Приведение квадратного уравнения к линейному виду (3 видео)

Содержание

VMath
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Содержание
Квадратичная форма
Определение
Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду
Матричная форма записи квадратичной формы
Метод Лагранжа и метод Гаусса
Формула Якоби
Закон инерции для квадратичных форм
Ранг квадратичной формы
Закон инерции
Конгруэнтность квадратичных форм
Знакоопределенность
Геометрия замен переменных
Как решать квадратные уравнения
Понятие квадратного уравнения
Приведенные и неприведенные квадратные уравнения
Полные и неполные квадратные уравнения
Решение неполных квадратных уравнений
Как решить уравнение ax 2 = 0
Как решить уравнение ax 2 + с = 0
Как решить уравнение ax 2 + bx = 0
Как разложить квадратное уравнение
Дискриминант: формула корней квадратного уравнения
Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней
Примеры решения квадратных уравнений
Формула корней для четных вторых коэффициентов
Формула Виета
Упрощаем вид квадратных уравнений
Связь между корнями и коэффициентами
69. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

VMath

Инструменты сайта

Основное

Информация

Действия

Содержание

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Квадратичная форма

$ mathbb A_ $ означает одно из множеств: $ mathbb Q_ $ рациональных, или $ mathbb R_ $ вещественных, или $ mathbb C_ $ комплексных чисел.

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Определение

Квадратичной формой над множеством $ mathbb A_ $ называют однородный полином второй степени с коэффициентами из $ mathbb A_ $; если переменные обозначить $ x_1,dots,x_ $, то общий вид квадратичной формы от этих переменных: $$ f(x_1,dots,x_ )= sum_ f_x_jx_k= $$ $$begin displaystyle= f_x_1^2&+f_x_1x_2&+ dots & +f_x_1x_n+ \ &+f_x_2^2 &+ dots & +f_x_2x_n+ \ &+dots & & +dots + \ & & +f_x_jx_k & + dots+ \ & & &+f_x_n^2. end $$

Пример. Функции

$$x_1^2-x_1x_2+x_3^2 , , quad sqrt, x_2^2 — pi, x_3^2 , , quad -x_1x_2 , , quad mathbf i , x_1^2$$ являются квадратичными формами. Функции $$x_1^2-3, x_1+1 , , quad 5, x_1^2x_2^2 , , quad frac , , quad sqrt $$ не являются квадратичными формами.

Заметим, что в выражении для квадратичной формы присутствуют как квадраты переменных $ x_1^2,dots,x_n^2 $ так и их смешанные произведения $ x_j x_k $. Говорят, что квадратичная форма $ f(x_1,dots,x_ ) $ имеет канонический вид если $$f(x_1,dots,x_ )equiv f_x_1^2+f_x_2^2+dots+f_x_n^2 quad npu quad left<f_right>_^n subset mathbb A , $$ т.е. все коэффициенты при смешанных произведениях переменных равны нулю; в этом случае говорят также, что форма является «суммой квадратов» 1) .

Оказывается, что в любой квадратичной форме можно так сгруппировать входящие в нее одночлены, что в результате получится ее (эквивалентное) представление в виде суммы квадратов.

Пример.

$$ 2, x_1^2+4, x_1x_2 +x_2^2 equiv 2, (x_1+x_2)^2-x_2^2 equiv -2,x_1^2 + (2,x_1+x_2)^2 ; $$ $$ x_1^2+2 mathbf i x_1x_2 — x_2^2 equiv (x_1+ mathbf i x_2)^2 ; $$ $$-x_1^2+6,x_1x_2+6,x_1x_3+2,x_2^2+4,x_2x_3+2,x_3^2equiv $$ $$ equiv (x_1+x_2+x_3)^2-2,(x_1-x_2-x_3)^2+3,(x_2+x_3)^2 equiv $$ $$equiv -(x_1+3,x_2+3,x_3)^2+11,(x_2+x_3)^2 ; $$ $$ x_1x_2 equiv frac (x_1+x_2)^2- frac (x_1-x_2)^2 . $$

А в общем случае: $$ f(x_1,dots,x_ )equiv $$ $$ begin equiv a_1(c_x_1+c_x_2+dots+c_x_n)^2 +\ +a_2(c_x_1+c_x_2+dots+c_x_n)^2+ \ +dots+ \ +a_n(c_x_1+c_x_2+dots+c_x_n)^2 end $$ при $ _^n,<c_>_^n $ — константах. Такое представление оказывается достаточно удобным для анализа квадратичной формы — например, в случае вещественных форм, при проверке выполнимости неравенства вида $ f(x_1,dots,x_ ) ge 0 $. Приведенные выше примеры показывают неоднозначность представления в виде суммы квадратов: вид квадратов и даже их количество для одной и той же формы могут быть различными. С целью обеспечения частичной унификации установим некоторое дополнительное ограничение, а именно, потребуем, чтобы линейные однородные формы $$ c_x_1+c_x_2+dots+c_x_n, c_x_1+c_x_2+dots+c_x_n,dots, c_x_1+c_x_2+dots+c_x_n $$ были линейно независимыми. При таком ограничении любое представление квадратичной формы в виде суммы квадратов называется каноническим видом квадратичной формы.

Задача. Для произвольной квадратичной формы $ f(x_1,dots,x_ ) $ построить (хотя бы один) ее канонический вид.

$$ x^2 -2,xy+3,y^2+x-4,y-15=0 $$ определить к какому типу (эллипс, гипербола, парабола,…) она относится.

Видео:Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполные Скачать

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Существует универсальный алгоритм, приводящий произвольную квадратичную форму к каноническому виду.

1. Пусть $ f_ne 0 $. Выделим в $ f(x_1,dots, x_n)_ $ все слагаемые, содержащие $ x_ $: $$ f_x_1^2+f_x_1x_2+ dots +f_x_1x_n+ sum_ f_x_jx_k = $$ $$ = f_left(x_1^2+frac<f_><f_>x_1x_2+dots+ frac<f_><f_>x_1x_n right)+dots= $$ $$ =f_left[ left(x_1+frac<f_><2f_>x_2+dots+ frac<f_><2f_>x_n right)^2-left(frac<f_><2f_>x_2+dots+ frac<f_><2f_>x_n right)^2 right]+dots= $$ $$ =f_ left(x_1+frac<f_><2f_>x_2+dots+ frac<f_><2f_>x_n right)^2 — f_left(frac<f_><2f_>x_2+dots+ frac<f_><2f_>x_n right)^2 +dots $$ В последнем представлении первое слагаемое представляет собой квадрат линейной формы по переменным $ x_,x_2,dots,x_n $; все оставшиеся слагаемые не зависят от $ x_ $, т.е. составляют квадратичную форму от переменных $ x_,dots,x_n $. Таким образом, исходная задача для формы $ n_ $ переменных оказывается сведенной к случаю формы $ (n-1)_ $-й переменной; последняя преобразуется по аналогичному принципу.

2. Если $ f_=0 $, но $ exists k: f_ne 0 $, т.е. при хотя бы одном квадрате переменной коэффициент отличен от нуля. Алгоритм модифицируется таким образом, что выделение полного квадрата начинается с переменной $ x_ $ вместо $ x_ $ — первая ничем не лучше (и не хуже) $ k_ $-й!

3. Совсем исключительный случай: квадраты переменных вообще отсутствуют, т.е. $ f_=dots=f_=0 $. Выбираем один из ненулевых коэффициентов при смешанных произведениях переменных: пусть $ f_ne 0 $. Представляем $ x_k=(x_j+x_k)-x_j $ и заменяем все вхождения переменной $ x_ $ на $ X_k-x_j $ при вспомогательной переменной $ X_k=x_j+x_k $. В новой квадратичной форме уже присутствует квадрат переменной $ x_ $ с ненулевым коэффициентом. Тем самым этот случай сводится к предыдущему. После приведения новой формы к сумме квадратов возвращаемся к «старой» переменной $ x_ $.

Пример. Привести форму

$$ f=4,x_1^2+2,x_2^2+x_3^2+x_4^2-4,x_1x_2-4,x_1x_3+4,x_1x_4+4,x_2x_3-4,x_3x_4 $$ к каноническому виду.

Решение. $$ begin f&=&4left(x_1^2-x_1x_2-x_1x_3+x_1x_4right)+2x_2^2+x_3^2+x_4^2+4x_2x_3-4x_3x_4=\ &=&4bigg[ left(x_1-frac, x_2-frac,x_3+ frac,x_4, right)^2- left(-frac, x_2-frac, x_3+frac, x_4right)^2 bigg] + \ &+&2,x_2^2+x_3^2+x_4^2+4,x_2x_3-4,x_3x_4= \ &=&4,left(x_1-frac, x_2-frac,x_3+ frac,x_4, right)^2+\ & & + Big[left(x_2+x_3+x_4, right)^2- left(x_3+x_4 right)^2Big]-2,x_3x_4 = \ &=&4,left(x_1-frac, x_2-frac,x_3+ frac,x_4, right)^2+ left(x_2+x_3+x_4, right)^2- \ &&-x_3^2-4,x_3x_4-x_4^2= \ && 4,left(x_1-frac, x_2-frac,x_3+ frac,x_4, right)^2+ left(x_2+x_3+x_4, right)^2- \ &&-Big[ left(x_3+ 2, x_4, right)^2-4, x_4^2Big] -x_4^2 = \ &=&4,left(x_1-frac, x_2-frac,x_3+ frac,x_4, right)^2+ left(x_2+x_3+x_4, right)^2-left(x_3+ 2, x_4, right)^2+3,x_4^2 end $$

Ответ. $ fequiv 4,left(x_1-frac, x_2-frac,x_3+ frac,x_4, right)^2+ left(x_2+x_3+x_4, right)^2-left(x_3+ 2, x_4, right)^2+3,x_4^2 $.

Пример. Привести форму

$$ f=x_1^2+x_2^2-4,x_3^2+2,x_1x_2+6,x_1x_3+4,x_2x_3 $$ к каноническому виду.

Решение. $$ fequiv (x_1+x_2+3,x_3)^2-(x_2+3,x_3)^2+x_2^2-4,x_3^2+4,x_2x_3 equiv $$ $$ equiv (x_1+x_2+3,x_3)^2-2,x_2x_3 -13,x_3^2 equiv $$ В соответствии с алгоритмом, на следующем шаге нужно выделять слагаемые, содержащие переменную $ x_ $, но коэффициент при $ x_2^2 $ в правой части формулы обратился в нуль. Поэтому — в соответствии с пунктом 2 метода — приходится выделять квадрат на основе переменной $ x_ $: $$ (x_1+x_2+3,x_3)^2-13, left(x_3-fracx_2right)^2+13cdot fracx_2^2 . $$

Ответ. $ (x_1+x_2+3,x_3)^2-13, left(x_3-fracx_2right)^2+ fracx_2^2 $.

Пример. Привести форму

$$ f=x_1x_2-3,x_1x_3+2,x_2x_3 $$ к каноническому виду.

Решение. Коэффициенты при квадратах переменных все равны нулю. Действуем в соответствии с пунктом 3 метода Лагранжа. Поскольку коэффициент при $ x_1x_2 $ отличен от нуля, делаем замену переменной $ x_2=X_2-x_1 $ при $ X_2=x_1+x_2 $: $$ fequiv -x_1^2+x_1X_2-5,x_1x_3+2,X_2x_3 . $$ Дальнейший ход решения — в соответствии с пунктом 1 метода Лагранжа: $$ -left(x_1-fracX_2+fracx_3right)^2+left(-fracX_2+fracx_3right)^2+2,X_2x_3 equiv $$ $$ equiv -left(x_1-fracX_2+fracx_3right)^2+fracX_2^2-fracX_2x_3+fracx_3^2 equiv $$ $$ equiv -left(x_1-fracX_2+fracx_3right)^2+fracleft(X_2-x_3 right)^2+6,x_3^2 $$ Получили сумму квадратов форм от переменных $ x_1,X_2,x_3 $. Возвращаемся к переменной $ x_ $:

Ответ. $ -(fracx_1-fracx_2+fracx_3)^2+frac(x_1+x_2-x_3)^2+6,x_3^2 $.

Видео:РЕШЕНИЕ НЕПОЛНОГО КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ ЗА 5 СЕКУНДСкачать

Матричная форма записи квадратичной формы

Задача. Установить правило формирования коэффициентов канонического вида квадратичной формы, получающегося применением метода Лагранжа.

Прежде всего, соберем все переменные в один вектор, а вернее — в два вектора: $$ _ mbox X= left(begin x_1 \ vdots \ x_n end right) quad mbox X^ = (x_1,dots,x_n) ; $$ здесь $ ^ $ означает транспонирование. Не очень принципиально, что обозначать через $ X_ $ — столбец или строку; и хотя сокращение $ f(x_1,dots,x_n)=f(X) $ кажется не вполне корректным с точки зрения только что введенного обозначения, тем не менее не будем навешивать в правую часть дополнительные значки…

Если определить верхнетреугольную матрицу $ mathbf F $ равенством: $$ = left( begin f_&f_&dots &f_ \ &f_& dots & f_ \ mathbb O & &ddots & vdots \ & & & f_ end right), $$ то квадратичную форму можно записать в виде произведения трех матриц $$ _ mbox times mbox times mbox $$ $$ f(X)=X^ X .$$ Более того, можно написать бесконечно много подобных представлений для одной и той же квадратичной формы $ f_ $, подбирая разные матрицы

Пример. $ f=x_1^2+x_2^2-4,x_3^2+2,x_1x_2+6,x_1x_3+4,x_2x_3 equiv $

$$ equiv (x_1,x_2,x_3) left( begin 1 & 2 & 6 \ 0 & 1 & 4 \ 0 & 0 & -4 end right) left( begin x_1 \ x_2 \ x_3 end right) equiv (x_1,x_2,x_3) left( begin 1 & 0 & 3 \ 2 & 1 & 4 \ 3 & 0 & -4 end right) left( begin x_1 \ x_2 \ x_3 end right)equiv $$ $$ equiv (x_1,x_2,x_3) left( begin 1 & 1 & 3 \ 1 & 1 & 2 \ 3 & 2 & -4 end right) left( begin x_1 \ x_2 \ x_3 end right)equiv dots $$

Пример. Для приведенной выше квадратичной формы

$$ f=x_1^2+x_2^2-4,x_3^2+2,x_1x_2+6,x_1x_3+4,x_2x_3 $$ ее правильной записью будет именно последняя:

$$ fequiv (x_1,x_2,x_3) left( begin 1 & 1 & 3 \ 1 & 1 & 2 \ 3 & 2 & -4 end right) left( begin x_1 \ x_2 \ x_3 end right) $$ Правило формирования матрицы довольно просты: на диагонали ставятся коэффициенты при квадратах, а внедиагональные элементы получаются располовиниванием коэффициентов при смешанных произведениях переменных.

$ x_ $	$ x_ $	$ x_ $
$ x_ $	$ f_ $	$ fracf_ $	$ fracf_ $
$ x_ $	$ fracf_ $	$ f_ $	$ fracf_ $
$ x_ $	$ fracf_ $	$ fracf_ $	$ f_ $

Пример. Для

$$ f(x_1,x_2)=a_x_1^2+2, a_x_1x_2+a_x_2^2 $$ имеем: $$ = left( begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right) ; (f)=a_a_-a_^2 ; $$ последнее выражение вполне напоминает дискриминант квадратного трехчлена $ a_x^2+2, a_x+a_ $ и это обстоятельство оправдывает использование слова дискриминант для нового объекта…

Рассмотрим замены переменных в квадратичной форме, т.е. переход от переменных $ x_,dots,x_ $ к новым переменным $ y_,dots,y_ $. Ограничимся только линейными заменами вида $$ left< begin x_1&=&c_y_1+c_y_2+dots+c_y_n, \ x_2&=&c_y_1+c_y_2+dots+c_y_n, \ dots & & dots \ x_n&=&c_y_1+c_y_2+dots+c_y_n. end right. $$ Результатом такой замены переменных будет новая квадратичная форма относительно новых переменных. Установим по какому закону формируются ее коэффициенты. С этой целью введем в рассмотрение матрицу замены переменных $$ C= left( begin c_ & c_ & dots & c_ \ c_ & c_ & dots & c_ \ dots & & & dots \ c_ & c_ & dots & c_ \ end right) ; $$ которая позволяет переписать саму замену переменных в матричном виде $$ left(begin x_1 \ x_2 \ vdots \ x_n end right)= left( begin c_ & c_ & dots & c_ \ c_ & c_ & dots & c_ \ dots & & & dots \ c_ & c_ & dots & c_ \ end right) left(begin y_1 \ y_2 \ vdots \ y_n end right) qquad iff qquad X=CY . $$ Тогда формальная подстановка последнего варианта в правильную запись квадратичной формы приведет к следующей цепочке $$ f(X)=X^X= (CY)^ (CY)=Y^ C^C Y=tilde f (Y) , $$ (здесь использовались некоторые свойства операции транспонирования ) и, если обозначить матрицу $$ mathbf B =C^C , $$ то мы получаем правило формирования матрицы квадратичной формы, получившейся в результате замены переменных, с помощью операции произведения матриц. Обратим внимание на еще один факт — матрица $ mathbf B $ является симметричной: $$ mathbf B^ =(C^C)^= C^^left(C^ right)^ = C^C= mathbf B , $$ т.е. выбор в качестве матричной записи квадратичной формы именно того варианта, что основан на симметричной матрице, позволяет сохранить это свойство при любой линейной замене переменных.

Задача о нахождении канонического вида квадратичной формы $ X^X $ может быть также переформулирована в терминах замены переменных: требуется найти такую матрицу $ C_ $, чтобы матрица $ mathbf B= C^C $ оказалась диагональной: $$ mathbf B= left( begin a_ & & & \ & a_ & & \ & & ddots & \ & & & a_ end right) ; $$ при этом дополнительным условием ставится невырожденность (неособенность) матрицы $ C_ $: $$ det C ne 0 . $$

Теорема. Для любой квадратичной формы над $ mathbb A $ существует невырожденная линейная замена переменных $ X=CY $ такая, что преобразованная квадратичная форма $ widetilde f(Y) $ имеет канонический вид.

Вернемся к примерам предыдущего пункта, перепишем их на матричном языке.

Пример. Для формы

$$ f(x_1,x_2,x_3,x_4)= $$ $$=4,x_1^2+2,x_2^2+x_3^2+x_4^2-4,x_1x_2-4,x_1x_3+4,x_1x_4+4,x_2x_3-4,x_3x_4 $$ замена переменных осуществляется формулами

$$ begin y_1=& x_1 &-frac, x_2&-frac,x_3&+ frac,x_4, \ y_2=& & x_2&+x_3&+x_4, \ y_3=& & & x_3 &+ 2, x_4,\ y_4=& &&& x_4, end $$ т.е. матрица замены переменных $$ C= left( begin 1 & -frac & -frac & frac \ 0 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 1 end right) $$ имеет верхнетреугольный вид. Канонический вид в новых переменных записывается $$ f(x_1,x_2,x_3,x_4) equiv 4,y_1^2+y_2^2-y_3^2+3,y_4^2 . $$

Для формы $$ f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2-4,x_3^2+2,x_1x_2+6,x_1x_3+4,x_2x_3 $$ замена переменных уже не имеет треугольного вида: $$ begin y_1=& x_1 &+ x_2&+3,x_3 \ y_2=& & -fracx_2&+x_3 \ y_3=& & fracx_2 & end qquad iff qquad C= left( begin 1 & 1 & 3 \ 0 & -frac & 1 \ 0 & frac & 0 end right) . $$ Для формы $$ f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2-3,x_1x_3+2,x_2x_3 $$ получили: $$ begin y_1=& fracx_1 &-fracx_2&+fracx_3 \ y_2=& x_1&+x_2&-x_3 \ y_3=& & & x_3 end qquad iff qquad C= left( begin frac & -frac & frac \ 1 & 1 & -1 \ 0 & 1 & 1 end right) , $$ т.е. замена переменных также не имеет треугольного вида. ♦

Поставленную в начале пункта задачу об установлении структуры канонического вида квадратичной формы попытаемся решить сначала для случая когда замену переменных можно подобрать именно в треугольном виде.

Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать

Метод Лагранжа и метод Гаусса

Пример. Рассмотрим матрицу квадратичной формы

из предыдущих пунктов, и, временно выходя из круга поставленных в настоящем разделе задач, попробуем применить к ней метод Гаусса приведения к треугольному виду: $$ left( begin 4 & -2 & -2 & 2 \ -2 & 2 & 2 & 0 \ -2 & 2 & 1 & -2 \ 2 & 0 & -2 & 1 end right) rightarrow left( begin 4 & -2 & -2 & 2 \ 0 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 0 & -1 \ 0 & 1 & -1 & 0 end right) rightarrow $$ $$ rightarrow left( begin 4 & -2 & -2 & 2 \ 0 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & -1 & -2 \ 0 & 0 & -2 & -1 end right) rightarrow left( begin 4 & -2 & -2 & 2 \ 0 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & -1 & -2 \ 0 & 0 & 0 & 3 end right) . $$ Обратим внимание на два обстоятельства: диагональные элементы последней матрицы совпадают с коэффициентами канонического вида квадратичной формы, а коэффициенты замены переменных, приводящей к этому каноническому виду, совпадают с элементами строк этой матрицы, если их разделить на соответствующие диагональные элементы. Возникает подозрение , что метод Лагранжа является «замаскированной» версией метода Гаусса. ♦

Для того, чтобы выяснить аналитический смысл преобразований по методу Лагранжа найдем правило формирования коэффициентов в первом шаге приведения квадратичной формы к каноническому виду. Пусть исходная квадратичная форма записана в виде $$ f(x_1,dots,x_ )=sum_ a_x_jx_k= $$ $$ begin = a_x_1^2&+2a_x_1x_2&+ dots & +2a_x_1x_n+ \ &+a_x_2^2 &+ dots & +2a_x_2x_n+ \ & & +dots & + \ & & &+a_x_n^2, end $$ т.е. коэффициенты при смешанных произведениях переменных записаны с выделением множителя $ 2_ $. После выделения полного квадрата, содержащего переменные $ x_1,x_2,dots,x_n $: $$ f(x_1,x_2,dots,x_n)equiv a_ left(x_1+frac<a_><a_>x_2+dots+ frac<a_><a_>x_n right)^2 + f_2(x_2,dots,x_n) $$ в правой части тождества образовалась квадратичная форма $ f_ $, не содержащая $ x_ $. Она равна $$ f_2 =sum_ a_x_jx_k- a_left(frac<a_><a_>x_2+dots+ frac<a_><a_>x_n right)^2= $$ $$ =sum_ a_x_jx_k-a_sum_ frac<a_a_><a_^2>x_jx_k= sum_left( a_-frac<a_><a_>a_ right) x_jx_k . $$ Если теперь выписать матрицу этой квадратичной формы (она имеет порядок $ n_-1 $), то ее элементы образуются по точно такому же правилу, как и коэффициенты матрицы, получающейся из матрицы $ mathbf A_ $ в результате первого шага метода Гаусса.

Теорема. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы $ X^X $ к каноническому виду эквивалентен методу Гаусса приведения матрицы $ $ к треугольному виду.

Доказательство. Действительно, первый шаг прямого хода метода исключения переменных Гаусса преобразует матрицу $ mathbf A $ следующим образом: $$ left( begin a_& a_& a_& dots & a_ \ a_& a_& a_& dots & a_ \ & dots & & dots & \ a_& a_& a_& dots & a_ end right) rightarrow left(begin a_&a_&dots&a_\ 0&a_^& dots &a_^\ &dots & & dots \ 0&a_^&dots &a_^ end right) ; $$ здесь $$a_^ = a_ — frac<a_a_><a_> ,$$ и предполагается, что $ a_ne 0 $. Видим, что формула формирования элементов матрицы $$ left(begin a_^& dots&a_^\ dots & & dots & \ a_^&dots &a_^ end right)_ $$ точно такая же, как и матрицы квадратичной формы $ f_2 $. Более того, поскольку матрица $ $ симметрична ($ a_=a_ $), то и только что полученная матрица оказывается симметричной. Если $ a_^ ne 0 $, то к этой новой матрице можно снова применить ту же процедуру, и т.д., и в конце концов придем к матрице первого порядка. Собирая все промежуточные результаты в одну матрицу, получим ее в треугольном виде $$ left(begin a_&a_&dots&a_ &a_\ 0&a_^& dots&a_^ &a_^\ & & ddots & & dots \ 0 &0 & &a_^&a_^ \ 0 &0 &dots & 0 &a_^ end right) $$ при условии, что ни одно из чисел на диагонали не обратилось в нуль: $$a_ ne 0, a_^ ne 0, dots, a_^ ne 0, a_^ ne 0 .$$ Если теперь обратиться к методу Лагранжа, то увидим, что полученная матрица как раз и определяет замену переменных $$ left<begin y_1=&displaystyle x_1+&frac<a_><a_>x_2+&dots+&frac<a_><a_>x_+& frac<a_><a_>x_n \ y_2=&displaystyle &x_2+&dots + &frac<a_^><a_^>x_+& frac<a_^><a_^>x_ \ vdots & & & ddots & dots & \ y_=&displaystyle & & &x_+ &frac<a_^><a_^>x_n \ y_n=&&&&&x_n end right. , $$ приводящую квадратичную форму к каноническому виду: $$ a_y_1^2 + a_^ y_2^2 + dots +a_^ y_^2 + a_^ y_n^2 . $$ ♦

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Формула Якоби

Теорема [Якоби]. Квадратичная форма $ f(X)=X^X $ с симметричной матрицей $ $, ранг которой равен $ mathfrak r_ $, а главные миноры $ _^ $ отличны от нуля, приводится к следующему каноническому виду (формула Якоби 3) ):

$$ frac +frac +frac +dots+frac<z_^2><det mathbf A_<-1> cdot det mathbf A_> $$ Здесь $$ z_1 =frac partial f / partial x_1, z_2= frac left| begin a_ & partial f / partial x_1 \ a_ & partial f / partial x_2 end right|, z_3= frac left| begin a_ & a_ & partial f / partial x_1 \ a_ & a_ & partial f / partial x_2 \ a_ & a_ & partial f / partial x_3 end right|, dots , $$ $$ qquad qquad z_= frac left| begin a_ & a_ & dots & a_ & partial f / partial x_1 \ a_ & a_ & dots & a_ & partial f / partial x_2 \ dots & & & dots & dots \ a_ & a_ & dots & a_ & partial f / partial x_ end right| $$

Пример. Для квадратичной формы $$ f(x_1,x_2,x_3,x_4)= $$

Легко убедиться, что это — проявление общего правила. Выражение для $$ z_= frac left| begin a_ & a_ & dots & a_ & partial f / partial x_1 \ a_ & a_ & dots & a_ & partial f / partial x_2 \ dots & & & dots & dots \ a_ & a_ & dots & a_ & partial f / partial x_ end right| $$ при $ k in $ преобразуем следующим образом: из последнего столбца определителя $$ = left| begin a_ & a_ & dots & a_ & a_x_1+a_x_2+dots+ a_ x_+a_x_k+dots+a_x_n \ a_ & a_ & dots & a_ & a_x_1+a_x_2+dots+ a_ x_+a_x_k+dots+a_x_n \ dots & & & dots & dots \ a_ & a_ & dots & a_ & a_x_1+a_x_2+dots+ a_ x_+a_x_k+dots+a_x_n end right| $$ вычтем первый, домноженный на $ x_1 $, второй, домноженный на $ x_2 $, и т.д., $ (k-1) $-й, домноженный на $ x_ $. В результате получим линейную форму $$ z_k= left| begin a_ & a_ & dots & a_ & a_ \ a_ & a_ & dots & a_ & a_ \ dots & & & dots & dots \ a_ & a_ & dots & a_ & a_ end right|x_k + dots + left| begin a_ & a_ & dots & a_ & a_ \ a_ & a_ & dots & a_ & a_ \ dots & & & dots & dots \ a_ & a_ & dots & a_ & a_ end right|x_n , , $$ не зависящую от $ x_1,dots, x_ $. Коэффициент же при $ x_k $ равен $ det mathbf A_k $ и отличен от нуля по условию теоремы. Если его вынести за пределы формы, то получим еще альтернативный вариант формулы Якоби.

Квадратичная форма $ f(X)=X^X $ с симметричной матрицей $ $, ранг которой равен $ mathfrak r_ $, а главные миноры $ _^ $ отличны от нуля, приводится к следующему каноническому виду:

$$ y_1^2 det mathbf A_1 + y_2^2frac +y_3^2frac +dots+y_^2 frac<det mathbf A_><det mathbf A_> ; $$ при этом линейные относительно переменных $ x_1,dots,x_n $ формы $ _^ $ выражаются по формулам $$ left< begin y_1=&displaystyle x_1+&tilde c_x_2& &+dots+&tilde c_x_+&tilde c_x_n \ y_2=&displaystyle &x_2+& & dots + &tilde c_x_+&tilde c_x_ \ vdots & & & ddots & & dots & \ y_=&displaystyle & & &x_+ & dots + & tilde c_x_n end right. $$ Здесь $$ tilde c_=a_/a_, tilde c_=left| begin a_ & a_ & dots & a_ & a_ \ a_ & a_ & dots & a_ & a_ \ dots & & & dots & dots \ a_ & a_ & dots & a_ & a_ end right| Bigg/ det mathbf A_j , . $$

При $ mathfrak r = n $ матрица $ tilde C_ $ из предыдущей формулы становится верхнетреугольной: $$ Y=tilde C X , ; $$ при этом на главной диагонали будут стоять $ 1 $. Обратная к матрице такого вида имеет ту же структуру — и матрица $ C=tilde C^ $ является матрицей, которая встретилась нам в предыдущем ПУНКТЕ.

Теорема. Квадратичная форма $ f(X)=X^X $ при симметричной неособенной матрице $ $ приводится к каноническому виду заменой переменных, задаваемой верхней унитреугольной матрицей

$$ X=CY quad npu C= left( begin 1& c_& dots & c_ \ & 1& dots & c_ \ mathbb O & & ddots & vdots \ & & & 1 end right) $$ тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы $ $ отличны от нуля. Этот канонический вид представлен формулой Якоби $$ y_1^2 det mathbf A_1 + y_2^2frac +dots+y_^2 frac<det mathbf A_><det mathbf A_> . $$ Доказательство достаточности условия теоремы уже произведено, необходимость доказывается в пункте ☞ LDU-разложение матрицы.

Видео:Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать

Закон инерции для квадратичных форм

Для заданной квадратичной формы канонические виды, т.е. представления в виде сумм квадратов, можно построить разными способами. Выясним, какие характеристики являются общими (инвариантными) для этих представлений.

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Ранг квадратичной формы

Предположим, что с помощью какой-либо невырожденной замены переменных мы привели квадратичную форму к каноническому виду: $$widetilde f(Y)=alpha_1y_1^2+dots+alpha_n y_n^2 .$$ Может так случиться, что часть коэффициентов $ _^n $ обратится в нуль.

Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы: $$operatorname ( f ) = operatorname ( ) .$$

Теорема. Ранг квадратичной формы не меняется при невырожденных заменах переменных:

$$ operatorname (f) = operatorname( C^C ) quad npu quad forall C, det C ne 0 .$$

Доказательство основано на следствии к теореме $ 2 $, приведенной ☞ ЗДЕСЬ: ранг матрицы не меняется при домножении ее на произвольную неособенную.

Ранг квадратичной формы равен числу ненулевых коэффициентов в ее каноническом виде.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Закон инерции

Число положительных (или отрицательных) коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы $ f_(X) $ называется ее положительным (соответственно, отрицательным) индексом инерции. Буду обозначать эти индексы 4) $$n_(f) quad mbox quad n_(f) . $$ Разность 5) $$sigma (f) = n_(f)-n_(f)$$ называется сигнатурой квадратичной формы (а также сигнатурой соответствующей ей симметричной матрицы).

Теорема [закон инерции]. Индексы инерции не зависят от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Пример. Найти ранг и сигнатуру квадратичной формы $ f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2-x_2x_3 $.

Решение. Приводим квадратичную форму к каноническому виду по методу Лагранжа: $$f=frac ,(x_1+x_2-x_3)^2 — frac ,(x_1-x_2-x_3)^2 .$$

Ответ. $ operatorname (f) = 2,, sigma (f)=0 $.

В предположении, что ранг матрицы $ mathbf A_ $ равен $ mathfrak r_ $, а ее главные миноры $ < det _j >_^ $ отличны от нуля, имеем:

$$ n_(f)=(1,det _1,dots, det _), n_(f)=(1,det _1,dots, det _) . $$ Здесь $ _ $ — число знакопостоянств, а $ _ $ — число число знакоперемен в последовательности. Для сигнатуры квадратичой формы также справедлива и формула $$ sigma (f)= sum_^ operatorname (det (mathbf A_) cdot det (mathbf A_) ) quad npu quad det (mathbf A_)=1 $$ и операции $ operatorname $ определения знака, введенной ☞ ЗДЕСЬ.

Доказательство следует из формулы Якоби.

Правило вычисления сигнатуры из предыдущей теоремы остается справедливым и в случае, если в последовательности главных миноров $ < det _j >_^ $ имеются нулевые, но не подряд идущие, и $ det _ ne 0 $. Если, например,

$$ det (mathbf A_) = 0, det (mathbf A_) ne 0, det (mathbf A_) ne 0 quad npu quad jin<1,dots, -1> ,$$ то сумма $$ operatorname (det (mathbf A_) cdot det (mathbf A_) )+ operatorname (det (mathbf A_) cdot det (mathbf A_) ) $$ считается равной нулю. (Можно также доказать, что в этом случае главные миноры $ det (mathbf A_) $ и $ det (mathbf A_) $ имеют противоположные знаки.)

Пример. Найти ранг и сигнатуру квадратичной формы

$$f_ <<coloralpha >>(x_1,x_2,x_3)=3,x_1^2 -4,x_1x_2-2,x_1x_3 + <coloralpha > , x_2^2 +6, x_2x_3 $$ в зависимости от значений параметра $ <coloralpha > $.

Решение. Сначала пробуем применить формулу из последнего следствия: $$det _1=3, det _2=3, <coloralpha > -4, det _3= det =- <coloralpha > -15 .$$ При $ <coloralpha > notin $ формула применима при $ =3 $: $$n_(f)=left< begin 2 & npu & <coloralpha > >4/3 ;\ 2 & npu & -15 -15 & 3 & 1 end $$

Рассмотренный только что пример относится к общей задаче оценки влияния параметров на характеристики квадратичной формы:

Как меняются ранг и сигнатура при непрерывном изменении параметров?

