Приближенное решение уравнений комбинированным методом i (6 видео)

Приближенное решение уравнений: комбинированный метод

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Приближённое решение уравнений: Комбинированный метод.

Рассмотрим задачу нахождения нулей функции f ( x ), т.е. корней уравнения f ( x )=0. п редположим, что интересующий нас корень  изолирован, т.е., что найден содержащий его промежуток [ a , b ], в котором других корней нет.

Если на концах отрезка [ a , b ] функция f ( x ) имеет значения f ( а ) и f ( b ) разных знаков, то по 1 теореме Больцано — Коши, деля на части  а _k , b _k , содержащее корень, и определяя знак функции f в точках деления, можно произвольно сужать этот промежуток и таким образом осуществлять приближённое вычисление корня. Такой метод называется методом половинного деления . Однако этот приём, не смотря на его принципиальную простоту, на практике часто оказывается непригодным, так как требует слишком большого количества вычислений.

Рассмотрим один из основных приёмов приближённого вычисления изолированного корня уравнения f ( x ) = 0. При этом будем использовать основные понятия и методы дифференцированного исчисления.

Теорема. Пусть выполнены следующие условия:

(1) функция f в промежутке [ a , b ] непрерывна вместе со своими производными f  ( x ) и f  ( х );

(2) значения f ( а ) и f ( b ) функции на концах промежутка имеют разные знаки f ( а ) f ( b )  0;

(3) обе производные f ‘ ( x ) и f  ( х ) сохраняют каждая определённый знак на всём промежутке [ a , b ].

Тогда уравнение f ( x )=0 на этом промежутке имеет единственный корень.

Следствия: Из непрерывности функции f и условия (2) следует, что между а и b содержится корень  уравнения f ( x ) = 0. Так как производная f  ( x ) сохраняет знак, то f в промежутке [ a , b ] возрастает или убывает и, следовательно, обращается в 0 лишь однажды, корень  изолирован.

Условие (3) геометрически означает, что кривая y = f ( x ) не только идёт в одном направлении, но к тому же строго выпукла или вогнута, смотря по знаку f  ( х ) . На чертеже изобразим 4 возможных случая, соответствующих различным комбинациям знаков f  ( x ) и f  ( х ) .

Содержание

Исследование методов приближенного решения уравнений
Скачать:
Предварительный просмотр:
Приближенное решение уравнений комбинированным методом i
💡 Видео

Видео:Численное решение уравнений, урок 5/5. Комбинированный метод хорд и касательныхСкачать

Исследование методов приближенного решения уравнений

Работа посвящена исследованию методов приближенного решения уравнений. Рассмотрены следующие методы приближенногорешения уравнений: метод половинного деления, метод хорд, метод касательных, комбинированный метод, построены компьютерные модели всех изученных методов на языке программирования Free Pascal. Модели позволили провести сравнительный анализ изученных методов и выбрать среди них оптимальный.

Видео:Комбинированный метод приближенного нахождения корня уравненияСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
start_v_nauku.docx	161.16 КБ

Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Предварительный просмотр:

Городская научно – практическая конференция

Исследование методов приближенного решения уравнений

Секция: современное программирование

Автор: Сергеева Мария Сергеевна,

11 «Б» класс, МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 27»

Руководитель: Сергеева Светлана Александровна

Учитель информатики 1 категории,

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 27»

Теоретическая часть 4

Метод половинного деления 5
Метод хорд 7
Метод касательных 8
Комбинированный метод хорд и касательных 9

Практическая часть 11

Компьютерная модель построения графика функции на языке программирования Free Pascal 11
Компьютерная модель метода половинного деления 13
Компьютерная модель метода хорд 14
Компьютерная модель метода касательных 15
Компьютерная модель комбинированного метода хорд и касательных 16
Сравнительный анализ методов 17

С термином «уравнение» мы знакомимся еще в начальной школе, а задача «решить уравнение», вероятно, является наиболее часто встречающейся задачей не только на уроках математики.

На уроке алгебры при решении уравнений возникают ситуации, когда путем алгебраических преобразований уравнение решить невозможно. Для решения данной проблемы, существуют методы приближенного решения уравнений.

Актуальность темы обоснована тем, что с развитием компьютерной техники методы решения уравнений, основанные на большом количестве повторов, получают возможность широкого применения.

Цель : нахождение оптимального метода приближенного решения уравнения.

Изучить методы приближенного решения уравнения:

метод половинного деления
метод хорд
метод касательных
комбинированный метод

Создать компьютерные модели приближенного решения уравнений с помощью всех методов на языке программирования Free Pascal.
Провести сравнительный анализ методов.

Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса — алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.) называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:

точные методы;
итерационные методы (за счет последовательных приближений получить решение уравнения с необходимой точностью).

Точные методы решения уравнений основываются на поиске равносильных преобразований алгебраических выражений, например, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, деление обеих частей уравнения на одинаковое число не равное 0, а также точные способы решений позволяют записать корни уравнения в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Точные решения существуют только для некоторых уравнений определенного вида (линейные, квадратные, тригонометрические и др.), поэтому для большинства уравнений приходится использовать методы приближенного решения с заданной точностью (графические или численные). В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение выше четвертой степени.

Точные методы решения Приближенные методы решения

Например, уравнение x3+cos x=0 нельзя решить путем равносильных алгебраических преобразований. Но это уравнение можно решать приближенно графическими и численными методами.

Решение уравнения проводят численно в два этапа. На первом этапе производится отделение корней — поиск интервалов, на которых содержится только по одному корню. Второй этап решения связан с уточнением корня на выбранном интервале (определением значения корня с заданной точностью). Далее будут рассмотрены несколько численных методов и приведены алгоритмы нахождения корней уравнений.

Отделение корней уравнения может проводиться графически, т.е. путем построения графика функции y=f(x). Для уравнения вида f (x) = 0 , где f(x) – некоторая непрерывная функция, корень (или корни) этого уравнения являются точкой (или точками) пересечения графика функции с осью абсцисс.

Решение уравнений с заданной точностью

Метод половинного деления

f(x)=0,
где f(x) — непрерывная функция

Отделение корней уравнения можно осуществить путем построения компьютерных моделей:

построение графика функции с помощью одного из языков программирования (в данном случае Free Pascal);
построение графика функции в электронных таблицах Microsoft Excel путем построения диаграммы типа График .

При построении графика функции корни уравнения можно получить лишь с небольшой степенью точности. Поэтому, чтобы эти значения получить с любой заданной степенью точности, необходимо применять методы, которые позволяют «уточнять» найденные значения.

Рассмотрим методы уточнения корней и их основные идеи. Отметим следующий момент: при прочих равных условиях, тот метод уточнения корней будет более эффективен, в котором результат с той же погрешностью найден за меньшее число раз вычисления функции f(x).

1.1. Метод половинного деления

Самый простой из них – метод половинного деления, или иначе метод дихотомии. Метод дихотомии получил свое название от древнегреческого слова διχοτομία, что в переводе означает деление надвое. Его мы используем довольно часто. Допустим, играя в игру «Угадай число», где один игрок загадывает число от 1 до 100, а другой пытается его отгадать, руководствуясь подсказками «больше» или «меньше». Логично предположить, что первым числом будет названо 50, а вторым, в случае если оно меньше — 25, если больше — 75. Таким образом, на каждом этапе неопределенность неизвестного уменьшается в 2 раза. Т.е. даже самый невезучий в мире человек отгадает загаданное число в данном диапазоне за 7 предположений вместо 100 случайных утверждений.

Алгоритм метода половинного деления основан на теореме Больцано — Коши о промежуточных значениях непрерывной функции и следствии из неё.

Теорема Больцано — Коши: если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает любое значение между ними.

Следствие (теорема о нуле непрерывной функции): если непрерывная функция принимает на концах отрезка положительное и отрицательное значения, то существует точка, в которой она равна 0.

Видео:Метод касательных приближенного нахождения корня уравненияСкачать

Приближенное решение уравнений комбинированным методом i

2. 5. Комбинированный метод хорд и касательных

Методы хорд и касательных дают приближения корня с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании друг с другом, тогда уточнение корня происходит быстрее.

Пусть дано уравнение f ( x ) = 0, корень отделен на отрезке [ a , b ].

Рассмотрим случай, когда f ‘( x ) f ’’( x )>0 (рис. 2.13).

В этом случае метод хорд дает приближенное значение корня с недостатком (конец b неподвижен), а метод касательных – с избытком (за начальное приближение берем точку b ).

Тогда вычисления следует проводить по формулам: