Примеры с модулем не уравнения

В данном уроке мы рассмотрим понятие модуля числа более подробно.

Видео:Уравнения с модулем. Что такое модуль числа. Алгебра 7 класс.Скачать

Что такое модуль?

Модуль — это расстояние от начала координат до какого-нибудь числа на координатной прямой. Поскольку расстояние не бывает отрицательным, то и модуль всегда неотрицателен. Так, модуль числа 3 равен 3, как и модуль числа −3 равен 3

Предстáвим, что на координатной прямой расстояние между целыми числами равно одному шагу. Теперь если отметить числа −3 и 3, то расстояние до них от начала координат будет одинаково равно трём шагам:

Модуль это не только расстояние от начала координат до какого-нибудь числа. Модуль это также расстояние между любыми двумя числами на координатной прямой. Такое расстояние выражается в виде разности между этими числами, заключенной под знак модуля:

Где x₁ и x₂ — числа на координатной прямой.

Например, отметим на координатной прямой числа 2 и 5.

Расстояние между числами 2 и 5 можно записать с помощью модуля. Для этого запишем разность из чисел 2 и 5 и заключим эту разность под знак модуля:

Видим, что расстояние от числа 2 до числа 5 равно трём шагам:

Если расстояние от 2 до 5 равно 3, то и расстояние от 5 до 2 тоже равно 3

То есть, если в выражении |5 − 2| поменять числа местами, то результат не изменится:

Тогда можно записать, что |2 − 5| = |5 − 2|. Вообще, справедливо следующее равенство:

Это равенство можно прочитать так: Расстояние от x₁ до x₂ равно расстоянию от x₂ до x₁.

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Раскрытие модуля

Когда мы говорим, что |3|= 3 или |−3|= 3 мы выполняем действие называемое раскрытием модуля.

Правило раскрытия модуля выглядит так:

Такую запись мы ранее не использовали. Дело в том, что равенство можно задавать несколькими формулами. Фигурная скобка указывает, что возможны два случая в зависимости от условия. В данном случае условиями являются записи «если x ≥ 0» и «если x .

В зависимости от того что будет подставлено вместо x, выражение |x| будет равно x, если подставленное число больше или равно нулю. А если вместо x подставлено число меньшее нуля, то выражение |x| будет равно −x.

Второй случай на первый взгляд может показаться противоречивым, поскольку запись |x| = −x выглядит будто модуль стал равен отрицательному числу. Следует иметь ввиду, что когда x

Пример 2. Пусть x = 5. То есть мы рассматриваем модуль числа 5

В данном случае выполняется первое условие x ≥ 0, ведь 5 ≥ 0

Поэтому используем первую формулу. А именно | x | = x. Получаем | 5 | = 5.

Ноль это своего рода точка перехода, в которой модуль меняет свой порядок раскрытия и далее сохраняет свой знак. Визуально это можно представить так:

На рисунке красные знаки минуса и плюса указывают как будет раскрываться модуль |x| на промежутках x и x ≥ 0 .

К примеру, если взять числа 1, 9 и 13 , а они принадлежат промежутку x ≥ 0, то согласно рисунку модуль |x| раскроется со знаком плюс:

А если возьмём числа, меньшие нуля, например −3, −9, −15, то согласно рисунку модуль раскроется со знаком минус:

Пример 3. Пусть x = √4 − 6. То есть мы рассматриваем модуль выражения √4 − 6,

Корень из числа 4 равен 2. Тогда модуль примет вид

x который был равен √4−6 теперь стал равен −4. В данном случае выполняется второе условие x |√4 − 6| = |2 − 6| = |−4| = −(−4) = 4

На практике обычно рассуждают так:

«Модуль раскрывается со знаком плюс, если подмодульное выражение больше или равно нулю; модуль раскрывается со знаком минус, если подмодульное выражение меньше нуля».

Примеры:

|2| = 2 — модуль раскрылся со знаком плюс, поскольку 2 ≥ 0

|−4| = −(−4) = 4 — модуль раскрылся со знаком минус, поскольку −4 x ≥ 0 расписано подробнее, а именно сказано что если x > 0 , то выражение |x| будет равно x , а если x =0, то выражение |x| будет равно нулю.

Пример 4. Пусть x = 0. То есть мы рассматриваем модуль нуля:

В данном случае выполняется условие x=0, ведь 0 = 0

Пример 5. Раскрыть модуль в выражении |x|+ 3

Если x ≥ 0, то модуль раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид x + 3.

