Квадратное уравнение или уравнение второй степени с одним неизвестным — это уравнение, которое после преобразований может быть приведено к следующему виду:
ax 2 + bx + c = 0 — квадратное уравнение,
где x — это неизвестное, а a, b и c — коэффициенты уравнения. В квадратных уравнениях a называется первым коэффициентом (a ≠ 0), b называется вторым коэффициентом, а c называется известным или свободным членом.
называется полным квадратным уравнением. Если один из коэффициентов b или c равен нулю, или нулю равны оба эти коэффициента, то уравнение представляют в виде неполного квадратного уравнения.
- Приведённое квадратное уравнение
- Решение квадратных уравнений
- Квадратное уравнение. Дискриминант. Теорема Виета.
- теория по математике 📈 уравнения
- Дискриминант
- Теорема Виета
- Квадратное уравнение
- Примеры
- Пример 1
- Пример 2
- Как разложить квадратный трёхчлен на множители?
- Виды квадратных уравнений
- Полное и неполное квадратное уравнение
- Как решать неполное квадратное уравнение?
- Способ решения, когда b=0
- Первый способ решения, когда c=0 (это быстрый метод)
- Второй способ решения, когда c=0
- Способ решения, когда b=0 и c=0
- Приведённое квадратное уравнение
- Геометрический смысл решения корней квадратных уравнений
- 📸 Видео
Видео:На рисунке изображены графики функций вида y=ax^2+bx+c ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 5 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Приведённое квадратное уравнение
Полное квадратное уравнение можно привести к более удобному виду, разделив все его члены на a, то есть на первый коэффициент:
| x 2 + | b | x + | c | = 0. |
| a | a |
Затем можно избавиться от дробных коэффициентов, обозначив их буквами p и q:
| если | b | = p, а | c | = q, |
| a | a |
то получится x 2 + px + q = 0.
Уравнение x 2 + px + q = 0 называется приведённым квадратным уравнением. Следовательно, любое квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, можно назвать приведённым.
является приведённым, а уравнение:
можно заменить приведённым уравнением, разделив все его члены на -3:
Видео:Алгебра 8 класс (Урок№28 - Решение квадратных уравнений вида ax2 + bx + c = 0.Формула корней кв.ур.)Скачать
Решение квадратных уравнений
Чтобы решить квадратное уравнение, надо привести его к одному из следующих видов:
Для каждого вида уравнения есть своя формула нахождения корней:
| Вид уравнения | Формула корней | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| ax 2 + bx + c = 0 |  | ||||
| ax 2 + 2kx + c = 0 |  | ||||
| x 2 + px + q = 0 |
|
Обратите внимание на уравнение:
это преобразованное уравнение ax 2 + bx + c = 0, в котором коэффициент b — четный, что позволяет его заменить на вид 2k. Поэтому формулу нахождения корней для этого уравнения можно упростить, подставив в неё 2k вместо b:
Пример 1. Решить уравнение:
Так как в уравнении второй коэффициент не является чётным числом, а первый коэффициент не равен единице, то искать корни будем по самой первой формуле, называемой общей формулой нахождения корней квадратного уравнения. Сначала определим, чему равны коэффициенты:
Теперь, для нахождения корней уравнения, просто подставим значения коэффициентов в формулу:
| x1 = | -2 | = — | 1 | , x2 = | -12 | = -2 |
| 6 | 3 | 6 |
| Ответ: — | 1 | , -2. |
| 3 |
Определим, чему равны коэффициенты:
Так как в уравнении второй коэффициент — чётное число, то будем использовать формулу для квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом:
Приведём уравнение к общему виду:
Определим, чему равны коэффициенты:
Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с чётным вторым коэффициентом:
Определим, чему равны коэффициенты:
Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с нечётным вторым коэффициентом:
Видео:ОГЭ номер 11 найти а по графику функции y=ax^2+bx+c парабола РешуОГЭ 193099, дистанционный урокСкачать
Квадратное уравнение. Дискриминант. Теорема Виета.
теория по математике 📈 уравнения
Уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где a,b,c – любые числа, причем a≠0, называют квадратным уравнением. Числа a,b,c принято называть коэффициентами, при этом a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член.
Квадратное уравнение может иметь не более двух корней. Решить такое уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Видео:Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать
Дискриминант
Количество корней квадратного уравнения зависит от такого элемента, как дискриминант (обозначают его буквой D).
Нахождение корней квадратного уравнения
Дискриминант – это такой математический инструмент, который позволяет нам определять количество корней. Он выражается определенной формулой:
D=b 2 –4ac
- Если D>0, то уравнение имеет два различных
Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.
Пример №1. Решить уравнение х 2 –2х–3=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–2, c=–3. Находим дискриминант: D=b 2 –4ac=(–2) 2 –41(–3)=4+12=16. Видим, что дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два различных корня, находим их:
Пример №2. Решить уравнение 5х 2 +2х+1=0. Определяем коэффициенты: а=5, b=2, c=1. D=b 2 –4ac=2 2 –4=4–20=–16, D 2 –6х+9=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–6, c=9.
D=b 2 –4ac=(–6) 2 –4=36–36=0, D=0, 1
Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.
Видео:Как расставлять коэффициенты в уравнении реакции? Химия с нуля 7-8 класс | TutorOnlineСкачать
Теорема Виета
Среди квадратных уравнений встречаются такие, у которых первый коэффициент равен 1 (обратим внимание на пример 1 и 3), такие уравнения называются приведенными.
Приведенные квадратные уравнения можно решать не только с помощью дискриминанта, но и с помощью теоремы Виета.
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком; произведение корней равно третьему коэффициенту.
Корни с помощью данной теоремы находятся устно способом подбора. Рассмотрим это на примерах.
Пример №4. Решить уравнение х 2 –10х+21=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=–10, c=21. Применим теорему Виета:
Начинаем с произведения корней, которое является положительным числом, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Предполагаем, что это могут быть либо 3 и 7, либо противоположные им числа. Теперь смотрим на сумму, она является положительным числом, поэтому нам подходит пара чисел 3 и 7. Проверяем: 3+7=10, 37=21. Значит, корнями данного уравнения являются числа 3 и 7.
Пример №5. Решить уравнение: х 2 +5х+4=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=5, c=4. По теореме Виета:
Видим, что произведение корней равно 4, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Видим, что сумма отрицательная, значит, будем брать два отрицательных числа, нам подходят –1 и –4. Проверим:
Данное уравнение является квадратным. Но в его условии присутствует квадратный корень, что усложняет нам задачу для нахождения его корней, в том плане, что необходимо увидеть, какие же ограничения на переменную х здесь будут.
Записываем обязательно в начале решения, что подкоренное выражение может быть только равным нулю или положительным числом (правило извлечения квадратного корня): ограничение на х: 5 − х ≥ 0
Решаем полученное неравенство: − х ≥ − 5 , отсюда х ≤ 5 . Следовательно, для ответа мы будем выбирать значения, которые меньше или равны 5.
Решаем наше квадратное уравнение, перенося все слагаемые из правой части в левую, изменяя при этом знаки на противоположные и приводя подобные слагаемые (выражения с квадратным корнем взаимоуничтожаются):
х 2 − 2 х + √ 5 − х − √ 5 − х − 24 = 0
Получим приведенное квадратное уравнение, корни которого можно найти подбором по теореме Виета:
х 2 − 2 х − 24 = 0
Итак, корнями уравнения х 2 − 2 х − 24 = 0 будут числа -4 и 6.
Теперь выбираем корень, обращая внимание на наше ограничение на х, т.е. корень должен быть меньше или равен 5. Таким образом, запишем, что 6 – это посторонний корень, так как 6 н е ≤ 5 , а число минус 4 записываем в ответ нашего уравнения, так как − 4 ≤ 5 .
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Видео:8 класс, 20 урок, Функция y=ax^2+bx+c, ее свойства и графикСкачать
Квадратное уравнение
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c, где a, b, c — некоторые числа (причём обязательно a ≠ 0),
В таком уравнении:
- x — переменная, которая присутствует в таком уравнении во второй степени,
- a — первый коэффициент,
- b — второй коэффициент,
- c — свободный член.
Ещё такое уравнение называется квадратный трёхчлен, т.к. самая большая степень в нём квадрат и он состоит из 3 одночленов.
Для решения таких уравнений сначала находится дискриминант по этой формуле:
- D корней не существует,
- D = 0 есть один корень,
- D > 0 есть два корня.
Пример: x² – x – 3 = 0; a = 1, b = –1, c = –3, D = (–1)² – 4×1×(–3) = 1 + 12 = 13, D > 0 есть два корня.
Когда уже точно известно, что корни существуют, и известно количество этих корней, можно приступить к их поиску с помощью этой формулы:
Пример: x² – x – 3 = 0; a = 1, b = –1, c = –3, D = 13.
x1 = (1 + √13)/2 ≈ (1 + 3,60555)/2 ≈ 2,302775
x2 = (1 – √13)/2 ≈ (1 – 3,60555)/2 ≈ -1,302775
Видео:КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ y=ax2+bx+c свойства и график квадратичной функцииСкачать
Примеры
Пример 1
20x² – 15x – 10 = 0
Лучше сразу выписать так: a = 20, b = – 15, c = – 10.
1. Ищем дискриминант: формула D = b² – 4ac D = (– 15)² – 4 × 20 × (– 10) = 225 + 800 = 1025; D > 0 значит есть два корня.
