Применяя основное уравнение транспортного потока n dv (7 видео)

Транспортный поток

Транспортный поток состоит из отдельных автомобилей, обладающих различными динамическими характеристиками и управляемых разными по квалификации водителями, т. е. он не является однородным.

В условиях малоинтенсивного движения, когда по дороге движутся отдельные транспортные средства с большими интервалами, водителя в выборе режима движения ограничивают Правила движения, состояние автомобиля и дороги. В плотном транспортном потоке водитель не свободен в выборе скорости движения, он не всегда может сделать обгон и его поведение в значительной степени определяется общим ритмом движения на дороге. Следовательно, интенсивный транспортный поток нивелирует различия в характеристике отдельных водителей и машин.

Наблюдения показали, что движение плотного транспортного потока по улице или дороге напоминает движение воды в канале. Если быстро преградить путь потоку воды в канале, то он мгновенно остановится и по поверхности пробежит обратная волна.

Эффект обратной волны применительно к транспортному потоку выражается в резком снижении скорости вдоль колонны и сокращении интервалов между автомобилями.

Хорошо известно, что канал определенного сечения может пропустить вполне определенное количество воды в единицу времени. Если мы хотим пропустить через канал большее количество воды, то должны увеличить его сечение. Нечто подобное происходит и с транспортным потоком, движущимся по своему каналу — улице или дороге. Проезжая часть определенной ширины может пропустить вполне определенное количество автомобилей, и если мы хотим увеличить ее пропускную способность, то должны расширить дорогу.

Эта аналогия дала специалистам основание применить для изучения закономерностей транспортных потоков законы движения жидкости. Такая модель, правда, с определенными ограничениями позволяет проводить важные исследования и решать ряд практических вопросов по регулированию движения.

Транспортный поток можно характеризовать тремя основными параметрами: интенсивностью N, средней скоростью V и плотностью D. Эти параметры связаны основным уравнением транспортного потока: N = DV.

Графически это уравнение представляет собой основную диаграмму транспортного потока, общий вид которой показан на рис. 1.

Рис. 1. Основная диаграмма транспортного потока

Пользуясь уравнением и диаграммой, можно определять характеристики транспортного потока. Так, средняя скорость выражается через тангенс угла наклона прямой, соединяющей начало координат с точкой, координаты которой характеризуют определенную интенсивность и плотность (N/D).

Максимально возможная при данных условиях интенсивность движения, как это следует из диаграммы, достигается при определенной плотности транспортного потока (точка A на диаграмме) и называется пропускной способностью полосы движения или дороги в целом. Характерно, что при плотности потока, большей, чем в точке A, интенсивность движения снижается. Объясняется это тем, что при большой плотности движения, часто возникают заторы, снижается скорость и это приводит к уменьшению количества автомобилей, проходящих в единицу времени через какое-либо сечение или участок дороги.

Из основной диаграммы и уравнения транспортного потока следует очень важный для регулирования движения вывод: в тех случаях, когда возникает потребность пропустить по дороге максимально возможное количество автомобилей, необходимо установить с помощью знаков определенный режим скорости, который обеспечивает наибольшую интенсивность.

Как показывают наблюдения, при благоприятных условиях движения обычная двухполосная дорога с шириной проезжей части 7 — 7,5 м может пропустить не более 2000 автомобилей в час. Максимальная интенсивность достигается при скорости примерно 50—60 км/ч. (Лобанов Е.М., Сильянов В.В. и др. Пропускная способность автомобильных дорог).

Одной из характеристик движения является свобода обгонов в транспортном потоке. Потребность в обгонах появляется вследствие разнородности состава потока — легковые автомобили и быстроходные грузовые для поддержания желаемой скорости стремятся обогнать медленно движущиеся транспортные средства. С увеличением интенсивности движения потребность в обгонах растет, а возможности для их реализации уменьшаются, поскольку во встречном потоке становится все меньше и меньше интервалов, которые обеспечивают безопасные условия маневра. Наблюдения показывают, что обгон протекает свободно, когда во встречном потоке интервал между автомобилями имеет такую величину, которая может быть преодолена за 20 с и более. Если этот интервал оказывается менее 7 с, то обгон становится практически невозможным.

Конечно, отдельные опытные водители, управляя легковым автомобилем с хорошими динамическими качествами, могут совершить обгон и при меньших интервалах, но это сопряжено с большим риском.

В табл. 1. приведены данные, характеризующие возможности совершения обгонов на обычной дороге шириной 7 — 7,5 м при различной интенсивности движения. Как показывают расчеты, при интенсивности движения 100 авт/ч в транспортном потоке 70% всех интервалов больше 20 с, и поэтому обгоны могут происходить сравнительно свободно. При интенсивности 900 авт/ч таких интервалов остается только 4%, и это намного усложняет условия обгона. Наблюдения, проводившиеся Московским автомобильно-дорожным институтом, показывают, что обгоны уже практически не совершаются, когда суммарная интенсивность движения на дороге в обоих направлениях достигает 1500- 1800 авт/ч. Происходит это из-за уменьшения в транспортном потоке безопасных для обгона интервалов.

Распределение количества интервалов различной длительности в транспортном потоке при различной интенсивности движения

Интенсивность движения на дороге, авт/ч

Содержание

Транспортная задача. Методы решения
1. Математическая постановка транспортной задачи.
2. Определение опорного плана. Предварительные сведения
3. Метод северно-западного угла
4. Метод минимального элемента
5. Метод аппроксимации Фогеля
6. Метод потенциалов
7. Метод дифференциальных рент
Как обеспечить движение автомобилей без пробок ? Теория и практика перехода к стальным эстакадам
💥 Видео

Видео:Транспортная задача (Симплекс метод)Скачать

Транспортная задача. Методы решения

Транспортная задача, это специальный вид задачи линейного программирования. Для решения транспортной задачи можно использовать методы решения задач линейного программирования, однако ввиду специфического вида задачи, были построены алгоритмы специально для решения этой задачи. Для решения транспортной задачи в онлайн режиме с подробными пояснениями пользуйтесь калькулятором транспортная задача онлайн.

Содержание
1. Математическая постановка транспортной задачи
2. Определение опорного плана. Предварительные сведения
3. Метод северно-западного угла
4. Метод минимального элемента
5. Метод аппроксимации Фогеля
6. Метод потенциалов
7. Метод дифференциальных рент

Видео:Транспортная задача для чайников по шагам за 15 минут. Применение транспортной задачи в экономикеСкачать

1. Математическая постановка транспортной задачи.

Общая постановка транспортной задачи заключается в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из пунктов отправления A₁, A₂. A_m в пункты назначения B₁, B₂. B_n. Критерий оптимальности берется минимальная стоимость перевозки или минимальное время доставки груза.

Рассмотрим транспортную задачу, где в качестве критерия оптимальности взята минимальная стоимость перевозок всего груза. Обозначим через С_ij тарифы перевозки единицы груза из пункта отправления i в пункт назначения j. Обозначим через A_i запасы груза i-м пункте отправления, а через B_j потребности груза j-м пункте назначения, а через X_j количество единиц груза переводимого из пункта отправления i в пункт назначения j.

Тогда математическая модель транспортной задачи состоит в определении минимального значения функции

Применяя основное уравнение транспортного потока n dv

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

Поскольку удовлетворяется условия (1.2)−(1.4), то обеспечивается доставка необходимого количества груза в каждый из пунктов назначения, вывоз груза из всех пунктов отправления, а также исключаются обратные перевозки.

Определение 1. Любое неотрицательное решение X_ij=∥x_ij∥ (i=1. m; j=1. n) систем (1.2) и (1.3) называется допустимым планом транспортной задачи.

Определение 2. План при котором функция (1.1) принимает минимальное значение, называется оптимальным планом транспортной задачи.

Если сумма груза у поставщиков равно общей сумме потребностей в пунктах назначения:

(1.5)

то модель транспортной задачи называется закрытой (или сбалансированной ). Если (1.5) не удовлетворяется, то модель транспортной задачи называется открытой (или несбалансированной ).

Теорема 1. Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (1.5).

В случае превышения запаса над потребностью, т.е. при

вводится фиктивный (n+1)-ый пункт назначения с потребностью

Соответствующие тарифы считаются равными нулю: c _{i n+1}=0 (i=1. m). После этих преобразований получим закрытую модель транспортной задачи.

Аналогично, при вводится фиктивный (m+1) пункт отправления с грузом а тарифы полагаются равными нулю: c _{m+1 j} =0 (j=1. n). После этих преобразований получим закрытую модель транспортной задачи.

Мы будем рассматривать закрытую модель транспортной задачи. Если же модель транспортной задачи является открытой, то с помощью вышеизложенных преобразований строим закрытую модель транспортной задачи.

Обычно данные транспортной задачи записывают в виде таблицы:

Число переменных X_ij равно mn, где m число пунктов отправнения , а n число пунктов назначения. Число уравнений в (1.2) и (1.3) равно m+n. Так как мы рассматриваем закрытую модель транспортной задачи (выполняется равенство (1.5)), то число линейно независимых уравнений равно m+n−1. Следовательно опорный план транспортной задачи может иметь не более m+n−1 отличных от нуля неизвестных.

Если в опорном плане количество отличных от нуля компонентов равно в точности m+n−1, то опорный план называется невырожденным, а если меньше − то вырожденным.

Для решения транспортной задачи сначала определяется начальный опорный план, а затем определяется оптимальный план путем улучшения текущего опорного плана.

Для определения начального опорного плана существует несколько методов. Мы рассмоьтрим три метода. Метод северно-западного угла, метод минимального элемента и метод аппроксимации Фогеля.

Видео:А.В. Гасников. Математическое моделирование транспортных потоковСкачать

2. Определение опорного плана. Предварительные сведения

Опорный план транспортной задачи находим следующим образом. На каждом шаге в таблице условий задачи заполняем одну клетку, которая называется занятой. Обозначим через K_ij клетку, где i -номер пункта отправления (строка), j-номер пункта назначения (столбец). Клетку K_ij заполняем так, чтобы удовлетворялись полностью потребности пункта назначения j, либо обеспечивался полный вывоз груза из пункта отправления i.

В первом случае временно исключаем из рассмотрения столбец j и изменяем запас груза пункта отправления i. Во втором случае временно исключаем из рассматрения строку i и изменяем потребность груза пункта назначения j. Далее повторяем процедуру с таблицей условий с исключенной строкой или столбцом.

В m+n−1-ом шаге получаем задачу с одним пунктом отправления и одним пунктом назначения. Остается свободной одна клетка. Запасы оставшегося пункта отправления будут равны потребностям пункта назначения. Заполнив эту клетку заканчиваем m+n−1-ый шаг и получаем опорный план.

Если на некотором шаге (но не на последнем) потребности очередного пункта назначения равны запасам пункта отправления, то временно исключаем из рассмотрения либо столбец, либо строку (только одно из двух). Тогда либо запасы данного пункта отправления, либо потребности данного пункта назначения считаем равным нулю. Этот нуль при очередном шаге записываем в очередную заполняемую клетку. Данный подход обеспечивает ровно m+n−1 занятых клеток, что обеспечивает возможность проверки полученного опорного плана на оптимальность и нахождение оптимального плана.

Для нахождения опорного плана транспортной задачи в онлайн режиме тремия методами с подробными пояснениями пользуйтесь калькулятором транспортная задача онлайн.

Видео:Решение транспортной задачи закрытого типа Поиском решенийСкачать

3. Метод северно-западного угла

При нахождении опорного плана транспортной задачи методом северно-западного угла, заполнене клеток таблицы условий начинают с верхней левой клетки K₁₁ поэтому метод и называется «метод северно западного угла»).

Рассмотрим метод на конкретном примере.

Пример 1. На три базы A₁, A₂, A₃ поступил очередной груз в количествах равных 140, 160, 120 ед. Этот груз требуется перевезти в четыре пунктов назначения B₁, B₂, B₃, B₄ в количествах 150, 90, 100, 80. Тарифы перевозок представлена матрицей

Найти план перевозок даной транспортной задачи методом северно-западного угла.

Решение. Запишем все данные в таблицу условий:

Наличие груза у поставщиков равно: ∑A_i=140+160+120=420.

Общая потребность в грузе в пунктах назначения равна: ∑B_j=150+90+100+80=420.

∑A_i=∑B_j. Модель транспортной задачи является закрытой. Следовательно она разрешима.

Найдем опорный план задачи методом северно-западного угла.

A₁≤B₁. Следовательно в клетку (A₁, B₁ ) помещаем число min(A₁, B₁)=140. Запасы пункта A₁ полностью исчерпаны. Поэтому исключаем из рассмотрения строку A₁ и будем считать потребности пункта B₁ равными 150−140=10.

A₂>B₁. Следовательно в клетку (A₂, B₁) помещаем число min(A₂, B₁)=10. Потребности пункта B₁ полностью удовлетворены. Поэтому исключаем из рассмотрения столбец B₁ и будем считать запасы пункта A₂ равными 160−10=150.

Таким образом, продолжая процедуру в m+n−1-ом шаге получим:

Запишем полученный опорный план:

При этом плане стоимость перевозок вычисляется так:

Видео:Транспортная задачаСкачать

4. Метод минимального элемента

В отличие от метода северно-западного угла, в методе минимального элемента выбор пунктов отправления и пунктов назначения производится ориентируясь на тарифы перевозок, т.е. в каждом шаге нужно выбрать клетку с минимальным тарифом перевозок. Если таких клеток несколько, то выбираем один из них. Надо отметить, что при данном методе определения заполняемой клетки, стоимость перевозок как правило бывает меньше, чем при методе северно западного угла. Поэтому целесообразно начальный опорный план найти методом минимального элемента.

Рассмотрим метод минимального элемента на примере.

Пример 2. Найти опорный план транспортной задачи представленной в таблице условий ниже методом минимального элемента:

Число пунктов отправления m=3, а число пунктов назначения n=4. Следовательно опорный план задачи определяется числами, стоящими в m+n−1=3+4−1=6 заполненых клетках таблицы. Тарифы перевозок единицы груза из кажного пункта отправления во все пункты назначения задаются матрицей

Наличие груза у поставщиков равно: .

Общая потребность в грузе в пунктах назначения равна: .

Модель транспортной задачи является закрытой. Следовательно она разрешима.

Минимальный тариф равный 1 находится в клетке (A₁, B₃). Поэтому заполняем эту клетку.

A₁>B₃. Следовательно в клетку (A₁, B₃) помещаем число 70. Потребности пункта B₃ полностью удовлетворены. Поэтому исключаем из рассмотрения столбец B₃ и будем считать запасы пункта A₁ равными 150−70=80.

Минимальный тариф равный 1 находится в клетке (A₂, B₄). Поэтому заполняем эту клетку.

A₂>B₄. Следовательно в клетку (A₂, B₄) помещаем число 40. Потребности пункта B₄ полностью удовлетворены. Поэтому исключаем из рассмотрения столбец B₄ и будем считать запасы пункта A₂ равными 100−40=60.

Таким образом, продолжая процедуру в m+n−1-ом шаге получим:

Запишем полученный опорный план:

При этом плане стоимость перевозок вычисляется так:

Видео:Математическое моделирование транспортных потоков 2021. Лекция 1 Модель БэкманаСкачать

5. Метод аппроксимации Фогеля

Суть метода аппроксимации Фогеля заключается в следующем. Для каждой строки и для каждого столбца находим разности между двумя записанными в них минимальными тарифами. Полученные разности записываем в специально отведенные для этого столбце и в строке в таблице условий задачи.

Среди указанных разностей выбираем максимальную. В строке (или в столбце), которой данная разность соответствует, определяем минимальный тариф. Клетку, в которой он записан заполняем на данной итерации.

Если минимальный тариф одинаков для нескольких клеток данной строки (столбца), то для заполнения выбираем ту клетку, которая соответствует наибольшей разности между двумя минимальными тарифами в данном столбце (строке).

Применение метода аппроксимации фогеля позволяет получить либо опорный план, близкий к оптимальнму, либо сам оптимальный план.

Рассмотрим метод аппроксимации Фогеля на примере 2, рассмотренной выше.

Пример 3. Найти опорный план транспортной задачи представленной в таблице условий ниже методом аппроксимации Фогеля:

Наличие груза у поставщиков равно: .

Общая потребность в грузе в пунктах назначения равна: .

Модель транспортной задачи является закрытой. Следовательно она разрешима.

Для каждой строки A_i найдем разности между двумя минимальными тарифами, записанными в данной строке и поместим их в соответствующем дополнительном столбце.

В строке 1 минимальный тариф равен 1, а следующий за ним равен 2, разность между ними 2−1=1. В строке 2 минимальный тариф равен 1, а следующий за ним равен 3, разность между ними 3−1=2. В строке 3 минимальный тариф равен 3, а следующий за ним равен 3, разность между ними 3−3=0.

Для каждого столбца B_j найдем разности между двумя минимальными тарифами, записанными в данном столбце и поместим их в соответствующей дополнительной строке.

Вычислив все разности выберем наибольшую из них. В данном случае наибольшая разница равна 2. В этом столбце минимальный тариф равен 1 и находится в пересечении строки A ₁ и столбца B₃. Следовательно заполняем эту клетку.

A₁>B₃. Следовательно в клетку помещаем число 70. Потребности пункта B₃ полностью удовлетворены. Поэтому исключаем из рассмотрения столбец B₃ и будем считать запасы пункта A₁ равными 150−70=80.

В столбце 1 минимальный тариф равен 2, а следующий за ним равен 3, разность между ними 3−2=1. В столбце 2 минимальный тариф равен 3, а следующий за ним равен 4, разность между ними 4−3=1. В столбце 3 минимальный тариф равен 1, а следующий за ним равен 3, разность между ними 3−1=2. В столбце 4 минимальный тариф равен 1, а следующий за ним равен 2, разность между ними 2−1=1. В строке 1 минимальный тариф равен 2, а следующий за ним равен 2, разность между ними 2−2=0. В строке 2 минимальный тариф равен 1, а следующий за ним равен 3, разность между ними 3−1=2. В строке 3 минимальный тариф равен 3, а следующий за ним равен 4, разность между ними 4−3=1.

Вычислив все разности выберем наибольшую из них. В данном случае наибольшая разница равна 2. В этой строке минимальный тариф равен 1 и находится в пересечении строки A₂ и столбца B₄. Следовательно заполняем эту клетку.

A₂>B₄. Следовательно в клетку помещаем число 40. Потребности пункта B₄ полностью удовлетворены. Поэтому исключаем из рассмотрения столбец B₄ и будем считать запасы пункта A₂ равными 100−40=60.

Таким образом, продолжая процедуру в m+n−1-ом шаге получим:

Запишем полученный опорный план:

При этом плане стоимость перевозок вычисляется так:

Для определения оптимального плана транспортной задачи разработано нескольно методов. Мы расмотрим метод потенциалов и метод дифференциальных рент.

Видео:Транспортная задача (закрытая, с циклом). Метод потенциалов - подробно и понятноСкачать

6. Метод потенциалов

Процедура нахождения оптимального плана транспортной задачи имеет два этапа. На первом этапе находят опорной план транспортной задачи. Далее последовательно улучшают найденный опорный план до получения оптимального плана.

Для онлайн решения задачи методом потенциалов пользуйтель калькулятором транспортная задача онлайн.

При применении этих методов получаем m+n−1 занятых клеток в исходном плане. Отметим, что в некоторых клетках могут стоять нули. Полученный план следует проверить на оптимальность.

Теорема. Если для некоторого опорного плана (i=1. m; j=1. n) транспортной задачи существуют такие числа α₁, α₁, . α_m, β₁, β₂, . β_n, что

для всех i=1. m; j=1. n, то − оптимальный план транспортной задачи.

Определение 6.1. Числа α_i и β_j (i=1. m; j=1. n) называются потенциалами пунктов отправления и пунктов назначения, соответственно.

Вышеизложенная теорема позволяет построить алгоритм нахождения оптимального плана транспортной задачи.

Алгоритм состоит в следующем. Предположим, что одним из рассмотренных выше методов найден опорный план транспортной задачи. Для каждого из пунктов отправления и назначения определяют потенциалы α_i и β_j (i=1. m; j=1. n) из системы уравнений

(6.1)

где с_ij − тарифы транспортной задачи в заполненных клетках.

Так как число заполненных клеток равно m+n−1, то система (6.1) с m+n неизвестными содержит m+n−1 уравнений. Для решения данной задачи одно из неизвестных можно сделать равным нулю и найти остальные неизвестные. После этого, для свободных клеток определяем числа

Если среди чисел α_ij нет положительных, то найденный опорный план является оптимальным. Если же для некоторой свободной клетки α_ij>0, то данный опорный план не является оптимальным и необходимо перейти к новому опорному плану. Для этого рассматривают все свободные клетки, для которых α_ij>0 и среди данных чисел выбирают максимальное. Клетку с данным числом следует заполнить.

Надо учитывать, что при заполнении данной клетки необходимо изменить объем поставок в нескольких других клетках.

Определение 6.2. Циклом в таблице условий транспортной задачи называется ломанная линия, вершины которой расположены в занятых клетках таблицы, а звеня расположены вдоль строк и столбцов. В каждой вершине цикла встречается два звена, одно из которых находится в строке, а другой в столбце.

Если ломаннная линия, образующая цикл, самопересекается, то место пересечения не является вершиной. Некоторые циклы представлены на рисунке Рис.6.1.

При правильном строении опорного плана для любой свободной клетки можно построить только один цикл. После построения цикла следует перейти к новому опорному плану. Для этого в каждой из клеток, находящихся на вершине цикла записывают определенный знак «+» или «−» . В свободной клетке записывают знак «+» и поочередно проходя по циклу записывают знаки «−» и «+». Назовем клетки с записанными в них знаками плюсовыми и минусовыми.

Далее в свободную клетку переносят меньшее из чисел x_ij, находящихся в минусовых клетках. Это число прибавляют к числам, стоящим в плюсовых клетках а вычисляют из чисел, стоящих в минусовых клетках. Клетка, которая была свободной, становится занятой, а минусовая клетка с минимальным из чисел x_ij, находящихся в минусовых клетках считается свободным.

В результате вышеуказанных перемещений груза по циклу, получим новый опорный план транспортной задачи. Описанный переход от одного опорного плана транспортной задачи к другому опорному плану называется сдвигом по циклу пересчета .

При сдвиге по циклу пересчета число занятых клеток не изменяется и равно m+n−1. Если в минусовых клетках имеется два и более одинаковых минимальных числа x_ij, то освобождают только одину, о остальные оставляют занятыми с нулевыми значениями.

Далее полученный опорный план проверяют на оптимальность. Для этого определяют потенциалы пунктов отправления и назначения и находят числа α_ij=β_j−α_i−c_ij для всех свободных клеток. Если среди них не окажется положительный, то получен оптимальный план. Если же среди них есть положительный, то нужно перейти к новому опорному плану. После конечнего числа шагов получяют оптимальный план.

Таким образом алгоритм нахождения оптимального плана содержит следующие этапы:

1. Нахождение опорного плана. При этом число заполненных клеток должно быть равным m+n−1.

2. Нахождение потенциалов α_i и β_j (i=1. m; j=1. n) пунктов отправления и назначения соответственно.

3. Определение числа α_ij для каждой свободной клетки. Если среди α_ij нет положительных, то получен оптимальный план транспортной задачи. Если же они имеются, то делается переход к новому опорному плану.

4. Выбор максимального среди положительных чисел α_ij . Определение свободной клетки, которую нужно заполнить. Построение цикла пересчета для выбранной свободной клетки. Сдвиг по циклу пересчета.

5. Проверка полученного опорного плана на оптимальность, т.е. переход к пункту 2.

Отметим, что в некотором шаге опорный план может стать вырожденным. Чтобы избежать зацикливания следует преобразовать вырожденный план в невыроженный путем замены соответствующий нулевых элементов опорного плана на сколь угодно малыми положительными числами δ и решить задачу. После решения, в оптимальном плане нужно заменить δ нулем.

Рассмотрим метод потенциалов на примере.

Пример 6.1. Решить транспортную задачу, заданную в таблице условий методом потенциалов:

Решение. Найдем сначала опорный план с помощью одного из методов описанного выше. Пусть это будет метод минимального элемента. Тогда после m+n−1 шагов получим следующую таблицу с опорным планом:

Опорный план имеет следующий вид:

При этом плане стоимость перевозок вычисляется так:

Проверяем полученный опорный план на оптимальность. Для этого находим потенциалы пунктов отправления и назначения. Для заполненных клеток составляем систему из 6 уравнений с 7 неизвестными:

Полученные числа заключаем в рамки и записываем их в соотвестствующие клетки таблицы:

Среди чисел α_ij есть положительные. Следовательно данный опорный план не является оптимальным. Наибольшее положительное число 2 находится в пересечении строки A₁ и столбца B₂. Для данной свободной клетки строим цикл пересчета. Для этого вставим в эту клетку знак «+» а остальные клетки цикла поочередно знаки «−» и «+».

Наименьшее из чисел в минусовых клетках равно 80. Клетка, в которой находится это число становится свободной. В новой таблице другие числа получаются так. Числам, находящимся в плюсовых клетках добавляется 80, а из чисел, находящихся в минусовых клентках вычитается это число.

Опорный план имеет следующий вид:

При этом плане стоимость перевозок вычисляется так:

Полученные числа заключаем в рамки и записываем их в соотвестствующие клетки таблицы:

Среди чисел α_ij есть положительные. Следовательно данный опорный план не является оптимальным. Наибольшее положительное число 2 находится в пересечении строки A₂ и столбца B₂. Для данной свободной клетки строим цикл пересчета. Для этого вставим в эту клетку знак «+» а остальные клетки цикла поочередно знаки «−» и «+».

Наименьшее из чисел в минусовых клетках равно 20. Клетка, в которой находится это число становится свободной. В новой таблице другие числа получаются так. Числам, находящимся в плюсовых клетках добавляется 20, а из чисел, находящихся в минусовых клентках вычитается это число.

Опорный план имеет следующий вид:

При этом плане стоимость перевозок вычисляется так:

Среди чисел α_ij нет положительных. Следовательно данный опорный план является оптимальным.

Ответ. Оптимальный план имеет следующий вид:

При этом плане стоимость перевозок вычисляется так:

Видео:Лекция 1 В.И. Швецова "Введение в прогнозирование транспортных потоков"Скачать

7. Метод дифференциальных рент

При нахождении решения транспортной задачи методом дифференциальных рент сначала распределяем часть груза наилучшим образом между пунктами назначения и получаем так называемое условно оптимальное распеделение . На последующих итерациях уменьшаем общий объем нераспределенных поставок. Для решения транспортной задачи методом дифференциальных рент в онлайн режиме с подробными пояснениями пользуйтесь калькулятором метод дифференциальных рент онлайн.

Начальное распределение груза определяется следующим образом. Для каждого столбца определяем минимальный тариф и заключаем в квадрат. Клетки с тарифами в квадратах заполняем максимально возможными числами. В результате получим некоторое распределение поставок груза в пункты назначения. Это распределение в общем случае не удовлетворяет ограничениям транспортной задачи. Далее шаг за шагом нужно постепенно сокращать нераспределенные поставки груза так, чтобы общая стоимисть перевозки оставалась минимальным. Для этого определяем избыточные и недостаточные строки.

Определение 7.1. Строки, соответствующие пунктом отправления, запасы которых полностью распределены а среди пунктов назначения, связанные с этим распределением есть неудовлетворенные потребности называются недостаточными или отрицательными .

Определение 7.2. Строки, запасы которых не распределены полностью называются избыточными или положительными .

После определения недостаточных и избыточных строк, в дополнительном столбце записываем величину избытка или недостатка. Избыток записывается со знаком «+», а недостаток со знаком «-«.

В случае избытка для данной строки в дополнительном столбце записываем разность между запасом груза данного пункта отправления и суммой всех поставок данной строки. Если же данная строка недостаточная, то определяем общий объем поставок, которая недостает для удовлетворения всех потребностей пунктов назначения, связанных с данным распределением груза.

После определения избыточных и недостаточных строк, для каждого столбца находим разности между числом в квадрате и ближащим к нему тарифом, записанным в избыточной строке. Если число в квадрате стоит в избыточной строке, то разность не определяем. Все разности записываем в дополнительной строке. Среди этих разностей находим наимельшее. Это число называется промежуточной рентой . Далее переходим к новой таблице. Эта таблица получается из предыдущей таблицы прибавлением промежуточной ренты к соответствующим тарифам, стоящим в недостаточных строках. Остальные элементы оставляем прежними. Все клетки новой таблицы считем свободными и начинаем их заполнять. В новой таблице число заполненных клеток на одну больше, чем в предыдущей таблице. Эта клетка находится в столбце с промежуточной рентой.

Так как число заполненных клеток больше, чем столбцов, то при заполнении следует соблюдать специальное правило, которое состоит в следующем.

Выбираем некоторый столбец (строку), в котором имеется одна клетка с помещенным в ней квадратом. Эту клетку заполняем и исключаем из рассмотрения данный столбец (строку). После этого берем некоторую строку (столбец), в котором имеется одна клетка с помещенным в ней квадратом. Эту клетку заполняем и исключаем из рассмотрения данную строку (столбец). Продолжая так, после конечного числа шагов заполняем все клетки, в которых помещены квадраты с записанными в них числами.

Если удается распределить весь груз в пунктах отправления между пунктами назначения, то получаем оптимальный план. В противном случае переходим к новой таблице. Для этого находим извыточные и недостаточные строки, прмежуточную ренту и на основе этого строим новую таблицу.

При определении избыточности или недостаточности строк могут возникнуть трудности когда ее нераспределенный остаток равен нулю. Этот вопрос мы рассмотрим ниже на конкретном примере.

После конечного числа итераций распределенный остаток станет равным нулю. В результате получим оптимальный план данной транспортной задачи.

Пример. Найти решение транспортной задачи представленной в таблице условий методом дифференциальных рент:

Решение. Число пунктов отправления m=3, а число пунктов назначения n=4. Следовательно опорный план задачи определяется числами, стоящими в m+n−1=3+4−1=6 заполненых клетках таблицы. Тарифы перевозок единицы груза из каждого пункта отправления во все пункты назначения задаются матрицей

Наличие груза у поставщиков равно:

Общая потребность в грузе в пунктах назначения равна:

. Модель транспортной задачи является закрытой. Следовательно она разрешима.

Найдем оптимальный план транспортной задачи методом дифференциальных рент.

В каждом из столбцов таблицы находим минимальные тарифы и заключаем в рамки. Если в каком-либо столбце окажется несколько одинаковых минимальных тарифов, то выбираем какой-нибудь из них, причем неважно какой. Заполняем клетки, в которых стоят указанные числа. Сначала находим те столбцы (строки) в которых есть только одна клетка для заполнения. Заполнив ее, исключаем из рассмотрения данный столбец (строку) и переходим к заполнению следующей клетки.

В результате заполнения отмеченных клеток получен условно оптимальный план.

После получения условно оптимального плана определяем избыточные и недостаточные строки. Строка A₁ является недостаточной, поскольку запасы пункта отправления A₁ распределены полностью, а потребности пункта назначения B₁ удовлетворены частично. При этом величина недостатка равна 20. Строка A₃ является недостаточной, поскольку запасы пункта отправления A₃ распределены полностью, а потребности пункта назначения B₂ удовлетворены частично. При этом величина недостатка равна 20. Строка A₂ является избыточным, поскольку запасы пункта отправления A₂ распределены не полностью. При этом величина избытка этой строки равна 40.

Нераспределенный остаток равен 40. Суммарный объем поставок равен 150.

После определения избыточных и недостаточных строк, по каждому из столбцов находим разности между минимальными тарифами, записанными в избыточных строках, и тарифами, стоящими в заполненных клетках.

В столбце 1 минимальный тариф в избыточных строках равно 4 а число стоящее в рамке равно 2. Cледовательно, разность для данного столбца равна 4−2=2. В столбце 2 минимальный тариф в избыточных строках равно 3 а число стоящее в рамке равно 2. Cледовательно, разность для данного столбца равна 3−2=1. Для столбца 3 разность не определена, так как число, записанное в рамке в данном столбце находится в положительной строке. Для столбца 4 разность не определена, так как число, записанное в рамке в данном столбце находится в положительной строке.

Избыточные и недостаточные оценки помещаем в дополнительный столбец, а разности в дополнительную строку:

Выбираем наименьшую из найденных разностей, которая является промежуточной рентой. В данном случае промежуточная рента равна 1 и находится в столбце B2. Далее переходим к следующей таблице. В этой таблице в строках (являющихся избыточными) переписываем соответствующие тарифы из предыдущей таблицы, а тарифы недостаточных строках получаются в результате прибавления к ним величину промежуточной ренты, т.е. 1.

В каждом из столбцов таблицы находим минимальные тарифы и заключаем в рамки. Заполняем клетки, в которых стоят указанные числа. Сначала находим те столбцы (строки) в которых есть только одна клетка для заполнения. Заполнив ее, исключаем из рассмотрения данный столбец (строку) и переходим к заполнению следующей клетки.

В результате заполнения отмеченных клеток получен условно оптимальный план.

Нераспределенный остаток равен 20. Суммарный объем поставок равен 170.

Избыточные и недостаточные оценки помещаем в дополнительный столбец.

Определяем положительность или отрицательность нулевой строки A2. Для этого запасы этой строки увеличиваем на 1 и снова заполняем таблицу. Если суммарный объем поставок не изменится, то строка положительная, в противном случае − отрицательная.

Суммарный объем поставок не изменился (170). Следовательно строка A₂ избыточна (положительна).

В столбце 1 минимальный тариф в избыточных строках равно 4 а число стоящее в рамке равно 3. Cледовательно, разность для данного столбца равна 4−3=1. Для столбца 2 разность не определена, так как число, записанное в рамке в данном столбце находится в положительной строке. Для столбца 3 разность не определена, так как число, записанное в рамке в данном столбце находится в положительной строке. Для столбца 4 разность не определена, так как число, записанное в рамке в данном столбце находится в положительной строке.

Выбираем наименьшую из найденных разностей, которая является промежуточной рентой. В данном случае промежуточная рента равна 1 и находится в столбце B1. Далее переходим к следующей таблице. В этой таблице в строках (являющихся избыточными) переписываем соответствующие тарифы из предыдущей таблицы, а тарифы недостаточных строках получаются в результате прибавления к ним величину промежуточной ренты, т.е. 1.

В результате заполнения отмеченных клеток получен условно оптимальный план. После получения условно оптимального плана определяем избыточные и недостаточные строки.

Посмотрев на таблицу выше мы видим, что избыточных и недостаточных строк нет. Нераспределенный остаток равен 0. Суммарный объем поставок равен 190. Все имеющие запасы распределены в соответствии фактическими потребностями пунктов назначения. Следовательно получен оптимальный план.

Оптимальный план имеет следующий вид:

При этом плане стоимость перевозок вычисляется так:

Видео:РАСПОЛОЖЕНИЕ ТРАНСПОРТНЫХ СРЕДСТВ НА ПРОЕЗЖЕЙ ЧАСТИСкачать

Как обеспечить движение автомобилей без пробок ? Теория и практика перехода к стальным эстакадам

Автор: Низовцев Ю. М., , физик и системный аналитик, работал, в « Курчатовском институте» и ряде оборонных предприятий.

Статья написана по итогам нескольких книг по проблемам организации транспортных потоков, причем соавтор этих публикаций Макаров Юрий Федорович, внес основной вклад в решение данной проблемы. Мэрия Москвы из этого исследования извлекла только введение выделенных полос. Публикация статьи на экологическом ресурсе нашего журнала не случайна — с точки зрения экологии строительство эстакад не разделяет пространство непроходимым барьером, что позволяет сохранять пути миграции животных, а с точки зрения чистоты воздуха обеспечение непрерывного движения снижает загазованность, кроме того металлические эстакады значительно легче реконструировать и рекультивировать землю после их переноса, чем аналогичные бетонные строения, которые строятся практически навсегда.

Несмотря на высокую стоимость работ по регулированию движения на магистралях, проблема возникновения пробок и заторов на них остается не решенной, что подтверждает ежедневная практика автомобильного движения. Применяемые методы регулирования транспортных потоков на городских магистралях в условиях существенного повышения плотности движения, вызванного значительным приростом числа автомобилей, перестали быть эффективными.

В теории, рассматривающей движение транспортных потоков, до сего времени используется гидродинамическая аналогия – модель Лайтхилла-Уизема. В своей классической работе (Lighthill M. J., Whitham G. B., Proc. R. Soc. A 229, 317 (1955 )) они писали: « …Основная гипотеза теории состоит в том, что в любой точке дороги поток ( автомобилей в час) есть функция плотности ( автомобили на милю)…». « На основе этого и еще ряда допущений и последующего обобщения было получено уравнение Бюргерса, которое можно рассматривать как скалярное одномерное уравнение Навье-Стокса для несжимаемой жидкости с единичной плотностью», отмечает Семенов В. В. [9].

Один из представителей отечественной науки о транспортных потоках Афанасьев М. Б. также пишет: « …движение плотного транспортного потока по улице или дороге напоминает движение воды в канале… канал определенного сечения может пропустить вполне определенное количество воды в единицу времени. Если мы хотим пропустить через канал большее количество воды, то должны увеличить его сечение. Нечто подобное происходит и с транспортным потоком, движущимся по своему каналу — улице или дороге. Проезжая часть определенной ширины может пропустить вполне определенное количество автомобилей, и если мы хотим увеличить ее пропускную способность, то должны расширить дорогу… Эта аналогия дала специалистам основание применить для изучения закономерностей транспортных потоков законы движения жидкости. Такая модель, правда, с определенными ограничениями позволяет проводить важные исследования и решать ряд практических вопросов по регулированию движения.» [1].

Однако модель « жидкости на дороге» имеет границы – она применима до определенных скоростей и плотностей. Затем происходит « фазовый переход», и эта модель перестает работать. Приходится использовать еще две модели – свободный поток и перемещающиеся пробки. Возникает вопрос: « Какие параметры определяют эти фазовые переходы?». Например, для понятия « агрегатное состояние вещества» определяющим параметром является температура. Для гидродинамических переходов – скорость потока и т.п. Для транспортных потоков этот вопрос остается открытым [2].

Ученые Национального исследовательского центра Лос-Аламоса (Los Alamos National Lab. – LANL) выделяют следующие устойчивые состояния ( паттерны) транспортного потока:

Стадия 1. Пока дорога не загружена, автомобилисты движутся на удобной им скорости, свободно переходя на соседние полосы движения. На этой стадии автомобили сопоставимы с потоком частиц, имеющих большую свободу в своем перемещении.

Стадия 2. Как только дорога становится переполненной, автомобилисты внезапно теряют большую часть свободы перемещения и вынуждены двигаться уже как часть всеобщего транспортного потока, согласовывая с ним свою скорость. При этом они уже не имеют возможности свободно менять полосу движения. Эта стадия, подобная потоку воды, называется « синхронизированным» потоком.

Стадия 3. При очень большом числе автомобилей в потоке движение приобретает прерывистый характер ( режим «stop -and-go»). На этой стадии транспортный поток можно уподобить потоку замерзающей воды, автомобили становятся на какой-то промежуток времени как бы « приклеенными» к одному месту дороги.

Таким образом, в теории транспортных потоков последний рассматривается как поток жидкости или газа. Поэтому понятие « фазового перехода» в транспортном потоке введено по аналогии с фазовыми переходами в жидкостях – превращение пара в воду или воды в лед.

Сотрудник ИПМ им. М.В. Келдыша РАН Семенов В. В. поясняет: « Известно также следующее: объяснения момента и динамики смены фазы в транспортном потоке, так же как и с фазовыми переходами в природе, на сегодняшний день пока нет. Иными словами, фазовые переходы – это внезапные качественные скачкообразные изменения в скорости и плотности транспортных единиц в потоке. Эти изменения возникают локально и распространяются волнообразно по потоку. В результате поток превращается в “желе“. Такое состояние может сохранять достаточно долго, час или два. Возникает оно чаще у въездов-съездов на автострадах. Эти явления не описываются ни одной из существующих математических моделей, а только лишь реалистично воспроизводится на имитационных моделях клеточных автоматов. Механизм фазовых переходов, если они существуют в реальности, а не просто являются красивой классификацией, до сих пор не понятен» [2].

Таким образом, методы регулирования транспортных потоков ориентируются на установление определенного порядка в рамках складывающихся на магистралях дорожных ситуаций с целью улучшения этих ситуаций. И этот порядок основывается на гидродинамической модели транспортного потока, которая, как было отмечено выше, не является адекватной для всех дорожных ситуаций и, в частности, не работает при уплотнении транспортного потока. Как результат, непреходящие пробки на магистралях больших городов.

В рамках предложенного нами подхода решение проблемы пробок рассматривается в иной плоскости – в плоскости сохранения, точнее, формирования и сохранения режима транспортного потока, соответствующего указанной выше стадии 1, то есть стадии свободного потока. Определенный тип регулирования транспортных потоков может сформировать такую транспортную ситуацию, при которой уплотнение транспортного потока и образование заторов и пробок в силу этого уплотнения не возникает. То есть предлагается блокировка перехода стадии 1 к стадиям 2 и 3. Иначе говоря, предлагается формировать и сохранять режим дорожного движения на магистрали, при котором автомобилисты движутся на скорости, удобной для перехода на соседние полосы движения, то есть все время удерживать такую плотность транспортного потока, при которой автомобили располагаются при движении достаточно далеко друг от друга и обеспечены пространством для маневра.

Конечно, существуют и другие причины для образования пробок, например, авария, в результате которой образуется сужение трассы, что также приводит к образованию пробки.

Тем не менее, и эта проблема так же является вполне решаемой в рамках предлагаемой нами новой методики регулирования, так как введение резервно-технической ( буферной) полосы только для въезда-съезда автомобилей позволит использовать ее и для объезда мест аварий во многих случаях, поскольку аварии крайне редко перекрывают все полосы трассы.

Вернемся, однако, к предлагаемым конкретным методам регулирования транспортных потоков, с помощью которых формируется такая транспортная ситуация, при которой уплотнение транспортного потока и образование пробок в силу этого уплотнения не возникает.

Формировать и удерживать благоприятный режим движения на магистрали, или стадию 1 свободного потока возможно при определенной доработке на основе уже несколько десятков лет известной методики ramp metering [3], в соответствии с которой при чрезмерном уплотнении движения на отдельном участке дороги производится теми или иными способами ограничение въезда на этот участок автомобилей.

Предложенная нами модификация этой методики сводится к следующему. На всех въездах на магистраль устанавливаются светофоры, управляемые автоматическими контроллерами по программе, которая разрешает въезд только при интегральной скорости транспортного потока, например, в интервале 40-100 км/час, данные о скорости транспортного потока постоянно поступают на контроллер, например, с установленных здесь же радаров. Сразу же при выходе скорости транспортного потока за нижний предел, контроллер дает команду на включение запрещающего въезд на магистраль сигнала светофора. Сигнал светофора переключается на разрешающий только при наборе транспортным потоком достаточной скорости, близкой к верхнему пределу, например, 90 км/час ( в зависимости от расположения трассы и времени эти интервалы могут быть различными, например, 30 – 70 км/час, 60 – 100 км/час). Этим самым в указанные выше стадии 2 ( синхронизированный поток) и 3 ( режим «stop -and-go») основной транспортный поток на магистрали не попадает и возникновение пробок в зависимости от уплотнения потока и соответствующего падения его скорости не происходит [4].

Предложенный подход вместе с тем позволяет за счет выбранного интервала скоростей достигнуть, как это будет показано ниже, максимально возможной в данных условиях пропускной способности каждой полосы движения вместе с возможностью для каждого автомобиля менять полосы движения, что в условиях, например, часто расположенных въездов на магистраль и съездов с нее в городе, является необходимостью.

Дополнительно к этому смежная с въездными и съездными участками магистрали полоса резервируется как буферная, то есть используется только для въезда и съезда автомобилей, а также для объезда мест аварий или ремонта. Это решение позволяет, по крайней мере, снизить вероятность образования пробок из-за аварий до минимального предела, а также избежать пробок на магистрали у мест съезда автомобилей с нее, так как автомобили перед съездом с магистрали заранее переезжают на эту резервно-техническую полосу и не создают помех другим автомобилям на действующих полосах движения [4].

Приведем выдержку из статьи Афанасьева М.Б « Транспортный поток», чтобы показать очевидную неадекватность традиционного гидродинамического подхода для уплотненного движения транспортных потоков.

« …Отметим, что в соответствии с традиционной теорией транспортных потоков, ориентированной на гидродинамическую модель, транспортный поток можно характеризовать тремя основными параметрами: интенсивностью N, средней скоростью V и плотностью D. Эти параметры связаны основным уравнением транспортного потока: N = DV.

Графически это уравнение представляет собой основную диаграмму транспортного потока, общий вид которой представляет собой горб с левым более крутым скатом и правым – более пологим скатом.

Рис. 1. Основная диаграмма транспортного потока.

Пользуясь уравнением и диаграммой, можно определять характеристики транспортного потока.

Здесь средняя скорость выражается через тангенс угла наклона прямой, соединяющей начало координат с точкой, координаты которой характеризуют определенную интенсивность и плотность (N /D). Максимально возможная при данных условиях интенсивность движения, как это следует из диаграммы, достигается при определенной плотности транспортного потока – верхняя точка горба — ( точка A на диаграмме) и называется пропускной способностью полосы движения или дороги в целом. Характерно, что при плотности потока, большей, чем в точке A, интенсивность движения снижается. Объясняется это тем, что при большой плотности движения, часто возникают заторы, снижается скорость и это приводит к уменьшению количества автомобилей, проходящих в единицу времени через какое-либо сечение или участок дороги. Из основной диаграммы и уравнения транспортного потока следует очень важный для регулирования движения вывод: в тех случаях, когда возникает потребность пропустить по дороге максимально возможное количество автомобилей, необходимо установить с помощью знаков определенный режим скорости, который обеспечивает наибольшую интенсивность» [1].

Однако, из-за того, что гидродинамическая модель неприменима для движения транспортных потоков высокой плотности, используемые общие понятия, определения и уравнения, приведенные выше, не могут адекватно описывать и объяснять все ситуации в транспортных потоках.

В связи с этим пришлось ввести, на наш взгляд, более адекватную модель движения транспортного потока, которую и приведем ниже.

Рассмотрим процесс формирования транспортных потоков на магистралях без светофоров ( без регулируемых перекрестков) [4].

Водитель, двигаясь с определенной скоростью по полосе движения, соблюдает дистанцию безопасности. Ее протяженность зависит от скорости движения и определяется из следующего соотношения:

lдб = τз • v + v²/50, ( последний показатель учитывает разброс тормозных систем автомобилей)

где τз – время задержки, то есть время реакции водителя на изменение окружающей обстановки; v – скорость автомобиля.

Если окружающая обстановка для водителя является стабильной и не беспокоит его, то, как показывает опыт, в среднем τз составляет около 0,5 сек, что характерно при стабильном движении автомобилей по выбранным ими полосам движения значительное время, например, на междугородних магистралях-хайвеях со скоростью до 100 км/час.

При снижении скорости за предел в 30 км/час, например, при повышении плотности транспортного потока, автомобили сближаются, появляется своего рода теснота, которая увеличивается с уменьшением скорости. Обстановка на дороге становится более сложной и время задержки увеличивается. Опыт показывает, что в этом случае τз увеличивается до 1 сек.

При высоких скоростях движения, начиная от 90-100 км/час, напряжение водителя также увеличивается, так как опасность возрастает, и τз снова увеличивается до 1 сек.

Однако время задержки 0,5 секунды сохраняется при скоростях автомобиля от 30км/час до 90-100 км/час только при стабильном движении автомобилей, без « перемешивания» потока, то есть без частых смен автомобилями полос движения. А это « перемешивание», как правило, происходит в городских условиях при наличии регулярно расположенных, частых въездов на магистраль и частых съездов с нее. Характерным примером этого является « Третье транспортное кольцо» ( ТТК) Москвы. В этом случае ситуация для водителя является сложной постоянно и время задержки составляет около 1 секунды.

Время реакции водителя τз, конечно, зависит от опытности и квалификации водителя, но в среднем оно таково.

Показатель v²/50 учитывает разброс тормозных систем автомобилей.

Тормозной путь автомобиля sт = v²/2a, где а – отрицательное ускорение в м/сек². По техническим требованиям для современных транспортных средств, а должно быть не меньше 5 м/сек². Допустимый разброс имеет порядок 10%. Возьмем в качестве примера худший вариант – автомобиль, идущий впереди, отрегулирован при торможении на а = 5,5 м/сек², а следующий за ним автомобиль отрегулирован на а = 4,5 м/сек². Тогда, если один автомобиль, идущий со скоростью 25 м/сек, пройдет при торможении v²/2а = 625/9, другой автомобиль пройдет путь v²/2а = 625/11. Разность этих двух отрезков будет такова: Δs = v²/9 — v²/11= (11v ² — 9 v²)/99 = 2v²/99

v²/50 ( м). Или Δs = v²/2а1 — v²/2а2 = v² ( а2 — а1)/ 2а1∙ а2. При а1 = 4,5м/сек² и а2 = 5,5м/сек² Δs = v² (5 ,5 — 4,5)/2•24,75 = v²/49,5 ≈ v²/50 ( м).

Например, при v = 25м/сек (90 км/час) и τз = 0,5 сек дистанция безопасности lдб = 0,5•25 + 25²/50 = 12,5 + 12,5 = 25м, а при τз = 1 сек lдб = 37,5м.

Введем понятие динамической длины транспортного средства lд. Динамическая длина является суммой средней физической длины автомобиля ls и дистанции безопасности lдб:

В среднем физическая длина автомобиля ls составляет 5 метров. Таким образом, динамическая длина lд – это участок дорожного полотна, который занимает автомобиль с учетом дистанции безопасности lдб.

Отношение скорости движения автомобиля к динамической длине (v /lд) является максимальной пропускной способностью полосы движения N.

Например, пусть пять автомобилей движутся друг за другом на скорости 90км/час (25 м/сек), а время задержки τз составляет 1 сек. Они занимают 212,5 метров полосы движения (5 авт. х 42,5 м). При указанной скорости расстояние в 212,5 метров будет пройдено за 8,5 секунды, то есть за 8,5 секунды пройдут все пять автомобилей. Таким образом, каждый автомобиль проходит lд (42 ,5м) за 1,82 сек. За одну секунду автомобиль пройдет 23,3 метра, или округленно 5/9 lд.

За один час пропускная способность полосы движения N при данной скорости и времени задержки для водителя с τз = 1 сек составит: 5/9 х 3600сек = 2000 автомобилей в час.

При снижении скорости будет меняться динамическая длина и пропускная способность полосы движения. Например, если автомобили движутся со скоростью 7,2 км/час (2 м/сек) дистанция безопасности lдб составляет около 2,1 метра, то есть при времени задержки τз = 1 сек расстояние между автомобилями составляет чуть больше 2 метров, динамическая длина lд – около 7 метров, а пропускная способность N = 2/7

0,3 авт/сек, то есть она сократилась примерно в два раза – с 5/9авт/сек до 3/10авт/сек.

Указанный выше расчет пропускной способности при скорости 90 км/час дан для условий движения на городских магистралях, где практически непрерывно производятся съезды автомобилей с магистрали или въезды на нее с многочисленных городских улиц, что предполагает практически непрерывное маневрирование автомобилей для изменения полос движения при подготовке к съезду с магистрали или после въезда на нее и соответствующее напряжение водителя. То же самое характерно для городских магистралей-эстакад с их частыми въездами, съездами и переездами между этажами. В результате, в этих случаях и в интервале скоростей от 30 км/час до 100км/час время реакции водителя на изменение ситуации, или время задержки составляет так же, как и вне этого интервала, порядка 1 секунды, то есть является повышенным.

Введем также понятие плотности транспортного потока d, которая равна отношению физической длины автомобиля к динамической длине автомобиля: d = ls/lд.

Данное выражение отражает степень заполнения автомобилями полосы движения ( в процентах) с учетом как средней физической длины автомобилей, так дистанции безопасности между ними, определяющейся в значительной степени скоростью движения автомобиля, что, на наш взгляд, является более точным, чем принятое в теории транспортных потоков выражение плотности транспортного потока через число автомобилей на единицу ( километр) длины, которое явным образом не учитывает зависимость формирующегося между автомобилями расстояния от скорости их движения.

Из выражения d = ls/lд ( см. табл. ниже) сразу же выявляется степень разреженности автомобильного потока при различных скоростях движения при фиксированном времени задержки для водителя. Видно и соотношение занятой физически автомобилями полосы движения и промежутков между автомобилями. Например, при замедленном движении в заторах корпуса автомобилей занимают до двух третей каждой полосы движения ( дорога забита автомобилями), а при скоростях автомобилей выше 100 км/час корпуса автомобилей занимают менее десятой части дорожного полотна.

Для иллюстрации приведем таблицу, в которой показана в которой показана зависимость динамической длины lд, пропускной способности полосы движения N и плотности транспортного потока от скорости движения автомобиля V в интервале скоростей от 2 м/сек (7 ,2км/час) до 45 м/сек (162 км/час) для городских условий, то есть при τз = 1 сек на магистралях.