Допустим, требуется найти значение выражения |x|+ 3 при x = 5. Поскольку 5 ≥ 0, то модуль, содержащийся в выражении |x|+ 3 раскрóется со знаком плюс и тогда решение примет вид:

Найдём значение выражения |x|+ 3 при x = −6. Поскольку −6 |x| + 3 = 3 − x = 3 − (−6) = 9

Пример 6. Раскрыть модуль в выражении x +|x + 3|

Если x + 3 ≥ 0, то модуль |x + 3| раскроется со знаком плюс и тогда исходное выражение примет вид x + x + 3 , откуда 2x + 3.

Найдём значение выражения x +|x + 3| при x = 4. Поскольку 4 ≥ −3, то согласно нашему решению модуль выражения x +|x + 3| раскрывается со знаком плюс, и тогда исходное выражение принимает вид 2x+3, откуда подставив 4 получим 11

Найдём значение выражения x +|x + 3| при x=−3.

Поскольку −3 ≥ −3 , то согласно нашему решению модуль выражения x +|x + 3| раскрывается со знаком плюс, и тогда исходное выражение принимает вид 2x+3, откуда подставив −3 получим −3

Пример 3. Раскрыть модуль в выражении

Как и прежде используем правило раскрытия модуля:

Но это решение не будет правильным, поскольку в первом случае написано условие x ≥ 0 , которое допускает что при x = 0 знаменатель выражения обращается в ноль, а на ноль делить нельзя.

В данном примере удобнее использовать подробную запись правила раскрытия модуля, где отдельно рассматривается случай при котором x = 0

Перепишем решение так:

В первом случае написано условие x > 0 . Тогда выражение станет равно 1. Например, если x = 3 , то числитель и знаменатель станут равны 3, откуда полýчится 1

И так будет при любом x , бóльшем нуля.

Во втором случае написано условие x = 0 . Тогда решений не будет, потому что на ноль делить нельзя.

В третьем случае написано условие x . Тогда выражение станет равно −1 . Например, если x = −4 , то числитель станет равен 4 , а знаменатель −4 , откуда полýчится единица −1

Пример 4. Раскрыть модуль в выражении

Если x ≥ 0 , то модуль, содержащийся в числителе, раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид , которое при любом x , бóльшем нуля, будет равно единице:

Если x , то модуль раскроется со знаком минус, и тогда исходное выражение примет вид

Но надо учитывать, что при x = − 1 знаменатель выражения обращается в ноль. Поэтому второе условие x следует дополнить записью о том, какие значения может принимать x

Видео:Контрольная работа. Уравнения с МОДУЛЕМСкачать

Преобразование выражений с модулями

Модуль, входящий в выражение, можно рассматривать как полноценный множитель. Его можно сокращать и выносить за скобки. Если модуль входит в многочлен, то его можно сложить с подобным ему модулем.

Как и у обычного буквенного множителя, у модуля есть свой коэффициент. Например, коэффициентом модуля |x| является 1, а коэффициентом модуля −|x| является −1. Коэффициентом модуля 3|x+1| является 3, а коэффициентом модуля −3|x+1| является −3.

Пример 1. Упростить выражение |x| + 2|x| − 2x + 5y и раскрыть модуль в получившемся выражении.

Решение

Выражения|x| и 2|x| являются подобными членами. Слóжим их. Остальное оставим без изменений:

Раскроем модуль в получившемся выражении. Если x ≥ 0, то получим 3x − 2x + 5y , откуда x + 5y .

Если x , то получим − 3x − 2x + 5y , откуда − 5x + 5y . Вынесем за скобки множитель − 5 , получим − 5(x − y)

В итоге имеем следующее решение:

Пример 2. Раскрыть модуль в выражении: −|x|

Решение

В данном случае перед знаком модуля стоит минус. Его можно понимать как минус единицу перед знаком модуля. Если x ≥ 0 , то модуль раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид −x

Если x , то модуль раскроется со знаком минус, и тогда исходное выражение примет вид −(−x) откуда получим просто x

Видео:Уравнения с модулемСкачать

Модуль числа знак, свойства, действия, как найти, примеры графиков

Модуль числа легко найти, и теория, которая лежит в его основе, важна при решении задач.

Свойства и правила раскрытия, используемые при решении упражнений и на экзаменах, будут полезны школьникам и студентам.

Видео:Уравнения с модулем. Часть 2 | Математика | TutorOnlineСкачать

Что такое модуль в математике

Модуль числа описывает расстояние на числовой линии от нуля до точки без учета того, в каком направлении от нуля лежит точка. Математическое обозначение: |x|.

Иными словами, это абсолютная величина числа. Определение доказывает, что значение никогда не бывает отрицательным.

Видео:Неравенства с модулем | Математика | TutorOnlineСкачать

Свойства модуля

Важно помнить о следующих свойствах:

1. Правило раскрытия: абсолютная величина любого числа больше или равна нулю:
2. Если абсолютные значения содержат выражения противоположных значений, они равны:
3. Значение числа не превышает величину его модуля:
4. Правило раскрытия при произведении:
5. Правило, применимое при делении:
6. При возведении в степень:
7. Сумма величин:
8. Двойной модуль:

Видео:НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ 😉 ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

Модуль комплексного числа

Абсолютной величиной комплексного числа называют длину направленного отрезка, проведенного от начала комплексной плоскости до точки (a, b).

Этот направленный отрезок также является вектором, представляющим комплексное число a + bi, поэтому абсолютная величина комплексного числа – это то же самое, что и величина (или длина) вектора, представляющего a+ bi.

Видео:Как решать уравнение с модулем Уравнение с модулями как решать Как раскрыть модуль в уравненииСкачать

Как решать уравнения с модулем

Уравнение с модулем – это равенство, которое содержит выражение абсолютного значения. Если для действительного числа оно представляет его расстояние от начала координат на числовой линии, то неравенства с модулем являются типом неравенств, которые состоят из абсолютных значений.

Уравнения типа |x| = a

Уравнение |x| = a имеет два ответа x = a и x = –a, потому что оба варианта находятся на координатной прямой на расстоянии a от 0.

Равенство с абсолютной величиной не имеет решения, если величина отрицательная.

Если |x| &lt, a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.

Уравнения типа |x| = |y|

Когда есть абсолютные значения по обе стороны уравнений, нужно рассмотреть обе возможности для приемлемых определений – положительные и отрицательные выражения.

Например, для равенства |x − a| = |x + b| есть два варианта: (x − a) = − (x + b) или (x − a) = (x + b).

Далее простая арифметика − нужно решить два равенства относительно x.

Уравнения типа |x| = y

Уравнения такого вида содержат абсолютную величину выражения с переменной слева от нуля, а справа – еще одну неизвестную. Переменная y может быть как больше, так и меньше нуля.

Для получения ответа в таком равенстве нужно решить систему из нескольких уравнений, в которой нужно убедиться, что y – неотрицательная величина:

Видео:Уравнения с модулем 🫢Скачать

Решение неравенств с модулем

Чтобы лучше понять, как раскрыть модуль в разных типах равенств и неравенств, нужно проанализировать примеры.

Уравнения вида |x| = a

Пример 1 (алгебра 6 класс). Решить: |x| + 2 = 4.

Решение.

Такие уравнения решаются так же, как и равенства без абсолютных значений. Это означает, что, перемещая неизвестные влево, а константы – вправо, выражение не меняется.

После перемещения константы вправо получено: |x| = 2.

Поскольку неизвестные связаны с абсолютным значением, это равенство имеет два ответа: 2 и −2.

Ответ: 2 и −2.

Пример 2 (алгебра 7 класс). Решить неравенство |x + 2| ≥ 1.

Решение.

Первое, что нужно сделать, это найти точки, где абсолютное значение изменится. Для этого выражение приравнивается к 0. Получено: x = –2.

Это означает, что –2 – поворотная точка.

Далее определяется знак на интервалах: на промежутке величина будет отрицательной, а на интервале будет положительной.

Разделим интервал на 2 части:

Общим ответом для этих двух неравенств является интервал [−1, + ∞).

Общим ответом для этих двух неравенств является интервал (−∞, –3].

Окончательное решение – объединение ответов отдельных частей:

Ответ: x ∈ (–∞, –3] ∪ [–1, + ∞).

Уравнения вида |x| = |y|

Пример 1 (алгебра 8 класс). Решить уравнение с двумя модулями: 2 * |x – 1| + 3 = 9 – |x – 1|.

Решение:

Ответ: x1 = 3, x2 = − 1.

Пример 2 (алгебра 8 класс). Решить неравенство:

Решение:

Уравнения вида |x| = y

Пример 1 (алгебра 10 класс). Найти x:

Решение:

Очень важно провести проверку правой части, иначе можно написать в ответ ошибочные корни. Из системы видно, что не лежит в промежутке .

Ответ: x = 0.

Видео:Уравнение с модулемСкачать

Модуль суммы

Видео:УРАВНЕНИЯ С МОДУЛЕМ | метод интерваловСкачать

Модуль разности

Абсолютная величина разности двух чисел x и y равна расстоянию между точками с координатами X и Y на координатной прямой.

Пример 1.

Пример 2.

Видео:Модуль в модуле в уравнении. Алгебра 7 класс.Скачать

Модуль отрицательного числа

Для нахождения абсолютного значения числа, которое меньше нуля, нужно узнать, как далеко оно расположено от нуля. Поскольку расстояние всегда является положительным (невозможно пройти «отрицательные» шаги, это просто шаги в другом направлении), результат всегда положительный. То есть,

Проще говоря, абсолютная величина отрицательного числа имеет противоположное значение.

Видео:Модуль числа. Практическая часть. 6 класс.Скачать

Модуль нуля

Вот почему нельзя сказать, что абсолютная величина – положительное число: ноль не является ни отрицательным, ни положительным.

Видео:МодульСкачать

Модуль в квадрате

Модуль в квадрате всегда равен выражению в квадрате:

Видео:Модуль числа. Практическая часть. 6 класс.Скачать

Примеры графиков с модулем

Часто в тестах и на экзаменах встречаются задания, которые возможно решить, лишь проанализировав графики. Рассмотрим такие задания.

Пример 1.

Дана функция f(x) = |x|. Необходимо построить график от – 3 до 3 с шагом 1.

Решение:

Объяснение: из рисунка видно, что график симметричен относительно оси Y.

Пример 2. Необходимо нарисовать и сравнить графики функций f(x) = |x–2| и g(x) = |x|–2.

Решение:

Объяснение: константа внутри абсолютной величины перемещает весь график вправо, если ее значение отрицательное, и влево, если положительное. Но постоянная снаружи будет передвигать график вверх, если значение положительное, и вниз, если оно отрицательное (как –2 в функции g (x)).

Координата вершины x (точка, в которой соединяются две линии, вершина графа) – это число, на которое график сдвигается влево или вправо. А координата y – это значение, на которое график сдвигается вверх или вниз.

Строить такие графики можно с помощью онлайн приложений для построения. С их помощью можно наглядно посмотреть, как константы влияют на функции.

Видео:Сложное уравнения с модулем. Алгебра 7 класс.Скачать

Метод интервалов в задачах с модулем

Метод интервалов – один из лучших способов найти ответ в задачах с модулем, особенно если в выражении их несколько.

Для использования метода нужно совершить следующие действия:

1. Приравнять каждое выражение к нулю.
2. Найти значения переменных.
3. Нанести на числовую прямую точки, полученные в пункте 2.
4. Определить на промежутках знак выражений (отрицательное или положительное значение) и нарисовать символ – или + соответственно. Проще всего определить знак с помощью метода подстановки (подставив любое значение из промежутка).
5. Решить неравенства с полученными знаками.

Пример 1. Решить методом интервалов.

Решение:

Результатом будет сумма всех подходящих интервалов.

Видео:ЧТО ТАКОЕ МОДУЛЬ ЧИСЛА? #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

Модуль в модуле

Среди примеров часто встречаются уравнения, где нужно найти корни равенств такого вида: ||ax – b| – c| = kx + m.

Лучше всего понять принцип на примере.

Пример 1. Решить

Решение:

Первым делом нужно раскрыть внутренний модуль. Для этого рассматривается два варианта:

В первом случае выражение положительное, а во втором отрицательное. Исходя из этого, получаем:

Нужно упростить два уравнения:

Далее каждое из равенств разделяется еще на два:

Получено четыре результата:

Видео:11 класс, 29 урок, Уравнения и неравенства с модулямиСкачать

Заключение

Самое важное, что нужно знать: модуль не может быть отрицательным.

Поэтому, если представлено выражение, похожее на |2 – 4x| = –7 стоит помнить, что равенство неверно даже без поисков ответов.

В качестве итогов, напомним все свойства, которые помогут в решении задач:

• когда положительное число находится внутри модуля, достаточно просто избавиться от него,
• если есть выражение, нужно его упростить, прежде чем найти абсолютное значение,
• если равенство содержит две переменные, нужно решать его с помощью системы уравнений и за основу брать методы решения выражений с абсолютными величинами.

Решать равенства и неравенства можно разными способами, но лучше всего использовать графический способ или метод интервалов.

Видео:Уравнение с двумя модулями: особенности решенияСкачать

Уравнения с модулем

Видео:НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМСкачать

Что такое уравнение с модулем

Модуль числа — абсолютная величина, демонстрирующая удаленность точки от начала координат.

В том случае, когда число является отрицательным, его модуль соответствует числу, ему противоположному. Для неотрицательного числа модуль равен этому числу.

| x | = x , x ≥ 0 — x , x 0

Уравнения с модулем являются такими уравнениями, в составе которых имеется переменная, заключенная в знак модуля.

Самое простое уравнение с модулем |f(x)|=a является равносильным совокупности

Здесь a>0. При а отрицательном у такого уравнения отсутствует решение.

Уравнения с модулем могут быть предложены в качестве самостоятельного задания. Кроме того, подобные выражения нередко образуются в процессе решения других видов уравнений, к примеру, квадратных или иррациональных.

Разберем подробное решение квадратного уравнения:

Заметим, что справа имеется квадрат числа 4:

На первый взгляд, нужно избавиться от квадратов, чтобы получить линейное уравнение. С другой стороны, существует правило:

Вычисления следует продолжить с учетом записанной формулы. Тогда получим уравнение с модулем:

x 2 = 4 2 ⇔ x 2 = 4 2 ⇔ x = 4

Рассмотрим для тренировки пример, когда уравнения с модулем появляются при решении иррациональных уравнений. Например, дано уравнение:

2 x — 1 2 = 9 x 2 + 12 x + 4

Согласно стандартному алгоритму действий, в этом случае потребуется выполнить действия:

• перенос слагаемых;
• приведение подобных;
• решение квадратного уравнения, например, с помощью дискриминанта.

Второй вариант решения предусматривает использование формулы сокращенного умножения квадрат суммы:

9 x 2 + 12 x + 4 = 3 x + 2 2

Преобразуем сложное уравнение:

2 x — 1 2 = 3 x + 2 2

На первый взгляд, можно избавиться от квадратов и решить линейное уравнение. Однако:

В результате получим:

2 x — 1 2 = 3 x + 2 2 ⇔ 2 x — 1 = 3 x + 2 .

При решении уравнений, которые содержат модуль, необходимо помнить свойства модуля:

1. Модуль числа является неотрицательным числом: x ≥ 0 , x = 0 ⇔ x = 0 .
2. Противоположные числа равны друг другу по модулю: — x = x .
3. Произведение пары или более чисел по модулю равно произведению модулей этих чисел: x · y = x · y .
4. Частное пары чисел по модулю равно частному модулей этих чисел: x y = x y , y ≠ 0 .
5. Сумма чисел по модулю в любом случае меньше или равна сумме модулей данных чисел: x + y ≤ x + y .
6. Постоянный множитель, который больше нуля, допустимо вынести за знак модуля: c x = c · x при c > 0 .
7. Квадрат какого-то числа по модулю равен квадрату данного числа: x 2 = x 2 .

Пример 3

Руководствуясь перечисленными свойствами модуля, рассмотрим решение уравнения:

Заметим, что x равен x при x больше либо равно нулю. Значение –x возможно, когда x является отрицательным числом. Таким образом:

x = 7 ⇔ x = 7 , п р и x ≥ 0 — x = 7 , п р и x 0 ⇔ x = 7 x = — 7

Рассмотрим несколько иное уравнение:

В этом случае логика такая же, как в предыдущем примере:

x = — 7 ⇔ x = — 7 , при x ≥ 0 — x = — 7 , при x 0 ⇔ x = — 7 x ≥ 0 ⇒ р е ш е н и я н е т x = 7 x 0 ⇒ р е ш е н и я н е т

Способы решения уравнений с модулями для 10 и 11 классов

Существует три основных вида уравнений с модулем, которые предусматривают определенные подходы к решению:

1. Уравнения x = a . x = a ⇔ x = a , п р и x ≥ 0 — x = a , п р и x 0 ⇔ x = a x = — a .
2. Уравнения вида x = y . x = y ⇔ y ≥ 0 x = y x = — y

Примеры решения задач с объяснением

Уравнения, которые содержат модуль и имеют вид |x| = |a|, решают с помощью определения модуля.

Рассмотрим в качестве примера:

Определим x . Когда x ≥ 0 , значение равно х . Если x – х . Таким образом:

x = 5 ⇔ x = 5 при x ≥ 0 — x = 5 при x 0 ⇔ x = 5 x = — 5 .

Получим, что решением уравнения являются -5; 5.

Рассмотрим следующее задание, в рамках которого необходимо решить уравнение:

Воспользуемся стандартным алгоритмом:

x = — 3 ⇔ x = — 3 при x ≥ 0 — x = — 3 при x 0 ⇔ x = — 3 x ≥ 0 ⇒ решений нет x = 3 x 0 ⇒ решений нет

Согласно первому свойству модуля:

x ≥ 0 , то есть модуль в любом случае не является отрицательным числом.

Можно обобщить рассмотренные действия и записать правило для решения уравнений, которые имеют вид x = a . Данное правило можно использовать в работе:

x = a ⇒ a ≥ 0 x = a x = — a .

Используя данное правило, решим уравнение:

По сравнению с предыдущим примером, здесь под знаком модуля записано иное выражение. Однако суть решения от этого не меняется. Зная правило, выполним замену:

x — 5 = 3 ⇔ 3 ≥ 0 x — 5 = 3 x — 5 = — 3 ⇒ x = 8 x = 2

Решим следующее уравнение:

Воспользуемся правилом и получим:

3 x — 5 = 3 ⇔ 3 ≥ 0 3 x — 5 = 3 3 x — 5 = — 3 ⇒ x = 8 3 x = 2 3

Далее рассмотрим решение уравнений, которые записаны в виде | x | = | y | .

При раскрытии модулей, согласно определению, возникнет необходимость во множестве проверок. Например, потребуется определить, какое число является положительным, а какое будет отрицательным. Полученную в результате систему в дальнейшем необходимо упростить.

Второй вариант решения подразумевает изначально краткую запись вычислений. Вспомним, что по свойству модуля:

Применим это свойство к нашему примеру и исключим знаки модулей из уравнения:

x = y ⇔ x 2 = y 2 ⇔ x 2 = y 2 ⇔ x 2 — y 2 = 0 ⇔

⇔ x — y x + y = 0 ⇔ x = y x = — y .

Рассмотрим еще несколько примеров.

Воспользуемся рассмотренным правилом применения свойства модуля, получим:

x + 1 = 2 x — 1 ⇔ x + 1 = 2 x — 1 x + 1 = — 2 x — 1 ⇔ x = 2 x = 0 .

Решение выполняем по аналогии с предыдущими заданиями:

2 x — 9 = 3 — x ⇔ 2 x — 9 = 3 — x 2 x — 9 = x — 3 ⇔ 3 x = 12 x = 6 ⇔ x = 4 x = 6 .

Разберем на примере, как решать уравнения вида | x | = y .

Заметим, что справа записана переменная, которая может быть положительным или отрицательным числом. Исходя из того, что модуль не может быть отрицательным числом, убедимся в том, что эта переменная также не является отрицательным числом:

x = y ⇔ y ≥ 0 x = y x = — y

Воспользуемся стандартным алгоритмом:

x + 1 = 1 — 2 x ⇔ 1 — 2 x ≥ 0 x + 1 = 1 — 2 x x + 1 = 2 x — 1 ⇔ x ≤ 1 2 x = 0 x = 2 ⇔ x = 0 .

Заметим, что без проверки на положительность части уравнения, которая записана с правой стороны, существуют риски появления посторонних корней в решении. К примеру, проверим x=2 путем подстановки в начальное уравнение x + 1 = 1 — 2 x :

2 + 1 = 1 — 2 · 2 ⇔ 3 = — 3 не является верным.

При решении уравнений с модулем также применяют метод интервалов. Данный способ следует применять в тех случаях, когда уравнение содержит более двух модулей.

Рассмотрим пример такого выражения:

x + 3 — 2 x — 1 = 1

Первый модуль имеет вид:

Согласно определению модуля, при раскрытии знака выражение под ним сохраняется без изменений, если:

После раскрытия знака модуля получим противоположный знак, когда:

x + 3 = x + 3 , если x + 3 ≥ 0 — x — 3 , если x + 3 0 .

По аналогии выполним преобразования второго модуля:

2 x — 1 = 2 x — 1 , если 2 x — 1 ≥ 0 1 — 2 x , если 2 x — 1 0 .

Сложность заключается в том, что требуется проанализировать много вариантов, то есть по два варианта для каждого из модулей. Всего получится четыре уравнения. А в том случае, когда модулей три, потребуется рассмотреть восемь уравнений. Возникает необходимость в сокращении числа вариантов.

Заметим, что в нашем примере не предусмотрено одновременное выполнение всех условий:

Данные условия противоречивы относительно друг друга. В связи с этим, нецелесообразно раскрывать второй модуль со знаком плюс, когда первый модуль раскрыт со знаком минус. В результате получилось избавиться от одного уравнения.

Обобщая эту информацию, можно записать алгоритм действий. В первую очередь следует вычислить корни выражений, заключенных под знаком модуля. В результате получаются такие х , при которых выражения принимают нулевые значения:

x + 3 = 0 ⇒ x = — 3 2 x — 1 = 0 ⇒ x = 1 2

С помощью стандартного способа интервалов можно отметить на координатной прямой корни выражений, которые находятся под модулями, и расставить знаки. Далее для каждого из полученных интервалов нужно составить и решить уравнение.

В этом случае оба модуля раскрываются со знаком минус:

— x + 3 + 2 x — 1 = 1 ⇔ — x — 3 + 2 x — 1 = 1 ⇔ x = 5 > — 3 является сторонним корнем.

В данном выражении первый модуль раскроется со знаком плюс, а второй — со знаком минус:

x + 3 + 2 x — 1 = 1 ⇔ x + 3 + 2 x — 1 = 1 ⇔ x = — 1 3 полученный корень соответствует своему интервалу.

Теперь для обоих модулей будет записан знак плюс:

x + 3 — 2 x — 1 = 1 ⇔ x + 3 — 2 x + 1 = 1 ⇔ x = 3 данный корень также подходит для решения.

Выполним проверку корней. В первом случае корень посторонний:

x = 5 : 5 + 3 — 2 · 5 — 1 = 8 — 9 = — 1 ≠ 1

Второй корень является решением:

x = — 1 3 : — 1 3 + 3 — 2 · — 1 3 — 1 = 8 3 — 5 3 = 1 .

Третий корень также является решением:

x = 3 : 3 + 3 — 2 · 3 — 1 = 6 — 5 = 1 .

Таким образом, запишем ответ: — 1 3 ; 3 .

Существует ряд уравнений, в которых модуль расположен под знаком модуля. К примеру:

В этом случае следует раскрывать модули поочередно. Проанализируем два варианта решения.

Первое решение подразумевает вычисления для уравнения, которое имеет вид:

f x = a ⇔ f x = a f x = — a

Здесь f x является подмодульным выражением. Применительно к нашей задаче, это:

x — 5 = 3 ⇔ x — 5 = 3 x — 5 = — 3 ⇔ x = 8 x = 2

Получена пара простейших уравнений аналогичного вида, то есть:

x = 8 x = — 8 x = 2 x = — 2

Данные четыре числа являются решениями. Проверить это можно путем подстановки ответов в исходное уравнение.

Второй вариант решения является универсальным и позволяет справиться с нестандартными задачами.

Раскроем сначала внутренние модули:

Начальное уравнение будет записано, как пара уравнений:

x ≥ 0 x — 5 = 3 x 0 — x — 5 = 3

Задачи для самостоятельного решения

Найти корни уравнения:

Здесь нужно возвести в квадрат все части выражения, сохраняя знак плюса справа. Тогда получится система:

Найдем корни квадратного уравнения:

3 x 2 — 18 x + 24 = 0

В процессе потребуется сократить уравнение на 3:

D = ( — 6 ) 2 — 4 · 1 · 8 = 36 — 32 = 4

Заметим, что D>0. В таком случае у уравнения есть пара решений, которые можно определить так:

x 1 , 2 = — b ± D 2 a ⇒ x 1 , 2 = 6 ± 4 2 · 1 ⇒ x 1 , 2 = 6 ± 2 2 ⇒ x 1 = 4 , x 2 = 2

Заметим, что оба корня больше единицы. Это соответствует условию. В результате начальное уравнение обладает двумя решениями:

x 1 = 4 и x 2 = 2

Ответ: x 1 = 4 , x 2 = 2

Найти корни уравнения:

Здесь требуется возвести в квадрат обе части уравнения:

( 3 x — 1 ) 2 = ( x + 5 ) 2

9 x 2 — 6 x + 1 = x 2 + 10 x + 25

8 x 2 — 16 x — 24 = 0

Заметим, что получившееся равенство можно сократить на число 8:

Используя теорему Виета, определим корни уравнения. Предположим, что x 1 и x 2 являются в данном случае решениями, тогда:

x 1 + x 2 = 2 , а x 1 · x 2 = — 3 ⇒ x 1 = 3 и x 2 = — 1 . .

Ответ: x 1 = 3 , x 2 = — 1

Нужно решить уравнение:

| x + 1 | + | x — 5 | = 20

Воспользуемся методом интервалов. Определим х , при которых модули принимают нулевые значения:

x + 1 = 0 ⇒ x = — 1 ; x — 5 = 0 ⇒ x = 5

С помощью данных точек координатная прямая будет поделена на три интервала:

Далее необходимо решить уравнение в каждом случае:

Корень соответствует определенному ранее промежутку.

Этот промежуток не имеет корней.

Этот корень соответствует определенному ранее интервалу.

Ответ: x 1 = — 8 , x 2 = 12

3 x + 1 = 1 — 2 x ⇔ 3 x + 3 = 1 — 2 x 3 x + 3 = 2 x — 1 ⇔ 5 x = — 2 x = — 4 ⇔ x = — 2 5 x = — 4 .

Ответ: x = — 2 5 , x = — 4

Найти корни уравнения:

2 x — 9 = 3 — x ⇔ 3 — x ≥ 0 2 x — 9 = 3 — x 2 x — 9 = x — 3

x ≤ 3 3 x = 12 x = 6 ⇔ x ≤ 3 x = 4 x = 6 ⇔ x ∈ ∅ .

Найти корни уравнения:

— 2 x + 4 = 3 — 4 x ⇔ 2 x + 8 = 4 x — 3 ⇔ ;

4 x — 3 ≥ 0 2 x + 8 = 4 x — 3 2 x + 8 = 3 — 4 x ⇔ x ≥ 3 4 x = 11 2 x = — 5 6 ⇔ x = 11 2 .

Найти корни уравнения:

2 x 2 — 15 = x ⇔ x ≥ 0 2 x 2 — x — 15 = 0 1 2 x 2 + x — 15 = 0 2

Найдем корни квадратных уравнений:

Заметим, что они обладают идентичным дискриминантом:

D = 1 + 4 · 2 · 15 = 121 = 11 2 .

1 : x 1 , 2 = 1 ± 11 4 ⇔ x = 3 x = — 5 2

2 : x 1 , 2 = — 1 ± 11 4 ⇔ x = — 3 x = 5 2

Таким образом, начальное уравнение можно записать в виде системы:

2 x 2 — 15 = x ⇔ x ≥ 0 x = 3 x = — 5 2 x = — 3 x = 5 2 ⇔ x = 3 x = 5 2

Найти корни уравнения:

x + 2 — 3 x — 1 + 4 — x = 3

x + 2 — 3 x — 1 + 4 — x = 3 x + 2 = 0 ⇒ x = — 2 3 x — 1 = 0 ⇒ x = 1 3 4 — x = 0 ⇒ x = 4

— x + 2 + 3 x — 1 + 4 — x = 3

x = 2 > — 2 ⇒ — этот корень является посторонним.

x + 2 + 3 x — 1 + 4 — x = 3 ⇔

3 x = — 2 ⇔ x = — 2 3 ∈ — 2 ; 1 3 этот корень удовлетворяет условиям.

x + 2 — 3 x — 1 + 4 — x = 3 ⇔ — 3 x = — 4 ⇔ x = 4 3 ∈ 1 3 ; 4 этот корень удовлетворяет условиям.

x + 2 — 3 x — 1 — 4 — x = 3 ⇔ x = 4 ⇔ x = — 4 4 — корень посторонний

Ответ: — 2 3 ; 4 3 .

Найти корни уравнения:

3 x — 5 + 3 + 2 x = 2 x + 1

3 x — 5 + 3 + 2 x = 2 x + 1 ⇔ 3 x — 5 + 3 + 2 x — 2 x + 1 = 0 .

3 x — 5 = 0 ⇒ x = 5 3 3 + 2 x = 0 ⇒ x = — 3 2 x + 1 = 0 ⇒ x = — 1

— 3 x — 5 — 3 + 2 x + 2 x + 1 = 0 ⇔

— 3 x = — 4 ⇔ x = 4 3 > — 3 2 ⇒ — корень является посторонним

— 3 x — 5 + 3 + 2 x + 2 x + 1 = 0 ⇔

x = — 10 — 1 ⇒ — корень является посторонним

— 3 x — 5 + 3 + 2 x — 2 x + 1 = 0 ⇔

— 3 x = — 6 ⇔ x = 2 > 5 3 ⇒ — корень является посторонним

3 x — 5 + 3 + 2 x — 2 x + 1 = 0 ⇔

3 x = 4 ⇔ x = 4 3 5 3 ⇒ — корень является посторонним

В результате на рассмотренных интервалах графика координатной прямой отсутствуют корни. В таком случае уравнение не имеет решений.