Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду методом лагранжа (6 видео)

Квадратичная форма

$ mathbb A_ $ означает одно из множеств: $ mathbb Q_ $ рациональных, или $ mathbb R_ $ вещественных, или $ mathbb C_ $ комплексных чисел.

Содержание

Определение
Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду
Матричная форма записи квадратичной формы
Метод Лагранжа и метод Гаусса
Формула Якоби
Закон инерции для квадратичных форм
Ранг квадратичной формы
Закон инерции
Конгруэнтность квадратичных форм
Знакоопределенность
Геометрия замен переменных
Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
Поверхности второго порядка: их виды, уравнения, примеры
Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат
Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому
Эллипсоид
Мнимый эллипсоид
Мнимый конус
Однополостный гиперболоид
Двуполостный гиперболоид
Конус
Эллиптический параболоид
Гиперболический параболоид
Эллиптический цилиндр
Мнимый эллиптический цилиндр
Мнимые пересекающиеся плоскости
Гиперболический цилиндр
Пересекающиеся плоскости
Параболический цилиндр
Параллельные плоскости
Мнимые параллельные плоскости
Совпадающие плоскости
Решение примеров на определение вида поверхности второго порядка
Определить вид поверхности второго порядка самостоятельно, а затем посмотреть решение
📸 Видео

Видео:2. Приведение уравнений второго порядка к каноническому видуСкачать

Определение

Квадратичной формой над множеством $ mathbb A_ $ называют однородный полином второй степени с коэффициентами из $ mathbb A_ $; если переменные обозначить $ x_1,dots,x_ $, то общий вид квадратичной формы от этих переменных: $$ f(x_1,dots,x_ )= sum_ f_x_jx_k= $$ $$begin displaystyle= f_x_1^2&+f_x_1x_2&+ dots & +f_x_1x_n+ \ &+f_x_2^2 &+ dots & +f_x_2x_n+ \ &+dots & & +dots + \ & & +f_x_jx_k & + dots+ \ & & &+f_x_n^2. end $$

Пример. Функции

$$x_1^2-x_1x_2+x_3^2 , , quad sqrt, x_2^2 — pi, x_3^2 , , quad -x_1x_2 , , quad mathbf i , x_1^2$$ являются квадратичными формами. Функции $$x_1^2-3, x_1+1 , , quad 5, x_1^2x_2^2 , , quad frac , , quad sqrt $$ не являются квадратичными формами.

Заметим, что в выражении для квадратичной формы присутствуют как квадраты переменных $ x_1^2,dots,x_n^2 $ так и их смешанные произведения $ x_j x_k $. Говорят, что квадратичная форма $ f(x_1,dots,x_ ) $ имеет канонический вид если $$f(x_1,dots,x_ )equiv f_x_1^2+f_x_2^2+dots+f_x_n^2 quad npu quad left<f_right>_^n subset mathbb A , $$ т.е. все коэффициенты при смешанных произведениях переменных равны нулю; в этом случае говорят также, что форма является «суммой квадратов» 1) .

Оказывается, что в любой квадратичной форме можно так сгруппировать входящие в нее одночлены, что в результате получится ее (эквивалентное) представление в виде суммы квадратов.

Пример.

$$ 2, x_1^2+4, x_1x_2 +x_2^2 equiv 2, (x_1+x_2)^2-x_2^2 equiv -2,x_1^2 + (2,x_1+x_2)^2 ; $$ $$ x_1^2+2 mathbf i x_1x_2 — x_2^2 equiv (x_1+ mathbf i x_2)^2 ; $$ $$-x_1^2+6,x_1x_2+6,x_1x_3+2,x_2^2+4,x_2x_3+2,x_3^2equiv $$ $$ equiv (x_1+x_2+x_3)^2-2,(x_1-x_2-x_3)^2+3,(x_2+x_3)^2 equiv $$ $$equiv -(x_1+3,x_2+3,x_3)^2+11,(x_2+x_3)^2 ; $$ $$ x_1x_2 equiv frac (x_1+x_2)^2- frac (x_1-x_2)^2 . $$

А в общем случае: $$ f(x_1,dots,x_ )equiv $$ $$ begin equiv a_1(c_x_1+c_x_2+dots+c_x_n)^2 +\ +a_2(c_x_1+c_x_2+dots+c_x_n)^2+ \ +dots+ \ +a_n(c_x_1+c_x_2+dots+c_x_n)^2 end $$ при $ _^n,<c_>_^n $ — константах. Такое представление оказывается достаточно удобным для анализа квадратичной формы — например, в случае вещественных форм, при проверке выполнимости неравенства вида $ f(x_1,dots,x_ ) ge 0 $. Приведенные выше примеры показывают неоднозначность представления в виде суммы квадратов: вид квадратов и даже их количество для одной и той же формы могут быть различными. С целью обеспечения частичной унификации установим некоторое дополнительное ограничение, а именно, потребуем, чтобы линейные однородные формы $$ c_x_1+c_x_2+dots+c_x_n, c_x_1+c_x_2+dots+c_x_n,dots, c_x_1+c_x_2+dots+c_x_n $$ были линейно независимыми. При таком ограничении любое представление квадратичной формы в виде суммы квадратов называется каноническим видом квадратичной формы.

Задача. Для произвольной квадратичной формы $ f(x_1,dots,x_ ) $ построить (хотя бы один) ее канонический вид.

$$ x^2 -2,xy+3,y^2+x-4,y-15=0 $$ определить к какому типу (эллипс, гипербола, парабола,…) она относится.

Видео:Метод Лагранжа. Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному видам Скачать

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Существует универсальный алгоритм, приводящий произвольную квадратичную форму к каноническому виду.

1. Пусть $ f_ne 0 $. Выделим в $ f(x_1,dots, x_n)_ $ все слагаемые, содержащие $ x_ $: $$ f_x_1^2+f_x_1x_2+ dots +f_x_1x_n+ sum_ f_x_jx_k = $$ $$ = f_left(x_1^2+frac<f_><f_>x_1x_2+dots+ frac<f_><f_>x_1x_n right)+dots= $$ $$ =f_left[ left(x_1+frac<f_><2f_>x_2+dots+ frac<f_><2f_>x_n right)^2-left(frac<f_><2f_>x_2+dots+ frac<f_><2f_>x_n right)^2 right]+dots= $$ $$ =f_ left(x_1+frac<f_><2f_>x_2+dots+ frac<f_><2f_>x_n right)^2 — f_left(frac<f_><2f_>x_2+dots+ frac<f_><2f_>x_n right)^2 +dots $$ В последнем представлении первое слагаемое представляет собой квадрат линейной формы по переменным $ x_,x_2,dots,x_n $; все оставшиеся слагаемые не зависят от $ x_ $, т.е. составляют квадратичную форму от переменных $ x_,dots,x_n $. Таким образом, исходная задача для формы $ n_ $ переменных оказывается сведенной к случаю формы $ (n-1)_ $-й переменной; последняя преобразуется по аналогичному принципу.

