Приведение нормальной системы дифференциальных уравнений к одному уравнению (4 видео)

Сведение системы к одному дифференциальному уравнению высшего порядка

Системой дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений, в каждое из которых входит независимая переменная, искомые функции и их производные.

Решение системы, состоящей из нескольких уравнений с таким же числом неизвестных функций, можно привести к решению дифференциального уравнения с одной неизвестной функцией.

Нормальная система уравнений:

как правило, может быть заменена одним дифференциальным уравнением, порядок которого равен порядку системы.

Содержание

Пример:
Метод исключения — сведение системы ДУ к одному уравнению
Приведение нормальной системы дифференциальных уравнений к одному уравнению
3.1. Модель рынка с прогнозируемыми ценами.
🎦 Видео

Пример:

Найти общее решение системы уравнений

Решение:

Продифференцировав первое уравнение по , заменим производную ее выражением из второго уравнения: . Продифференцировав полученное уравнение еще раз, заменим производную ее выражением из третьего уравнения: . Подставляя в последнее уравнение и , окончательно получим . Решим это уравнение. Соответствующее ему характеристическое уравнение имеет корни . Следовательно, . Функции и в соответствии с соотношениями и после дифференцирования полученного для выражения имеют вид: и .

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Видео:11. ДУ, Система ДУ. Сведение к уравнению высшего порядка. В.П. Минорский №2275Скачать

Метод исключения — сведение системы ДУ к одному уравнению

Частным случаем канонической системы дифференциальных уравнений является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной.

Введением новых функций

это уравнение заменяется нормальной системой уравнений

Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система уравнений первого порядка

эквивалентна одному уравнению порядка . На этом основан один из методов интегрирования систем дифференциальных уравнений — метод исключения .

Проиллюстрируем этот метод на примере системы двух уравнений:

Здесь — постоянные коэффициенты, а и — заданные функции; и — искомые функции. Из первого уравнения системы (1) находим

Подставляя во второе уравнение системы вместо у правую часть (2), а вместо производную от правой части (2), получаем уравнение второго порядка относительно

где — постоянные. Отсюда находим . Подставив найденное выражение для и в (2), найдем .

Пример 1. Проинтегрировать систему уравнений

Решение. Из первого уравнения системы (3) находим , тогда

Подставляя (4) во второе уравнение системы (3), получаем линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

Общее решение уравнения (5)

Находя производную по от (6), получаем

Общее решение системы (3):

Пример 2. Решить задачу Коши для системы

Решение. Из второго уравнения системы (7) находим

Подставляя (9) и (10) в первое уравнение системы (7), получаем уравнение , общее решение которого

Подставляя (11) в (9), найдем . Общее решение системы (7)

При начальных условиях (8) из (12) получим систему уравнений для определения

решая которую, найдем . Подставляя эти значения и в (12), получаем решение поставленной задачи Коши:

Пример 3. Решить систему уравнений

Решение. Из первого уравнения системы находим

Подставляя эти выражения для и во второе уравнение, получаем

Считая , из последнего уравнения имеем и после интегрирования получим . Теперь легко находим

Общее решение данной системы

Замечание. Не всякая система дифференциальных уравнений может быть сведена к одному уравнению более высокого порядка. Например,

не сводится к одному уравнению второго порядка. Ее общее решение .

Видео:Видеоурок "Системы дифференциальных уравнений"Скачать

Приведение нормальной системы дифференциальных уравнений к одному уравнению

Lv 1 = f, Lv 2 = f,

То есть сумма решений линейного однородного и линейного неоднородного уравнений (с тем же L) есть решение того же неоднородного уравнения; разность двух решений линейного неоднородного уравнения есть решение линейного однородного уравнения.

2.3. Линейная зависимость вектор-функций.

Вектор-функции x 1 (t), . x k (t) называются линейно зависимыми на интервале (или на множестве) М , если найдутся такие постоянные числа c₁. c_k, из которых хотя бы одно не равно нулю, что при всех t Î M имеем

Вектор-функции линейно независимы на M , если они не являются линейно зависимыми на M, то есть если равенство (12) (при всех t Î M одновременно) возможно лишь в случае c₁ = . = с_k = 0.

Понятие линейной зависимости вектор-функций на данном множестве M, содержащем более одной точки, отличается от известного из алгебры понятия линейной зависимости векторов.

Если вектор-функции x 1 (t), . x k (t) линейно зависимы на M, то при каждом t Î M их значения являются линейно зависимыми векторами, это следует из (12). Обратное неверно.

x 1 (t) = (1,1) и x 2 (t) = (t, t)

при любом t являются линейно зависимыми векторами.

Но как вектор-функции, они на любом интервале ( α, β) линейно независимы, так как при постоянных с₁ и c₂ равенство

на всем интервале ( α, β) возможно лишь при с₁ = с₂ = 0.

Действительно, c₁x 1 (t) + c₂ x 2 (t) = 0 эквивалентно выполнению равенства

2.3. Детерминант Вронского.

Детерминант Вронского W (t) или вронскиан для n-мерных вектор-функций

х 1 (t). , x n ( t ) — это детерминант n-го порядка, столбцы которого состоят из координат этих вектор-функций.

Если вектор-функции x 1 (t), . x n (t) линейно зависимы, то их вронскиан W(t) ≡ 0.

Если вронскиан W(t) ≠ 0 ( $ t ), то вектор-функции x 1 (t), . x n (t) линейно независимы.

Если вектор-функции x 1 (t), . x n (t) являются решениями системы х’ = A(t)x с непрерывной матрицей A ( t ), и их вронскиан равен нулю хотя бы при одном значении t , то эти вектор-функции линейно зависимы и их вронскиан W(t) ≡ 0.

Для вектор-функций, не являющихся решениями, утверждение леммы 3 неверно. В частности, для вектор-функций примера 2

x 1 (t) = (1,1) и x 2 (t) = (t, t)

имеем: W(t) ≡ 0, а они линейно независимы.

Далее рассматриваются решения линейной системы

Фундаментальной системой решений называется любая система n линейно независимых решений.

Покажем, что фундаментальные системы существуют. Возьмем t₀ Î ( α, β) и любые n линейно независимых векторов b 1 , …, b n Î R n

Пусть х 1 (t). ,x n (t) — решения системы х’ = A(t)x с начальными условиями x j (t 0 ) = b j , j = 1. ,n.

Эти решения линейно независимы, так как при t = t₀ их значения — линейно независимые векторы b 1 . b n , и равенство (12) возможно только при c₁ = . = c_n = 0.

Общим решением системы дифференциальных уравнений называют множество функций, содержащее все решения этой системы и только их (или формулу, представляющую это множество при всевозможных значениях произвольных постоянных).

Теорема 5 (об общем решении).

Пусть x l (t). x n (t) — какие-нибудь n линейно независимых решений системы

Общее решение системы есть

Теорема 5 означает, что множество решений системы х’ = A(t)x (х Î R n ) есть n-мерное линейное пространство.

Базисом в этом пространстве служит любая фундаментальная система решений. Равенство (13) есть представление любого элемента этого пространства в виде линейной комбинации элементов базиса.

Фундаментальной матрицей системы х’ = A(t)x называется матрица X(t), столбцы которой составляют фундаментальную систему решений.

Из леммы 3 следует, что det X(t) = W(t) ≠ 0.

С помощью фундаментальной матрицы X(t) общее решение (13) записывается в виде

где с — вектор-столбец с произвольными координатами c₁. с_n (так как X(t)c — линейная комбинация столбцов матрицы X(t), равная правой части (13) с коэффициентами с₁. с_n.

Найти линейно независимые решения и фундаментальную матрицу для системы

Из второго уравнения имеем у = с₁ (произвольная постоянная). Подставляя в первое уравнение, получаем х’ = с₁. Отсюда х = c₁t + c₂.

Общее решение есть х = c₁t + c₂,

Полагая с₁ = 1, с₂ = 0, находим частное решение х₁ = t,

y₁ = 1, а полагая с₁ = 0, с₂ = 1, находим другое решение х₂ = 1,

y₂ = 0. Их вронскиан W(t) = -1 ≠ 0. И в силу следствия леммы 2 эти решения линейно независимы. Поэтому фундаментальной является матрица

X T = x 1 x 2 y 1 y 2 .

Теорема 6 (переход от одной фундаментальной матрицы к другой).

Пусть X(t) — фундаментальная матрица, С — неособая (det С ≠ 0) постоянная матрица n x n. Тогда Y(t) = X(t)C — фундаментальная матрица той же системы. По этой формуле из данной фундаментальной матрицы X(t) можно получить любую фундаментальную матрицу Y(t), подбирая матрицу С.

Теорема 7 . Общее решение линейной неоднородной системы (10)

есть сумма ее частного решения и общего решения линейной однородной системы

3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЭКОНОМИКИ.

Дифференциальные уравнения занимают особое место в математике и имеют многочисленные приложения в большом спектре наук. Исследования природных процессов и изучение закономерностей общественных процессов приводят к построению математических моделей, основой которых являются дифференциальные уравнения.

