При каком значении уравнения имеют общий корень

Условие

При каких значениях параметра а уравнения

(1-2a)x^2-6ax-1=0 и ax^2-x+1=0

имеют общий корень?

Решение

Сумма уравнений имеет вид:
(1-a)x^2-(6a+1)x=0.

x_(1)=0 не является корнем данных уравнений.
При а=1 уравнения принимают вид
-х^2+6x-1=0
x^2-x+1=0
и не имеют общих корней.

Подставляем
х=(6а-1)/(1-а) во второе уравнение:
а*(6а-1)^2/(1-a)^2-(6a-1)/(1-a)+1=0;
a(36a^2+19a-6)=0
a_(1)=0 или
36а^2+19a-6=0
D=19^2-4*36*(-6)=361+864=1225=35^2
a_(2)=(-19-35)/72=-3/4; a_(3)=(-19+35)/72=2/9
О т в е т. при а=-3/4; а=0; а=2/9

При каком целом значении p уравнения 3x ^ 2 — 4x + p — 2 = 0 и x ^ 2 — 2px + 5 = 0 имеют общий корень?

Алгебра | 10 — 11 классы

При каком целом значении p уравнения 3x ^ 2 — 4x + p — 2 = 0 и x ^ 2 — 2px + 5 = 0 имеют общий корень?

Найти этот корень.

Помогите решить, пожалуйста, подробно.

3x² — 4x + p — 2 = x² — 2px + 5

2x² + x(2p — 4) + p — 7 = 0

D = (2p — 4)² — 8(p — 7) = 4p² — 16p + 16 — 8p + 56 = 4p² — 24p + 72≥0

D = 36 — 72 = — 36&lt ; 0

Решите уравнение : способом замены переменной?

Решите уравнение : способом замены переменной.

И найти целый корень.

При каких значениях а уравнение 4 + 3Х = а — 5 имеет отрицательный корень?

При каких значениях а уравнение 4 + 3Х = а — 5 имеет отрицательный корень?

Помогите пожалуйста, как можно подробнее).

Корень из 54756?

Корень из 54756.

Как найти, подробно, пожалуйста.

Как решить следующую задачу : При каких значениях k имеют общий корень уравнения 7x — 2 = 0 и 3x — k = 0(Просьба решить все с объяснениями)?

Как решить следующую задачу : При каких значениях k имеют общий корень уравнения 7x — 2 = 0 и 3x — k = 0(Просьба решить все с объяснениями).

При каких значениях параметра а уравнения и будут иметь общий корень?

При каких значениях параметра а уравнения и будут иметь общий корень?

Найдите этот корень, пожалуйста.

При каких значениях параметра b имеют общий корень уравнения : 2x = 3b — 1 и 3x = 5b + 7?

При каких значениях параметра b имеют общий корень уравнения : 2x = 3b — 1 и 3x = 5b + 7.

При каких значениях p имеют общий корень уравнения x2 + 2x + p = 0 и 3×2 + x + p — 1 = 0 ?

При каких значениях p имеют общий корень уравнения x2 + 2x + p = 0 и 3×2 + x + p — 1 = 0 ?

Помогите решить уравнение и найти его корень?

Помогите решить уравнение и найти его корень.

Найти корень уравнения : (x + 8) ^ 3 = — 64 Решите с подробностями )?

Найти корень уравнения : (x + 8) ^ 3 = — 64 Решите с подробностями ).

Помогите решить пожалуйста , нужно найти корень уравнения?

Помогите решить пожалуйста , нужно найти корень уравнения.

На этой странице сайта, в категории Алгебра размещен ответ на вопрос При каком целом значении p уравнения 3x ^ 2 — 4x + p — 2 = 0 и x ^ 2 — 2px + 5 = 0 имеют общий корень?. По уровню сложности вопрос рассчитан на учащихся 10 — 11 классов. Чтобы получить дополнительную информацию по интересующей теме, воспользуйтесь автоматическим поиском в этой же категории, чтобы ознакомиться с ответами на похожие вопросы. В верхней части страницы расположена кнопка, с помощью которой можно сформулировать новый вопрос, который наиболее полно отвечает критериям поиска. Удобный интерфейс позволяет обсудить интересующую тему с посетителями в комментариях.

Задачи с параметром

1. Задача.
При каких значениях параметра a уравнение ( a — 1) x 2 + 2 x + a — 1 = 0 имеет ровно один корень?

1. Решение.
При a = 1 уравнение имеет вид 2 x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a № 1, то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a 4 a 2 — 8 a = 0, откуда a = 0 или a = 2.

1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О .

2. Задача.
Найти все значения параметра a , при которых имеет два различных корня уравнение x 2 +4 ax +8 a +3 = 0.
2. Решение.
Уравнение x 2 +4 ax +8 a +3 = 0 имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D = 16 a 2 -4(8 a +3) > 0. Получаем (после сокращения на общий множитель 4) 4 a 2 -8 a -3 > 0, откуда

a Ц 7 2

или a > 1 +

Ц 7 2

2. Ответ:

a О (- Ґ ; 1 –

Ц 7 2

) И (1 +

Ц 7 2

; Ґ ).

3. Задача.
Известно, что
f 2 ( x ) = 6 x — x 2 -6.
а) Постройте график функции f 1 ( x ) при a = 1.
б) При каком значении a графики функций f 1 ( x ) и f 2 ( x ) имеют единственную общую точку?

3. Решение.
3.а. Преобразуем f 1 ( x ) следующим образом
График этой функции при a = 1 изображен на рисунке справа.
3.б. Сразу отметим, что графики функций y = kx + b и y = ax 2 + bx + c ( a № 0) пересекаются в единственной точке тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx + b = ax 2 + bx + c имеет единственный корень. Используя представление f 1 из 3.а , приравняем дискриминант уравнения a = 6 x — x 2 -6 к нулю. Из уравнения 36-24-4 a = 0 получаем a = 3. Проделав то же самое с уравнением 2 x — a = 6 x — x 2 -6 найдем a = 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 2 или a = 3.

4. Задача.
Найти все значения a , при которых множество решений неравенства x 2 -2 ax -3 a і 0 содержит отрезок [3;6].

4. Решение.
Первая координата вершины параболы f ( x ) = x 2 -2 ax -3 a равна x 0 = a . Из свойств квадратичной функции условие f ( x ) і 0 на отрезке [3;6] равносильно совокупности трех систем

м н о

a Ј 3, f (3) = 9-9 a і 0,

м н о

3 a D = 4 a 2 +12 a Ј 0,

м н о

a і 6, f (6) = 36-15 a і 0.

Решением первой системы является множество (- Ґ ,1]. Вторая и третья система решений не имеют.

4. Ответ: a О (- Ґ ,1].

5. Задача (9 кл.)
При каком наименьшем натуральном значении a уравнение

x 2 +2 ax -3 a +7 = 2 x

имеет ровно два решения?

5. Решение.
Перепишем это уравнение в виде x 2 + (2 a -2) x — 3 a +7 = 0. Это квадратное уравнение, оно имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней является выполнение неравенства a 2 + a -6 > 0. Решая неравенство, находим a a > 2. Первое из неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим натуральным решением второго является число 3.

6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a , при которых график функции

f ( x ) =

x 2 + | ax +2 | a -1

проходит через точку с координатами (-1;1).

6. Решение.
Из условия f (-1) = 1 имеем уравнение

1 =

1+ | — a +2 | a -1

,

или, после очевидных преобразований, a -2 = | 2- a | . Последнее уравнение равносильно неравенству a і 2.

6. Ответ: a О [2; Ґ ).

7. Задача (10 кл.)
При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения

x 2 -2 ax + a 2 — a = 0

больше чем 12?

7. Решение.
Дискриминант уравнения x 2 -2 ax + a 2 — a = 0 равен 4 a . Поэтому действительные корни этого уравнения существуют, если a і 0. Применяя к данному уравнению теорему Виета получаем x 1 + x 2 = 2 a и x 1 · x 2 = a 2 — a . Отсюда x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 -2 x 1 · x 2 = 2 a 2 +2 a . Решениями неравенства 2 a 2 +2 a > 12, удовлетворяющими условию a і 0, являются числа a > 2.