Применение уравнений лагранжа 2 рода (5 видео)

iSopromat.ru

Уравнения Лагранжа второго рода, которые представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат.

Для такой системы можно записать s уравнений, которые называются уравнениями Лагранжа второго рода или дифференциальными уравнениями движения в обобщенных координатах:

Уравнения Лагранжа второго рода могут быть обобщены на случай связей, осуществляемых с трением, хотя они и не являются идеальными. Для этого следует силу трения перенести из группы сил реакции в группу активных сил, тогда связь с трением можно формально считать идеальной.

Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат q₁, q₂,…q_s.

Дважды интегрируя эти уравнения и определяя по начальным условиям постоянные интегрирования, получим систему уравнений движения в обобщенных координатах:

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Содержание

Применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы
Ростовский государственный университет
П. Г. Иваночкин, Т. Я. Кожевникова, А. П. Сычев
Оформление отчета
Порядок приема и сдачи индивидуального задания
Краткие сведения из теории к заданию
Уравнения Лагранжа второго рода
🔍 Видео

Видео:Т. Уравнения Лагранжа 2 рода. Теория.Скачать

Применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы

МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Видео:Уравнения Лагранжа второго родаСкачать

Ростовский государственный университет

Видео:Уравнения Лагранжа второго рода. Задача 1Скачать

П. Г. Иваночкин, Т. Я. Кожевникова, А. П. Сычев

Применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы

Методические указания к выполнению

расчетно-графической работы Д7 по теоретической механике

Применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы. Методические указания к выполнению расчетно-графической работы Д-7 по теоретической механике /П. Г. Иваночкин, Т. Я. Кожевникова, А. П. Сычев; Ростовский госуниверситет путей сообщения. Ростов-на-Дону, 2000, 19 с.

Кратко излагается теоретический материал, приводятся примеры решения типовых задач. Даны варианты к расчетно-графической работе Д7.

Одобрены к изданию кафедрой теоретической механики РГУПС и предназначены студентам механических специальностей.

Ил. 2 Библиогр.: 4 назв.

Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доц. А. И. Задорожный (РГУ); канд. техн. наук, доц. В. Г. Вильданов (РГУПС)

Иваночкин Павел Григорьевич

Сычев Александр Павлович

Методические указания к выполнению

Расчетно-графических работ Д7 по теоретической механике

Подписано в печать______2000г. Формат 60х84/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л 0,93.

Уч.-изд. л. 0,88. Тираж ____. Изд. № 000. Заказ № ____.

Ростовский государственный университет путей сообщения.

Ризография АСУ РГУПС. Лицензия ПДЛ №65-10 от 08.08.99г.

Адрес университета: 344038, г. Ростов н/Д, пл. им. Ростовского стрелкового полка народного ополчения,2

Ó Ростовский государственный университет путей сообщения, 2000

1. Общие указания

2. Задание Д7. Применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы

3. Условие задачи Д7

4. Указания к решению задачи

5. Примеры решения типовых задач

6. Данные к вариантам задания Д7

7. Схемы к вариантам задания Д7

В первой части методических указаний содержатся краткие сведения из теории и примеры решения задания Д7, входящего в курсовую работу по теоретической механике.

В приложении I студент выбирает свой вариант по номеру рисунка согласно цифре, под которой его фамилия стоит в учебном журнале. Исходные данные берутся из таблицы (приложение 2). Номер строки в ней для каждой группы назначает преподаватель.

Оформление отчета

Расчетно-графическая работа оформляется в такой последовательности:

— условие задачи с рисунком;

На отдельном листе нужно полностью переписать условие задачи и выполнить относящийся к ней рисунок. Он должен быть выполнен четко, аккуратно, карандашом. В работе надо оставлять поля для замечаний консультанта.

Решение каждой задачи следует сопровождать пояснениями, то есть надо указывать, какие теоремы, формулы или уравнения применяются для решения. Чертежи, выполняемые в процессе решения задачи, должны соответствовать конфигурации системы в рассматриваемый момент времени, на них должны изображаться все векторы (силы, ускорения). Формулы сначала надо написать в общем виде (буквенном), а затем подставлять числовые значения, рядом указывать единицы измерения. В конце расчета дается сводная таблица полученных результатов.

Порядок приема и сдачи индивидуального задания

I. Срок сдачи индивидуального задания указывается консультантом (руководителем практических занятий).

II. При защите расчетно-графической работы студент должен пояснить ход ее выполнения, ответить на все поставленные вопросы и в отдельных случаях решить предложенные ему примеры.

III. Работа, небрежно выполненная и содержащая орфографические ошибки, не принимается.

Задание не засчитывается, если указанные требования не выполнены!

Задание Д7. Применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы

Краткие сведения из теории к заданию

Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой систему уравнений динамики в обобщенных координатах. Использование их является универсальным методом получения системы дифференциальных уравнений, описывающих движение любой механической системы

Обобщенными координатами системы называется совокупность независимых параметров, которые при наименьшем числе однозначно определяют положение механической системы.

В последующем обобщенные координаты обозначаются q1, q1,…, qN или qj(j=1,2,…,N). Производные по времени от обобщенных координат называются обобщенными скоростями . Число N независимых обобщенных координат голономной системы равно числу ее степеней свободы.

Уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

где Т — кинетическая энергия системы;

Qj — обобщенная сила, соответствующая j-той обобщенной координате.

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех объектов, образующих систему.

Кинетическая энергия твердого тела определяется по формулам:

— при поступательном движении

Vс – скорость центра масс тела;

Jz – момент инерции тела относительно оси вращения;

w — угловая скорость вращения;

— при плоскопараллельном движении

Jzc – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, перпендикулярно плоскости движения.

Величина называется j-той обобщенной силой.

Если вычислить сумму элементарных работ активных сил, действующих на точки системы на возможном перемещении системы, то соответствующая формула может быть представлена в виде

поэтому часто обобщенные системы определяют как коэффициенты, стоящие в выражении суммы элементарных работ активных сил при соответствующих обобщенных возможных перемещениях.

Для определения обобщенной силы, соответствующей j-той обобщенной координате, необходимо этой координате сообщить приращение , оставляя все остальные обобщенные координаты без изменений; вычислить сумму элементарных работ всех сил, действующих на систему, на этом перемещении и полученную работу разделить на приращение обобщенной координаты

При вычислении работы сил используются следующие формулы:

— работа сил тяжести

h – изменение высоты между начальным и конечным положениями

— работа силы трения

— работа постоянной силы на прямолинейном перемещении

a — угол между направлением силы и направлением перемещения

— работа сил, приложенных к вращающемуся телу

Mz(F) – момент силы относительно оси вращения;

j — угол поворота тела

Методика составления уравнений Лагранжа второго рода

Составление уравнений Лагранжа второго рода производится в следующем порядке:

1) определяется число степеней свободы заданной механической системы;

2) выбираются независимые обобщенные координаты, число которых равно числу степеней свободы;

3) вычисляется кинетическая энергия Т рассматриваемой системы, которая выражается через обобщенные скорости;

4) находятся частные производные кинетической энергии по обобщенным скоростям, т. е.

затем вычисляются их производные по времени

5) определяются частные производные кинетической энергии по обобщенным координатам

6) находятся обобщенные силы Q1, Q2,…QN соответствующие выбранным обобщенным координатам;

7) полученные в п. п. 4-6 результаты подставляются в уравнения Лагранжа.

Условие задачи Д-7

Механическая система состоит из ступенчатых шкивов 1 и 2 весом Р1 и Р2 с радиусами R1=R, r1=0,4R и R2=R, r2=0,8R (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу); грузов или сплошных однородных цилиндрических катков 3, 4, 5, веса которых Р3, Р4, Р5 соответственно. Тела системы соединены нитями, намотанными на шкивы и невесомые блоки. Участки нити параллельны соответствующим плоскостям. Грузы скользят по плоскостям без трения, а катки катятся без скольжения. Система движения в вертикальной плоскости под действием сил тяжести, кроме того, на одно из тел действует постоянная сила F, а на шкивы 1 или 2 при их вращении действуют постоянные моменты сил сопротивления М1 и М2.

Определить величину, указанную в таблице в столбце «Найти», где e1 и e2 — угловые ускорения шкивов 1 и 2, аС3, аС4, аС5 — ускорения грузов или центров масс соответствующих катков. (Если необходимо определить e1 или e2 принять R=0,25м).

Указания к решению задачи

Для исследования движения системы нужно составить уравнение Лагранжа 2-го рода. Во всех вариантах система имеет одну степень свободы, и еe положение определяется одной обобщенной координатой q. Уравнение Лагранжа — это дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно обобщенной координаты.

(1)

Если нужно найти ускорение a3C или a4C грузов 3,4 или ускорение a5C центра масс С катка 5, то за обобщенную координату целесообразно принять перемещение х центра масс этих тел, тогда — обобщенная скорость и уравнение примет вид:

(2)

Если же нужно определить угловое ускорение e1 или e2 одного из шкивов, то за обобщенную координату нужно принять угол поворота шкива, т. е. и уравнение будет иметь вид:

(3)

Для составления уравнения (2) или (3) нужно вычислить кинетическую энергию Т системы, выразив её через обобщенную скорость ( или ) и обобщенную координату q (x или j). Затем нужно найти обобщенную силу Qx или Qj, для определения которой нужно сообщить системе возможное (малое) перемещение ( или ) и вычислить сумму элементарных работ всех сил на этом перемещении. Элементарные перемещения всех тел нужно выразить через dx или dj , тогда получим: или , т. е. коэффициенты при dx или dj в выражении dА и будут обобщенными силами.

Примечание: в варианте №21 шкивы 1, 2 и в варианте №25 шкив 2 считать однородными цилиндрами.

Примеры решения типовых задач

Дано: Р1=12Р, Р2=8Р, Р3=2Р, Р4=12Р, Р5=6Р, F=3P, M=3PR

(Р-в Н, R-в м.), R1=0,3R, r1=0,2R, R2=0,2R, r2=0,1R.

1. Система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату возьмем перемещение груза 4 (q=x).

Предположим, груз 4 опускается. Составим уравнение Лагранжа 2го рода:

(1)

2. Определим кинетическую энергию Т системы:

(2)

Шкивы 1 и 2 вращаются вокруг неподвижной оси, грузы 3 и 4 движутся поступательно, а каток 5 движется плоскопараллельно.

(3)

(4)

3. Скорости n3 и nс, угловые скорости w1, w2 и w5 выразим через обобщенную скорость

(5)

Подставляя значения (4) и (5) в равенства (3), а затем в (2), получим:

Найдем частные производные от Т по х и :

(7)

4. Определим обобщенную силу Qх. На чертеже покажем силы, совершающие при движении системы работу, т. е. силы тяжести , и момент пары силы М(сила работы не совершает, т. к. груз 3 движется по горизонтали).

Сообщим системе возможное перемещение dх груза 4 в направлении его движения и покажем перемещения остальных тел: груза 3-dх3, центра масс С катка 5-dхс, а для шкивов углы поворота dj1 и dj2. Вычислим сумму элементарных работ сил тяжести , , силы и момента пары сил М на этих перемещениях.

Коэффициент при dх в выражении dА будет обобщенной силой Qх.

5. Найденные величины (7) и (8) подставим в уравнение (1).

Отсюда находим:

Ответ:

Дано: Р1=2Р, Р2=0, Р3=3Р, Р4=0, Р5=4Р, F=12Р, М1=0,3РR, М2=0

R1=R, R2=R, r1=0,4R, r2=0,8R, R=0,25м, a=60°, b=30°

Найти: e2 – угловое ускорение второго шкива

1. Система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату возьмем угол поворота шкива 2 (q=j). Предположим, что шкив вращается против часовой стрелки. Составим уравнение Лагранжа 2го рода:

(1)

2. Определим кинетическую энергию Т системы

(2)

Грузы 3 и 4 движутся поступательно, следовательно

Шкивы 1 и 2 вращаются вокруг неподвижных осей, следовательно

Каток 5 движется плоскопараллельно

3. Скорости V3, V4, VС, угловые скорости w1, w5 выразим через обобщенную скорость

Из рисунка видно, что

(точка Р касания катка и наклонной плоскости является мгновенным центром скоростей катка)

Подставим найденные выражения в формулу кинетической энергии системы

4. Определим обобщенную силу Qj. На чертеже покажем силы, совершающие при движении системы работу, т. е. силы тяжести , , и моменты пары сил М1 и М2 (силы и приложенные к осям вращения шкивов работы не совершают).

Сообщим системе возможное перемещение соответствующее повороту шкива 2 на угол против часовой стрелки и покажем перемещения остальных тел: груза 3 — , груза 4 — , центра масс С кат-ка 5 — , а для шкива 1 – угол поворота .

Вычислим сумму элементарных работ указанных активных сил (силы тяжести сила и пара сил с моментом М) на выбранном возможном перемещении системы

Вычислим обобщенную силу Q по формуле

Подставляя все полученные выражения в уравнение Лагранжа получим его в виде

Видео:Уравнение Лагранжа 2-го рода для механизма с одной степенью свободыСкачать

Уравнения Лагранжа второго рода

Уравнения Лагранжа второго рода – дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщённых координатах.

Для механической системы с n степенями свободы эти уравнения имеют вид

(∂T_S/∂ ) – ∂T_S/∂q_Ci = Q_qci, i = 1, …, n,

где Т_S – кинетическая энергия механической системы; q_Ci – обобщённая координата; – обобщённая скорость; Q_qci – обобщённая сила по обобщённой координате q_Ci.

Число уравнений Лагранжа второго рада равно числу степеней свободы рассматриваемой механической системы.

Используя рис 6.30, поясним понятия «обобщённая скорость», «обобщённая сила».

На рис. 6.30 приняты условные обозначения: – активная сила, приложенная к точке механической системы; δq_Ci – приращение обобщённой координаты q_Ci (возможное перемещение i-й точки системы); – обобщённая скорость i-й точки механической системы.

Обобщённая скорость – производная по времени от обобщённой координаты.

= dq_Ci/dt.

Определим возможную элементарную работу δА_S( ) активных сил , приложенных к точкам механической системы при задании какой-либо её точке возможного перемещения δq_Ci.

δА_S( ) = Σ ·δq_Ci·cos( , δq_Ci).

Обобщенная сила Q_qci по обобщенной координате q_Ci – величина, равная отношению возможной элементарной работы δА_S активных сил , приложенных к точкам механической системы, к модулю δq_С_i приращения обобщённой координаты q_Ci.

Q_qi = δA_S( )/δq_Ci.

Формулировка уравнения Лагранжа второго рода.

Разность полной производной по времени от частной производной кинетической энергии по обобщенной скорости и частной производной от кинетической энергии по обобщенной координате равна обобщенной силе.

Уравнения Лагранжа второго рода используют в качестве универсального метода составления дифференциальных уравнений движения механических систем любой степени сложности. Преимущество этого метода по сравнению с применяемыми ранее общими теоремами динамики заключается в том, что в уравнениях Лагранжа второго рода используются только активные силы. Это намного упрощает решение задач динамики механических систем.

Согласно учебной программе выполнение курсового задания на применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию движения механических систем не предусмотрено. Тем не менее для развития общего кругозора студента приведём пример решения такого типа задач.

Пример.

Однородный барабан 1 массой m₁ и радиусом R₁ приводится во вращение активным моментом М. На барабан наматывается невесомый трос, перекинутый через невесомый блок 2. К свободному концу троса прикреплён груз 3 массой m₃ (рис. 6.31).

Механическая система начинает двигаться из состояния покоя. Составить дифференциальное уравнение вращательного движения барабана.

Дано: m₁ = 20 кг; R₁ = 0,2 м; m₃ = 10 кг; М = 200 Н·м.

Решение.

Механическая система имеет одну степень свободы. Примем за обобщённую координату q угол φ₁ поворота тела 1 (рис. 6.32).

Запишем уравнение Лагранжа второго рода для рассматриваемой механической системы.

(∂T_S/∂ ) – ∂T_S/∂φ₁ = Q_φ₁,

где Т_S – кинетическая энергия механической системы; Q_φ₁ – обобщённая сила по обобщённой координате φ₁; – обобщённая скорость.

Зададим приращение δφ₁ обобщённой координате φ₁. Тогда центр масс тела 3 получит возможное перемещение

Кинетическая энергия механической системы равна

где Т₁ – кинетическая энергия барабана 1; Т₃ – кинетическая энергия груза 3.

Тело 1 совершает вращательное движение относительно оси С₁Х₁. Его кинетическую энергию определим по формуле

T₁ = 0,5·J_C₁_X₁·( ) 2 = 0,5·(m₁·(R₁) 2 /2)·( ) 2 = 0,25·m₁·(R₁) 2 ·( ) 2 .

Согласно рис. 6.32 тело 3 совершает поступательное движение. Исходя из этого утверждения, его кинетическую энергию определим по формуле

T₃ = 0,5·m₃·(V_C₃) 2 = 0,5·m₃·( ·R₁) 2 .

В последней формуле символом V_C₃ обозначена скорость центра масс тела 3.

Кинетическая энергия механической системы

Т_S = 0,25·m₁·(R₁) 2 ·( ) 2 + 0,5·m₃·( ·R₁) 2 =

= (0,25·m₁ + 0,5·m₃)·( ·R₁) 2 .

Определим частную производную от кинетической энергии механической системы по обобщённой скорости .

∂T_S/∂ = 2·(0,25·m₁+ 0,5·m₃)·(R₁) 2 · .

(∂T_S/∂ ) = (0,5·m₁+ m₃)·(R₁) 2 · .

Так как кинетическая энергия системы не зависит от обобщённой координаты φ₁, то соответственно её частная производная ∂T_S/∂φ₁ равна нулю (∂T_S/∂φ₁ = 0).

Тогда левая часть уравнения Лагранжа вторго рода равна

(∂T_S/∂ ) – ∂T_S/∂φ₁ = (0,5·m₁+ m₃)·(R₁) 2 · .

Определим элементарную работу δА_S( ) сил, приложенных к механической системе на её возможном перемещении.

δА_S( ) = M·δφ₁ – G₃·δS_C₃ = M·δφ₁ – m₃·g·δφ₁·R₁ =

Согласно определению обобщённая сила Q_φ₁ по обобщённой координате φ₁ равна

Уравнение Лагранжа второго рода для рассматриваемой механической системы принимает вид

(0,5·m₁+ m₃)·(R₁) 2 · = M – m₃·g·R₁.

Решая это уравнение относительно углового ускорения , получим

= =