Применение систем линейных уравнений в экономике

Большой объем расчетных математических задач приходится на решение систем линейных алгебраических уравнений. Многие задач управленческого и экономического, технологического характера строятся как линейные алгебраические, либо сводятся к ним.

Актуальность темы заключается в том, что известные приемы и методы решения систем линейных уравнений применимы для решения задач с практическим содержанием, в частности связанных со специальностью «Прикладная информатика в экономике».

Цель работы: рассмотреть различные способы решения систем линейных уравнений, показать примеры их практического применения.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

«Яндекс» открыл доступ к нейросети «Балабоба» для всех пользователей

Видео:Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Презентация на тему «Применение систем линейных уравнений для решения прикладных задач»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

ГПОУ «Донецкий политехнический колледж» Применение систем линейных уравнений для решения прикладных задач. Прелодаватель математики Низамова И . В. Донецк 2018

Математика – царица наук Карл Фридрих Гаусс

Системы линейных уравнений широко используются в задачах экономики, физики, электротехники, программирования и других наук.

Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных. Система линейных уравнений с n переменными:

Числа aij (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n) называются коэффициентами при переменных, а bi (i=1,2,…,m) – свободными членами. Решение системы уравнений — это последовательность чисел (k1, k2, . kn), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x1, x2. xn дает верное числовое равенство.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения — несовместной. Методы решения: По формулам Крамера; Исключение неизвестных ( метод Гаусса); С помощью обратной матрицы.

Метод Крамера Если главный определитель системы то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера: где –определитель, полученный из главного заменой i-того столбца столбцом свободных членов.

Метод Гаусса Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы. Расширенная матрица содержит вместе с коэффициентами при неизвестных свободные члены системы уравнений.

Матричный метод Cистему линейных уравнений записывают в матричной форме: AX = B, где A — основная матрица системы; B — столбец свободных членов; X — столбцы решений системы; Матричное уравнение умножают слева на A–1 (матрицу, обратную к матрице A). Так как A− 1A = E, то X = A -1B. Метод применим, если определитель системы не равен 0.

Проверка домашнего задания Решить систему линейных уравнений всеми известными методами

Применение систем линейных уравнений для решения прикладных задач. Цель занятия: формировать умение составлять системы линейных уравнений по текстовому условию задачи; закрепить применение методов Крамера и Гаусса решения систем линейных уравнений.

Доклад №1. Задача по электротехнике Два источника постоянного тока соединены параллельно, имеют E1=11,5 B, r1=2,5 Oм, E1=16,5 B, r1=6 Oм, и нагрузочный резистор сопротивлением Rн=30 Oм. Определить значения и направление токов через источники и нагрузку.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа Для контура, включающего в себя два источника и имеем: Для контура с источником и сопротивлением нагрузки при обходе по часовой стрелке имеем: Подставив числовые данные, получим:

Первое уравнение умножим на 6 и сложим со вторым и третьим. Получим: второе уравнение умножим на (-6) и сложим с третьим. Получим: Отсюда

Доклад №2. Из Москвы в Казань необходимо перевезти оборудование трех типов: I типа — 95 ед., II типа — 100 ед., III типа — 185 ед. Для перевозки оборудования завод может заказать три вида транспорта. Количество оборудования каждого типа, вмещаемого на определенный вид транспорта, приведено в таблице. Установить, сколько единиц транспорта каждого вида потребуется для перевозки этого оборудования. Тип оборудования Количество оборудования Т1 Т2 Т3 I 3 2 1 II 4 1 2 III 3 5 4

Пусть x ‒ количество единиц I-ого вида транспорта, y ‒ количество единиц II-ого вида транспорта, z ‒ количество единиц III-его вида транспорта. Тогда Решим систему уравнений методом Крамера: Δ = =12+12+20-3-30-32=-21 ; Δх = =380+740+500-185-950-800=-315; х = = 15;

Δу = =1200+570+740-300-1110-1520=-420; у = = 20; Δz = =555+600+1900-285-1500-1480=-210; Z = = 10. Ответ: Транспорта I-ого вида использовано 15 единиц, II-ого вида 20 единиц, а III-го вида 10 единиц.

Доклад №3. Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице: Найти количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. Тип заготовки Способ раскроя 1 2 3 А 3 2 1 Б 1 6 2 В 4 1 5

Обозначим через x, y, z количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. По условию задачи составим систему уравнений:

Ответ: первым способом раскраивается 90 листов, вторым – 15, третьим – 60.

Доклад №4. Частным лицом куплены три пакета акций общей стоимостью 485 ден. ед., причем акции первой группы куплены по 5 ден. ед. за акцию, второй – по 20, третьей – по 13. Через месяц стоимость акций первой, второй и третьей групп составила соответственно 6, 14 и 19 ден. ед., а стоимость всего пакета была 550 ден. ед. Еще через месяц они стоили по 8, 22 и 20 ден. ед. соответственно, а весь пакет стоил 660 ден. ед. Cколько акций каждой группы было куплено?

Пусть акции I-ой группы было куплено х штук, акций II-ой группы y штук, акций III-ей группы z штук. Согласно условию задачи имеем: Решим систему уравнений методом Крамера: Δ = = = 1400+3040+1716-1456-2090-2400=210;

= = 135800+250800+157300-120120-202730-220000=1050; = = 55000+73720+51480-57200-62700-58200=2100; = = 46200+88000+64020-54320-60500-79200=4200; x = = 5; y = = 10; z = = 20; Ответ: Акций I-й группы было куплено 5 штук, акций II-ой группы было куплено 10 штук, акций III-ей группы было куплено 20 штук.

Карл Фридрих Гаусс Карл Фридрих Гаусс родился 30 апреля 1777 г. Гаусс с детства проявлял все признаки гениальности. Главный труд всей своей жизни, «Арифметические исследования», юноша закончил ещё в 1798 г. В 1799 г. Гаусс заочно защищает диссертацию. Самым знаменитым трудом, проделанным Карлом Фридрихом Гауссом, была работа под названием «Теория движения небесных тел». Именно в ней ученый предложил теорию возмущения орбит. Знаменитая теорема алгебры, термин «гауссова кривизна», основы дифференциальной геометрии вошли в основу фундаментальных математических законов.

Габриэль Крамер Габриэль Крамер родился 31 июля 1704 года в Женеве (Швейцария) в семье врача. Уже в детстве он опережал своих сверстников в интеллектуальном развитии и демонстрировал завидные способности в области математики. В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Талантливый учёный написал множество статей на самые разные темы: геометрия, история, математика, философия. В 1730 году он опубликовал труд по небесной механике. Крамер является одним из создателей линейной алгебры. В работе «Введение в анализ алгебраических кривых» Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем – метод Крамера.

Закрепление нового материала. Задача №1. Рассчитать сложную электрическую цепь, если E1=246 B, R1=0,3 Ом, E2=230 B, R2=1 Ом, R3=24 Ом, RВТ1= RВТ2=0.

Задача №2. Предприятием по производству бытовой техники в 1 квартале выпущено 4000 вентиляторов, 2000 миксеров и 6000 электрочайников на общую сумму 23 млн рублей. Во 2 квартале выпущено 3000 вентиляторов, 1000 миксеров и 4000 электрочайников на общую сумму 15,6 млн рублей. В 3 квартале выпущено 1000 вентиляторов, 3000 миксеров и 1000 электрочайников на общую сумму 7,8 млн рублей. Найти стоимость одного вентилятора, одного миксера и одного электрочайника.

Рефлексия Выберите смайлик, характеризующий ваше состояние на занятии.

Домашнее задание. Если ширину производственной прямоугольной площадки увеличить на 4 м, а ее длину уменьшить на 2 м, то ее площадь увеличится на 32 ; если же ширину уменьшить на 3 м, а длину увеличить на 1 м, то ее площадь уменьшится на 39 . Найдите длину и ширину площадки.

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Применение элементов линейной алгебры в экономике Текст научной статьи по специальности « Экономика и бизнес»

Видео:Лекция 12. Системы линейных уравненийСкачать

Аннотация научной статьи по экономике и бизнесу, автор научной работы — Демьянчук У.В.

обосновывается практичность использование элементов линейной алгебры для решения различных экономических задач. Определяется способ составления и решения системы линейных алгебраических уравнений при решении задач. Анализируется возможность применения таблиц межотраслевого баланса и моделей.

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Похожие темы научных работ по экономике и бизнесу , автор научной работы — Демьянчук У.В.

Видео:Базисные решения систем линейных уравнений (01)Скачать

APPLYING THE ELEMENTS OF LINEAR ALGEBRA IN ECONOMY

grounded practicality of the use of elements of linear algebra to solve different economic problems. Determined by the method of setting up and solving a system of linear algebraic equations to solve problems. The possibility of the use of input-output tables and models to analyze them.

Видео:Решение систем линейных уравнений с помощью матрицСкачать

Текст научной работы на тему «Применение элементов линейной алгебры в экономике»

ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В

ЭКОНОМИКЕ APPLYING THE ELEMENTS OF LINEAR ALGEBRA IN

Южно-Российский институт управления — филиал Российской академии народного хозяйства и государственной службы

South-Russia Institute of Management — branch of Russian Presidential

National Economy and Public Administration

Аннотация: обосновывается практичность использование элементов линейной алгебры для решения различных экономических задач. Определяется способ составления и решения системы линейных алгебраических уравнений при решении задач. Анализируется возможность применения таблиц межотраслевого баланса и моделей.

Ключевые слова: элементы линейной алгебры, балансовый анализ, таблица межотраслевого баланса, математическая модель Леонтьева.

Annotation: grounded practicality of the use of elements of linear algebra to solve different economic problems. Determined by the method of setting up and solving a system of linear algebraic equations to solve problems. The possibility of the use of input-output tables and models to analyze them.

Key words: elements of linear algebra, balance analysis, input-output tables, mathematical model of Leontief.

Для современной экономики характерно использование множества

математических методов для решения разнообразных задач. Среди таких

методов выделяется применение элементов алгебры матриц, что особенно

актуально при работе с базами данных, где практически вся информация

хранится и обрабатывается в матричной форме. А также составление и

решение системы линейных алгебраических уравнений на основе

прогноза выпуска продукции по известным запасам сырья. [1]

Для макроэкономики характерен вопрос: каким должен быть объем

производства каждой из п-отраслей, чтобы удовлетворить все потребности

в продукции этой отрасли? Целью балансового анализа является ответ на

этот вопрос. Как правило, таблицы межотраслевого баланса отражают

связь между отраслями, которые анализируются с помощью

математической модели, разработанной американским экономистом В. В.

Леонтьевым в 1936 г. [2]

Допустим, что требуется рассмотреть п-отраслей промышленности,

которые производят собственную продукцию. Однако часть продукции

потребляется этой же и другими отраслями в процессе производства, а

другая часть предназначена для целей конечного личного и общественного

потребления. Рассматривая производственный процесс за определенный

промежуток времени (например, год), необходимо ввести такие

— общий (валовой) объем продукции 1-ой отрасли (1=1,2. п.);

Хц — объем продукции 1-ой отрасли, потребляемой ]-ой отраслью при

производстве (у=1,2. п);

У1 — объем конечного продукта 1-ой отрасли для

Тогда общий объем продукции каждой 1-ой отрасли равен

алгебраической сумме суммарного объема продукции, потребляемой п-

Электронный вестник Ростовского социально-экономического института. Выпуск № 3 — 4 (июль — декабрь) 2015

отраслями и конечного продукта: х^ = + х^2+. + у^ , 1 = (1,2. п). Уравнения такого вида будут называться соотношениями баланса. [3]

Когда же все величины данного уравнения имеют стоимостное выражение, то рассматривается стоимостный межотраслевой баланс. Здесь необходимо ввести коэффициенты прямых затрат, которые показывают затраты продукции 1-ой отрасли на производство единицы стоимости ]-ой отрасли:

а¿у = х^у/ху, (1,] = 1,2. п). (1)

Предположим, что в определенном промежутке времени коэффициенты а¿у постоянные и зависящие от существующей технологии производства, что означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска: х¿у = а¿уXу, (у = 1,2. п). Тогда и сама модель будет линейной. Иной вид примут соотношения баланса: х¿ = ^¿^ + аг2х2+. + агпхп+уг, (1 = 1,2. п). Обозначим:

где X — вектор валового выпуска; А — матрица прямых затрат; У — вектор конечного продукта.

Перепишем соотношения баланса в соответствующий вид: X = АХ+У. Матричное уравнение можно переписать: (Е — А)Х = У. И если матрица (Е — А) является невырожденной (определитель отличен от нуля), то уравнение будет выглядеть следующим образом:

элемент — это величина валового выпуска продукции 1-ой отрасли, требующегося для обеспечения выпуска единицы конечного продукта ]-ой

Матрица 8=(Е — А)-1 есть матрица полных затрат, где каждый

Рассмотрим пример, в котором приведены данные об исполнении баланса за отчетный период (таблица 1) в условно взятых единицах. Требуется вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое.

Потребление Конечн Валово

Отрасль Энергети Машинострое ый й

ка ние продукт выпуск

Производ ство Энергетика 7 21 72 100

Машинострое ние 12 15 123 150

Таблица 1 — Данные об исполнении баланса за отчетный период

Первоначально, необходимо обозначить соответствующие данные: хх= 100, х2= 150, хХ1= 7, х12 = 21, х21= 12, х22= 15, ух= 72, у2 = 123.

Используя формулу (1) можно найти коэффициенты прямых затрат и составить матрицу A:

& = ( 07 0-14+.(4) V0.12 0.1 )KJ

В данном примере матрица, имея неотрицательные элементы, удовлетворяет критерию продуктивности, т.е. максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы.

шах-0.7 + 0.12; 0.14 + 0.1/ = шах-0.19; 0.24/ = 0.24 Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

📸 Видео

Лекция 13. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера — Капелли.Скачать

12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.Скачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Неоднородная система линейных уравненийСкачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

10. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.Скачать

Видеоурок "Однородные системы линейных уравнений"Скачать

Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать