Пример . Дано уравнение кривой 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 в системе координат (0,i,j), где i =(1,0) и j =(0,1).
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.
Решение. Приводим квадратичную форму B=3x 2 +10xy+3y 2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы 
. Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:
Характеристическое уравнение: ; λ1=-2, λ2=8. Вид квадратичной формы: .
Исходное уравнение определяет гиперболу.
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать 8x1 2 -2y1 2 , однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. .
Собственный вектор, отвечающий числу λ=-2 при x1=1: x 1=(1,-1).
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор , где – длина вектора x 1.
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ=8, находим из системы .
x 2=(1,1); .
Итак, имеем новый ортонормированный базис ( i 1, j 1).
По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:
или
Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии 17x 2 + 12xy + 8y 2 — 20 = 0.
Решение.Пример 2
Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм и определить её вид. Уравнение кривой второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Решение
Задание. Привести уравнение к каноническому виду: 16x 2 — 9y 2 -64x — 8y +199 = 0.
Решение.Скачать решение
Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить гиперболу на чертеже, указав фокусы, асимптоты и директрисы.
Решение:Скачать решение
Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.
Решение:Скачать решение
Видео:53. Приведение общего уравнения кривой к каноническому видуСкачать
Использование линейных операторов для Приведения кривой второго порядка к каноническому виду
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ ДЛЯ Приведения кривой второго порядка к каноническому виду
ФГБОУ «Шадринский государственный педагогический институт»,
Руководитель: ст. преподаватель
Вопрос о кривых второго порядка встаёт, когда мы на плоскости рассматриваем некоторое геометрическое место точек, задаваемое уравнением вида: 
(*)
Из такого выражения довольно проблематично сразу определить вид кривой, её свойства, не говоря уже о вычислении эксцентриситета, фокуса и других не менее важных параметров. Легко определить вид линии и ее свойства по каноническому уравнению. Привести данное уравнение к каноническому виду можно разными способами.
Геометрически приведение кривой к каноническому виду состоит из двух этапов:
1. Поворот системы координат, цель которого освободиться от слагаемого xy.
2. Параллельный перенос системы координат, цель которого освободиться от слагаемых с x и с y.
Покажем как для этой цели могут быть использованы линейные операторы.
Чтобы освободиться от слагаемого с xy рассмотрим часть уравнения, где все слагаемые имеют вторую степень 
. Выражения такого вида 
можно считать квадратичной формой. Приведем квадратичную форму к каноническому виду с помощью ортогональных преобразований, тем самым освободимся от слагаемого 
.
Затем выделяем полные квадраты так, чтобы у нас исчезли соответствующие слагаемые первой степени.
Теперь рассмотрим, как эти шаги выполнять на практике.
Во-первых, составляем матрицу квадратичной формы:
.
Далее находим собственные числа матрицы 
, для этого решаем уравнение 
( 
– единичная матрица).
— корни этого уравнения, собственные числа матрицы .
Зная собственные числа, находим собственные векторы из следующих уравнений:
где 
— i—е собственное число, а 
и 
— соответствующие координаты собственного вектора, который соответствует i-му собственному числу. Собственный вектор определён с точностью до его длины. Т. е. все векторы, сонаправленные какому-либо собственному вектору, также являются собственными векторами.
Для наших целей необходимы ортонормированные собственные вектора, т. е. такие, которые удовлетворяют условию: 
(модуль вектора равен единице). Матрица перехода выглядит следующим образом:
Это – матрица поворота. Она производит следующее действие:
то есть приводит выражение к виду 
(квадратичную форму к каноническому виду).
С помощью следующего действия находим новые коэффициенты при переменных первой степени
После всех преобразований уравнение (*) примет вид:
Далее переходим ко второму этапу – собираем полные квадраты каждой из переменных:
где 
Далее делаем замену:
.
И после подстановки получаем уравнение вида:
.
Существует всего девять типов кривых второго порядка.
Собствен — ные значения
Уравнение после первого шага
Тип линий и ее каноническое уравнение
эллипс 
;
мнимый эллипс 
;
гипербола 
;
пара действительных пересекающихся прямых
;
пара мнимых пересекающихся прямых 
, 
, 
парабола 
, (
)
пара действительных параллельных
прямых
, (
);
пара мнимых параллельных прямых
, ( 
)
пара совпадающих прямых 
, (
)
Пример. Линия второго порядка задана общим уравнением 
. Определить, какая это линия и изобразить ее.
Рассмотрим члены второго порядка из уравнения (квадратичную форму) 
, матрица этой квадратичной формы 
.
Приведем квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием: 
. 
. 
. Находим нормированные собственные векторы для 
и 
.
. 
.
Собственный вектор: 
.
Нормируем: 
. 
.
Собственный вектор 
.
Нормируем: 
Уравнение линии будет таким: 
.
Выделим полные квадраты:
.
Тогда 
Уравнение линии примет вид: 
или 
— каноническое уравнение эллипса.
Изобразим первоначальную систему 
, систему после поворота 
и после параллельного переноса 
. В последней системе строим эллипс с полуосями 4 и 3 единицы.
1. Беклемишев, аналитической геометрии и линейной алгебры [Текст]./ . — М.: Наука, 1980.
2. Кузнецов, заданий по высшей математике [Текст]./ . — М.: Высшая школа, 1983.
Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать
Математический портал
Видео:Диагональный вид матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. Собственные векторыСкачать
Nav view search
Navigation
Search
- Вы здесь:
- Home
- Аналитическая геометрия
- Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Видео:2. Приведение уравнений второго порядка к каноническому видуСкачать
Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Метод собственных векторов:
Рассмотрим квадратичную форму $A(x,x) =sumlimits_^na_x_ix_j$ в евклидовом пространстве $R^n.$ Так как ее матрица $A=(a_ij)$ симметрична, то она может быть представлена в виде $A=UDU^,$ где $D -$ диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы, а $U -$ ортогональная матрица. Столбцы матрицы $U$ являются координатами некоторого ортонормированного базиса $B’=(e_1, . e_n),$ в котором матрица $A$ имеет диагональный вид $D,$ и, следовательно, квадратичная форма — искомый канонический вид. Соответствующие преобразования координат определяются соотношением $$beginx_1\vdots\x_nend=Ubeginx_1’\vdots\x_n’end.$$
Пример.
Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие формы к каноническому виду, и написать этот канонический вид:
4.213. $11x_1^2+5x_2^2+2x_3^2+16x_1x_2+4x_1x_3-20x_2x_3.$
Решение.
Матрица квадратичной формы имеет вид $$begin11&8&2\8&5&-10\2&-10&2end.$$
Найдем собственные числа этой матрицы. Для этого запишем характеристическое уравнение:
$$det(A-lambda E)=begin11-lambda&8&2\8&5-lambda&-10\2&-10&2-lambdaend=$$ $$=(11-lambda)(5-lambda)(2-lambda)+2cdot 8cdot (-10)+2cdot 8cdot (-10)-$$ $$-2cdot(5-lambda)cdot 2-(11-lambda)cdot(-10)cdot(-10)-8cdot 8cdot(2-lambda)=$$ $$=-lambda^3+lambda^2(2+5+11)-lambda(10+22+55)+110-160-160-20+$$ $$+4lambda-1100+100lambda-128+64lambda=$$ $$=-lambda^3+18lambda^2+81lambda-1458=-lambda(lambda^2-81)+18(lambda^2-81)=$$ $$=(lambda-9)(lambda+9)(-lambda+18)=0.$$
Отсюда находим собственные числа:
$$lambda_1=9,quad lambda_2=-9, quadlambda_3=18.$$
Далее находим собственные вектора:
Собственный вектор для собственного числа $lambda_1=9$ найдем из системы $$(A-lambda E)X=0, Xneq 0, Rightarrow (A-9E)X=0, Xneq 0$$
Решим однородную систему уравнений:
Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=begin2&8&2\8&-4&-10\2&-10&-7end$ методом окаймляющих миноров:
Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=begin2&8\8&-4end=-8-64=-72neq 0.$
Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.
Выберем в качестве базисного минор $M=begin2&8\8&-4end=-72neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$left<begin2x_1+8x_2+2c=0\ 8x_1-4x_2-10c=0endright.Rightarrowleft<begin2x_1+8x_2=-2c\8x_1-4x_2=10cendright.$$
По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$
Таким образом, общее решение системы $X(c)=beginc\-c/2\cend.$
Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=begin1\-1/2\1end.$
Собственный вектор для собственного числа $lambda_2=-9$ найдем из системы $$(A-lambda E)X=0, Xneq 0, Rightarrow (A+9E)X=0, Xneq 0$$
Решим однородную систему уравнений:
Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=begin20&8&2\8&14&-10\2&-10&11end$ методом окаймляющих миноров:
Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=begin20&8\8&14end=280-64=216neq 0.$
Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.
Выберем в качестве базисного минор $M=begin20&8\8&14end=216neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$left<begin20x_1+8x_2+2c=0\ 8x_1+14x_2-10c=0endright.Rightarrowleft<begin20x_1+8x_2=-2c\8x_1+14x_2=10cendright.$$
По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$
Таким образом, общее решение системы $X(c)=begin-c/2\c\cend.$
Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=begin-1/2\1\1end.$
Собственный вектор для собственного числа $lambda=18$ найдем из системы $$(A-lambda E)X=0, Xneq 0, Rightarrow (A-18E)X=0, Xneq 0$$
Решим однородную систему уравнений:
Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=begin-7&8&2\8&-13&-10\2&-10&-16end$ методом окаймляющих миноров:
Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=begin-7&8\8&-13end=91-64=27neq 0.$
Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.
Выберем в качестве базисного минор $M=begin-7&8\8&-13end=27neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$left<begin-7x_1+8x_2+2c=0\ 8x_1-13x_2-10c=0endright.Rightarrowleft<begin-7x_1+8x_2=-2c\8x_1-13x_2=10cendright.$$
По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$
Таким образом, общее решение системы $X(c)=begin-2c\-2c\cend.$
Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=begin-2\-2\1end.$
Таким образом, мы нашли вектора
В базисе $B’=(e_1′, e_2′, e_3′)$ заданная квадратичная форма имеет вид $$A(x, x)=9x_1^2-9x_2^2+18x_3^2,$$ а соответствующее преобразование координат:
Ответ: $A(x, x)=9x_1^2-9x_2^2+18x_3^2;$
💥 Видео
Приведение ДУ 2 порядка в частных производных к каноническому видуСкачать
Лекция 7. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому видуСкачать
Семинар 6. Приведение уравнения кривой II порядка к каноническому видуСкачать
Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. ПримерСкачать
Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. Еще один примерСкачать
Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"Скачать
Приведение гиперболы к каноническому виду: поворот, построениеСкачать
Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать
Приведение квадратичных форм к каноническому видуСкачать
Приводим уравнение кривой 2 порядка к каноническому видуСкачать
Замена базиса. Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду | Лекция 10 | ЛинАл | СтримСкачать
Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. ТемаСкачать
Видеоурок "Приведение к каноническому виду"Скачать
Кривые второго порядка. Парабола. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать
Приведение поверхности второго порядка к каноническому виду ортогональным преобразованием.Скачать
Приведение квадратичной формы к каноническому виду. ПримерСкачать