2. Ищем эти корни: формула корней
2.1. Разбиваем формулу на две части, первый корень:
Уравнение 20x² – 15x – 10 = 0, где a = 20, b = – 15, c = – 10; D =1025.
x1 = ((–(–15)) + √ 1025)/(2×20) = (15 + 32,0156) / 40 ≈ 1,17539
2.2. Второй корень:
Уравнение 20x² – 15x – 10 = 0, где a = 20, b = – 15, c = – 10; D =1025.
x2 = ((–(–15)) – √ 1025)/(2×20) ≈ (15 – 32,0156) / 40 ≈ -0,42539
Пример 2
a = –1, b = 6, c = 18
Дискриминант D = b² – 4ac
D = 6² – 4×(–1)×(18) = 36 + 72 = 108, D > 0 есть два корня
a = –1, b = 6, c = 18, D = 108
x1 = ((–6) +√108)/(–2) = ((–6) + 10,3923)/(–2) = – 2,19615
x2 = ((–6) –√108)/(–2) = ((–6) – 10,3923)/(–2) = 8,19615
Как разложить квадратный трёхчлен на множители?
Продолжим с примером уравнения 20x² – 15x – 10 = 0
Мы уже нашли корни
x1 ≈ 1,17539, x2 ≈ -0,42539
Выносим коэффициент x² за скобки, и оба корня ставятся с противоположными знаками таким образом:
20x² – 15x – 10 = 20 (x – 1,17539) (x+0,42539)
Хотите проверить? Открываем скобки и проверяем
20 (x – 1,17539) (x+0,42539) = 20 (x²–1,17539x + 0,42539x–0,42539×1,17539) = 20 (x²–0,75x – 0,4999991521) =
Погрешность в 0,000016958 должна быть из-за округления в предыдущих расчётах.
Видео:Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)Скачать
Виды квадратных уравнений
Полное и неполное квадратное уравнение
В полном уравнении присутствуют все три его члена (ax² + bx + c = 0). В противном случае уравнение неполное, например:
–x² – 9 = 0 (отсутствует bx)
x² + 16x = 0 (отсутствует с)
–5x² = 0 (отсутствуют bx и с)
Т.е. это когда коэффициент с = 0 или b = 0 (или оба одновременно равны нулю). Внимание: о том, что «a» может быть равно нулю, не говорится, т.к. таким образом уравнение станет линейным (ax + b = 0).
Как решать неполное квадратное уравнение?
Способ решения, когда b=0
5x² = 5, делим всё на 5
x = ± √1 ⇔ x = 1 или x = –1
Первый способ решения, когда c=0 (это быстрый метод)
x² + 16x = 0 (выносим x за скобки)
x (x + 16) = 0, таким образом, либо x = 0, либо то, что в скобках, равно нулю,
x = 0 или (x + 16)= 0
(x + 16)= 0 ⇔ x = – 16
Второй способ решения, когда c=0
Неполное уравнение (c=0, b=0 или когда оба равны нулю) можно решить по той же системе, как и полное, правильно выписав коэффициенты (но это долго и нерационально).
a = 1, b = 16, c = 0 (здесь отсутствует c, значит он равен нулю)
Дискриминант: D = b² – 4ac = 16² – 4×1×0 = 16² = 256 >0, есть два корня.
Ищем корни X1,2 = ((–b) ±√D)/(2×(a)) =>
x1 = ((–16) + √256)/(2×(1)) = ((–16) + 16)/2 = 0
x2 = ((–16) – √256)/(2×(1)) = ((–16) – 16)/2 = –32/2 = – 16
Способ решения, когда b=0 и c=0
Приведённое квадратное уравнение
Чтобы получить приведённое квадратное уравнение, нужно лишь разделить обе части уравнения на a:
x² + px + q = 0, где:
3x² – 6x = 0 (делим всё на 3) ⇔ x² – (6/3)x = 0 ⇔ x² – 2x = 0 (неполное приведённое)
2x² – 4x – 2 = 0 (делим всё на 2) ⇔ x² – (4/2)x – (2/2) = 0 ⇔ x² – 2x – 1 = 0 (полное приведённое)
Видео:На рис. изображены графики f(x)=2x^2-5x+4 и g(x)=ax^2+bx+c, кот. пересекаются в точках А и В.Скачать
Геометрический смысл решения корней квадратных уравнений
Корни квадратного уравнения ещё являются и нулями функции, т.е. если вы ищете нули функции (в каких точках функция пересекает ось Ox), то вы их найдёте именно через этот процесс: поймёте, если они существуют, рассчитав дискриминант, затем найдёте их, используя формулу корней.
Вспомним наш пример уравнения 20x² – 15x – 10 = 0.
Узнайте также, что такое Теорема Виета и Парабола.
📸 Видео
8.1. Интеграл от иррациональной функции ∫√(ax^2+bx+c) dxСкачать
Приведение ДУ 2 порядка в частных производных к каноническому видуСкачать
На рисунке изображены графики функций вида у=ах^2+вх+ с.Скачать
Приведение линейного уравнения в частных производных c постоянными коэфф--ми к каноническому виду.Скачать
Коэффициент подобия отрезков/ площадей/ объемовСкачать
Алгебра 9 класс (Урок№7 - Функция y = ax2, её график и свойства.)Скачать
ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать
Видеоурок "Приведение к каноническому виду"Скачать
Видеоурок "Уравнение прямой с угловым коэффициентом"Скачать
Свойства квадратного корня. Уравнение х2=а, 8 классСкачать
Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"Скачать
