Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Примеры по дифференциальным уравнениям в частных производных

Видео:Приведение ДУ 2 порядка в частных производных к каноническому видуСкачать

Приведение ДУ 2 порядка в частных производных к каноническому виду

Немного теории

Дифференциальным уравнением с частными производными (ДУ с ЧП) называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных (ФНП) и ее частных производных. Наивысший порядок частных производных (существенно входящих в уравнение) называется порядком этого уравнения.

ДУ с ЧП называется линейным (ЛДУ с ЧП), если неизвестная функция и ее производные входят в это ДУ линейно (в первой степени).

В этом разделе вы найдете подробно решенные задачи по темам: классификация и приведение к каноническому виду ДУ с ЧП второго порядка с двумя переменными, определение типа уравнения, решение уравнений и систем ДУ в ЧП.

ДУ с ЧП находят широкое применение в прикладных науках: квантовая механика, электродинамика, термодинамика, теория теплои массопереноса и др. при математическом описании и моделировании различных физических процессов. Поэтому такие уравнения изучаются под общим названием уравнений математической физики (примеры решений 16 задач).

Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому виду

Приведение к каноническому виду

Задача 1. Привести к каноническому виду уравнение

Задача 2. Привести уравнение к каноническому виду.

Задача 3. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду:

Видео:Метод Лагранжа. Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному видамСкачать

Метод Лагранжа. Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному видам

Решение ДУ в ЧП

Задача 4. Решить уравнение Пфаффа

$$ z^2 dx +zdy +(3zx +2y)dz=0. $$

Задача 5. Решить задачу Коши для уравнения в частных производных

$$ u_-2Delta u =(x^2+y^2+z^2)t; quad u(t=0)=xyz, u_t(t=0)=x-y. $$

Задача 6. Найти общее решение уравнения в частных производных

Задача 7. Найти общее решение уравнения в частных производных первого порядка.

$$ xy u_x +(x-2u)u_y = yu. $$

Задача 8. Найти решение задачи Коши для уравнения в частных производных

$$ y u_x -xy u_y=2xu, quad u(x+y=2)=1/y. $$

Задача 9. Решить систему дифференциальных уравнений в частных производных

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Разные задачи на исследование ДУ в ЧП

Задача 10. Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению и проходящую через данную линию

Задача 11. Найти области гиперболичности, эллиптичности и параболичности уравнения и исследовать их зависимость от $l$, где $l$ – числовой параметр.

Задача 12. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса $R$ c центром в начале координат и такую, что

Видео:Привести квадратичную форму к каноническому видуСкачать

Привести квадратичную форму к каноническому виду

Помощь с решением ДУ в ЧП

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по дифференциальным уравнениям (и другим разделам математического анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Видео:6. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однороднымСкачать

6. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Федеральное агентство по образованию

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики, экономики и информатики

Кафедра дифференциальных и интегральных уравнений

ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными …………………………………………………………………………

1.1. Необходимый теоретический материал………………………..

1.2. Пример выполнения задачи1 (приведение к

каноническому виду уравнений гиперболического типа) .

1.3. Пример выполнения задачи 2 (приведение к

каноническому виду уравнений параболического типа)

1.4. Пример выполнения задачи 3 (приведение к

каноническому виду уравнений эллиптического типа) ..

1.5. Задачи для самостоятельного решения ………………….….

Упрощение группы младших производных

для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

2.1. Необходимый теоретический материал …………………..

2.2. Пример выполнения задачи 4

2.3. Задачи для самостоятельного решения ……………………..

В настоящих методических указаниях изложен теоретический материал и на конкретных примерах разобрано приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными для уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов.

Методические указания предназначены для студентов математических специальностей очной и заочной формы обучения.

§1. Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными.

Задача. Определить тип уравнения

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений(1)

и привести его к каноническому виду.

1.1. Необходимый теоретический материал.

I. Тип уравнения (1) определяется знаком выражения Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений:

· если Приведение к канонической форме дифференциальных уравненийв некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением гиперболического типа в этой точке;

· если Приведение к канонической форме дифференциальных уравненийв некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа в этой точке;

· если Приведение к канонической форме дифференциальных уравненийв некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением параболического типа в этой точке.

Уравнение (1) будет являться уравнением гиперболического, эллиптического, параболического типа в области D, если оно гиперболично, эллиптично, параболично в каждой точке этой области.

Уравнение (1) может менять свой тип при переходе из одной точки (области) в другую. Например, уравнение Приведение к канонической форме дифференциальных уравненийявляется уравнением эллиптического типа в точках Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений; параболического типа в точках Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений; и гиперболического типа в точках Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

II. Чтобы привести уравнение к канонического виду, необходимо:

1. Определить коэффициенты Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений;

2. Вычислить выражение Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений;

3. Сделать вывод о типе уравнения (1) (в зависимости от знака выражения Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений);

4. Записать уравнение характеристик:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений; (2)

5. Решить уравнение (2). Для этого:

а) разрешить уравнение (2) как квадратное уравнение относительно dy:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений; (3)

б) найти общие интегралы уравнений (3) (характеристики уравнения (1)):

· Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений(4)

в случае уравнения гиперболического типа;

· Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений, (5)

в случае уравнения параболического типа;

· Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений, (6)

в случае уравнения эллиптического типа.