В дифференциальных уравнениях неизвестная функция содержится вместе со своими производными. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является изучение функций, представляющих собой решения этих уравнений.

На этой лекции мы рассмотрим пример применения теории дифференциальных уравнений в непрерывной модели экономики, где независимой переменной является время t . Такие модели достаточно эффективны при исследовании эволюции экономических систем на длительных интервалах времени; они являются предметом исследования экономической динамики.

3.1. Модель рынка с прогнозируемыми ценами.

Рассмотрим модель рынка с прогнозируемыми ценами. В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар. Однако спрос и предложение в реальных ситуациях зависят еще и от тенденции ценообразования и темпов изменения цены. В моделях с непрерывными и дифференцируемыми по времени t функциями эти характеристики описываются соответственно первой и второй производными функции цены P ( t ).

Рассмотрим конкретный пример. Пусть функции спроса D и предложения S имеют следующие зависимости от цены Р и ее производных:

D(t) = 3P′′ – P′ – 2P +18,

S(t) = 4P′′ + P′ + 3P + 3. (14)

Принятые в (14) зависимости вполне реалистичны: поясним это на слагаемых с производными функции цены.

1. Спрос «подогревается» темпом изменения цены: если темп растет ( Р» > 0), то рынок увеличивает интерес к товару, и наоборот. Быстрый рост цены отпугивает покупателя, поэтому слагаемое с первой производной функции цены входит со знаком минус.

2. Предложение в еще большей мере усиливается темпом изменения цены, поэтому коэффициент при Р» в функции S ( t ) больше, чем в D ( t ) . Рост цены также увеличивает предложение, потому слагаемое, содержащее Р’ , входит в выражение для S ( t ) со знаком плюс.

Требуется установить зависимость цены от времени. Поскольку равновесное состояние рынка характеризуется равенством D = S , приравняем правые части уравнений (14). После приведения подобных получаем

Соотношение (15) представляет линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции P ( t ) . Как было установлено в предыдущем пункте, общее решение такого уравнения состоит из суммы какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения

Характеристическое уравнение имеет вид

Его корни — комплексно-сопряженные числа: k _1,2 = -1 ± 2 i, и, следовательно, общее решение уравнения (16) дается формулой

где С₁ и С₂ — произвольные постоянные.

В качестве частного решения неоднородного уравнения (15) возьмем решение Р = P _st — постоянную величину как установившуюся цену. Подстановка в уравнение (15) дает значение P _st :

Таким образом, общее решение уравнения (15) имеет вид

Нетрудно видеть, что P ( t ) P _st = 3 при t , т.е. все интегральные кривые имеют горизонтальную асимптоту Р = 3 и колеблются около нее. Это означает, что все цены стремятся к установившейся цене P _st с колебаниями около нее, причем амплитуда этих колебаний затухает со временем.

3.2. Частные решения: задача Коши и смешанная задача.

Приведем частные решения этой задачи в двух вариантах: задача Коши и смешанная задача.

1. Задача Коши. Пусть в начальный момент времени известна цена, а также тенденция ее изменения: При t =0

Подставляя первое условие в формулу общего решения (17), получаем

P(t) = 3 + e –t (cos 2t + C₂ sin 2t). (18)

Дифференцируя , имеем отсюда

Теперь реализуем второе условие задачи Коши:

Р’ (0) = 2 C₂ — 1 = 1, откуда C ₂ = 1 . Окончательно получаем, что решение задачи Коши имеет вид

P(t) = 3 + e –t (cos 2t + sin 2t).

или в более удобной форме:

P t = 3+ 2 e — t cos 2 t — π 4 .

2. Смешанная задача. Пусть в начальный момент времени известны цена и спрос:

Поскольку первое начальное условие такое же, как и в предыдущем случае, то имеем и здесь решение (18). Тогда производные функции Р( t ) выражаются формулами

Отсюда Р’(0) =2 C ₂ — 1 и Р»( 0 ) = —4 C ₂ — 3 . Подставляя эти равенства во второе условие задачи, т.е. D ( 0 ) = 16 , имеем с учетом вида D ( t ) из первой формулы (14): С₂ = -1. Итак, решение данной задачи имеет вид

или в более удобной форме:

P t = 3- 2 e — t sin 2 t — π 4 .

Интегральные кривые, соответствующие задачам 1 и 2, изображены на рисунке 1.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Клюшин В. Л. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие. — М.: ИНФРА-М, 2009. — 448 с. — (Учебники РУДН).

[2] Колемаев В. А. Экономико-математическое моделирование. Моделирование макроэкономических процессов и систем: Учебник. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. — 295 с.