Пусть квадратичная форма зависит от параметров $ alpha, beta, dots $, причем эта зависимость — полиномиальная. Пусть при некотором наборе вещественных значений параметров все главные миноры матрицы квадратичной формы отличны от нуля. Тогда ранг и сигнатура квадратичной формы могут быть вполне определены знаками этих миноров посредством формулы из следствия к закону инерции. Поскольку элементы миноров полиномиально зависят от параметров, то мы получаем систему неравенств, которую (при необходимости домножением некоторых неравенств на $ (-1) $) можно переписать в виде $$ G_1(alpha,beta,dots) > 0, dots, G_n(alpha,beta,dots) > 0 . $$ Здесь $ G_1,dots, G_n $ — полиномы от $ alpha,beta,dots $. Если при некотором наборе значений $ alpha=alpha_0, beta=beta_0, dots $ эта система удовлетворена, при непрерывной вариации этих параметров $ alpha_0+delta_, beta_0 + delta_,dots $ какое из неравенств системы нарушится в первую очередь, т.е. раньше остальных? Иными словами: какое из неравенств системы самое важное? — Оказывается, последнее.

Теорема[2]. Пусть $ f_ <<coloralpha >>(x_1,dots,x_n) $ — квадратичная форма, зависящая от параметра $ <coloralpha > $ линейным образом:

Справедливо и более общее утверждение.

Теорема[1,5]. Если при непрерывном изменении коэффициентов формы $ f_ $ ее ранг $ _ $ остается неизменным, то не изменяется и ее сигнатура $ sigma_(f) $.

В случае, когда главные миноры матрицы $ mathbf A $ обращаются в нуль, к анализу канонического вида квадратичной формы приходится привлекать «тяжелую артиллерию» в виде ведущих миноров. Но, по крайней мере, один теоретический результат можно сформулировать немедленно.

Теорема. В произвольной квадратичной форме $ f(X) $ ранга $ mathfrak rge 1 $ можно так перенумеровать переменные, чтобы в матрице получившейся квадратичной формы $ tilde f(Y) $ в последовательности главных миноров

$$ det widetilde_1, dots, det widetilde_ $$ не было двух подряд идущих нулевых и $ det widetilde_ ne 0 $.

Конгруэнтность квадратичных форм

Матрицы $ $ и $ $, связанные соотношением $ =C^C $ при некоторой неособенной матрице $ C $, называются конгруэнтными: $ cong $. Если, вдобавок, матрицы $ $ и $ $ симметричны, то конгруэнтными называются и соответствующие им квадратичные формы $ X^X $ и $ X^X $.

Теорема. Квадратичные формы $ X^X $ и $ X^X $ конгруэнтны тогда и только тогда, когда совпадают их индексы инерции, или, что то же, равны их ранги и сигнатуры.

Из всего разнообразия канонических видов квадратичной формы выберем самый простой, именно тот, коэффициенты которого равны $ +1 $ или $ (-1) $. Например, если квадратичная форма $ f(X) $ уже приведена к каноническому виду $$widetilde f(Y)=alpha_1y_1^2+dots+alpha_ y_^2 .$$ то преобразование $$y_j=frac<sqrt> npu jin <1,dots, > , y_j=z_j npu jin <+1,dots, n > $$ приводит эту форму к виду $$ z_1^2+dots + z_<n_(A)>^2 -z_<n_(A)+1>^2 — dots — z_<>^2 , $$ который называется нормальным видом квадратичной формы.

Множество всех квадратичных форм с вещественными коэффициентами можно разбить на классы эквивалентности, в каждом из которых будут находиться только конгруэнтные между собой формы. Каждый из классов полностью описывается каким-то из своих представителей. Таким представителем можно взять нормальный вид.

Какое преобразование квадратичной формы оставляет ее инвариантной?

Теорема [Эрмит]. Квадратичная форма $ X^X $ переходит в себя при преобразовании

Видео:Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать

Знакоопределенность

Квадратичная форма $ f_(X) $ называется

а) неотрицательной если $ f(X)ge 0 $ для любого $ Xin mathbb R^n $;

б) положительно определенной, если она неотрицательна и $ f(X)= 0 $ только при $ X=mathbb O_ $;

в) неопределенной или знакопеременной, если существуют $ subset mathbb R^n $ такие что числа $ f(X_1) $ и $ f(X_2) $ имеют разные знаки: $ f(X_1)f(X_2) глобальным. В случае положительной определенности точка $ X=mathbb O $ будет единственной точкой пространства $ mathbb R^ $, в которой $ f_(X) $ достигает своего минимального значения. Однако если свойство положительной определенности будет нарушено: $ f(X_1) =0 $ при $ X_1 ne mathbb O $, то вследствие однородности формы $ f_(X) $ будет выполнено $$ f(tX_1)=t^2f(X_1)= 0 quad npu quad forall t in mathbb R . $$ Иными словами, свое минимальное значение $ 0_ $ неотрицательная, но не положительно определенная, форма $ f_ (X) $ будет принимать на всей прямой, проходящей через точки $ mathbb O $ и $ mathbb X_1 $. Точка $ X=mathbb O $ перестает быть изолированной точкой минимума: в любой ее окрестности находятся другие точки минимума. С точки зрения здравого смысла, подобная ситуация может считаться исключительным, вырожденным случаем. Интуиция подтверждается аналитикой: как увидим впоследствии вероятность того, что случайным образом выбранная квадратичная форма, обладающая свойством неотрицательности, не будет, вдобавок, положительно определенной, равна $ 0_ $. Событие теоретически возможно, но практически немыслимо.

Оказывается условие положительной определенности формы $ f $ является необходимым и достаточным для обеспечения подобного свойства в произвольном пространстве $ mathbb R^n $. И это утверждение верно не только для квадратичной формы, но и для однородного полинома (формы) произвольного порядка.

Задача об условных экстремумах квадратичной формы $ f_(X) $ на сфере $ x_1^2+dots+x_n^2 =1 $ решается ☞ ЗДЕСЬ.

Пример. В произвольном евклидовом пространстве $ mathbb E $ квадратичная форма с матрицей Грама произвольной системы векторов $ subset mathbb E $

Задача. Найти условия неотрицательности и положительной определенности квадратичной формы в терминах ее коэффициентов.

Очевидны необходимые условия неотрицательности квадратичной формы $$ f(X)=displaystyle sum_ f_x_jx_k : $$ все коэффициенты при квадратах переменных должны быть неотрицательными: $$ f_ge 0, dots , f_ge 0 . $$ Также очевидно, что эти условия будут и достаточными, если все остальные коэффициенты $ f_^ $ при $ jne k $ равны нулю. Если же последнее условие не выполняется, то имеет смысл предварительно преобразовать квадратичную форму к сумме квадратов, т.е. исследовать ее канонический вид.

Теорема. Ненулевая квадратичная форма, представленная в правильном виде

$$ f(X)=X^X , , $$ будет неотрицательной тогда и только тогда, когда ее отрицательный индекс инерции равен нулю: $$ n_ ()=0 qquad iff qquad qquad sigma ( )=operatorname .$$ Если это условие выполнено, то для положительной определенности формы необходимо и достаточно чтобы она была невырождена: $ det ne 0 $.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

К счастью, явное представление канонического вида квадратичной формы уже имеется — как правило, он задается формулой Якоби. Индексы инерции вычисляются через знаки главных миноров матрицы квадратичной формы.

Теорема [Сильвестр]. Квадратичная форма

$$ f(X)=X^X $$ будет положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры ее матрицы положительны: $$ a_>0, left| begin a_ & a_ \ a_ & a_ end right| >0, left| begin a_ & a_ & a_ \ a_ & a_ & a_ \ a_ & a_ & a_ end right| >0, dots, det >0 . $$

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Квадратичная форма будет отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки главных миноров ее матрицы будут чередоваться следующим образом:

Пример. Найти все значения параметра $ <coloralpha > $, при которых квадратичная форма

$$2, x_1^2+2, x_2^2+x_3^2+ 2, <color > , x_1x_2+6, x_1x_3 +2,x_2x_3 $$ будет положительно определенной.

Решение. Значения главных миноров: $$det _1=2, det _2=4- <coloralpha >^2, det _3=- <coloralpha >^2+ 6, <coloralpha > -16 . $$ Последнее выражение будет отрицательно при любых $ <coloralpha > in mathbb R $.

Ответ. Таких значений нет: $ <coloralpha > in varnothing $.

Можно ли получить условия неотрицательности квадратичной формы: $$ f(X) ge 0 npu forall X in ^n $$ превращением всех неравенств из критерия Сильвестра в нестрогие: $ > to <color > ge $ ? — Вообще говоря, нет.

Пример. Квадратичная форма

$$f(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+2x_1x_3+2x_2x_4+x_4^2= X^ left( begin 1&0&1 &0 \ 0&0&0&1 \ 1&0&0&0 \ 0&1&0&1 end right)X $$ — неопределенная, т.к. $ f(1,0,-1,0)=-1_ 0 $. Тем не менее, все главные миноры ее матрицы неотрицательны. ♦

Имеются ли конструктивные необходимые и достаточные условия неотрицательности квадратичной формы?

Теорема. Для неотрицательности квадратичной формы $ X^ mathbf A X $ необходимо и достаточно, чтобы все ведущие миноры матрицы $ mathbf A $, т.е. миноры, стоящие на пересечении строк и столбцов матрицы с одинаковыми номерами

$$ Aleft( begin j_1 & dots & j_k \ j_1 & dots & j_k end right) , j_1 0 $ при всех $ Xin mathbb V_1, X ne mathbb O $.

Теорема. Пусть линейное подпространство задано системой линейных однородных уравнений

$$ left< begin h_x_1 & + dots & + h_x_n&=0, \ dots & & & dots \ h_x_1 & + dots & + h_x_n&=0, \ end right. qquad iff qquad underbrace<left( begin h_ & dots & h_ \ dots & & dots \ h_ & dots & h_ end right)>_X=mathbb O $$ Здесь $ k ☞ ЗДЕСЬ.

Пример. Найти ортогональную замену переменных, приводящую квадратичную форму

$$ X^ mathbf A X quad npu quad =left(begin 2 & 2 & -1 \ 2 & -1 & 2 \ -1& 2 & 2 end right) $$ к каноническому виду.

Решение. Характеристический полином $ det (mathbf A- lambda E)=-(lambda-3)^2(lambda+3) $. Простому собственному числу $ lambda=-3 $ соответствует собственный вектор $ _1=[1,-2,1]^<^> $, а собственному числу $ lambda=3 $ второй кратности соответствуют два линейно-независимых собственных вектора $ _2=[2,1,0]^<^> $ и $ _3=[-1,0,1]^<^> $. Очевидно, что $ langle _1, _2rangle=0 , langle _1, _3 rangle =0 $, но $ langle _2, _3 rangle ne 0 $. Ортогонализуем систему векторов $ left<_2,_3right> $: $$_2=_2, _3=_3+ <coloralpha > _2 quad mbox langle _2,_3rangle =0 Longrightarrow <coloralpha >=-frac<langle _2,_3rangle> <langle _2,_2rangle>=frac $$ и $ _3=left[-1/5, 2/5, 1 right]^<^> $. После нормирования, получаем ортогональную матрицу $$ P=left(begin 1/sqrt & 2/sqrt & -1/sqrt \ -2/sqrt & 1/sqrt & 2/sqrt \ 1/sqrt & 0 & 5/sqrt end right) . $$ Замена переменных $ X=PY $ приводит квадратичную форму $ X^ mathbf A X $ к каноническому виду $$ (y_1,y_2,y_3) left(begin -3 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 0 \ 0& 0 & 3 end right) left( begin y_1 \ y_2 \ y_3 end right)=-3,y_1^2+3,y_2^2+3,y_3^2 . $$

Теорема. Если известны коэффициенты характеристического полинома матрицы квадратичной формы $ f(X)=X^mathbf A X $:

$$ det (mathbf A- lambda E) equiv (-1)^n left(lambda^n+a_lambda^+ dots + a_n right) , ,$$ то $$ operatorname (f(X))= iff a_=a_=dots=a_<+1>=0,a_<>ne 0 , . $$ В этом случае будет также выполнено $$ n_ (f(X))=(1,a_1,dots,a_<>),quad n_ (f(X))=(1,a_1,dots,a_) , , $$ $$ sigma(f(X))=sum_^ operatorname (a_a_j) quad npu quad a_0=1 , . $$

Доказательство основано на правиле знаков Декарта.

Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

Геометрия замен переменных

В предыдущих пунктах мы рассмотрели два подхода к построению канонического вида квадратичной формы. Очевидно, что подход, основанный на ортогональной замене переменных более дорогостоящий в построении по сравнению с методом Лагранжа. В самом деле, он требует нахождения собственных чисел симметричной матрицы, т.е. решения алгебраического уравнения $ det (mathbf A — lambda E)=0 $. В случае матриц порядка $ n> 4 $ корни этого уравнения, как правило, на находятся в виде «хорошей» комбинации коэффициентов, и могут быть определены разве лишь приближенно. Метод же Лагранжа принципиально безошибочен: коэффициенты канонического вида определяются в виде рациональных функций от коэффициентов квадратичной формы.

Пример. Уравнение $ 1/3x_1^2-x_1x_2+x_2^2=1 $ задает на плоскости эллипс:

Преобразование $$ y_1=x_1-3/2x_2, y_2=x_2 $$ приводит уравнение к виду $$ 1/3 y_1^2+1/4 y_2^2=1 ; $$ в новых координатах кривая имеет вид на рисунке слева. С другой стороны, преобразование $$ begin z_1&= sqrt<1/2+1/sqrt>,x_1+sqrt<1/2-1/sqrt>,x_2,\ z_2&= sqrt<-1/2-1/sqrt>,x_1+sqrt<1/2+1/sqrt>x_2 end $$ приводит уравнение к виду $$frac<4-sqrt>z_1^2+frac<4+sqrt>z_2^2=1 . $$ В этих координатах кривая имеет вид на рисунке справа.

Оба преобразования координат не изменяют типа кривой: эллипс остается эллипсом. Но второе преобразование дает нечто большее: оно сохраняет размеры. Фактически, оно сводится к повороту исходного эллипса.

Вывод. Метод Лагранжа «дешевле» метода ортогональных преобразований при решении задачи классификации алгебраических многообразий, заданных уравнением вида $ X^ mathbf A X=1 $. Иными словами, он позволяет «дешевле» определить тип поверхности с точностью до ее формы: например, в $ mathbb R^3 $ является ли эта поверхность эллипсоидом или гиперболоидом (и каким именно — однополостным или двуполостным)? Но если нас интересуют истинные размеры этой поверхности: например, размеры посылочного ящика, в который эллипсоид, заданный уравнением $ X^ mathbf A X=1 $, можно было бы поместить — то здесь без собственных векторов и чисел матрицы $ mathbf A $ не обойтись!

Видео:Приведение квадратного уравнения к стандартному видуСкачать

Как решать квадратные уравнения

О чем эта статья:

Видео:Как решить квадратное уравнение за 30 секунд#математика #алгебра #уравнение #дискриминант #репетиторСкачать

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, которое содержит переменную х.

Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим 5 + 8 = 12. 13 = 12 — противоречие. Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

А вот если х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим 4 + 8 = 12. 12 = 12 — верное равенство. Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Квадратные уравнения могут иметь два корня, один корень или не иметь корней.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b 2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

если D 0, есть два различных корня.

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Разобраться в теме еще быстрее с помощью опытного преподавателя можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

x 2 — 2x + 6 = 0
x 2 — x — 1/4 = 0

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x 2 ), а значит уравнение называется приведенным.

2x 2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x 2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x 2 + 2,5x — 1,125 = 0.

Видео:Квадратный Трехчлен / Разложение квадратного трехчлена на множители, Как решать Квадратные УравненияСкачать

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято называть неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия:

Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0.
Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0.
Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Видео:Метод Лагранжа. Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному видамСкачать

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
ax 2 + c = 0, при b = 0;
ax 2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
По шагам решение выглядит так:

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

перенесем c в правую часть: ax 2 = — c,
разделим обе части на a: x 2 = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое:

не имеет корней при — c/а 0.

В двух словах

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

Разделим обе части на 8:

В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.

Решить линейное уравнение:

0,5x = 0,125,
х = 0,125/0,5

Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.

Ответ: х = 0 и х = 0,25.

Как разложить квадратное уравнение

С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

Формула разложения квадратного трехчлена

Если x₁ и x₂ — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x₁) (x − x₂).

Видео:ТЕОРЕМА ВИЕТА // Как решать Квадратные Уравнения по АЛГЕБРЕ 8 классСкачать

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac;
если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
Найдем корень

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Видео:Привести квадратичную форму к каноническому видуСкачать

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней:

2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″>

Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D₁. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D₁ = n 2 — ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D₁, или D₁= D/4. Проще говоря, D₁ — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

вычислить D₁= n 2 — ac;
если D₁ 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Видео:Квадратное уравнение. 8 класс.Скачать

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.

2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″>

Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p>

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

69. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду

При рассмотрении евклидового пространства мы вводили определение квадратичной формы. С помощью некоторой матрицы

Строится многочлен второго порядка вида

Который называется квадратичной формой, порождаемой квадратной матрицей А.

Квадратичные формы тесно связаны с поверхностями второго порядка в n — мерном евклидовом пространстве. Общее уравнение таких поверхностей в нашем трехмерном евклидовом пространстве в декартовой системе координат имеет вид:

Верхняя строка — это не что иное, как квадратичная форма, если положить x1=x, x2=y, x3=z:

— симметричная матрица (aij = aji)

Положим для общности, что многочлен

Есть линейная форма. Тогда общее уравнение поверхности есть сумма квадратичной формы, линейной формы и некоторой постоянной.

Основной задачей теории квадратичных форм является приведение квадратичной формы к максимально простому виду с помощью невырожденного линейного преобразования переменных или, другими словами, замены базиса.

Вспомним, что при изучении поверхностей второго порядка мы приходили к выводу о том, что путем поворота осей координат можно избавиться от слагаемых, содержащих произведение xy, xz, yz или xixj (i¹j). Далее, путем параллельного переноса осей координат можно избавиться от линейных слагаемых и в конечном итоге свести общее уравнение поверхности к виду:

В случае квадратичной формы приведение ее к виду

Называется приведением квадратичной формы к каноническому виду.

Поворот осей координат есть не что иное, как замена одного базиса другим, или, другими словами, линейное преобразование.

Запишем квадратичную форму в матричном виде. Для этого представим ее следующим образом:

L(x, y,z) = x(a11x+a12y+a13z)+

Введем матрицу — столбец

Тогда — где X T =(x, y,z)

— матричная форма записи квадратичной формы. Эта формула, очевидно, справедлива и в общем случае:

Канонический вид квадратичной формы означает, очевидно, что матрица А имеет диагональный вид:

Рассмотрим некоторое линейное преобразование X = SY, где S — квадратная матрица порядка n, а матрицы — столбцы Х и У есть:

Матрица S называется матрицей линейного преобразования. Отметим попутно, что всякой матрице n-ного порядка при заданном базисе соответствует некоторый линейный оператор.

Линейное преобразование X = SY заменяет переменные x1, x2, x3 новыми переменными y1, y2, y3. Тогда:

где B = S T A S

Задача приведения к каноническому виду сводится к отысканию такой матрицы перехода S, чтобы матрица В приобрела диагональный вид:

(*)

Итак, квадратичная форма с матрицей А после линейного преобразования переменных переходит в квадратичную форму от новых переменных с матрицей В.

Обратимся к линейным операторам. Каждой матрице А при заданном базисе соответствует некоторый линейный оператор А. Этот оператор имеет, очевидно, некоторую систему собственных чисел и собственных векторов. Причем, отметим, что в евклидовом пространстве система собственных векторов будет ортогональна. Мы доказывали на предыдущей лекции, что в базисе собственных векторов матрица линейного оператора имеет диагональный вид. Формула (*), как мы помним, это формула преобразования матрицы линейного оператора при смене базиса. Положим, что собственные вектора линейного оператора А с матрицей А — это вектора у1, y2, . yn.

Т. е.

А это означает, что если собственные вектора у1, y2, . yn взять за базис, то матрица линейного оператора в этом базисе будет диагональной

Или В = S-1 А S, где S – матрица перехода от первоначального базиса <E> к базису <Y>. Причем в ортонормированном базисе матрица S будет ортогональной.

Т. о. для приведения квадратичной формы к каноническому виду необходимо найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора А, имеющего в первоначальном базисе матрицу А, которая порождает квадратичную форму, перейти к базису собственных векторов и в новой системе координат построить квадратичную форму.

Обратимся к конкретным примерам. Рассмотрим линии второго порядка.

или

С помощью поворота осей координат и последующего параллельного переноса осей это уравнение можно привести к виду ( переменные и коэффициенты переобозначены х1 = х, х2 = у):

1) если линия центральная, l1 ¹ 0, l2 ¹ 0