6. Ввести новые (характеристические) переменные Приведение к канонической форме дифференциальных уравненийи Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений:

· в случае уравнения гиперболического типа в качестве Приведение к канонической форме дифференциальных уравненийи Приведение к канонической форме дифференциальных уравненийберут общие интегралы (4) уравнений (3), т. е.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

· в случае уравнения параболического типа в качестве Приведение к канонической форме дифференциальных уравненийберут общий интеграл (5) уравнения (3), т. е. Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений, в качестве Приведение к канонической форме дифференциальных уравненийберут произвольную, дважды дифференцируемую функцию Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений, не выражающуюся через Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений, т. е. Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений;

· в случае уравнения эллиптического типа в качестве Приведение к канонической форме дифференциальных уравненийи Приведение к канонической форме дифференциальных уравненийберут вещественную и мнимую часть любого из общих интегралов (6) уравнений (3):

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

7. Пересчитать все производные, входящие в уравнение (1), используя правило дифференцирования сложной функции:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений,

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений,

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений, (7)

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений,

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

8. Подставить найденные производные в исходное уравнение (1) и привести подобные слагаемые. В результате уравнение (1) примет один из следующих видов:

· в случае уравнения гиперболического типа:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений;

· в случае уравнения параболического типа:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений;

· в случае уравнения эллиптического типа:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

1.2. Пример выполнения задачи 1.

Определить тип уравнения

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений:

2. Вычислим выражение Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

3. Приведение к канонической форме дифференциальных уравненийуравнение гиперболического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений. (9)

5. Решим уравнение (9). Для этого:

а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy: Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений;

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений;

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений(10)

б) найдём общие интегралы уравнений (10) (характеристики уравнения (9)):

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

6. Введём характеристические переменные:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Используя формулы (7), получим:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (8) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Или после деления на -100 (коэффициент при Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений):

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Ответ. Уравнение (8) является уравнением гиперболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

где Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

1.3. Пример выполнения задачи 2.

Определить тип уравнения

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений. В нашем примере они постоянны:

2. Вычислим выражение Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

3. Приведение к канонической форме дифференциальных уравненийуравнение параболического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений. (12)

5. Решим уравнение (12). Для этого:

а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy. Однако в этом случае левая часть уравнения является полным квадратом:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений;

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений(13)

б) имеем только одно уравнение характеристик (13). Найдём его общий интеграл (уравнения параболического типа имеют только одно семейство вещественных характеристик):

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

6. Введём характеристические переменные: одну из переменных Приведение к канонической форме дифференциальных уравненийвводим как и ранее

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

а в качестве Приведение к канонической форме дифференциальных уравненийберут произвольную, дважды дифференцируемую функцию, не выражающуюся через Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений, пусть

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений;

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Используя формулы (7), получим:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (11) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Функцию, стоящую в правой части уравнения (11) необходимо также выразить через характеристические переменные.

После деления на 25 (коэффициент при Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений):

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Ответ. Уравнение (11) является уравнением параболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

где Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

1.4. Пример выполнения задачи 3.

Определить тип уравнения

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений(14)

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений:

2. Вычислим выражение Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

3. Приведение к канонической форме дифференциальных уравненийуравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений. (15)

5. Решим уравнение (15). Для этого:

а) разрешаем уравнение (15) как квадратное уравнение относительно dy: Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений; (16)

б) уравнения (16) – это пара комплексно-сопряженных уравнений. Они имеют пару комплексно-сопряженных общих интегралов. (Уравнения эллиптического типа не имеют вещественных характеристик)

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений(17)

6. Введём характеристические переменные как вещественную и мнимую части одного из общих интегралов (17):

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Используя формулы (7), получим:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (14) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Или после деления на 4 (коэффициент при Приведение к канонической форме дифференциальных уравненийи Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений):

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Ответ. Уравнение (14) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

где Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

1.5. Задачи для самостоятельного решения.

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

§2. Упрощение группы младших производных

для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

2. 1. Необходимый теоретический материал

В самом общем виде линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными имеет вид

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений(1)

Преобразованием независимых переменных группа старших производных уравнения может быть упрощена. Уравнение (1) приводится к одному из следующих видов

· в случае уравнения гиперболического типа:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений; (11)

· в случае уравнения параболического типа:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений; (12)

· в случае уравнения эллиптического типа:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений. (13)

Если коэффициенты исходного уравнения постоянны, то для дальнейшего упрощения уравнения любого типа нужно сделать замену неизвестной функции

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений, (14)

где Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений- новая неизвестная функция, Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений- параметры, подлежащие определению. Такая замена не «испортит» канонического вида, но при этом позволит подобрать параметры Приведение к канонической форме дифференциальных уравненийтак, чтобы из трех слагаемых группы младших производных в уравнении осталось только одно. Уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов соответственно примут вид

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений;

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений;

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

Чтобы реализовать замену (14) в уравнениях (11), (12), (13), необходимо пересчитать все производные, входящие в эти уравнения по формулам

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений(15)

Подробно рассмотрим этот процесс на примере уравнения гиперболического типа, т. е. уравнения (11). Пересчитаем производные, входящие в это уравнение, используя формулы (15).

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (11). Собирая подобные слагаемые, получим

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений. (16)

В уравнении (16) приравняем к нулю коэффициенты при Приведение к канонической форме дифференциальных уравненийи Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Откуда Приведение к канонической форме дифференциальных уравненийПодставив эти значения параметров в уравнение (16) и разделив его на Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений, придем к уравнению

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений,

где Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

2.2. Пример выполнения задачи 4

к каноническому виду и упростить группу младших производных.

9. Определим коэффициенты Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений:

10. Вычислим выражение Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

11. Приведение к канонической форме дифференциальных уравненийуравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.

12. Запишем уравнение характеристик:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений. (18)

5. Решим уравнение (18). Для этого:

а) разрешаем уравнение (18) как квадратное уравнение относительно dy: Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений;

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений; (19)

б) найдём общие интегралы уравнений (19) (характеристики уравнения (17)):

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

6. Введём характеристические переменные:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

13. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Используя формулы (7), получим:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (17) при соответствующих производных.

14. Собирая подобные слагаемые, получим:

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений(20)

Теперь с помощью замены неизвестной функции (14)

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

упростим группу младших производных.

Пересчитаем производные, входящие в уравнение (20), используя формулы (15).

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (20). Собирая подобные слагаемые, получим

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений. (21)

В уравнении (21) приравняем к нулю коэффициенты при Приведение к канонической форме дифференциальных уравненийи Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений

Откуда Приведение к канонической форме дифференциальных уравненийПодставив эти значения параметров в уравнение (21) и разделив его на Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений, придем к уравнению

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

Ответ. Уравнение (20) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Его канонический вид

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений,

где Приведение к канонической форме дифференциальных уравненийПриведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

2.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 4. Привести уравнения к каноническому виду и упростить группу младших производных.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

Приведение к канонической форме дифференциальных уравнений.

Видео:4. Однородные дифференциальные уравнения (часть 1)Скачать

4. Однородные дифференциальные уравнения (часть 1)

Электронная библиотека

Различные точки области определения описывают уравнения различных типов.

Будем рассматривать область G, во всех точках которой уравнение имеет один и тот же тип. Через каждую точку области проходят две характеристики. Для уравнений гиперболического типа характеристики действительны и различны, для уравнений эллиптического типа – комплексно сопряженные, для уравнений параболического типа – действительны и совпадают между собой.

Пусть и – характеристики уравнения гиперболического типа. Полагая

и поделив уравнение (4.5) на коэффициент при после преобразований, получим уравнение вида:

Мы получили каноническую форму уравнений гиперболического типа. Уравнения этого типа можно привести и к другой форме. Для этого положим:

Тогда уравнение (4.9) примет вид:

Для уравнений параболического типа уравнения (4.8) совпадают друг с другом, и мы получим один общий интеграл уравнения (4.7):

где – любая, линейно независимая с , функция.

После дальнейших преобразований получим каноническую форму уравнения параболического типа:

В случае уравнения эллиптического типа уравнения (4.8) дают интегралы:

где и – комплексно сопряженные функции.

Чтобы избавится от мнимой составляющей, введем новые переменные:

после чего получим каноническую форму уравнения эллиптического типа:

Если коэффициенты линейного уравнения постоянные, то характеристическое уравнение имеет решение:

В результате преобразования уравнение (4.3) приводится к одной из форм:

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

📹 Видео

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. ПримерСкачать

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. Пример

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

2. Приведение уравнений второго порядка к каноническому видуСкачать

2. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертеж

Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"Скачать

Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Линейная алгебра. Алексей Савватеев и Александр Тонис. Лекция 11.2. Приведение к каноническому видуСкачать

Линейная алгебра. Алексей Савватеев и Александр Тонис. Лекция 11.2. Приведение к каноническому виду

Каноническое уравнение прямой в пространстве Преход от общего уравненияСкачать

Каноническое уравнение прямой в пространстве  Преход от общего уравнения

Видеоурок "Приведение к каноническому виду"Скачать

Видеоурок "Приведение к каноническому виду"

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения. Однородное уравнение.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения. Однородное уравнение.

Кривые второго порядка. Парабола. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Кривые второго порядка. Парабола. Приведение к каноническому виду и чертеж

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.

53. Приведение общего уравнения кривой к каноническому видуСкачать

53. Приведение общего уравнения кривой к каноническому виду
Поделиться или сохранить к себе: