Применение формул сложения при решении тригонометрических уравнений (3 видео)

Формулы сложения: доказательство, примеры

Продолжаем наш разговор про наиболее употребляемые формулы в тригонометрии. Важнейшие из них – формулы сложения.

Формулы сложения позволяют выразить функции разности или суммы двух углов с помощью тригонометрических функций этих углов.

Для начала мы приведем полный список формул сложения, потом докажем их и разберем несколько наглядных примеров.

Содержание

Основные формулы сложения в тригонометрии
Доказательства формул сложения
Способы решения тригонометрических уравнений
Методы решения тригонометрических уравнений
💥 Видео

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Формулы ПриведенияСкачать

Основные формулы сложения в тригонометрии

Выделяют восемь основных формул: синус суммы и синус разности двух углов, косинусы суммы и разности, тангенсы и котангенсы суммы и разности соответственно. Ниже приведены их стандартные формулировки и вычисления.

1.Синус суммы двух углов можно получить следующим образом:

— вычисляем произведение синуса первого угла на косинус второго;

— умножаем косинус первого угла на синус первого;

— складываем получившиеся значения.

Графическое написание формулы выглядит так: sin ( α + β ) = sin α · cos β + cos α · sin β

2. Синус разности вычисляется почти так же, только полученные произведения нужно не сложить, а вычесть друг из друга. Таким образом, вычисляем произведения синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго и находим их разность. Формула пишется так: sin ( α — β ) = sin α · cos β + sin α · sin β

3. Косинус суммы. Для него находим произведения косинуса первого угла на косинус второго и синуса первого угла на синус второго соответственно и находим их разность: cos ( α + β ) = cos α · cos β — sin α · sin β

4. Косинус разности: вычисляем произведения синусов и косинусов данных углов, как и ранее, и складываем их. Формула: cos ( α — β ) = cos α · cos β + sin α · sin β

5. Тангенс суммы. Эта формула выражается дробью, в числителе которой – сумма тангенсов искомых углов, а в знаменателе – единица, из которой вычитается произведение тангенсов искомых углов. Все понятно из ее графической записи: t g ( α + β ) = t g α + t g β 1 — t g α · t g β

6. Тангенс разности. Вычисляем значения разности и произведения тангенсов данных углов и поступаем с ними схожим образом. В знаменателе мы прибавляем к единице, а не наоборот: t g ( α — β ) = t g α — t g β 1 + t g α · t g β

7. Котангенс суммы. Для вычислений по этой формуле нам понадобятся произведение и сумма котангенсов данных углов, с которыми мы поступаем следующим образом: c t g ( α + β ) = — 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

8. Котангенс разности. Формула схожа с предыдущей, но в числителе и знаменателе – минус, а не плюс c t g ( α — β ) = — 1 — c t g α · c t g β c t g α — c t g β .

Вы, наверное, заметили, что эти формулы попарно схожи. При помощи знаков ± (плюс-минус) и ∓ (минус-плюс) мы можем сгруппировать их для удобства записи:

sin ( α ± β ) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos ( α ± β ) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g ( α ± β ) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g ( α ± β ) = — 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

Соответственно, мы имеем одну формулу записи для суммы и разности каждого значения, просто в одном случае мы обращаем внимание на верхний знак, в другом – на нижний.

Мы можем взять любые углы α и β , и формулы сложения для косинуса и синуса подойдут для них. Если мы можем правильно определить значения тангенсов и котангенсов этих углов, то формулы сложения для тангенса и котангенса будут также для них справедливы.

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Доказательства формул сложения

Как и большинство понятий в алгебре, формулы сложения могут быть доказаны. Первая формула, которую мы докажем, — формула косинуса разности. Из нее потом можно легко вывести остальные доказательства.

Уточним основные понятия. Нам понадобится единичная окружность. Она получится, если мы возьмем некую точку A и повернем вокруг центра (точки O ) углы α и β . Тогда угол между векторами O A 1 → и O A → 2 будет равняться ( α — β ) + 2 π · z или 2 π — ( α — β ) + 2 π · z ( z – любое целое число). Получившиеся вектора образуют угол, который равен α — β или 2 π — ( α — β ) , или он может отличаться от этих значений на целое число полных оборотов. Взгляните на рисунок:

Мы воспользовались формулами приведения и получили следующие результаты:

cos ( ( α — β ) + 2 π · z ) = cos ( α — β ) cos ( 2 π — ( α — β ) + 2 π · z ) = cos ( α — β )

Итог: косинус угла между векторами O A 1 → и O A 2 → равняется косинусу угла α — β , следовательно, cos ( O A 1 → O A 2 → ) = cos ( α — β ) .

Далее мы переходим к самому доказательству формулы косинуса разности.

Вспомним определения синуса и косинуса: синус — функция угла, равная отношению катета противолежащего угла к гипотенузе, косинус – это синус дополнительного угла. Следовательно, точки A 1 и A 2 имеют координаты ( cos α , sin α ) и ( cos β , sin β ) .

O A 1 → = ( cos α , sin α ) и O A 2 → = ( cos β , sin β )

Если непонятно, взгляните на координаты точек, расположенных в начале и конце векторов.

Длины векторов равны 1 , т.к. у нас единичная окружность.

Разберем теперь скалярное произведение векторов O A 1 → и O A 2 → . В координатах оно выглядит так:

( O A 1 → , O A 2 ) → = cos α · cos β + sin α · sin β

Из этого мы можем вывести равенство:

cos ( α — β ) = cos α · cos β + sin α · sin β

Таким образом, формула косинуса разности доказана.

Теперь мы докажем следующую формулу – косинуса суммы. Это проще, поскольку мы можем воспользоваться предыдущими расчетами. Возьмем представление α + β = α — ( — β ) . У нас есть:

cos ( α + β ) = cos ( α — ( — β ) ) = = cos α · cos ( — β ) + sin α · sin ( — β ) = = cos α · cos β + sin α · sin β

Это и есть доказательство формулы косинуса суммы. В последней строчке использовано свойство синуса и косинуса противоположных углов.

Формулу синуса суммы можно вывести из формулы косинуса разности. Возьмем для этого формулу приведения:

вида sin ( α + β ) = cos ( π 2 ( α + β ) ) . Так
sin ( α + β ) = cos ( π 2 ( α + β ) ) = cos ( ( π 2 — α ) — β ) = = cos ( π 2 — α ) · cos β + sin ( π 2 — α ) · sin β = = sin α · cos β + cos α · sin β

А вот доказательство формулы синуса разности:

sin ( α — β ) = sin ( α + ( — β ) ) = sin α · cos ( — β ) + cos α · sin ( — β ) = = sin α · cos β — cos α · sin β
Обратите внимание на использование свойств синуса и косинуса противоположных углов в последнем вычислении.

Далее нам нужны доказательства формул сложения для тангенса и котангенса. Вспомним основные определения (тангенс – отношение синуса к косинусу, а котангенс –наоборот) и возьмем уже выведенные заранее формулы. У нас получилось:

t g ( α + β ) = sin ( α + β ) cos ( α + β ) = sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β — sin α · sin β

У нас получилась сложная дробь. Далее нам нужно разделить ее числитель и знаменатель на cos α · cos β , учитывая что cos α ≠ 0 и cos β ≠ 0 , получаем:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β — sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β — sin α · sin β cos α · cos β

Теперь сокращаем дроби и получаем формулу следующего вида: sin α cos α + sin β cos β 1 — sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 — t g α · t g β .
У нас получилось t g ( α + β ) = t g α + t g β 1 — t g α · t g β . Это и есть доказательство формулы сложения тангенса.

Следующая формула, которую мы будем доказывать – формула тангенса разности. Все наглядно показано в вычислениях:

t g ( α — β ) = t g ( α + ( — β ) ) = t g α + t g ( — β ) 1 — t g α · t g ( — β ) = t g α — t g β 1 + t g α · t g β

Формулы для котангенса доказываются схожим образом:
c t g ( α + β ) = cos ( α + β ) sin ( α + β ) = cos α · cos β — sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β — sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β — 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = — 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Далее:
c t g ( α — β ) = c t g ( α + ( — β ) ) = — 1 + c t g α · c t g ( — β ) c t g α + c t g ( — β ) = — 1 — c t g α · c t g β c t g α — c t g β

Примеры сложения с помощью тригонометрических формул

В этом пункте мы рассмотрим, как применить эти сложные на вид вычисления на практике. Их можно использовать:

— при преобразовании тригонометрических выражений;

— для вычисления точных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов, которые отличаются от основных ( 0 , π 6 , π 4 , π 3 , π 2 );

— для доказательства других тригонометрических формул, например, формулы двойного угла.

Разберем задачи с использованием формул сложения.

Задача: Вычислите точное значение тангенса 15 градусов.

Решение

Для наглядности мы 15 градусов можно представить в виде разности 45 — 30 . В этом случае решение задачи можно получить с помощью формулы тангенса разности. Возьмем формулу, которую мы приводили выше, и укажем в ней имеющиеся нам известные значения: t g 15 ° = t g ( 45 ° — 30 ° ) = t g 45 ° — t g 30 ° 1 + t g 45 ° · t g 30 °

Вычисляем ответ: t g 45 ° — t g 30 ° 1 + t g 45 ° · t g 30 ° = 1 — 3 3 1 + 1 · 3 3 = = 3 — 1 3 + 1 = ( 3 — 1 ) · ( 3 — 1 ) ( 3 + 1 ) · ( 3 — 1 ) = ( 3 ) 2 — 2 3 + 1 ( 3 ) 2 — 1 = 2 — 3

Ответ: t g 15 ° = 2 — 3

Задача: Выберем формулу сложения для проверки формулы приведения следующего вида: sin ( π 2 + α ) = cos α

Нам подойдет формула синуса суммы. Итого: sin ( π 2 + α ) = sin π 2 · cos α + cos π 2 · sin α = 1 · cos α + 0 · sin α = cos α

Ответ: sin ( π 2 + α ) = cos α — наша формула доказана.

Видео:Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать

Способы решения тригонометрических уравнений

Министерство образования и молодёжной политики Чувашской Республики

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №6 г. Чебоксары»

Способы решения тригонометрических уравнений

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №6

Методическая разработка по теме «Способы решения тригонометрических уравнений». В средней школе на изучение данной темы отводится незначительное количество часов. Эта разработка изучит, расширит и углубит математические знания по данной теме.

На экзаменах по математике для поступающих в ВУЗы, олимпиадах часто встречаются задания на решение тригонометрических уравнений.

Все приводимые способы направлены на развитие познавательного интереса к предмету, знакомящие учащихся с новыми идеями и методами, расширяющие представления об изучаемой теме в основной школе.

Уравнения, предлагаемые в данной разработке, интересны, красивы, носят прикладной характер, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и интерес к предмету и вызвать желание узнать больше.

Основные цели методической разработки:

· знакомство учащихся с основными приемами и методами решения тригонометрических уравнений;

· развитие навыков применения теоретических сведений по данной теме на практике в различных проявлениях;

· развитие творческих способностей;

· повышение интереса к предмету;

· повторение и обобщение знаний по теме «Способы решения тригонометрических уравнений;

· оказание помощи учащимся систематизировании уравнений и нахождении рациональных приемов решения.

Особенность методической разработки.

Использование материала в работе даст положительные результаты при подготовке школьников к сдаче ЕГЭ по математике.

1. Уравнения, приводимые к алгебраическим. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .4

2. Уравнения, решаемые разложением на множители. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

3. Однородные уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

6. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени. . . . . . . . . . . .8

7. Уравнения вида .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

8. Уравнения смешанного типа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

9. Задания для промежуточного и итогового контроля результатов обучения. .13

10. Тригонометрическое уравнение на ЕГЭ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

11. Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1. Уравнение .

Если для любого t. Если , то формула корней уравнения такова:

2. Уравнение .

При уравнение не имеет решений, так как для любого . Если |a|≤1,то формула для записи всех решений уравнения такова: Удобно записывать не двумя, а одной формулой:

3. Уравнение . Решение данного уравнения имеет вид:.

4. Уравнение . Решение данного уравнения имеет вид:

Способы решения тригонометрических уравнений.

I. Уравнения, приводимые к алгебраическим

Пример. Решить уравнение

Решение. Воспользуемся тем, что . Тогда заданное уравнение можно переписать в виде . После понятных преобразований получим . Введем новую переменную . Тогда уравнение примет вид , откуда находим . Значит,. Из этих уравнений находим, соответственно,

Уравнения для самостоятельного решения:

II. Уравнения, решаемые разложением на множители

Смысл этого метода: если уравнение удается преобразовать к виду , то задача сводится к решению двух уравнений, то есть к решению совокупности уравнений: .

Пример. Решить уравнение .

Решение. Имеем . Значит, приходим к совокупности уравнений . Из первого уравнения находим . Из второго уравнения находим .

Уравнения для самостоятельного решения:

III. Однородные уравнения.

Определение. Уравнение вида, где называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени, уравнение вида ¸называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Итак, дано уравнение . Разделив обе части уравнения почленно на , получим .

Но, внимание! Делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на 0 делить нельзя). Уверены ли мы, что в рассматриваемом случае отличен от 0? Давайте проанализируем. Предположим, что cos x =0. Тогда однородное уравнение asinx+bcosx=0 примет вид asinx=0¸ то есть sinx=0¸ так как a≠0. Получается, что и cosx=0¸ и sinx=0¸ а это невозможно, так как sinx и cosx обращается в нуль в различных точках. Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения на cosx— вполне благополучная операция.

Пример 1. Решить уравнение 2sinx-3cosx= 0.

Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cosx¸ получим . Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени . Если коэффициент a отличен от нуля, то есть в уравнении содержится член sin2x с каким-то коэффициентом, отличным от нуля, то, рассуждая как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной cos x не обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на .

Это — квадратное уравнение относительно новой переменной z= tgx .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cos2 x, получим Введя новую переменную получим, . Откуда находим z=1, z=2. Значит, либо tgx=1, либо tgx=2. Из первого уравнения находим Из второго уравнения находим .

Уравнения для самостоятельного решения:

IV. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций.

позволяют сумму или разность синусов или косинусов разложить на множители.

Пример. Решить уравнения: sin5x + sinx=0;

Решение. Преобразовав сумму синусов в произведение, получим

Значит, либо , откуда находим , либо cos2x=0, откуда находим

Уравнения для самостоятельного решения:

V. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму

при решении тригонометрических уравнений.

Уравнения для самостоятельного решения:

VI. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени

Пример. Решить уравнение

Уравнения для самостоятельного решения:

VII. Уравнения вида

Преобразование выражения Итак, Аналогично можно выражение преобразовать к виду .

Пример.

Здесь Имеем Введём вспомогательный аргумент , удовлетворяющий соотношениям например, . Тогда

Уравнения для самостоятельного решения:

VIII. Уравнения смешанного типа

1. Решите уравнения:

Выбор корней проведём на тригонометрической окружности

Ответ:

а)

Ответ:

в)

Ответ:

б)

Ответ:

г)

Ответ:

2. Решите уравнения.

Не удовлетворяет условию

Выберем те значения x, которые удовлетворяют условию

Ответ:

а)

Ответ:

в)

Ответ:

б)

Ответ:

г)

Ответ:

3. Решите уравнение.

Данное уравнение равносильно системе:

Решим второе уравнение системы:

не удовлетворяет условию

Выберем те значения х, которые удовлетворяют условию .

Ответ:

4. Решите уравнения.

Число корней на .

Выбор корней проведём на тригонометрической окружности.

Число решений на равно 5.

а)

Найти число решений на .

б) .

Найти число решений на

в)

Найти число решений на .

г) .

Найти число решений на .

5. Основной идеей решения следующих заданий является выражение синуса или косинуса через тангенс или котангенс половинного аргумента (или наоборот). При этом следует иметь в виду, что в формулах область определения «левых частей» равенств – все действительные числа, а область определения «правых частей» — .

Поэтому переход от одного уравнения к другому с использованием этих формул, вообще говоря, сужает ОДЗ на множество π.

Аналогичная ситуация с формулами

Вообще, использование формул, у которых ОДЗ «левых» и «правых» частей не совпадают, может привести либо к потере, либо к появлению посторонних корней.

Примерами таких формул являются:

Ответ:

а) . Ответ: .

в) .

Ответ: .

б) . Ответ: .

г) .

Ответ: .

IX. Задания для промежуточного контроля результатов обучения (ответы даны в скобках).

Уравнения, приводимые к алгебраическим.

Уравнения, решаемые способом разложения на множители.

Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций.

Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму.

Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.

Уравнения вида .

Уравнения смешанного типа.

2.Найти наименьший корень уравнения на интервале

Тест. Решение тригонометрических уравнений.

1. Найдите корни уравнения на интервале .

а) ; б) ; в) .

2. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

а) ; б) ; в) .

3. Решите уравнение: и найдите сумму корней, принадлежащих интервалу

а) ; б) ; в) .

4. Решите уравнение: и найдите сумму корней, принадлежащих интервалу .

а) ; б) ; в) .

Задания для итогового контроля результатов обучения.

1. Решите уравнения:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

2. Найдите сумму корней управления

на промежутке .

3. Укажите количество корней уравнения

4. Решите уравнения:

а) ;

б) .

1. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) . 2. 16. 3. 3. 4. а) ;

б) .

X. Тригонометрическое уравнение на ЕГЭ.

Решите уравнение . (С2,2007г.)

ОДЗ уравнения:

Используя способ разложения на множители, получим

или .

не удовлетворяет условию ОДЗ уравнения.

Используя способ решения однородного уравнения первой степени, получим:

С учетом ОДЗ уравнения решение данного уравнения имеет вид:

1. , , . Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа для 10-11 класса, Москва, Просвещение, 1997 г.

2. , . Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 11 кл. средней школы – М., Просвещение, 1999.

3. Журнал «Математика в школе», 2006, № 10.

4. , , . Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика. – М. Интеллект-Центр, 2002-2007 г.

5. . Математика. Гтовимся к ЕГ, 2005.

6. . Алгебра и начала анализа; Учебник для 10-11 кл. средней школы – 2-е изд. – М. Просвещение, 2000.

7. , , . Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. средней школы – 4-е изд. – М. Просвещение, 2002.

8. и др. Алгебра и начала анализа.10-11 кл.: В двух частях. Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. Ч2: Задач. Для общеобразоват. учреждений.- 5-е изд.-М.:Мнемозина,2004.

Видео:Решение тригонометрических уравнений. 10 класс.Скачать

Методы решения тригонометрических уравнений

Разделы: Математика

Составной частью ЕГЭ являются тригонометрические уравнения.

К сожалению, не существует общего единого метода, следуя которому можно было бы решить любое уравнение, в котором участвуют тригонометрические функции. Успех здесь могут обеспечить лишь хорошие знания формул и умение видеть те или иные полезные комбинации, что вырабатывается лишь практикой.

Общая цель обычно состоит в преобразовании входящего в уравнение тригонометрического выражения к такому виду, чтобы корни находились из так называемых простейших уравнений:

сos px = a;

sin gx = b;

tg kx = c;

ctg tx = d.

Для этого необходимо уметь применять тригонометрические формулы. Полезно знать и называть их “именами”:

1. Формулы двойного аргумента, тройного аргумента:

сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;

sin 2x = 2 sin x cos x;

tg 2x = 2 tg x/1 – tg x;

ctg 2x = (ctg 2 x – 1)/2 ctg x;

sin 3x = 3 sin x – 4 sin 3 x;

cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x;

tg 3x = (2 tg x – tg 3 x)/(1 – 3 tg 2 x);

ctg 3x = (ctg 3 x – 3ctg x)/(3ctg 2 x – 1);
2. Формулы половинного аргумента или понижения степени:
sin 2 x/2 = (1 – cos x)/2; сos 2 x/2 = (1 + cos x)/2;
tg 2 x = (1 – cos x)/(1 + cos x);
ctg 2 x = (1 + cos x)/(1 – cos x);

3. Введение вспомогательного аргумента:

рассмотрим на примере уравнения a sin x + b cos x = c а именно, определяя угол х из условий sin y = b/v(a 2 + b 2 ), cos y = a/v(a 2 + b 2 ), мы можем привести рассматриваемое уравнение к простейшему sin (x + y) = c/v(a 2 + b 2 ) решения которого выписываются без труда; тем самым определяются и решения исходного уравнения.

4. Формулы сложения и вычитания:

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;

sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b;

cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b;

cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;

tg (a + b) = ( tg a + tg b)/(1 – tg a tg b);

tg (a – b) = ( tg a – tg b)/(1 + tg a tg b);

5. Универсальная тригонометрическая подстановка:

cos a = (1 – tg 2 (a/2))/(1 + (tg 2 (a/2));

tg a = 2 tg a/2/(1 – tg 2 (a/2));

6. Некоторые важные соотношения:

sin x + sin 2x + sin 3x +…+ sin mx = (cos (x/2) -cos (2m + 1)x)/(2 sin (x/2));

cos x + cos 2x + cos 3x +…+ cos mx = (sin (2m+ 1)x/2 – sin (x/2))/(2 sin (x/2));

7. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

sin a + sin b = 2 sin(a + b)/2 cos (a – b)/2;

sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;

cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;

cos a – cos b = -2 sin(a + b)/2 sin (b – a)/2;

tg a + tg b = sin (a + b)/(cos a cos b);

tg a – tg b = sin (a – b)/(cos a cos b).

А также формулы приведения.

В процессе решения надо особенно внимательно следить за эквивалентностью уравнений, чтобы не допустить потери корней (например, при сокращении левой и правой частей уравнения на общий множитель), или приобретения лишних корней (например, при возведении обеих частей уравнения в квадрат). Кроме того, необходимо контролировать принадлежат ли получающие корни к ОДЗ рассматриваемого уравнения.

Во всех необходимых случаях (т.е. когда допускались неэквивалентные преобразования), нужно обязательно делать проверку. При решении уравнении необходимо научить учащихся сводить их к определенным видам, обычно начиная с легких уравнении.

Ознакомимся с методами решения уравнений:

1. Сведение к виду аx 2 + bx + c = 0

2. Однородность уравнений.

3. Разложение на множители.

4. Сведение к виду a 2 + b 2 + c 2 = 0

5. Замена переменных.

6. Сведение уравнения к уравнению с одной переменной.

7. Оценка левой и правой части.

8. Метод пристального взгляда.

9. Введение вспомогательного угла.

10. Метод “ Разделяй и властвуй ”.

1. Решить уравнение: sin x + cos 2 х = 1/4.

Решение: Решим методом сведения к квадратному уравнению. Выразим cos 2 х через sin 2 x

4 sin 2 x – 4 sin x – 3 = 0

sin x = -1/2, sin x = 3/2(не удовлетворяет условию х€[-1;1]),

т.е. х = (-1) к+1 arcsin 1/2 + k, k€z,

Ответ: (-1) к+1 /6 + k, k€z.

2. Решить уравнение: 2 tg x cos x +1 = 2 cos x + tg x,

решим способом разложения на множители

2 tg x cos x – 2 cos x + 1 – tg x = 0,где х /2 + k, k€z,

2 cos x (tg x – 1) – (tg x – 1) = 0

(2 cos x – 1) (tg x – 1) = 0

2 cos x – 1 = 0 или tg x – 1 = 0

cos x = 1/2, tgx = 1,

т.е х = ± /3 + 2k, k€z, х = /4 + m, m€z.

Ответ: ± /3 + 2k, k€z, /4 + m, m€z.

3. Решить уравнение: sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0.

Решение: sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0 однородное уравнение 2 степени. Поскольку cos x = 0 не является корнем данного уравнения, разделим левую и правую часть на cos 2 х. В результате приходим к квадратному уравнению относительно tg x

tg x = 1 и tg x = 2,

откуда х = /4 + m, m€z,

х = arctg 2 + k, k€z.

Ответ: /4 + m, m€z, arctg 2 + k, k€z.

4. Решить уравнение: cos (10x + 12) + 42 sin (5x + 6) = 4.

Решение: Метод введения новой переменной

Пусть 5х + 6 = у, тогда cos 2у + 42 sin у = 4

1 – 2 sin 2 у + 42 sin у – 4 = 0

sin у = t, где t€[-1;1]

2t 2 – 42t + 3 = 0

t = 2/2 и t = 32/2 (не удовлетворяет условию t€[-1;1])

sin (5x + 6) = 2/2,

5x + 6 = (-1) к /4 + k, k€z,

х = (-1) к /20 – 6/5 + k/5, k€z.

Ответ: (-1) к ?/20 – 6/5 + ?k/5, k€z.

5. Решить уравнение: (sin х – cos у) 2 + 40х 2 = 0

Решение: Используем а 2 +в 2 +с 2 = 0, верно, если а = 0, в = 0, с = 0. Равенство возможно, если sin х – cos у = 0, и 40х = 0 отсюда:

х = 0, и sin 0 – cos у = 0, следовательно, х = 0, и cos у = 0, отсюда: х = 0, и у = /2 + k, k€z, также возможна запись (0; /2 + k) k€z.

Ответ: (0; /2 + k) k€z.

6. Решить уравнение: sin 2 х + cos 4 х – 2 sin х + 1 = 0

Решение: Преобразуем уравнение и применим метод “разделяй и властвуй”

(sin 2 х – 2 sin х +1) + cos 4 х = 0;

(sin х – 1) 2 + cos 4 х = 0; это возможно если

(sin х – 1) 2 = 0, и cos 4 х = 0, отсюда:

sin х – 1 = 0, и cos х = 0,

sin х = 1, и cos х = 0, следовательно

х = /2 + k, k€z

Ответ: /2 + k, k€z.

7. Решить уравнение: sin 5х + sin х = 2 + cos 2 х.

Решение: применим метод оценки левой и правой части и ограниченность функций cos и sin.

– 1 sin 5х 1, и -1 sin х 1

0 cos 2 х 1

0 + 2 2 + cos 2 х 1 + 2

2 2 + cos 2 х 3

sin 5х + sin х 2, и 2 + cos 2 х 2

-2 sin 5х + sin х 2, т.е.

sin 5х + sin х 2,

имеем левая часть 2, а правая часть 2,

равенство возможно если, они оба равны 2.

cos 2 х = 0, и sin 5х + sin х = 2, следовательно

х = /2 + k, k€z (обязательно проверить).

Ответ: /2 + k, k€z.

8. Решить уравнение: cos х + cos 2х + cos 3х+ cos 4х = 0.

Решение: Решим методом разложения на множители. Группируем слагаемые, расположенные в левой части, в пары.

(В данном случае любой способ группировки приводит к цели.) Используем формулу cos a+cos b=2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2.

2 cos 3/2х cos х/2 + 2 cos 7/2х cos х/2 = 0,

cos х/2 (cos 3/2х + cos 7/2х) = 0,

2 cos 5/2х cos х/2 cos х = 0,

Возникают три случая:

cos х/2 = 0, х/2 = /2 + k, k€z, х = + 2k, k€z;
cos 5/2х = 0, 5/2х = /2 + k, k€z, х = /5 + 2/5k, k€z;
cos х = 0, х = /2 + k, k€z.

Ответ: + 2k, /5 + 2/5k, /2 + k, k€z.

Обратим внимание на то, что второй случай включает в себя первый. (Если во втором случае взять к = 4 + 5, то получим + 2n). Поэтому нельзя сказать, что правильнее, но во всяком случае “культурнее и красивее” будет выглядеть ответ: х₁ = /5 + 2/5k, х₂ = /2 + k, k€z. (Вновь типичная ситуация, приводящая к различным формам записи ответа). Первый ответ также верен.

Рассмотренное уравнение иллюстрирует весьма типичную схему решения – разложение уравнения на множители за счёт попарной группировки и использования формул:

sin a + sin b = 2 sin (a + b)/2 cos (a – b)/2;

sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;

cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;

cos a – cos b = -2 sin (a + b)/2 sin (b – a)/2.

Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических. Приведём решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления лишних (посторонних) корней и методы “борьбы” с ними.

Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнений. Приведём примеры.

9. Решить уравнение: (sin 4х – sin 2х – cos 3х + 2sin х -1)/(2sin 2х – 3) = 0.

Решение: Приравняем нулю числитель (при этом происходит расширение области определения уравнения – добавляются значения х, обращающие в нуль знаменатель) и постараемся разложить его на множители. Имеем:

2 cos 3х sin х – cos 3х + 2sin х – 1 = 0,

(cos 3х + 1) (2 sin х – 1) = 0.

Получаем два уравнения:

cos 3х + 1 = 0, х = /3 + 2/3k.

Посмотрим, какие k нам подходят. Прежде всего, заметим, что левая часть нашего уравнения представляет собой периодическую функцию с периодом 2. Следовательно, достаточно найти решение уравнения, удовлетворяющее условию 0 х 8 х – cos 5 х = 1.

Решение этого уравнения основывается на следующем простом соображении: если 0 t убывает с ростом t.

Значит, sin 8 х sin 2 х, – cos 5 х cos 2 х;

Сложив почленно эти неравенства, будем иметь:

sin 8 х – cos 5 х sin 2 х + cos 2 х = 1.

Следовательно, левая часть данного уравнения равна единице тогда и только тогда, когда выполняются два равенства:

sin 8 х = sin 2 х, cos 5 х = cos 2 х,

т.е. sin х может принимать значения -1, 0

Ответ: /2 + k, + 2k, k€z.

Для полноты картины рассмотрим ещё пример.

12. Решить уравнение: 4 cos 2 х – 4 cos 2 3х cos х + cos 2 3х = 0.

Решение: Будем рассматривать левую часть данного уравнения как квадратный трёхчлен относительно cos х.

Пусть D – дискриминант этого трёхчлена:

1/4 D = 4 (cos 4 3х – cos 2 3х).

Из неравенства D 0 следует cos 2 3х 0 или cos 2 3х 1.

Значит, возникают две возможности: cos 3х = 0 и cos 3х = ± 1.

Если cos 3х = 0, то из уравнения следует, что и cos х = 0, откуда х = /2 + k.

Эти значения х удовлетворяют уравнению.

Если cos 3х = 1, то из уравнения cos х = 1/2 находим х = ± /3 + 2k. Эти значения также удовлетворяют уравнению.

Ответ: /2 + k, /3 + 2k, k€z.

13. Решить уравнение: sin 4 x + cos 4 x = 7/2 sin x cos x.

Решение: Преобразуем выражение sin 4 x + cos 4 x,выделив полный квадрат: sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + 2 sin 2 х cos 2 х + cos 4 x – 2 sin 2 х cos 2 х = (sin 2 х + cos 2 х) 2 – 2 sin 2 х cos 2 х, откуда sin 4 x + cos 4 x = 1 – 1/2 sin 2 2х. Пользуясь полученной формулой, запишем уравнение в виде

1-1/2 sin 2 2х = 7/4 sin 2х.