2. Если $ f_=0 $, но $ exists k: f_ne 0 $, т.е. при хотя бы одном квадрате переменной коэффициент отличен от нуля. Алгоритм модифицируется таким образом, что выделение полного квадрата начинается с переменной $ x_ $ вместо $ x_ $ — первая ничем не лучше (и не хуже) $ k_ $-й!

3. Совсем исключительный случай: квадраты переменных вообще отсутствуют, т.е. $ f_=dots=f_=0 $. Выбираем один из ненулевых коэффициентов при смешанных произведениях переменных: пусть $ f_ne 0 $. Представляем $ x_k=(x_j+x_k)-x_j $ и заменяем все вхождения переменной $ x_ $ на $ X_k-x_j $ при вспомогательной переменной $ X_k=x_j+x_k $. В новой квадратичной форме уже присутствует квадрат переменной $ x_ $ с ненулевым коэффициентом. Тем самым этот случай сводится к предыдущему. После приведения новой формы к сумме квадратов возвращаемся к «старой» переменной $ x_ $.

Пример. Привести форму

$$ f=4,x_1^2+2,x_2^2+x_3^2+x_4^2-4,x_1x_2-4,x_1x_3+4,x_1x_4+4,x_2x_3-4,x_3x_4 $$ к каноническому виду.

Решение. $$ begin f&=&4left(x_1^2-x_1x_2-x_1x_3+x_1x_4right)+2x_2^2+x_3^2+x_4^2+4x_2x_3-4x_3x_4=\ &=&4bigg[ left(x_1-frac, x_2-frac,x_3+ frac,x_4, right)^2- left(-frac, x_2-frac, x_3+frac, x_4right)^2 bigg] + \ &+&2,x_2^2+x_3^2+x_4^2+4,x_2x_3-4,x_3x_4= \ &=&4,left(x_1-frac, x_2-frac,x_3+ frac,x_4, right)^2+\ & & + Big[left(x_2+x_3+x_4, right)^2- left(x_3+x_4 right)^2Big]-2,x_3x_4 = \ &=&4,left(x_1-frac, x_2-frac,x_3+ frac,x_4, right)^2+ left(x_2+x_3+x_4, right)^2- \ &&-x_3^2-4,x_3x_4-x_4^2= \ && 4,left(x_1-frac, x_2-frac,x_3+ frac,x_4, right)^2+ left(x_2+x_3+x_4, right)^2- \ &&-Big[ left(x_3+ 2, x_4, right)^2-4, x_4^2Big] -x_4^2 = \ &=&4,left(x_1-frac, x_2-frac,x_3+ frac,x_4, right)^2+ left(x_2+x_3+x_4, right)^2-left(x_3+ 2, x_4, right)^2+3,x_4^2 end $$

Ответ. $ fequiv 4,left(x_1-frac, x_2-frac,x_3+ frac,x_4, right)^2+ left(x_2+x_3+x_4, right)^2-left(x_3+ 2, x_4, right)^2+3,x_4^2 $.

Пример. Привести форму

$$ f=x_1^2+x_2^2-4,x_3^2+2,x_1x_2+6,x_1x_3+4,x_2x_3 $$ к каноническому виду.

Решение. $$ fequiv (x_1+x_2+3,x_3)^2-(x_2+3,x_3)^2+x_2^2-4,x_3^2+4,x_2x_3 equiv $$ $$ equiv (x_1+x_2+3,x_3)^2-2,x_2x_3 -13,x_3^2 equiv $$ В соответствии с алгоритмом, на следующем шаге нужно выделять слагаемые, содержащие переменную $ x_ $, но коэффициент при $ x_2^2 $ в правой части формулы обратился в нуль. Поэтому — в соответствии с пунктом 2 метода — приходится выделять квадрат на основе переменной $ x_ $: $$ (x_1+x_2+3,x_3)^2-13, left(x_3-fracx_2right)^2+13cdot fracx_2^2 . $$

Ответ. $ (x_1+x_2+3,x_3)^2-13, left(x_3-fracx_2right)^2+ fracx_2^2 $.

Пример. Привести форму

$$ f=x_1x_2-3,x_1x_3+2,x_2x_3 $$ к каноническому виду.

Решение. Коэффициенты при квадратах переменных все равны нулю. Действуем в соответствии с пунктом 3 метода Лагранжа. Поскольку коэффициент при $ x_1x_2 $ отличен от нуля, делаем замену переменной $ x_2=X_2-x_1 $ при $ X_2=x_1+x_2 $: $$ fequiv -x_1^2+x_1X_2-5,x_1x_3+2,X_2x_3 . $$ Дальнейший ход решения — в соответствии с пунктом 1 метода Лагранжа: $$ -left(x_1-fracX_2+fracx_3right)^2+left(-fracX_2+fracx_3right)^2+2,X_2x_3 equiv $$ $$ equiv -left(x_1-fracX_2+fracx_3right)^2+fracX_2^2-fracX_2x_3+fracx_3^2 equiv $$ $$ equiv -left(x_1-fracX_2+fracx_3right)^2+fracleft(X_2-x_3 right)^2+6,x_3^2 $$ Получили сумму квадратов форм от переменных $ x_1,X_2,x_3 $. Возвращаемся к переменной $ x_ $:

Ответ. $ -(fracx_1-fracx_2+fracx_3)^2+frac(x_1+x_2-x_3)^2+6,x_3^2 $.

Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

Матричная форма записи квадратичной формы

Задача. Установить правило формирования коэффициентов канонического вида квадратичной формы, получающегося применением метода Лагранжа.

Прежде всего, соберем все переменные в один вектор, а вернее — в два вектора: $$ _ mbox X= left(begin x_1 \ vdots \ x_n end right) quad mbox X^ = (x_1,dots,x_n) ; $$ здесь $ ^ $ означает транспонирование. Не очень принципиально, что обозначать через $ X_ $ — столбец или строку; и хотя сокращение $ f(x_1,dots,x_n)=f(X) $ кажется не вполне корректным с точки зрения только что введенного обозначения, тем не менее не будем навешивать в правую часть дополнительные значки…

Если определить верхнетреугольную матрицу $ mathbf F $ равенством: $$ = left( begin f_&f_&dots &f_ \ &f_& dots & f_ \ mathbb O & &ddots & vdots \ & & & f_ end right), $$ то квадратичную форму можно записать в виде произведения трех матриц $$ _ mbox times mbox times mbox $$ $$ f(X)=X^ X .$$ Более того, можно написать бесконечно много подобных представлений для одной и той же квадратичной формы $ f_ $, подбирая разные матрицы

Пример. $ f=x_1^2+x_2^2-4,x_3^2+2,x_1x_2+6,x_1x_3+4,x_2x_3 equiv $

$$ equiv (x_1,x_2,x_3) left( begin 1 & 2 & 6 \ 0 & 1 & 4 \ 0 & 0 & -4 end right) left( begin x_1 \ x_2 \ x_3 end right) equiv (x_1,x_2,x_3) left( begin 1 & 0 & 3 \ 2 & 1 & 4 \ 3 & 0 & -4 end right) left( begin x_1 \ x_2 \ x_3 end right)equiv $$ $$ equiv (x_1,x_2,x_3) left( begin 1 & 1 & 3 \ 1 & 1 & 2 \ 3 & 2 & -4 end right) left( begin x_1 \ x_2 \ x_3 end right)equiv dots $$

Пример. Для приведенной выше квадратичной формы

$$ f=x_1^2+x_2^2-4,x_3^2+2,x_1x_2+6,x_1x_3+4,x_2x_3 $$ ее правильной записью будет именно последняя:

$$ fequiv (x_1,x_2,x_3) left( begin 1 & 1 & 3 \ 1 & 1 & 2 \ 3 & 2 & -4 end right) left( begin x_1 \ x_2 \ x_3 end right) $$ Правило формирования матрицы довольно просты: на диагонали ставятся коэффициенты при квадратах, а внедиагональные элементы получаются располовиниванием коэффициентов при смешанных произведениях переменных.

$ x_ $	$ x_ $	$ x_ $
$ x_ $	$ f_ $	$ fracf_ $	$ fracf_ $
$ x_ $	$ fracf_ $	$ f_ $	$ fracf_ $
$ x_ $	$ fracf_ $	$ fracf_ $	$ f_ $

Пример. Для

$$ f(x_1,x_2)=a_x_1^2+2, a_x_1x_2+a_x_2^2 $$ имеем: $$ = left( begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right) ; (f)=a_a_-a_^2 ; $$ последнее выражение вполне напоминает дискриминант квадратного трехчлена $ a_x^2+2, a_x+a_ $ и это обстоятельство оправдывает использование слова дискриминант для нового объекта…

Рассмотрим замены переменных в квадратичной форме, т.е. переход от переменных $ x_,dots,x_ $ к новым переменным $ y_,dots,y_ $. Ограничимся только линейными заменами вида $$ left< begin x_1&=&c_y_1+c_y_2+dots+c_y_n, \ x_2&=&c_y_1+c_y_2+dots+c_y_n, \ dots & & dots \ x_n&=&c_y_1+c_y_2+dots+c_y_n. end right. $$ Результатом такой замены переменных будет новая квадратичная форма относительно новых переменных. Установим по какому закону формируются ее коэффициенты. С этой целью введем в рассмотрение матрицу замены переменных $$ C= left( begin c_ & c_ & dots & c_ \ c_ & c_ & dots & c_ \ dots & & & dots \ c_ & c_ & dots & c_ \ end right) ; $$ которая позволяет переписать саму замену переменных в матричном виде $$ left(begin x_1 \ x_2 \ vdots \ x_n end right)= left( begin c_ & c_ & dots & c_ \ c_ & c_ & dots & c_ \ dots & & & dots \ c_ & c_ & dots & c_ \ end right) left(begin y_1 \ y_2 \ vdots \ y_n end right) qquad iff qquad X=CY . $$ Тогда формальная подстановка последнего варианта в правильную запись квадратичной формы приведет к следующей цепочке $$ f(X)=X^X= (CY)^ (CY)=Y^ C^C Y=tilde f (Y) , $$ (здесь использовались некоторые свойства операции транспонирования ) и, если обозначить матрицу $$ mathbf B =C^C , $$ то мы получаем правило формирования матрицы квадратичной формы, получившейся в результате замены переменных, с помощью операции произведения матриц. Обратим внимание на еще один факт — матрица $ mathbf B $ является симметричной: $$ mathbf B^ =(C^C)^= C^^left(C^ right)^ = C^C= mathbf B , $$ т.е. выбор в качестве матричной записи квадратичной формы именно того варианта, что основан на симметричной матрице, позволяет сохранить это свойство при любой линейной замене переменных.

Задача о нахождении канонического вида квадратичной формы $ X^X $ может быть также переформулирована в терминах замены переменных: требуется найти такую матрицу $ C_ $, чтобы матрица $ mathbf B= C^C $ оказалась диагональной: $$ mathbf B= left( begin a_ & & & \ & a_ & & \ & & ddots & \ & & & a_ end right) ; $$ при этом дополнительным условием ставится невырожденность (неособенность) матрицы $ C_ $: $$ det C ne 0 . $$

Теорема. Для любой квадратичной формы над $ mathbb A $ существует невырожденная линейная замена переменных $ X=CY $ такая, что преобразованная квадратичная форма $ widetilde f(Y) $ имеет канонический вид.

Вернемся к примерам предыдущего пункта, перепишем их на матричном языке.

Пример. Для формы

$$ f(x_1,x_2,x_3,x_4)= $$ $$=4,x_1^2+2,x_2^2+x_3^2+x_4^2-4,x_1x_2-4,x_1x_3+4,x_1x_4+4,x_2x_3-4,x_3x_4 $$ замена переменных осуществляется формулами

$$ begin y_1=& x_1 &-frac, x_2&-frac,x_3&+ frac,x_4, \ y_2=& & x_2&+x_3&+x_4, \ y_3=& & & x_3 &+ 2, x_4,\ y_4=& &&& x_4, end $$ т.е. матрица замены переменных $$ C= left( begin 1 & -frac & -frac & frac \ 0 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 1 end right) $$ имеет верхнетреугольный вид. Канонический вид в новых переменных записывается $$ f(x_1,x_2,x_3,x_4) equiv 4,y_1^2+y_2^2-y_3^2+3,y_4^2 . $$

Для формы $$ f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2-4,x_3^2+2,x_1x_2+6,x_1x_3+4,x_2x_3 $$ замена переменных уже не имеет треугольного вида: $$ begin y_1=& x_1 &+ x_2&+3,x_3 \ y_2=& & -fracx_2&+x_3 \ y_3=& & fracx_2 & end qquad iff qquad C= left( begin 1 & 1 & 3 \ 0 & -frac & 1 \ 0 & frac & 0 end right) . $$ Для формы $$ f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2-3,x_1x_3+2,x_2x_3 $$ получили: $$ begin y_1=& fracx_1 &-fracx_2&+fracx_3 \ y_2=& x_1&+x_2&-x_3 \ y_3=& & & x_3 end qquad iff qquad C= left( begin frac & -frac & frac \ 1 & 1 & -1 \ 0 & 1 & 1 end right) , $$ т.е. замена переменных также не имеет треугольного вида. ♦

Поставленную в начале пункта задачу об установлении структуры канонического вида квадратичной формы попытаемся решить сначала для случая когда замену переменных можно подобрать именно в треугольном виде.

Видео:53. Приведение общего уравнения кривой к каноническому видуСкачать

Метод Лагранжа и метод Гаусса

Пример. Рассмотрим матрицу квадратичной формы

из предыдущих пунктов, и, временно выходя из круга поставленных в настоящем разделе задач, попробуем применить к ней метод Гаусса приведения к треугольному виду: $$ left( begin 4 & -2 & -2 & 2 \ -2 & 2 & 2 & 0 \ -2 & 2 & 1 & -2 \ 2 & 0 & -2 & 1 end right) rightarrow left( begin 4 & -2 & -2 & 2 \ 0 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 0 & -1 \ 0 & 1 & -1 & 0 end right) rightarrow $$ $$ rightarrow left( begin 4 & -2 & -2 & 2 \ 0 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & -1 & -2 \ 0 & 0 & -2 & -1 end right) rightarrow left( begin 4 & -2 & -2 & 2 \ 0 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & -1 & -2 \ 0 & 0 & 0 & 3 end right) . $$ Обратим внимание на два обстоятельства: диагональные элементы последней матрицы совпадают с коэффициентами канонического вида квадратичной формы, а коэффициенты замены переменных, приводящей к этому каноническому виду, совпадают с элементами строк этой матрицы, если их разделить на соответствующие диагональные элементы. Возникает подозрение , что метод Лагранжа является «замаскированной» версией метода Гаусса. ♦

Для того, чтобы выяснить аналитический смысл преобразований по методу Лагранжа найдем правило формирования коэффициентов в первом шаге приведения квадратичной формы к каноническому виду. Пусть исходная квадратичная форма записана в виде $$ f(x_1,dots,x_ )=sum_ a_x_jx_k= $$ $$ begin = a_x_1^2&+2a_x_1x_2&+ dots & +2a_x_1x_n+ \ &+a_x_2^2 &+ dots & +2a_x_2x_n+ \ & & +dots & + \ & & &+a_x_n^2, end $$ т.е. коэффициенты при смешанных произведениях переменных записаны с выделением множителя $ 2_ $. После выделения полного квадрата, содержащего переменные $ x_1,x_2,dots,x_n $: $$ f(x_1,x_2,dots,x_n)equiv a_ left(x_1+frac<a_><a_>x_2+dots+ frac<a_><a_>x_n right)^2 + f_2(x_2,dots,x_n) $$ в правой части тождества образовалась квадратичная форма $ f_ $, не содержащая $ x_ $. Она равна $$ f_2 =sum_ a_x_jx_k- a_left(frac<a_><a_>x_2+dots+ frac<a_><a_>x_n right)^2= $$ $$ =sum_ a_x_jx_k-a_sum_ frac<a_a_><a_^2>x_jx_k= sum_left( a_-frac<a_><a_>a_ right) x_jx_k . $$ Если теперь выписать матрицу этой квадратичной формы (она имеет порядок $ n_-1 $), то ее элементы образуются по точно такому же правилу, как и коэффициенты матрицы, получающейся из матрицы $ mathbf A_ $ в результате первого шага метода Гаусса.

Теорема. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы $ X^X $ к каноническому виду эквивалентен методу Гаусса приведения матрицы $ $ к треугольному виду.

Доказательство. Действительно, первый шаг прямого хода метода исключения переменных Гаусса преобразует матрицу $ mathbf A $ следующим образом: $$ left( begin a_& a_& a_& dots & a_ \ a_& a_& a_& dots & a_ \ & dots & & dots & \ a_& a_& a_& dots & a_ end right) rightarrow left(begin a_&a_&dots&a_\ 0&a_^& dots &a_^\ &dots & & dots \ 0&a_^&dots &a_^ end right) ; $$ здесь $$a_^ = a_ — frac<a_a_><a_> ,$$ и предполагается, что $ a_ne 0 $. Видим, что формула формирования элементов матрицы $$ left(begin a_^& dots&a_^\ dots & & dots & \ a_^&dots &a_^ end right)_ $$ точно такая же, как и матрицы квадратичной формы $ f_2 $. Более того, поскольку матрица $ $ симметрична ($ a_=a_ $), то и только что полученная матрица оказывается симметричной. Если $ a_^ ne 0 $, то к этой новой матрице можно снова применить ту же процедуру, и т.д., и в конце концов придем к матрице первого порядка. Собирая все промежуточные результаты в одну матрицу, получим ее в треугольном виде $$ left(begin a_&a_&dots&a_ &a_\ 0&a_^& dots&a_^ &a_^\ & & ddots & & dots \ 0 &0 & &a_^&a_^ \ 0 &0 &dots & 0 &a_^ end right) $$ при условии, что ни одно из чисел на диагонали не обратилось в нуль: $$a_ ne 0, a_^ ne 0, dots, a_^ ne 0, a_^ ne 0 .$$ Если теперь обратиться к методу Лагранжа, то увидим, что полученная матрица как раз и определяет замену переменных $$ left<begin y_1=&displaystyle x_1+&frac<a_><a_>x_2+&dots+&frac<a_><a_>x_+& frac<a_><a_>x_n \ y_2=&displaystyle &x_2+&dots + &frac<a_^><a_^>x_+& frac<a_^><a_^>x_ \ vdots & & & ddots & dots & \ y_=&displaystyle & & &x_+ &frac<a_^><a_^>x_n \ y_n=&&&&&x_n end right. , $$ приводящую квадратичную форму к каноническому виду: $$ a_y_1^2 + a_^ y_2^2 + dots +a_^ y_^2 + a_^ y_n^2 . $$ ♦

Видео:Видеоурок "Приведение к каноническому виду"Скачать

Формула Якоби

Теорема [Якоби]. Квадратичная форма $ f(X)=X^X $ с симметричной матрицей $ $, ранг которой равен $ mathfrak r_ $, а главные миноры $ _^ $ отличны от нуля, приводится к следующему каноническому виду (формула Якоби 3) ):

$$ frac +frac +frac +dots+frac<z_^2><det mathbf A_<-1> cdot det mathbf A_> $$ Здесь $$ z_1 =frac partial f / partial x_1, z_2= frac left| begin a_ & partial f / partial x_1 \ a_ & partial f / partial x_2 end right|, z_3= frac left| begin a_ & a_ & partial f / partial x_1 \ a_ & a_ & partial f / partial x_2 \ a_ & a_ & partial f / partial x_3 end right|, dots , $$ $$ qquad qquad z_= frac left| begin a_ & a_ & dots & a_ & partial f / partial x_1 \ a_ & a_ & dots & a_ & partial f / partial x_2 \ dots & & & dots & dots \ a_ & a_ & dots & a_ & partial f / partial x_ end right| $$

Пример. Для квадратичной формы $$ f(x_1,x_2,x_3,x_4)= $$

Легко убедиться, что это — проявление общего правила. Выражение для $$ z_= frac left| begin a_ & a_ & dots & a_ & partial f / partial x_1 \ a_ & a_ & dots & a_ & partial f / partial x_2 \ dots & & & dots & dots \ a_ & a_ & dots & a_ & partial f / partial x_ end right| $$ при $ k in $ преобразуем следующим образом: из последнего столбца определителя $$ = left| begin a_ & a_ & dots & a_ & a_x_1+a_x_2+dots+ a_ x_+a_x_k+dots+a_x_n \ a_ & a_ & dots & a_ & a_x_1+a_x_2+dots+ a_ x_+a_x_k+dots+a_x_n \ dots & & & dots & dots \ a_ & a_ & dots & a_ & a_x_1+a_x_2+dots+ a_ x_+a_x_k+dots+a_x_n end right| $$ вычтем первый, домноженный на $ x_1 $, второй, домноженный на $ x_2 $, и т.д., $ (k-1) $-й, домноженный на $ x_ $. В результате получим линейную форму $$ z_k= left| begin a_ & a_ & dots & a_ & a_ \ a_ & a_ & dots & a_ & a_ \ dots & & & dots & dots \ a_ & a_ & dots & a_ & a_ end right|x_k + dots + left| begin a_ & a_ & dots & a_ & a_ \ a_ & a_ & dots & a_ & a_ \ dots & & & dots & dots \ a_ & a_ & dots & a_ & a_ end right|x_n , , $$ не зависящую от $ x_1,dots, x_ $. Коэффициент же при $ x_k $ равен $ det mathbf A_k $ и отличен от нуля по условию теоремы. Если его вынести за пределы формы, то получим еще альтернативный вариант формулы Якоби.

Квадратичная форма $ f(X)=X^X $ с симметричной матрицей $ $, ранг которой равен $ mathfrak r_ $, а главные миноры $ _^ $ отличны от нуля, приводится к следующему каноническому виду:

$$ y_1^2 det mathbf A_1 + y_2^2frac +y_3^2frac +dots+y_^2 frac<det mathbf A_><det mathbf A_> ; $$ при этом линейные относительно переменных $ x_1,dots,x_n $ формы $ _^ $ выражаются по формулам $$ left< begin y_1=&displaystyle x_1+&tilde c_x_2& &+dots+&tilde c_x_+&tilde c_x_n \ y_2=&displaystyle &x_2+& & dots + &tilde c_x_+&tilde c_x_ \ vdots & & & ddots & & dots & \ y_=&displaystyle & & &x_+ & dots + & tilde c_x_n end right. $$ Здесь $$ tilde c_=a_/a_, tilde c_=left| begin a_ & a_ & dots & a_ & a_ \ a_ & a_ & dots & a_ & a_ \ dots & & & dots & dots \ a_ & a_ & dots & a_ & a_ end right| Bigg/ det mathbf A_j , . $$

При $ mathfrak r = n $ матрица $ tilde C_ $ из предыдущей формулы становится верхнетреугольной: $$ Y=tilde C X , ; $$ при этом на главной диагонали будут стоять $ 1 $. Обратная к матрице такого вида имеет ту же структуру — и матрица $ C=tilde C^ $ является матрицей, которая встретилась нам в предыдущем ПУНКТЕ.

Теорема. Квадратичная форма $ f(X)=X^X $ при симметричной неособенной матрице $ $ приводится к каноническому виду заменой переменных, задаваемой верхней унитреугольной матрицей

$$ X=CY quad npu C= left( begin 1& c_& dots & c_ \ & 1& dots & c_ \ mathbb O & & ddots & vdots \ & & & 1 end right) $$ тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы $ $ отличны от нуля. Этот канонический вид представлен формулой Якоби $$ y_1^2 det mathbf A_1 + y_2^2frac +dots+y_^2 frac<det mathbf A_><det mathbf A_> . $$ Доказательство достаточности условия теоремы уже произведено, необходимость доказывается в пункте ☞ LDU-разложение матрицы.

Видео:Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. ПримерСкачать

Закон инерции для квадратичных форм

Для заданной квадратичной формы канонические виды, т.е. представления в виде сумм квадратов, можно построить разными способами. Выясним, какие характеристики являются общими (инвариантными) для этих представлений.

Видео:Приведение поверхности второго порядка к каноническому виду ортогональным преобразованием.Скачать

Ранг квадратичной формы

Предположим, что с помощью какой-либо невырожденной замены переменных мы привели квадратичную форму к каноническому виду: $$widetilde f(Y)=alpha_1y_1^2+dots+alpha_n y_n^2 .$$ Может так случиться, что часть коэффициентов $ _^n $ обратится в нуль.

Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы: $$operatorname ( f ) = operatorname ( ) .$$

Теорема. Ранг квадратичной формы не меняется при невырожденных заменах переменных:

$$ operatorname (f) = operatorname( C^C ) quad npu quad forall C, det C ne 0 .$$

Доказательство основано на следствии к теореме $ 2 $, приведенной ☞ ЗДЕСЬ: ранг матрицы не меняется при домножении ее на произвольную неособенную.

Ранг квадратичной формы равен числу ненулевых коэффициентов в ее каноническом виде.

Видео:Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"Скачать

Закон инерции

Число положительных (или отрицательных) коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы $ f_(X) $ называется ее положительным (соответственно, отрицательным) индексом инерции. Буду обозначать эти индексы 4) $$n_(f) quad mbox quad n_(f) . $$ Разность 5) $$sigma (f) = n_(f)-n_(f)$$ называется сигнатурой квадратичной формы (а также сигнатурой соответствующей ей симметричной матрицы).

Теорема [закон инерции]. Индексы инерции не зависят от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Пример. Найти ранг и сигнатуру квадратичной формы $ f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2-x_2x_3 $.

Решение. Приводим квадратичную форму к каноническому виду по методу Лагранжа: $$f=frac ,(x_1+x_2-x_3)^2 — frac ,(x_1-x_2-x_3)^2 .$$

Ответ. $ operatorname (f) = 2,, sigma (f)=0 $.

В предположении, что ранг матрицы $ mathbf A_ $ равен $ mathfrak r_ $, а ее главные миноры $ < det _j >_^ $ отличны от нуля, имеем:

$$ n_(f)=(1,det _1,dots, det _), n_(f)=(1,det _1,dots, det _) . $$ Здесь $ _ $ — число знакопостоянств, а $ _ $ — число число знакоперемен в последовательности. Для сигнатуры квадратичой формы также справедлива и формула $$ sigma (f)= sum_^ operatorname (det (mathbf A_) cdot det (mathbf A_) ) quad npu quad det (mathbf A_)=1 $$ и операции $ operatorname $ определения знака, введенной ☞ ЗДЕСЬ.

Доказательство следует из формулы Якоби.

Правило вычисления сигнатуры из предыдущей теоремы остается справедливым и в случае, если в последовательности главных миноров $ < det _j >_^ $ имеются нулевые, но не подряд идущие, и $ det _ ne 0 $. Если, например,

$$ det (mathbf A_) = 0, det (mathbf A_) ne 0, det (mathbf A_) ne 0 quad npu quad jin<1,dots, -1> ,$$ то сумма $$ operatorname (det (mathbf A_) cdot det (mathbf A_) )+ operatorname (det (mathbf A_) cdot det (mathbf A_) ) $$ считается равной нулю. (Можно также доказать, что в этом случае главные миноры $ det (mathbf A_) $ и $ det (mathbf A_) $ имеют противоположные знаки.)

Пример. Найти ранг и сигнатуру квадратичной формы

$$f_ <<coloralpha >>(x_1,x_2,x_3)=3,x_1^2 -4,x_1x_2-2,x_1x_3 + <coloralpha > , x_2^2 +6, x_2x_3 $$ в зависимости от значений параметра $ <coloralpha > $.

Решение. Сначала пробуем применить формулу из последнего следствия: $$det _1=3, det _2=3, <coloralpha > -4, det _3= det =- <coloralpha > -15 .$$ При $ <coloralpha > notin $ формула применима при $ =3 $: $$n_(f)=left< begin 2 & npu & <coloralpha > >4/3 ;\ 2 & npu & -15 -15 & 3 & 1 end $$

Рассмотренный только что пример относится к общей задаче оценки влияния параметров на характеристики квадратичной формы:

Как меняются ранг и сигнатура при непрерывном изменении параметров?

Пусть квадратичная форма зависит от параметров $ alpha, beta, dots $, причем эта зависимость — полиномиальная. Пусть при некотором наборе вещественных значений параметров все главные миноры матрицы квадратичной формы отличны от нуля. Тогда ранг и сигнатура квадратичной формы могут быть вполне определены знаками этих миноров посредством формулы из следствия к закону инерции. Поскольку элементы миноров полиномиально зависят от параметров, то мы получаем систему неравенств, которую (при необходимости домножением некоторых неравенств на $ (-1) $) можно переписать в виде $$ G_1(alpha,beta,dots) > 0, dots, G_n(alpha,beta,dots) > 0 . $$ Здесь $ G_1,dots, G_n $ — полиномы от $ alpha,beta,dots $. Если при некотором наборе значений $ alpha=alpha_0, beta=beta_0, dots $ эта система удовлетворена, при непрерывной вариации этих параметров $ alpha_0+delta_, beta_0 + delta_,dots $ какое из неравенств системы нарушится в первую очередь, т.е. раньше остальных? Иными словами: какое из неравенств системы самое важное? — Оказывается, последнее.

Теорема[2]. Пусть $ f_ <<coloralpha >>(x_1,dots,x_n) $ — квадратичная форма, зависящая от параметра $ <coloralpha > $ линейным образом:

Справедливо и более общее утверждение.

Теорема[1,5]. Если при непрерывном изменении коэффициентов формы $ f_ $ ее ранг $ _ $ остается неизменным, то не изменяется и ее сигнатура $ sigma_(f) $.

В случае, когда главные миноры матрицы $ mathbf A $ обращаются в нуль, к анализу канонического вида квадратичной формы приходится привлекать «тяжелую артиллерию» в виде ведущих миноров. Но, по крайней мере, один теоретический результат можно сформулировать немедленно.

Теорема. В произвольной квадратичной форме $ f(X) $ ранга $ mathfrak rge 1 $ можно так перенумеровать переменные, чтобы в матрице получившейся квадратичной формы $ tilde f(Y) $ в последовательности главных миноров

$$ det widetilde_1, dots, det widetilde_ $$ не было двух подряд идущих нулевых и $ det widetilde_ ne 0 $.

Конгруэнтность квадратичных форм

Матрицы $ $ и $ $, связанные соотношением $ =C^C $ при некоторой неособенной матрице $ C $, называются конгруэнтными: $ cong $. Если, вдобавок, матрицы $ $ и $ $ симметричны, то конгруэнтными называются и соответствующие им квадратичные формы $ X^X $ и $ X^X $.

Теорема. Квадратичные формы $ X^X $ и $ X^X $ конгруэнтны тогда и только тогда, когда совпадают их индексы инерции, или, что то же, равны их ранги и сигнатуры.

Из всего разнообразия канонических видов квадратичной формы выберем самый простой, именно тот, коэффициенты которого равны $ +1 $ или $ (-1) $. Например, если квадратичная форма $ f(X) $ уже приведена к каноническому виду $$widetilde f(Y)=alpha_1y_1^2+dots+alpha_ y_^2 .$$ то преобразование $$y_j=frac<sqrt> npu jin <1,dots, > , y_j=z_j npu jin <+1,dots, n > $$ приводит эту форму к виду $$ z_1^2+dots + z_<n_(A)>^2 -z_<n_(A)+1>^2 — dots — z_<>^2 , $$ который называется нормальным видом квадратичной формы.

Множество всех квадратичных форм с вещественными коэффициентами можно разбить на классы эквивалентности, в каждом из которых будут находиться только конгруэнтные между собой формы. Каждый из классов полностью описывается каким-то из своих представителей. Таким представителем можно взять нормальный вид.

Какое преобразование квадратичной формы оставляет ее инвариантной?

Теорема [Эрмит]. Квадратичная форма $ X^X $ переходит в себя при преобразовании

Видео:Приведение ДУ 2 порядка в частных производных к каноническому видуСкачать

Знакоопределенность

Квадратичная форма $ f_(X) $ называется

а) неотрицательной если $ f(X)ge 0 $ для любого $ Xin mathbb R^n $;

б) положительно определенной, если она неотрицательна и $ f(X)= 0 $ только при $ X=mathbb O_ $;

в) неопределенной или знакопеременной, если существуют $ subset mathbb R^n $ такие что числа $ f(X_1) $ и $ f(X_2) $ имеют разные знаки: $ f(X_1)f(X_2) глобальным. В случае положительной определенности точка $ X=mathbb O $ будет единственной точкой пространства $ mathbb R^ $, в которой $ f_(X) $ достигает своего минимального значения. Однако если свойство положительной определенности будет нарушено: $ f(X_1) =0 $ при $ X_1 ne mathbb O $, то вследствие однородности формы $ f_(X) $ будет выполнено $$ f(tX_1)=t^2f(X_1)= 0 quad npu quad forall t in mathbb R . $$ Иными словами, свое минимальное значение $ 0_ $ неотрицательная, но не положительно определенная, форма $ f_ (X) $ будет принимать на всей прямой, проходящей через точки $ mathbb O $ и $ mathbb X_1 $. Точка $ X=mathbb O $ перестает быть изолированной точкой минимума: в любой ее окрестности находятся другие точки минимума. С точки зрения здравого смысла, подобная ситуация может считаться исключительным, вырожденным случаем. Интуиция подтверждается аналитикой: как увидим впоследствии вероятность того, что случайным образом выбранная квадратичная форма, обладающая свойством неотрицательности, не будет, вдобавок, положительно определенной, равна $ 0_ $. Событие теоретически возможно, но практически немыслимо.

Оказывается условие положительной определенности формы $ f $ является необходимым и достаточным для обеспечения подобного свойства в произвольном пространстве $ mathbb R^n $. И это утверждение верно не только для квадратичной формы, но и для однородного полинома (формы) произвольного порядка.

Задача об условных экстремумах квадратичной формы $ f_(X) $ на сфере $ x_1^2+dots+x_n^2 =1 $ решается ☞ ЗДЕСЬ.

Пример. В произвольном евклидовом пространстве $ mathbb E $ квадратичная форма с матрицей Грама произвольной системы векторов $ subset mathbb E $

Задача. Найти условия неотрицательности и положительной определенности квадратичной формы в терминах ее коэффициентов.

Очевидны необходимые условия неотрицательности квадратичной формы $$ f(X)=displaystyle sum_ f_x_jx_k : $$ все коэффициенты при квадратах переменных должны быть неотрицательными: $$ f_ge 0, dots , f_ge 0 . $$ Также очевидно, что эти условия будут и достаточными, если все остальные коэффициенты $ f_^ $ при $ jne k $ равны нулю. Если же последнее условие не выполняется, то имеет смысл предварительно преобразовать квадратичную форму к сумме квадратов, т.е. исследовать ее канонический вид.

Теорема. Ненулевая квадратичная форма, представленная в правильном виде

$$ f(X)=X^X , , $$ будет неотрицательной тогда и только тогда, когда ее отрицательный индекс инерции равен нулю: $$ n_ ()=0 qquad iff qquad qquad sigma ( )=operatorname .$$ Если это условие выполнено, то для положительной определенности формы необходимо и достаточно чтобы она была невырождена: $ det ne 0 $.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

К счастью, явное представление канонического вида квадратичной формы уже имеется — как правило, он задается формулой Якоби. Индексы инерции вычисляются через знаки главных миноров матрицы квадратичной формы.

Теорема [Сильвестр]. Квадратичная форма

$$ f(X)=X^X $$ будет положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры ее матрицы положительны: $$ a_>0, left| begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right| >0, left| begin a_ & a_ & a_ \ a_ & a_ & a_ \ a_ & a_ & a_ end right| >0, dots, det >0 . $$

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Квадратичная форма будет отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки главных миноров ее матрицы будут чередоваться следующим образом:

Пример. Найти все значения параметра $ <coloralpha > $, при которых квадратичная форма

$$2, x_1^2+2, x_2^2+x_3^2+ 2, <color > , x_1x_2+6, x_1x_3 +2,x_2x_3 $$ будет положительно определенной.

Решение. Значения главных миноров: $$det _1=2, det _2=4- <coloralpha >^2, det _3=- <coloralpha >^2+ 6, <coloralpha > -16 . $$ Последнее выражение будет отрицательно при любых $ <coloralpha > in mathbb R $.

Ответ. Таких значений нет: $ <coloralpha > in varnothing $.

Можно ли получить условия неотрицательности квадратичной формы: $$ f(X) ge 0 npu forall X in ^n $$ превращением всех неравенств из критерия Сильвестра в нестрогие: $ > to <color > ge $ ? — Вообще говоря, нет.

Пример. Квадратичная форма

$$f(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+2x_1x_3+2x_2x_4+x_4^2= X^ left( begin 1&0&1 &0 \ 0&0&0&1 \ 1&0&0&0 \ 0&1&0&1 end right)X $$ — неопределенная, т.к. $ f(1,0,-1,0)=-1_ 0 $. Тем не менее, все главные миноры ее матрицы неотрицательны. ♦

Имеются ли конструктивные необходимые и достаточные условия неотрицательности квадратичной формы?

Теорема. Для неотрицательности квадратичной формы $ X^ mathbf A X $ необходимо и достаточно, чтобы все ведущие миноры матрицы $ mathbf A $, т.е. миноры, стоящие на пересечении строк и столбцов матрицы с одинаковыми номерами

$$ Aleft( begin j_1 & dots & j_k \ j_1 & dots & j_k end right) , j_1 0 $ при всех $ Xin mathbb V_1, X ne mathbb O $.

Теорема. Пусть линейное подпространство задано системой линейных однородных уравнений

$$ left< begin h_x_1 & + dots & + h_x_n&=0, \ dots & & & dots \ h_x_1 & + dots & + h_x_n&=0, \ end right. qquad iff qquad underbrace<left( begin h_ & dots & h_ \ dots & & dots \ h_ & dots & h_ end right)>_X=mathbb O $$ Здесь $ k ☞ ЗДЕСЬ.

Пример. Найти ортогональную замену переменных, приводящую квадратичную форму

$$ X^ mathbf A X quad npu quad =left(begin 2 & 2 & -1 \ 2 & -1 & 2 \ -1& 2 & 2 end right) $$ к каноническому виду.

Решение. Характеристический полином $ det (mathbf A- lambda E)=-(lambda-3)^2(lambda+3) $. Простому собственному числу $ lambda=-3 $ соответствует собственный вектор $ _1=[1,-2,1]^<^> $, а собственному числу $ lambda=3 $ второй кратности соответствуют два линейно-независимых собственных вектора $ _2=[2,1,0]^<^> $ и $ _3=[-1,0,1]^<^> $. Очевидно, что $ langle _1, _2rangle=0 , langle _1, _3 rangle =0 $, но $ langle _2, _3 rangle ne 0 $. Ортогонализуем систему векторов $ left<_2,_3right> $: $$_2=_2, _3=_3+ <coloralpha > _2 quad mbox langle _2,_3rangle =0 Longrightarrow <coloralpha >=-frac<langle _2,_3rangle> <langle _2,_2rangle>=frac $$ и $ _3=left[-1/5, 2/5, 1 right]^<^> $. После нормирования, получаем ортогональную матрицу $$ P=left(begin 1/sqrt & 2/sqrt & -1/sqrt \ -2/sqrt & 1/sqrt & 2/sqrt \ 1/sqrt & 0 & 5/sqrt end right) . $$ Замена переменных $ X=PY $ приводит квадратичную форму $ X^ mathbf A X $ к каноническому виду $$ (y_1,y_2,y_3) left(begin -3 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 0 \ 0& 0 & 3 end right) left( begin y_1 \ y_2 \ y_3 end right)=-3,y_1^2+3,y_2^2+3,y_3^2 . $$

Теорема. Если известны коэффициенты характеристического полинома матрицы квадратичной формы $ f(X)=X^mathbf A X $:

$$ det (mathbf A- lambda E) equiv (-1)^n left(lambda^n+a_lambda^+ dots + a_n right) , ,$$ то $$ operatorname (f(X))= iff a_=a_=dots=a_<+1>=0,a_<>ne 0 , . $$ В этом случае будет также выполнено $$ n_ (f(X))=(1,a_1,dots,a_<>),quad n_ (f(X))=(1,a_1,dots,a_) , , $$ $$ sigma(f(X))=sum_^ operatorname (a_a_j) quad npu quad a_0=1 , . $$

Доказательство основано на правиле знаков Декарта.

Видео:Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Геометрия замен переменных

В предыдущих пунктах мы рассмотрели два подхода к построению канонического вида квадратичной формы. Очевидно, что подход, основанный на ортогональной замене переменных более дорогостоящий в построении по сравнению с методом Лагранжа. В самом деле, он требует нахождения собственных чисел симметричной матрицы, т.е. решения алгебраического уравнения $ det (mathbf A — lambda E)=0 $. В случае матриц порядка $ n> 4 $ корни этого уравнения, как правило, на находятся в виде «хорошей» комбинации коэффициентов, и могут быть определены разве лишь приближенно. Метод же Лагранжа принципиально безошибочен: коэффициенты канонического вида определяются в виде рациональных функций от коэффициентов квадратичной формы.

Пример. Уравнение $ 1/3x_1^2-x_1x_2+x_2^2=1 $ задает на плоскости эллипс:

Преобразование $$ y_1=x_1-3/2x_2, y_2=x_2 $$ приводит уравнение к виду $$ 1/3 y_1^2+1/4 y_2^2=1 ; $$ в новых координатах кривая имеет вид на рисунке слева. С другой стороны, преобразование $$ begin z_1&= sqrt<1/2+1/sqrt>,x_1+sqrt<1/2-1/sqrt>,x_2,\ z_2&= sqrt<-1/2-1/sqrt>,x_1+sqrt<1/2+1/sqrt>x_2 end $$ приводит уравнение к виду $$frac<4-sqrt>z_1^2+frac<4+sqrt>z_2^2=1 . $$ В этих координатах кривая имеет вид на рисунке справа.

Оба преобразования координат не изменяют типа кривой: эллипс остается эллипсом. Но второе преобразование дает нечто большее: оно сохраняет размеры. Фактически, оно сводится к повороту исходного эллипса.

Вывод. Метод Лагранжа «дешевле» метода ортогональных преобразований при решении задачи классификации алгебраических многообразий, заданных уравнением вида $ X^ mathbf A X=1 $. Иными словами, он позволяет «дешевле» определить тип поверхности с точностью до ее формы: например, в $ mathbb R^3 $ является ли эта поверхность эллипсоидом или гиперболоидом (и каким именно — однополостным или двуполостным)? Но если нас интересуют истинные размеры этой поверхности: например, размеры посылочного ящика, в который эллипсоид, заданный уравнением $ X^ mathbf A X=1 $, можно было бы поместить — то здесь без собственных векторов и чисел матрицы $ mathbf A $ не обойтись!

Видео:Кривые второго порядка. Парабола. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Пример . Дано уравнение кривой 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 в системе координат (0,i,j), где i =(1,0) и j =(0,1).
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.

Решение. Приводим квадратичную форму B=3x 2 +10xy+3y 2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы . Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:

Характеристическое уравнение:
; λ₁=-2, λ₂=8. Вид квадратичной формы: .
Исходное уравнение определяет гиперболу.
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать 8x₁ 2 -2y₁ 2 , однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. .
Собственный вектор, отвечающий числу λ=-2 при x₁=1: x ₁=(1,-1).
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор , где – длина вектора x ₁.
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ=8, находим из системы
.
x ₂=(1,1); .
Итак, имеем новый ортонормированный базис ( i ₁, j ₁).
По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:
или

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии 17x 2 + 12xy + 8y 2 — 20 = 0.
Решение.Пример 2

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм и определить её вид. Уравнение кривой второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Решение

Задание. Привести уравнение к каноническому виду: 16x 2 — 9y 2 -64x — 8y +199 = 0.
Решение.Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить гиперболу на чертеже, указав фокусы, асимптоты и директрисы.
Решение:Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.
Решение:Скачать решение

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Поверхности второго порядка: их виды, уравнения, примеры

Видео:13. Общие уравнения прямой в пространстве / приведение к каноническому видуСкачать

Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат

Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид

Для определения вида поверхности второго порядка по общему уравнению и приведения общего уравнения к каноническому, нам понадобятся выражения, которые называются инвариантами. Инварианты — это определители и суммы определителей, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при переносе и повороте системы координат. Эти инварианты следующие:

Следующие два выражения, называемые семиинвариантами, являются инвариантами поворота декартовой прямоугольной системы координат:

В случае, если I 3 = 0 , K 4 = 0 , семиинвариант K 3 будет также и инвариантом переноса; в случае же I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 семиинвариант K 2 = 0 будет также и инвариантом переноса.

Видео:Поворот и параллельный перенос координатных осей. ЭллипсСкачать

Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому

I. Если I 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

где λ 1 , λ 2 , λ 3 — корни характеристического уравнения

В зависимости от того, какие знаки у чисел λ 1 , λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 , определяется вид поверхности второго порядка.

Эллипсоид

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 одного знака, а K 4 /I 3 имеет знак им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно переписать в следующем виде:

Тогда полуоси эллипсоида будут

, , .

Поэтому каноническое уравнение эллипсоида имеет вид

Мнимый эллипсоид

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого эллипсоида:

, , .

Мнимый конус

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 , а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый конус.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого конуса:

, , .

Однополостный гиперболоид

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, а третий корень и K 4 /I 3 имеют знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет однополостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни характеристического уравнения, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

, , ,

то каноническое уравнение однополостного гиперболоида будет иметь вид

Двуполостный гиперболоид

Если два корня характеристического уравнения и K 4 /I 3 имеют один и тот же знак, а третий корень характеристического уравнения им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет двуполостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

Последняя запись и есть каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.

Конус

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, третий корень имеет знак, им противоположный, а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет конус.

Считая, что одинаковый знак имеют корни λ 1 и λ 2 , общее уравнение можно переписать в виде:

известном как каноническое уравнение конуса.

II. Если I 3 = 0 , а K 4 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.

Эллиптический параболоид

Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический параболоид.

Общее уравнение можно переписать в виде:

Выбирая перед корнем знак, противоположный знаку λ 1 и λ 2 , и полагая

получим каноническое уравнение эллиптического параболоида:

Гиперболический параболоид

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический параболоид.

Обозначая через λ 1 положительный корень, а через λ 2 — отрицательный и беря перед корнем знак минус, переписываем уравнение в виде:

, ,

получим каноническое уравнение гиперболического параболоида:

III. Если I 3 = 0 , а K 4 = 0 , I 2 ≠ 0 то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.

Эллиптический цилиндр

Если λ 1 и λ 2 одного знака, а K 3 /I 2 имеет знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

, ,

получим каноническое уравнение эллиптического цилиндра:

Мнимый эллиптический цилиндр

Если λ 1 , λ 2 и K 3 /I 2 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллиптический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

Последняя запись — каноническое уравнение мнимого эллиптического цилиндра.

Мнимые пересекающиеся плоскости

Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые пересекающиеся плоскости.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

, ,

получим каноническое уравнение мнимых пересекающихся плоскостей:

Гиперболический цилиндр

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

, .

Таким образом, каноническое уравнение гиперболического цилиндра:

Пересекающиеся плоскости

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две пересекающиеся плоскости.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

, .

Таким образом, пересекающихся плоскостей:

IV. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

где λ 1 = I 1 — отличный от нуля корень характеристического уравнения.

Параболический цилиндр

Уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, можно переписать в виде:

Это уравнение параболического цилиндра, в каноническом виде оно записывается так:

V. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду: