λ 2 , общее уравнение можно переписать в виде:

,

известном как каноническое уравнение конуса.

II. Если I 3 = 0 , а K 4 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.

Эллиптический параболоид

Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический параболоид.

Общее уравнение можно переписать в виде:

.

Выбирая перед корнем знак, противоположный знаку λ 1 и λ 2 , и полагая

,

,

получим каноническое уравнение эллиптического параболоида:

.

Гиперболический параболоид

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический параболоид.

Обозначая через λ 1 положительный корень, а через λ 2 — отрицательный и беря перед корнем знак минус, переписываем уравнение в виде:

.

, ,

получим каноническое уравнение гиперболического параболоида:

.

III. Если I 3 = 0 , а K 4 = 0 , I 2 ≠ 0 то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.

Эллиптический цилиндр

Если λ 1 и λ 2 одного знака, а K 3 /I 2 имеет знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

.

, ,

получим каноническое уравнение эллиптического цилиндра:

.

Мнимый эллиптический цилиндр

Если λ 1 , λ 2 и K 3 /I 2 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллиптический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

.

Последняя запись — каноническое уравнение мнимого эллиптического цилиндра.

Мнимые пересекающиеся плоскости

Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые пересекающиеся плоскости.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

.

, ,

получим каноническое уравнение мнимых пересекающихся плоскостей:

.

Гиперболический цилиндр

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

,

, .

Таким образом, каноническое уравнение гиперболического цилиндра:

.

Пересекающиеся плоскости

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две пересекающиеся плоскости.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

,

, .

Таким образом, пересекающихся плоскостей:

.

IV. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ 1 = I 1 — отличный от нуля корень характеристического уравнения.

Параболический цилиндр

Уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, можно переписать в виде:

,

.

Это уравнение параболического цилиндра, в каноническом виде оно записывается так:

.

V. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

.

Параллельные плоскости

Если K 2 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две параллельные плоскости.

,

перепишем его в виде

.

Мнимые параллельные плоскости

Если K 2 > 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые параллельные плоскости.

,

перепишем его в виде

.

Совпадающие плоскости

Если K 2 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две совпадающие плоскости:

.

Видео:Видеоурок "Приведение к каноническому виду"Скачать

Решение примеров на определение вида поверхности второго порядка

Пример 1. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

Решение. Найдём I 3 :

(как вычислить определитель).

I 1 = 1 + 5 + 1 = 7 ,

Следовательно, данная поверхность — однополостный гиперболоид.

.

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

;

.

,

, , .

Пример 2. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

Решение. Найдём I 3 :

.

.

Следовательно, общее уравнение определяет эллиптический параболоид.

.

I 1 = 2 + 2 + 3 = 7 .

Решаем характеристическое уравнение:

.

.

,

, .

Пример 3. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

,

,

,

I 1 = 5 + 2 + 5 = 12 .

Так как I 3 = К 4 = 0 , I 2 > 0 , I 1 K 3 , то данное общее уравнение определяет эллиптический цилиндр.

.

.

Определить вид поверхности второго порядка самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

🎥 Видео

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. ПримерСкачать

Приводим уравнение кривой 2 порядка к каноническому видуСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"Скачать

53. Приведение общего уравнения кривой к каноническому видуСкачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Семинар 6. Приведение уравнения кривой II порядка к каноническому видуСкачать

§23 Приведение матрицы к каноническому видуСкачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Найти общее решение уравнения в частных производных первого порядка.Скачать

Кривые второго порядка. Парабола. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Каноническое уравнение прямой в пространстве Преход от общего уравненияСкачать