обозначив sin 2х = t, -1 t 1,

получим квадратное уравнение 2t 2 + 7t – 4 = 0,

решая которое, находим t₁ = 1/2, t₂ = – 4

уравнение sin 2х = 1/2

2х = (- 1) к /6 + k, k€z, х = (- 1) к //12 + k /2, k€z .

уравнение sin 2х = – 4 решений не имеет.

Ответ: (- 1) к //12 + k /2, k€z .

14. Решить уравнение: sin 9х + sin х = 2.

Решение: Решим уравнение методом оценки. Поскольку при всех значениях а выполнено неравенство sin а1,то исходное уравнение равносильно sin х = 1 и sin 9х =1,откуда получаем х = /2 + 2k, k€z и х = /18 + 2n, n€z.

Решением будут те значения х, при которых выполнено и первое, и второе уравнение. Поэтому из полученных ответов следует отобрать только х = /2 + 2k, k€z.

Ответ: /2 + 2k, k€z.

15. Решить уравнение: 2 cos x = 1 – 2 cos 2 x – v3 sin 2х.

Решение: воспользуемся формулой:

сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;

и перепишем уравнение в виде

2 cos x = – cos 2х – 3 sin 2х.

Применим к правой части процедуру введения дополнительного аргумента. Получим уравнение:

2 cos x = – 2 (1/2 cos 2х + 3/2 sin 2х),

которое можно записать в виде

2 cos x = – 2 (cos а cos 2х + sin а sin 2х),

где очевидно, а = /3. Преобразуя правую часть полученного уравнения с помощью формулы:

cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;

приходим к уравнению

2 cos x = – 2 cos (2х – /3),

cos x + cos (2х – /3) = 0.

Последнее уравнение легко решить, преобразовав сумму косинусов в произведение по формуле:

cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2,

cos x + cos (2х – /3) = 2 cos (3х/2 – /6) cos (/6 – х/2) = 0

Это уравнение расщепляется на два уравнения

cos (3х/2 – /6) = 0, и

cos (/6 – х/2) = 0,

решение которых уже не представляет сколь нибудь значительных трудностей.

Ответ: 2/9(2 + 3n), 2/3(2 + 3 k), n, k€z.

16. При каких значениях параметра а, уравнение а sin x – 4 cos x = 5, имеет решения?

Решение: преобразуем левую часть уравнения, используя формулу введения дополнительного аргумента:

а sin x – 4 cos x = (а 2 + 16) sin (x – y), где y определяется из условий sin y = – 4/(а 2 + 16), и cos y = а /(а 2 + 16).

Но значение y нас не интересует. Поэтому данное уравнение перепишем в виде

(а 2 + 16) sin (x – y) = 5,

sin (x – y) = 5/(а 2 + 16), это уравнение имеет решение при условии 5/(а 2 + 16) 1.

Решим это неравенство:

5/(а 2 + 16) 1, обе части умножим на (а 2 + 16):

5 (а 2 + 16),

(а 2 + 16) 5,

а 2 + 16 25,

а 2 9, или

а 3, следовательно

а € (-;-3] U [3; ).

Ответ: (-;-3] U [3; ).

17. При каких значениях параметра а, уравнение 2 sin 2 x + 3 cos (x +2 а) = 5, имеет решения?

Решение: поскольку 0 sin 2 x 1, и -1 cos (x +2а) 1 левая часть уравнения может равняться 5 тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства sin 2 x = 1, и cos (x +2 а) = 1.

Это означает, что исходное уравнение равносильно системе уравнений sin 2 x = 1, и cos (x +2 а) = 1.

sin x = – 1, sin x = 1, cos (x +2 а) = 1;

х = /2 + n, n€z, и x +2 а = 2 к, к€z;

х = /2 + n, и x = – 2 а + 2 к;

/2 + n = – 2 а + 2 к;

2 а = 2 к – /2 – n;

а = к – /4 – n/2;

а = – /4 + /2 (2к – n);

а = – /4 + m/2, m€z.

Ответ: – /4 + m/2, где m€z.

Рассмотренные выше примеры лишь иллюстрируют несколько общих рекомендаций, которые полезно учитывать при решении тригонометрических уравнений. Из приведённых примеров видно, что дать общий рецепт в каждом конкретном случае невозможно.

Ежегодно варианты экзаменационных материалов ЕГЭ содержат от 4-х до 6-ти различных задач по тригонометрии. Поэтому параллельно с повторением теоретического материала значительное время должно быть отведено решению конкретных задач, в том числе и тригонометрических уравнений. А умение можно выработать, только получив практические навыки в решении достаточного числа тригонометрических уравнений.