Привести к каноническому виду уравнение линии методом ортогональных преобразований

Пример . Дано уравнение кривой 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 в системе координат (0,i,j), где i =(1,0) и j =(0,1).
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.

Решение. Приводим квадратичную форму B=3x 2 +10xy+3y 2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы . Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:

Характеристическое уравнение:
; λ₁=-2, λ₂=8. Вид квадратичной формы: .
Исходное уравнение определяет гиперболу.
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать 8x₁ 2 -2y₁ 2 , однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. .
Собственный вектор, отвечающий числу λ=-2 при x₁=1: x ₁=(1,-1).
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор , где – длина вектора x ₁.
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ=8, находим из системы
.
x ₂=(1,1); .
Итак, имеем новый ортонормированный базис ( i ₁, j ₁).
По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:
или

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии 17x 2 + 12xy + 8y 2 — 20 = 0.
Решение.Пример 2

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм и определить её вид. Уравнение кривой второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Решение

Задание. Привести уравнение к каноническому виду: 16x 2 — 9y 2 -64x — 8y +199 = 0.
Решение.Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить гиперболу на чертеже, указав фокусы, асимптоты и директрисы.
Решение:Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.
Решение:Скачать решение

Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

Канонический вид ортогонального преобразования евклидова пространства

Рассмотрим инвариантные подпространства ортогонального преобразования евклидова пространства. По теореме 9.4 линейное преобразование вещественного пространства имеет одномерное или двумерное инвариантное подпространство. Выясним геометрический смысл сужения ортогонального преобразования на инвариантное подпространство.

2. Пусть [math]L[/math] — двумерное инвариантное подпространство с ортонормированным базисом [math]boldsymbol_1, boldsymbol_2[/math] . Запишем для матрицы [math]A=begin a&b\ c&d end[/math] ортогонального преобразования [math]mathcalcolon Lto L[/math] равенство [math]A^T=A^:[/math]

По свойству 6 для собственного преобразования [math]det=1[/math] , поэтому [math]d=a,

lambda_2=-1)[/math] , так как

Поэтому несобственное ортогональное преобразование имеет два одномерных инвариантных подпространства (см. пункт 1).

Видео:Метод Лагранжа. Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному видамСкачать

Теорема (9.9) о каноническом виде ортогонального преобразования

На главной диагонали матрицы стоят либо числа 1 или (–1), либо блоки вида [math]R_= begincosvarphi&sinvarphi\ -sinvarphi&cosvarphi end[/math] , а остальные элементы матрицы равны нулю.

Базис [math](boldsymbol)=(boldsymbol_1,ldots,boldsymbol_n)[/math] , в котором матрица преобразования имеет вид (9.20), называется каноническим. Заметим, что канонический базис определяется неоднозначно.

Видео:Привести квадратичную форму к каноническому видуСкачать

Приведение ортогонального преобразования к каноническому виду

Задача приведения ортогонального преобразования к каноническому виду формулируется следующим образом: требуется найти базис (канонический), в котором матрица ортогонального преобразования имеет канонический вид (9.20). Для приведения ортогонального преобразования к каноническому виду нужно выполнить следующие действия.

Нахождение канонического вида ортогонального преобразования ( первый этап ).

1. Выбрать базис [math]boldsymbol_1,ldots, boldsymbol_n[/math] евклидова пространства [math]mathbb[/math] и найти матрицу [math]A[/math] преобразования в этом базисе.

2. Составить характеристическое уравнение [math]det(A-lambda E)=0[/math] и найти различные его корни [math]lambda_1,ldots, lambda_k[/math] (а также их алгебраические кратности).

3. Записать блочно-диагональную матрицу (9.20) канонического вида ортогонального преобразования:

— каждый действительный корень [math]lambda_1[/math] кратности [math]n_1[/math] поместить на главной диагонали [math]n_1[/math] раз;

— для каждой пары [math]lambda=alphapmbeta i[/math] комплексных сопряженных корней кратности [math]m[/math] записать [math]m[/math] блоков вида [math]R_= begin alpha&beta\ -beta&alpha end[/math] (см. доказательство свойства 8 ортогональных преобразований).

Нахождение канонического базиса ( второй этап ).

4. Для действительного корня [math]lambda_1[/math] кратности [math]n_1[/math] найти фундаментальную систему [math]x_1,ldots,x_[/math] решений однородной системы [math](A-lambda_1E)x=o[/math] . Линейно независимую систему [math]boldsymbol_1,ldots, boldsymbol_[/math] векторов (пространства [math]mathbb^n[/math] ) ортогонализировать и нормировать. Получим векторы [math]boldsymbol_1,ldots, boldsymbol_[/math] .

5. Для пары [math]lambda=alphapmbeta i[/math] комплексных сопряженных корней кратности [math]m[/math] найти фундаментальную систему [math]z_1,ldots,z_[/math] решений однородной системы [math](A+(alpha+beta i)E)z=o[/math] . Выделяя действительные [math]x_j=operatornamez_j[/math] и мнимые части [math]y_j=operatornamez_j,[/math] [math]j=1,ldots,m[/math] , комплексных столбцов [math]z_1,ldots,z_[/math] , получить [math]m[/math] пар ортогональных векторов [math]boldsymbol_1,boldsymbol_1; boldsymbol_2, boldsymbol_2;ldots; boldsymbol_m,boldsymbol_m[/math] (пространства [math]mathbb^n[/math] ). Эту систему векторов ортогонализировать и нормировать. Получим [math]2m[/math] векторов [math]boldsymbol_1,ldots,boldsymbol_[/math] .

6. Выполнить пункт 4 или пункт 5 для всех различных корней характеристического уравнения. Получаемые в результате группы столбцов последовательно записать в матрицу [math]S[/math] перехода от базиса [math]boldsymbol_1,ldots,boldsymbol_n[/math] к искомому каноническому базису [math]boldsymbol_1,ldots, boldsymbol_n colon,(boldsymbol)= (boldsymbol)S[/math] . Матрица [math]S^AS[/math] преобразования [math]mathcal[/math] будет иметь канонический вид (9.20), полученный в пункте 3.

1. Собственные векторы ортогональной матрицы, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

2. Из пункта 1 следует, что для получения ортонормированного базиса достаточно ортонормировать отдельно каждую группу векторов, получаемых в пункте 4 или пункте 5 алгоритма, причем по свойству 8 столбцы [math]x_j,y_j[/math] в пункте 5 будут ортогональными.

3. Матрицу вида (9.20) можно представить в виде произведения матриц, каждая из которых есть либо матрица [math]operatorname(1,ldots,1,-1,1,ldots,1)[/math] простого отражения относительно гиперплоскости, либо матрица math]operatorname(1,ldots,1, R_,1,ldots,1)[/math] простого вращения двумерной плоскости. Поэтому любое ортогональное преобразование можно представить в виде композиции простых отражений и простых вращений.

Решение. Первый этап. Нахождение канонического вида преобразования.

1. Выбираем базис [math]boldsymbol_1, boldsymbol_2, boldsymbol_3[/math] , в котором задана матрица преобразования.

2. Составляем характеристическое уравнение

Уравнение имеет три простых (кратности 1) корня: один действительный [math]lambda_1=1[/math] и пару комплексных сопряженных [math]lambda_= fracpmfrac<sqrt>,i,

3. Записываем искомый канонический вид (9.20), указывая на главной диагонали действительный корень [math]lambda_1=1[/math] и блок [math]R_= begin1/2&sqrt/2\ -sqrt/2&1/2 end!,

Второй этап. Нахождение канонического базиса. Найдем матрицу [math]S[/math] перехода от данного базиса [math]boldsymbol_1,boldsymbol_2,boldsymbol_3[/math] к каноническому [math]boldsymbol_1, boldsymbol_2, boldsymbol_3[/math] .

4. Для действительного корня [math]lambda_1=1[/math] кратности 1 находим фундаментальную систему решений однородной системы [math](A-lambda_1E)x=o[/math] . Приводим матрицу системы к упрощенному виду:

Следовательно, фундаментальная система содержит одно решение [math]x=begin 1&1&1 end^T[/math] . Нормируя это решение (поделив координаты на норму [math]|x|= sqrt=sqrt[/math] ), получаем столбец [math]s_1=begin dfrac<sqrt>& dfrac<sqrt>& dfrac<sqrt>end^T[/math] .

5. Для пары комплексных сопряженных корней [math]lambda_= fracpm frac<sqrt>,i[/math] находим фундаментальную систему решений однородной системы [math](A-lambda_2E)z=o[/math] . Приводим матрицу системы к упрощенному виду

Следовательно, фундаментальная система содержит одно решение. Полагая [math]z_3=1[/math] , получаем решение:

Выделяем действительную и мнимую части:

Нормируя столбцы, поделив координаты вектора [math]boldsymbol[/math] на его длину

6. Записываем полученные в пункт 4, 5 столбцы [math]s_1,,s_2,,s_3[/math] в искомую матрицу перехода

Видео:Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"Скачать

Математический портал

Видео:Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. ПримерСкачать

Nav view search

Navigation

Search

• Вы здесь:
• Home
• Аналитическая геометрия
• Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Видео:Приведение поверхности второго порядка к каноническому виду ортогональным преобразованием.Скачать

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Метод собственных векторов:

Рассмотрим квадратичную форму $A(x,x) =sumlimits_^na_x_ix_j$ в евклидовом пространстве $R^n.$ Так как ее матрица $A=(a_ij)$ симметрична, то она может быть представлена в виде $A=UDU^,$ где $D -$ диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы, а $U -$ ортогональная матрица. Столбцы матрицы $U$ являются координатами некоторого ортонормированного базиса $B’=(e_1, . e_n),$ в котором матрица $A$ имеет диагональный вид $D,$ и, следовательно, квадратичная форма — искомый канонический вид. Соответствующие преобразования координат определяются соотношением $$beginx_1\vdots\x_nend=Ubeginx_1’\vdots\x_n’end.$$

Пример.

Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие формы к каноническому виду, и написать этот канонический вид:

4.213. $11x_1^2+5x_2^2+2x_3^2+16x_1x_2+4x_1x_3-20x_2x_3.$

Решение.

Матрица квадратичной формы имеет вид $$begin11&8&2\8&5&-10\2&-10&2end.$$

Найдем собственные числа этой матрицы. Для этого запишем характеристическое уравнение:

$$det(A-lambda E)=begin11-lambda&8&2\8&5-lambda&-10\2&-10&2-lambdaend=$$ $$=(11-lambda)(5-lambda)(2-lambda)+2cdot 8cdot (-10)+2cdot 8cdot (-10)-$$ $$-2cdot(5-lambda)cdot 2-(11-lambda)cdot(-10)cdot(-10)-8cdot 8cdot(2-lambda)=$$ $$=-lambda^3+lambda^2(2+5+11)-lambda(10+22+55)+110-160-160-20+$$ $$+4lambda-1100+100lambda-128+64lambda=$$ $$=-lambda^3+18lambda^2+81lambda-1458=-lambda(lambda^2-81)+18(lambda^2-81)=$$ $$=(lambda-9)(lambda+9)(-lambda+18)=0.$$

Отсюда находим собственные числа:

$$lambda_1=9,quad lambda_2=-9, quadlambda_3=18.$$

Далее находим собственные вектора:

Собственный вектор для собственного числа $lambda_1=9$ найдем из системы $$(A-lambda E)X=0, Xneq 0, Rightarrow (A-9E)X=0, Xneq 0$$

Решим однородную систему уравнений:

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=begin2&8&2\8&-4&-10\2&-10&-7end$ методом окаймляющих миноров:

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=begin2&8\8&-4end=-8-64=-72neq 0.$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=begin2&8\8&-4end=-72neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$left<begin2x_1+8x_2+2c=0\ 8x_1-4x_2-10c=0endright.Rightarrowleft<begin2x_1+8x_2=-2c\8x_1-4x_2=10cendright.$$

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=beginc\-c/2\cend.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=begin1\-1/2\1end.$

Собственный вектор для собственного числа $lambda_2=-9$ найдем из системы $$(A-lambda E)X=0, Xneq 0, Rightarrow (A+9E)X=0, Xneq 0$$

Решим однородную систему уравнений:

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=begin20&8&2\8&14&-10\2&-10&11end$ методом окаймляющих миноров:

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=begin20&8\8&14end=280-64=216neq 0.$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=begin20&8\8&14end=216neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$left<begin20x_1+8x_2+2c=0\ 8x_1+14x_2-10c=0endright.Rightarrowleft<begin20x_1+8x_2=-2c\8x_1+14x_2=10cendright.$$

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=begin-c/2\c\cend.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=begin-1/2\1\1end.$

Собственный вектор для собственного числа $lambda=18$ найдем из системы $$(A-lambda E)X=0, Xneq 0, Rightarrow (A-18E)X=0, Xneq 0$$

Решим однородную систему уравнений:

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=begin-7&8&2\8&-13&-10\2&-10&-16end$ методом окаймляющих миноров:

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=begin-7&8\8&-13end=91-64=27neq 0.$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=begin-7&8\8&-13end=27neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$left<begin-7x_1+8x_2+2c=0\ 8x_1-13x_2-10c=0endright.Rightarrowleft<begin-7x_1+8x_2=-2c\8x_1-13x_2=10cendright.$$

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=begin-2c\-2c\cend.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=begin-2\-2\1end.$

Таким образом, мы нашли вектора

В базисе $B’=(e_1′, e_2′, e_3′)$ заданная квадратичная форма имеет вид $$A(x, x)=9x_1^2-9x_2^2+18x_3^2,$$ а соответствующее преобразование координат:

Ответ: $A(x, x)=9x_1^2-9x_2^2+18x_3^2;$

🌟 Видео

Приводим уравнение кривой 2 порядка к каноническому видуСкачать

13. Общие уравнения прямой в пространстве / приведение к каноническому видуСкачать

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Кривые второго порядка. Парабола. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Видеоурок "Приведение к каноническому виду"Скачать

2. Приведение уравнений второго порядка к каноническому видуСкачать

Приведение ДУ 2 порядка в частных производных к каноническому видуСкачать

Приведение квадратичных форм к каноническому видуСкачать

Поворот и параллельный перенос координатных осей. ЭллипсСкачать

53. Приведение общего уравнения кривой к каноническому видуСкачать

Семинар 6. Приведение уравнения кривой II порядка к каноническому видуСкачать

Практика 9. Ортогональное преобразование квадратичных формСкачать

§23 Приведение матрицы к каноническому видуСкачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать