Прикладная задача на составление уравнения задание

Разделы: Математика

Цель данной статьи — обоснование роли прикладных задач курса тригонометрии на уроках математики.

Одним из направлений модернизации современного математического образования является усиление прикладной направленности школьного курса математики, то есть осуществление связи его содержания с практикой.

В педагогических исследованиях прикладная направленность математики понимается как содержательная и методическая связь школьного курса с практикой, что предполагает у учащихся наличие умений, необходимых для решения средствами математики практических задач. А так как в основе их решения лежит математическое моделирование, то для реализации прикладной направленности необходимо организовать обучение школьников элементам моделирования, которыми с дидактической точки зрения являются учебные действия, выполняемые в процессе решения задач.

Кроме того, для реализации прикладной направленности математики существенное значение имеет использование в преподавании различных активных форм и методов организации учебного процесса, которые построены на коммуникативном взаимодействии и самостоятельном добывании и применении знаний самими учащимися: мозговая атака и мозговой штурм, метод проектов, тренинг, исследовательский метод, деловые игры и др.

В данной статье рассмотрен фрагмент одного из уроков математики, проведенного в форме деловой игры «Метод проектов» [1]. В статье опущены подробные описания этапов организации урока (они известны учителям, использующим интерактивные методы обучения), а рассмотрены лишь содержательные аспекты урока.

Микрогруппа 1

Задача 1. При планировании графика полета, пилот должен рассчитать скорость, v км/ч, на плоскости, принимая во внимание скорость и направление ветра. Скорость в км/ч можно выразить в виде . Без использования калькулятора, найти значение v, если .

Задача 2. Найти высоту горы. (рис.1)

Задача 3. Электрическая цепь. В колебательном контуре, заряд, q Кулонов, задан формулой , где t — время в секундах после включения схемы.

1. Найдите первоначальный заряд.
2. Найдите значения А и В, если дано, что , где
3. Выведите значение заряда с течением времени.

Микрогруппа 2

Задача 1. Популяция насекомых. Эколог, изучающий вид жука, оценивает популяцию колонии в течение восьми недель. Если t — это количество недель после первоначальной оценки, то численность насекомых в тысячах может быть смоделирована формулой , где .

1. Какова была первоначальная численность вида?
2. Каковы были самое маленькое и самое большое число популяции?
3. В течение какого интервала(ов) численность превышала 6000?

Задача 2. С подножия здания я должен смотреть 22 o вверх, чтобы посмотреть на вершину дерева. С вершины здания, на высоте 150 метров над уровнем земли, я должен смотреть вниз под углом 50 o ниже горизонтали, чтобы увидеть вершину дерева. (рис. 2)

1. Насколько высоко дерево?
2. Как далеко от здания растёт это дерево?

Задача 3. Равновесие. Диаграмма показывает шар P, присоединенный к двум струнам, которые наклонены под углами А и Q к горизонтали. Напряженностью в струнах являются 10 N (то есть ньютонов) и F N. Усилие на мяче под воздействием силы тяжести составляет 20 N. (рис.3) Когда мяч находится в равновесии, то можно показать, что

1. Используйте тождество , чтобы выразить F через A.
2. Показать, что
3. Найти точные значения F и учитывая, что A = 30 o .

Микрогруппа 3

Задача 1. Приливы. Высота, в метрах, приливов регистрируется на определенном пляже со временем t часов. Обнаружено, что высота y m, задается уравнением .

1. Нарисуйте график y для .
2. Найти высоту прилива через 4 часа с начала исследования.

Задача 2. Башня связи. Как показано на рисунке, башня связи построена наверху здания. Найдите высоту башни. (рис.4)

Задача 3. Артериальное давление. Джерри измерил своё артериальное давление P (в мм ртути) со временем и обнаружил, что функция , где t > 10, примерно соответствует его артериальному давлению в момент времени t (в секундах). Найдите наименьшее значение t больше 10, для которого P = 100 .

Наблюдения и анализ уроков показывают, что уроки, построенные в форме группового общения имеют большое значение для развития учащихся. Кроме того, решение прикладных задач повышает мотивацию обучения.

Литература

1. Полат Е.С., Бухаркина М.Ю., Моисеева М.В., Петров А.Е. Новые педагогические технологии в системе образования. — М.: Академия, 2000.

Решение уравнений. Решение задач прикладного содержания.
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Урок итогового повторения «Решение уравнений. Решение садач практического содержания». Данный урок может быть использован при подготовки к ЕГЭ в 11 классе.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок итогового повторения: Решение уравнений. Решение задач прикладного содержания. 11 класс

Автор: Шемарова Татьяна Анатольевна, учитель математики МОУ «Средняя школа №16», г.Кимры, Тверской области.

Предмет: алгебра и начала анализа.

Цель урока : 1) умение анализировать условие задачи, умение логически мыслить, умение выделять основные этапы решения, умение конкретизировать и обобщать, умение анализировать полученный результат, умение делать выводы.

Образовательные — повторить алгоритм решения логарифмических, показательных, иррациональны, дробно-иррациональных уравнений, применение уравнений при решении задач прикладного содержания, оценка знаний полученных учащимися.

Развивающие — развитие логического и пространственного мышления учащихся; память; анализ.

Воспитательные — эстетическое воспитание; воспитание ответственности за конечный результат, самостоятельности.

I. Организационный момент. Постановка цели урока. Перед нами стоит задача: повторить виды, методы и особенности решения логарифмических, показательных и иррациональных уравнений и применить их на практике. Только личный труд каждого в изучении математики может принести результаты.

Наши знания должны работать и дать положительный результат на экзамене. Сегодня Маша, Даша Зина и Наташа проверят свои знания и умения решать уравнения, Вам предлагается решить по 4 уравнения. В соответствии с этой оценкой мы постараемся устранить имеющиеся пробелы.

А мы с вами повторим решение уравнений. Внимание на доску, решаем уравнения.

II. Устная работа:

1. Найдите корни уравнения:

Вопросы к учащимся при решении устных заданий:

1. Повторить алгоритм решения логарифмических, показательных, иррациональных уравнений.
2. Что надо учитывать при решении логарифмических уравнений и иррациональных уравнений.
3. Решение тригонометрических уравнений.

Четверо учащихся в это время решают устно на местах индивидуальные задания.

III. Работа с текстом заданий.

В заданиях ЕГЭ встречаются задания (конкретно – задания В5, В12, В13, С1, С5), где возникает необходимость в знании и умении решать уравнения.

Сегодня мы вместе будем выполнять задания типа В12 и С1. У Вас на партах лежат памятки по выполнению задания В12, сейчас выполняем вместе используя данную памятку будем выполнять задания на доске.

1. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону

m(t) = , где (мг) — начальная масса изотопа, t (мин.) — время, прошедшее от начального момента, T (мин.) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа =40 мг. Период его полураспада T=10 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 10 мг?

1. Для обогрева помещения, температура в котором равна , через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой . Расход проходящей через трубу воды m=0,3 кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры T(˚C) , причeм x=α (м), где c= 4200 — теплоeмкость воды,γ =21 — коэффициент теплообмена, а α=0,7 — постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 84 м?
2. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону H(t)=a , где =6м — начальный уровень воды, м/мин2, и b= — м /мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Сейчас мы с частью учащихся будем решать задания С1, а на парте у учащихся лежат задания это перевернутые листочки, вы выполняете в тетрадях для подготовки к ЕГЭ.

IV. Самостоятельная работа

Далее работаем параллельно часть учеников выполняет часть 2 С1, а тем кто не решает вторую часть выполняет самостоятельную работу.

1. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h=5 , где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.
2. Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаётся формулой q=100-10p . Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p)=q•p . Определите наибольшую цену p , при которой месячная выручка r(p) составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
3. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой η= , где — температура нагревателя (в градусах Кельвина), — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя КПД этого двигателя будет не меньше 25%, если температура холодильника К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

1. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h=5 , где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,4 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.
2. Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаётся формулой q=130-10p . Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p)=q•p . Определите наибольшую цену p , при которой месячная выручка r(p) составит не менее 360 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
3. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой η= , где — температура нагревателя (в градусах Кельвина), — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя КПД этого двигателя будет не меньше 15%, если температура холодильника К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

б) Найдите все корни уравнения принадлежащие, промежутку

б) Найдите все корни уравнения принадлежащие, отрезку промежутку

Д/З: а) Решите уравнение =4

б) Найдите все корни уравнения принадлежащие, промежутку

Домашнее задание: Выполнить 5 заданий В12 (различные) из Открытого банка заданий ЕГЭ по математике.

1) Алгебра и начала анализа для 10 класса, авторов: Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва, Н.Е. Фёдорова и М.И. Шабунин, под редакцией А.Б. Жижченко. – М. Просвещение, 2009.

Задачи на составление уравнений

Задачи на составление уравнений

Бригада рабочих должна была выполнить заказ за 5 дней. Ежедневно превышая норму на 18 деталей, она за 3,5 дня работы не только выполнила задание, но и изготовила 27 деталей сверх плана. Сколько деталей изготовила бригада?

В упаковке находится 2 кг смеси сухофруктов. Чернослива в этой смеси в 1,6 раза больше, чем яблок, а изюма на 0,2 кг больше, чем яблок. Сколько яблок, чернослива и изюма в упаковке в отдельности?

Каждый из двух пешеходов прошел по 6 км. Скорость первого пешехода на 3 км/ч больше скорости второго, а поэтому время, которое был в пути первый пешеход, отличается от времени второго пешехода на 1 час. Сколько времени был в пути первый пешеход?

Из пунктов А и В, расстояние между которыми 19 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 9 км от пункта А. Найдите скорость каждого, если известно, что пешеход, вышедший из А, шел со скоростью на 1км/ч большей, чем второй пешеход, и сделал в пути получасовую остановку.

Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошел по реке расстояние, равное 15 км/ч, по течению и такое же расстояние против течения. Найдите скорость течения реки, если время, затраченное на весь путь, равно 4 ч.

Зарплата лаборанта составляла 100 рублей в месяц, после двух последовательных повышений на одно и то же число процентов она стала составлять 121 р. На сколько процентов каждый раз повышалась зарплата лаборанта?

За 3 м одной ткани и 3 м другой заплатили 90 рублей. Сколько стоит 1 м каждой ткани, если 9 м первой ткани стоят столько же, сколько 6 м второй ткани?

В двух корпусах пансионата было 720 мест для отдыхающих. После реконструкции в первом корпусе число мест увеличилось на 15 %, а во втором – на 10 %. Сколько мест для отдыхающих стало в каждом корпусе, если общее число мест в обоих корпусах увеличилось на 80?

Обозначим через х количество деталей, которое бригада планировала изготавливать за один день. Тогда, выполнив заказ за 5 дней, она по плану должна была изготовить 5х деталей, но превышая норму, бригада изготовляла в день (х + 18) деталей, значит, за 3,5 дня она сделала (х + 18) · 3,5 деталей. По условию задачи бригада за 3,5 дня не только выполнила задание, но и изготовила 27 деталей сверх плана. С учетом этого составляем уравнение: (х + 18) · 3,5 = 5х + 27.

Решаем полученное уравнение (х + 18) · 3,5 = 5х + 27.

5х – 3,5х = 63 – 27; 1,5х = 36; х = 24. Значит, бригада планировала изготовлять в день по 24 детали, а делала 24 + 18 = 42 детали; тогда за 3,5 дня она сделала 42 · 3,5 = 147 деталей.

О т в е т: 147 деталей.

Пусть в упаковке х кг яблок, тогда чернослива в ней 1,6х кг, а изюма – (х + 0,2) кг. Вся смесь имеет массу 2 кг.

Уравнение: х + 1,6х + х + 0,2 = 2.

Решение уравнения: 3,6х = 2 – 0,2,

В упаковке 0,5 кг яблок, 0,7 кг изюма и 0,8 кг чернослива.

О т в е т: 0,5 кг; 0,7 кг; 0,8 кг.

Пусть первый пешеход был в пути х часов, тогда 6 км он прошел за км/ч. Так как скорость первого пешехода была больше скорости второго, то второй пешеход на такое же расстояние времени затратил, по условию задачи, на 1 час больше. Значит он в пути был (х + 1) часов и его скорость была ровна км/ч.

По условию задачи скорость первого пешехода была больше скорости второго пешехода на 3 км/ч. С учетом этого составляем уравнение: . (Уравнение также можно записать в виде , или .

Решаем полученное уравнение:

; ; ; ;

;

+ х – 2 = 0;

;

При х1 = 1 х(х+1) ? 0; при х2 = –2 х(х + 1) ? 0. значит х1 = 1 и х2 = –2 – корни уравнения, но значение х2 = –2 условию задачи не удовлетворяет, так как время движения пешехода не может быть выражено отрицательным числом. Следовательно, х = 1.

О т в е т: первый пешеход был в пути 1 час.

Обозначим скорость пешехода, вышедшего из пункта А, – х км/ч, тогда скорость второго пешехода – (х – 1) км/ч. Первый пешеход был в пути ч, а второй – ч. По условию задачи пешеходы вышли одновременно и встретились, но второй пешеход делал остановку на ч, следовательно, можно составить уравнение: .

Решение уравнения: Решение уравнения: , НОЗ: 2х(х – 1).

D = 9 + 4 · 18 = 91,

,

При х = 6 2х(х – 1) ? 0, при х = –3 2х(х – 1) ? 0, значит, х = 6 и х = –3 – корни составленного уравнения, но х = –3 не удовлетворяет условию задачи, остается х = 6. Скорость пешехода, вышедшего из пункта А – 6 км/ч, скорость второго 6 – 1 = 5 км/ч.

О т в е т: 6 км/ч, 5 км/ч.

Пусть хкм/ч – скорость течения реки, тогда скорость катера по течению (8 + х) км/ч, а против течения – (8 – х) км/ч, и время движения по течению ч, а против течения ч. По условию задачи время, затраченное на весь путь, равно 4 ч.

Уравнение: .

Решение уравнения: ;НОЗ: (8 + х)(8 – х),

При х = 2 (8 + х)(8 – х) ≠ 0, при х = –2 (8 + х)(8 – х) ≠ 0, значит х = 2 и х = –2 – корни уравнения, но х = –2 условию задачи не удовлетворяет, следовательно, х = 2, т. е. скорость течения реки 2 км/ч.

О т в е т: 2 км/ч.

Пусть зарплата лаборанта повышалась каждый раз на х %, тогда первый раз она повысилась на 100 : 100 · х = х руб. и стала составлять (100 + х) рублей. Во второй раз она повысилась на (100 + х) : 100 · х рублей и стала составлять после этого рублей, достигнув, по условию задачи, размера 121 рубль в месяц. С учетом этого составляем уравнение: .

Решаем полученное уравнение:

;

;

Значит, х = –210 и х = 10 – корни уравнения, но значение х = –210 условию задачи не удовлетворяет, так как является отрицательным числом. Следовательно, зарплата лаборанта дважды повышалась на 10 %.

Пусть один метр первой ткани стоит х рублей, а один метр второй ткани стоит у рублей. Тогда 3 м первой ткани стоят 3х рублей, а 3 м второй ткани стоят 3у рублей. Так как по условию задачи за 3 м одной ткани и 3 м второй заплатили 90 рублей, составляем уравнение: 3х + 3у = 90.

Поскольку 9 м первой ткани стоят 9х рублей, а 6 м второй ткани стоят 6у рублей, а по условию задачи 9 м первой ткани стоят столько же, сколько 6 м второй ткани, составляем второе уравнение: 9х = 6у.

Так как х и ув обоих уравнениях обозначают одни и те же величины, можно составить систему уравнений:

Решаем систему уравнений.

Итак, решение системы: (12; 18). Значит, 1 м первой ткани стоит 12 рублей, а 1 м второй – 18 рублей.

О т в е т: 12 р., 18 р.

Пусть в первом корпусе было х мест, а во втором у мест. Так как по условию задачи в обоих корпусах вместе было 720 мест, то можно составить уравнение: х + у = 720.

Поскольку число мест в первом корпусе увеличилось на 15 %, то есть на 0,15х мест, а во втором – на 10 %, то есть на 0,1у мест, причем общее число мест в обоих корпусах увеличилось на 80, то можно составить второе уравнение: 0,15х + 0,1у = 80.

Итак, имеем систему уравнений:

Решаем полученную систему уравнений:

Значит, в первом корпусе первоначально было 160 мест, затем стало: 160 · 1,15 = 184; во втором корпусе первоначально было 560 мест, затем стало: 560 · 1,1 = 616 мест.

О т в е т: 184 места и 616 мест.

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

По шоссе движутся две автомашины с одной и той же скоростью. Если первая машин увеличит свою скорость на 10 км/ч, а вторая – уменьшит на 10 км/ч, то первая автомашина за 5 часов пройдет столько же, сколько вторая за 7 часов. С какой скоростью движутся автомашины?

Два токаря должны изготовить по 40 деталей. Сколько деталей в час изготавливал первый токарь, если второй, изготавливая на 3 детали в час меньше, затратил на всю работу на 3 часа больше?

Группа школьников купила мороженое, уплатив за покупку 1 р. 45 к. монетами достоинством в 10 к. и 15 к. Сколько монет по 10 к. и сколько монет по 15 к. отдали школьники за покупку, если всего было отдано 11 монет?

О т в е т: 60 км/ч.

О т в е т: 8 деталей в час.

О т в е т: 4 монеты по 10 к. и 7 монет по 15 к.