Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Федеральное агентство по образованию

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики, экономики и информатики

Кафедра дифференциальных и интегральных уравнений

ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными …………………………………………………………………………

1.1. Необходимый теоретический материал………………………..

1.2. Пример выполнения задачи1 (приведение к

каноническому виду уравнений гиперболического типа) .

1.3. Пример выполнения задачи 2 (приведение к

каноническому виду уравнений параболического типа)

1.4. Пример выполнения задачи 3 (приведение к

каноническому виду уравнений эллиптического типа) ..

1.5. Задачи для самостоятельного решения ………………….….

Упрощение группы младших производных

для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому виду

2.1. Необходимый теоретический материал …………………..

2.2. Пример выполнения задачи 4

2.3. Задачи для самостоятельного решения ……………………..

В настоящих методических указаниях изложен теоретический материал и на конкретных примерах разобрано приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными для уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов.

Методические указания предназначены для студентов математических специальностей очной и заочной формы обучения.

§1. Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными.

Задача. Определить тип уравнения

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0(1)

и привести его к каноническому виду.

1.1. Необходимый теоретический материал.

I. Тип уравнения (1) определяется знаком выражения Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0:

· если Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением гиперболического типа в этой точке;

· если Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа в этой точке;

· если Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением параболического типа в этой точке.

Уравнение (1) будет являться уравнением гиперболического, эллиптического, параболического типа в области D, если оно гиперболично, эллиптично, параболично в каждой точке этой области.

Уравнение (1) может менять свой тип при переходе из одной точки (области) в другую. Например, уравнение Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0является уравнением эллиптического типа в точках Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0; параболического типа в точках Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0; и гиперболического типа в точках Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

II. Чтобы привести уравнение к канонического виду, необходимо:

1. Определить коэффициенты Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0;

2. Вычислить выражение Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0;

3. Сделать вывод о типе уравнения (1) (в зависимости от знака выражения Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0);

4. Записать уравнение характеристик:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0; (2)

5. Решить уравнение (2). Для этого:

а) разрешить уравнение (2) как квадратное уравнение относительно dy:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0; (3)

б) найти общие интегралы уравнений (3) (характеристики уравнения (1)):

· Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0(4)

в случае уравнения гиперболического типа;

· Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0, (5)

в случае уравнения параболического типа;

· Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0, (6)

в случае уравнения эллиптического типа.

6. Ввести новые (характеристические) переменные Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0и Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0:

· в случае уравнения гиперболического типа в качестве Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0и Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0берут общие интегралы (4) уравнений (3), т. е.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

· в случае уравнения параболического типа в качестве Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0берут общий интеграл (5) уравнения (3), т. е. Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0, в качестве Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0, не выражающуюся через Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0, т. е. Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0;

· в случае уравнения эллиптического типа в качестве Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0и Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0берут вещественную и мнимую часть любого из общих интегралов (6) уравнений (3):

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Видео:2. Приведение уравнений второго порядка к каноническому видуСкачать

2. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду

7. Пересчитать все производные, входящие в уравнение (1), используя правило дифференцирования сложной функции:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0,

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0,

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0, (7)

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0,

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

8. Подставить найденные производные в исходное уравнение (1) и привести подобные слагаемые. В результате уравнение (1) примет один из следующих видов:

· в случае уравнения гиперболического типа:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0;

· в случае уравнения параболического типа:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0;

· в случае уравнения эллиптического типа:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

1.2. Пример выполнения задачи 1.

Определить тип уравнения

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0:

2. Вычислим выражение Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

3. Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0уравнение гиперболического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0. (9)

5. Решим уравнение (9). Для этого:

а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy: Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0;

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0;

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0 Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0(10)

б) найдём общие интегралы уравнений (10) (характеристики уравнения (9)):

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

6. Введём характеристические переменные:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Используя формулы (7), получим:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (8) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Или после деления на -100 (коэффициент при Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0):

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Ответ. Уравнение (8) является уравнением гиперболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

где Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

1.3. Пример выполнения задачи 2.

Видео:13. Общие уравнения прямой в пространстве / приведение к каноническому видуСкачать

13. Общие уравнения прямой в пространстве / приведение к каноническому виду

Определить тип уравнения

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0. В нашем примере они постоянны:

2. Вычислим выражение Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

3. Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0уравнение параболического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0. (12)

5. Решим уравнение (12). Для этого:

а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy. Однако в этом случае левая часть уравнения является полным квадратом:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0;

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0(13)

б) имеем только одно уравнение характеристик (13). Найдём его общий интеграл (уравнения параболического типа имеют только одно семейство вещественных характеристик):

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

6. Введём характеристические переменные: одну из переменных Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0вводим как и ранее

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

а в качестве Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию, не выражающуюся через Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0, пусть

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0;

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Используя формулы (7), получим:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (11) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Функцию, стоящую в правой части уравнения (11) необходимо также выразить через характеристические переменные.

После деления на 25 (коэффициент при Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0):

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Ответ. Уравнение (11) является уравнением параболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

где Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

1.4. Пример выполнения задачи 3.

Определить тип уравнения

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0(14)

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0:

2. Вычислим выражение Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

3. Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0. (15)

5. Решим уравнение (15). Для этого:

а) разрешаем уравнение (15) как квадратное уравнение относительно dy: Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0; (16)

б) уравнения (16) – это пара комплексно-сопряженных уравнений. Они имеют пару комплексно-сопряженных общих интегралов. (Уравнения эллиптического типа не имеют вещественных характеристик)

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0(17)

Видео:Приведение ДУ 2 порядка в частных производных к каноническому видуСкачать

Приведение ДУ 2 порядка в частных производных к каноническому виду

6. Введём характеристические переменные как вещественную и мнимую части одного из общих интегралов (17):

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Используя формулы (7), получим:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (14) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Или после деления на 4 (коэффициент при Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0и Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0):

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Ответ. Уравнение (14) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

где Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

1.5. Задачи для самостоятельного решения.

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

§2. Упрощение группы младших производных

для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

2. 1. Необходимый теоретический материал

В самом общем виде линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными имеет вид

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0(1)

Преобразованием независимых переменных группа старших производных уравнения может быть упрощена. Уравнение (1) приводится к одному из следующих видов

· в случае уравнения гиперболического типа:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0; (11)

· в случае уравнения параболического типа:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0; (12)

· в случае уравнения эллиптического типа:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0. (13)

Видео:Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертеж

Если коэффициенты исходного уравнения постоянны, то для дальнейшего упрощения уравнения любого типа нужно сделать замену неизвестной функции

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0, (14)

где Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0— новая неизвестная функция, Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0— параметры, подлежащие определению. Такая замена не «испортит» канонического вида, но при этом позволит подобрать параметры Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0так, чтобы из трех слагаемых группы младших производных в уравнении осталось только одно. Уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов соответственно примут вид

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0;

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0;

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

Чтобы реализовать замену (14) в уравнениях (11), (12), (13), необходимо пересчитать все производные, входящие в эти уравнения по формулам

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0(15)

Подробно рассмотрим этот процесс на примере уравнения гиперболического типа, т. е. уравнения (11). Пересчитаем производные, входящие в это уравнение, используя формулы (15).

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (11). Собирая подобные слагаемые, получим

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0. (16)

В уравнении (16) приравняем к нулю коэффициенты при Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0и Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Откуда Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0Подставив эти значения параметров в уравнение (16) и разделив его на Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0, придем к уравнению

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0,

где Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

2.2. Пример выполнения задачи 4

к каноническому виду и упростить группу младших производных.

9. Определим коэффициенты Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0:

10. Вычислим выражение Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

11. Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.

12. Запишем уравнение характеристик:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0. (18)

5. Решим уравнение (18). Для этого:

а) разрешаем уравнение (18) как квадратное уравнение относительно dy: Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0;

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0; (19)

б) найдём общие интегралы уравнений (19) (характеристики уравнения (17)):

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

6. Введём характеристические переменные:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

13. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Используя формулы (7), получим:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (17) при соответствующих производных.

14. Собирая подобные слагаемые, получим:

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0(20)

Теперь с помощью замены неизвестной функции (14)

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

упростим группу младших производных.

Пересчитаем производные, входящие в уравнение (20), используя формулы (15).

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (20). Собирая подобные слагаемые, получим

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0. (21)

В уравнении (21) приравняем к нулю коэффициенты при Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0и Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0

Откуда Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0Подставив эти значения параметров в уравнение (21) и разделив его на Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0, придем к уравнению

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

Видео:Кривые второго порядка. Парабола. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Кривые второго порядка. Парабола. Приведение к каноническому виду и чертеж

Ответ. Уравнение (20) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Его канонический вид

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0,

где Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

2.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 4. Привести уравнения к каноническому виду и упростить группу младших производных.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.

Привести к каноническому виду уравнение x 2uxx y 2uyy 0.


источники:

🎬 Видео

Приводим уравнение кривой 2 порядка к каноническому видуСкачать

Приводим уравнение кривой 2 порядка  к каноническому виду

Видеоурок "Приведение к каноническому виду"Скачать

Видеоурок "Приведение к каноническому виду"

УМФ, 20.10.2021, приведение уравнений к каноническому видуСкачать

УМФ, 20.10.2021, приведение уравнений к каноническому виду

Уравнение с параметром | Математика TutorOnlineСкачать

Уравнение с параметром | Математика TutorOnline

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. ПримерСкачать

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. Пример

Решение пробника ЕГЭ по РУССКОМУ ЯЗЫКУ | Вебинар | TutorOnlineСкачать

Решение пробника ЕГЭ по РУССКОМУ ЯЗЫКУ | Вебинар | TutorOnline

Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"Скачать

Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"

53. Приведение общего уравнения кривой к каноническому видуСкачать

53. Приведение общего уравнения кривой к каноническому виду

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!

Семинар 6. Приведение уравнения кривой II порядка к каноническому видуСкачать

Семинар 6. Приведение уравнения кривой II порядка к каноническому виду

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Кривые второго порядка. Гипербола. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Кривые второго порядка. Гипербола. Приведение к каноническому виду и чертеж

1.2. Приведение к каноническому видуСкачать

1.2. Приведение к каноническому виду

Приведение линейного уравнения в частных производных c постоянными коэфф--ми к каноническому виду.Скачать

Приведение линейного уравнения в частных производных c постоянными коэфф--ми к каноническому виду.
Поделиться или сохранить к себе: