При каком значении параметра система линейных уравнений будет совместна

Видео:Исследование систем линейных уравнений на совместностьСкачать

Системы линейных уравнений

Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

Классификация систем линейных уравнений

Определение. Две системы называются эквивалентными, если решение первой является решением второй и наоборот.

Определение. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Определение. Система, имеющая единственное решение, называется определенной, а имеющая более одного решения – неопределенной.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Вторая часть.

В первой части мы рассматривали системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), все коэффициенты которых были известны. В этой же части разберём СЛАУ, среди коэффициентов которых есть некий параметр. Для исследования СЛАУ на совместность станем использовать теорему Кронекера-Капелли. В процессе решения примеров на данной странице будем применять метод Гаусса или же метод Крамера. Сформулируем теорему и следствие из неё ещё раз:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $rang A=rangwidetilde$.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли

Параметр $n$, использованный выше, равен количеству переменных рассматриваемой СЛАУ.

Исследовать СЛАУ $ left <begin& kx_1+2x_2+x_3=8;\ & -x_1+x_2+2x_3=7;\ & x_2+kx_3=5.endright.$ на совместность и найти решение системы в зависимости от значений параметра $k$.

Чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы $A$ и ранг расширенной матрицы системы $widetilde$. Сделать это можно несколькими путями. Стоит учесть, что в данном примере нам требуется не только исследовать систему на совместность, но и указать её решения. Мне кажется наиболее удобным в таких задачах применять метод Гаусса, однако это вовсе не является обязательным. Для разнообразия данный пример решим методом Гаусса, а следующий – методом Крамера. Итак, запишем и начнём преобразовывать расширенную матрицу системы. При записи расширенной матрицы системы поменяем местами первую и вторую строки. Это нужно для того, чтобы первым элементом первой строки стало число -1.

$$ left(begin -1 & 1 &2 &7 \ k & 2 & 1 & 8\ 0 & 1 & k & 5 end right) begin phantom \ r_2+kcdot\ phantomendrightarrow left(begin -1 & 1 &2 &7 \ 0 & 2+k & 1+2k & 8+7k\ 0 & 1 & k & 5 end right)rightarrowleft|begin&text\&textendright|rightarrow \ rightarrow left(begin -1 & 1 &2 &7 \0 & 1 & k & 5 \ 0 & 2+k & 1+2k & 8+7k end right) begin phantom\phantom\r_3-(2+k)cdotend rightarrow left(begin -1 & 1 &2 &7 \0 & 1 & k & 5 \ 0 & 0 & 1-k^2 & 2k-2 end right) $$

Мы привели расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Напомню, что до черты расположена преобразованная матрица матрица системы: $left(begin-1 & 1 &2\0 & 1 & k\ 0 & 0 & 1-k^2end right)$.

Каким бы ни было значение параметра $k$, полученная нами после преобразований матрица будет содержать не менее двух ненулевых строк (первая и вторая строки точно останутся ненулевыми). Вопрос о количестве решений зависит лишь от третьей строки.

В следствии из теоремы Кронекера-Капелли указаны три случая, и в данном примере легко рассмотреть каждый из них. Начнём с варианта $rang Aneqrangwidetilde$, при котором система не имеет решений, т.е. несовместна.

Видео:Лекция 13. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера — Капелли.Скачать

$rang Aneqrangwidetilde$

Ранги будут не равны друг другу лишь в одном случае: когда $1-k^2=0$, при этом $2k-2neq$. В этом случае преобразованная матрица системы будет содержать две ненулевых строки (т.е. $rang A=2$), а преобразованная расширенная матрица системы будет содержать три ненулевых строки (т.е. $rang widetilde=3$). Иными словами, нам требуется решить систему уравнений:

Из первого уравнения имеем: $k=1$ или $k=-1$, однако $kneq$, поэтому остаётся лишь один случай: $k=-1$. Следовательно, при $k=-1$ система не имеет решений.

Видео:Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравненийСкачать

$rang A=rangwidetilde<3$

Рассмотрим второй пункт следствия из теоремы Кронекера-Капелли – ранги равны между собой, но меньше, чем количество переменных (т.е. меньше 3). Это возможно лишь в том случае, если последняя строка преобразованной расширенной матрицы системы полностью станет нулевой, т.е.

Из данной системы имеем: $k=1$. Именно при $k=1$ третья строка преобразованной расширенной матрицы системы станет нулевой, поэтому $rang=rangwidetilde=2$. При этом, повторюсь, у нас всего три переменных, т.е. имеем случай $rang A=rangwidetilde=2<3$.

Система имеет бесконечное количество решений. Найдём эти решения. Подставим $k=1$ в преобразованную матрицу и продолжим операции метода Гаусса. Третью строку (она станет нулевой) просто вычеркнем:

$$ left(begin -1 & 1 &2 &7 \0 & 1 & k & 5 \ 0 & 0 & 1-k^2 & 2k-2 end right)rightarrow|k=1|rightarrow left(begin -1 & 1 &2 &7 \0 & 1 & 1 & 5 end right) rightarrowleft|begin&text\&textendright|rightarrow \ rightarrowleft(begin-1 & 1 &-2 &7\0 & 1 & -1 & 5endright) begin r_1-r_2\phantomend rightarrowleft(begin-1 & 0 &-1 &2\0 & 1 & -1 & 5endright) begin -1cdot\phantomend rightarrowleft(begin1 & 0 &1 &-2\0 & 1 & -1 & 5endright) $$

Видео:Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

$rang A=rangwidetilde=3$

Рассмотрим третий пункт следствия из теоремы Кронекера-Капелли – ранги равны между собой и равны количеству переменных. Это возможно лишь в том случае, если $1-k^2neq$, т.е. $kneq$ и $kneq$. Продолжаем решение методом Гаусса:

$$ left(begin -1 & 1 &2 &7 \0 & 1 & k & 5 \ 0 & 0 & 1-k^2 & 2k-2 endright)rightarrow left(begin -1 & 1 &2 &7 \0 & 1 & k & 5 \ 0 & 0 & (1-k)(1+k) & -2(1-k) endright) begin phantom\phantom\r_3:((1-k)(1+k))end rightarrow\ rightarrowleft(begin -1 & 1 &2 &7 \0 & 1 & k & 5 \ 0 & 0 & 1 & -2/(1+k) endright) begin r_1-2r_3\r_2-kcdot\phantomend rightarrow left(begin -1 & 1 &0 &(7k+11)/(k+1) \0 & 1 & 0 & (7k+5)/(k+1) \ 0 & 0 & 1 & -2/(1+k) endright) begin r_1-r_2\phantom\phantomendrightarrow\ rightarrow left(begin -1 & 0 &0 &6/(k+1)\0 & 1 & 0 & (7k+5)/(k+1) \ 0 & 0 & 1 & -2/(1+k) endright) begin -1cdot\phantom\phantomendrightarrow left(begin 1 & 0 &0 &-6/(k+1)\0 & 1 & 0 & (7k+5)/(k+1) \ 0 & 0 & 1 & -2/(1+k) endright) $$

Исследовать СЛАУ $left <begin& 2kx_1+x_2+x_3=0;\ & x_1-x_2+kx_3=1;\ & (k-6)x_1+2x_2-4x_3=-3.endright.$ на совместность и найти решение системы при тех значениях параметра, при которых она совместна.

Вновь, как и в предыдущем примере, для того, чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы $A$ и ранг расширенной матрицы системы $widetilde$. Чтобы исследовать систему на совместность и указать количество решений применим метод Крамера. Можно было бы решить и методом Гаусса, однако в предыдущем примере мы его уже использовали, поэтому для разнообразия решим задачу с помощью метода Крамера. Начнём с вычисления определителя матрицы системы. Этот определитель мы получим с помощью готовой формулы.

Значения переменных $x_1$, $x_2$, $x_3$ будут такими:

Нам остаётся исследовать совместность системы при условии $Delta=0$. Это равенство возможно при $k=0$ или $k=1$.

Видео:Теорема Кронекера-КапеллиСкачать

Случай $k=0$

Нам остаётся рассмотреть последний случай: $k=1$.

Видео:13 Исследование систем линейных уравненийСкачать

Случай $k=1$

Для наглядности я запишу здесь матрицу системы $A$ и расширенную матрицу системы $widetilde$, подставив $k=1$:

Если $k=1$, то $Delta=0$. Это значит, что $rang≤2$. Рассмотрим миноры второго порядка матрицы $A$. Например, возьмём минор, образованный на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2: $M=left|begin2 & 1\ 1 & -1endright|=-3$. Так как $Mneq$, то ранг матрицы $A$ равен 2.

Задача решена, осталось лишь записать ответ.

Разберём ещё один пример, в котором рассмотрим СЛАУ с четырьмя уравнениями.

Исследовать СЛАУ $ left <begin& kx_1+x_2+x_3+x_4=1;\ & x_1+kx_2+x_3+x_4=1;\ & x_1+x_2+kx_3+x_4=1;\ & x_1+x_2+x_3+kx_4=1.endright.$ на совместность и найти решение системы в зависимости от значений параметра $k$.

Применим метод Гаусса. При записи расширенной матрицы системы поместим первую строку вниз, на место четвёртой строки. А дальше начнём стандартные операции метода Гаусса.

$$ left(begin 1 & k &1 &1&1 \ 1 & 1 &k &1&1 \ 1 & 1 &1 &k&1 \ k & 1 &1 &1&1 end right) begin phantom\r_2-r_1\r_3-r_1\r_4-kcdotendrightarrow left(begin 1 & k &1 &1&1\ 0 & 1-k &k-1 &0&0\ 0 & 1-k &0&k-1&0\ 0 & 1-k^2 &1-k &1-k&1-kend right) $$

Здесь можно было бы остановиться и рассмотреть случаи $k=1$ и $kneq$ отдельно. Цель таких действий: разделить вторую, третью и четвёртую строки на $k-1$ при условии $k-1neq$. Однако пока что полученная нами матрица содержит не столь уж громоздкие элементы, поэтому сейчас отвлекаться на частности я не вижу смысла. Продолжим преобразования в общем виде:

$$ left(begin 1 & k &1 &1&1\ 0 & 1-k &k-1 &0&0\ 0 & 1-k &0&k-1&0\ 0 & 1-k^2 &1-k &1-k&1-kend right) begin phantom\phantom\r_3-r_2\r_4-(k+1)r_2endrightarrow \ rightarrow left(begin 1 & k &1 &1&1\ 0 & 1-k &k-1 &0&0\ 0 & 0 &1-k&k-1&0\ 0 & 0 &(1-k)(k+2) &1-k&1-kend right) begin phantom\phantom\phantom\r_4-(k+2)r_3endrightarrow \ rightarrow left(begin 1 & k &1 &1&1\ 0 & 1-k &k-1 &0&0\ 0 & 0 &1-k&k-1&0\ 0 & 0 &0&(1-k)(k+3)&1-kend right) $$

Мы привели расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. До черты расположена преобразованная матрица системы. Ранги матриц $A$ и $widetilde$ зависят от значения параметра $k$. Рассмотрим три случая: $k=1$, $k=-3$ и случай $kneq$, $kneq$.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Случай $k=-3$

Видео:§32 Исследование на совместность СЛАУСкачать

Случай $k=1$

Если $k=1$, то преобразованная матрица станет такой: $left(begin 1 & 1 &1 &1&1\ 0 & 0 &0 &0&0\ 0 & 0 &0&0&0\ 0 & 0 &0&0&0endright)$. Ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой (и равны 1), но меньше, чем количество переменных, т.е. $rang=rang=1<4$. Вывод: система является неопределённой. Общее решение системы непосредственно получим из первой строки записанной матрицы:

$$x_1+x_2+x_3+x_4=1; Rightarrow ; x_1=-x_2-x_3-x_4+1.$$

Видео:Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.Скачать

Случай $kneq$ и $neq$

Продолжим решение методом Гаусса. Так как $kneq$ и $neq$, то $(1-k)(k+3)neq$. Следовательно, мы можем разделить вторую и третью строки на $1-k$, четвёртую строку – на выражение $(1-k)(k+3)$. С полученной после этого матрицей продолжим операции обратного хода метода Гаусса:

$$ left(begin 1 & k &1 &1&1\ 0 & 1 &-1 &0&0\ 0 & 0 &1&-1&0\ 0 & 0 &0&1&fracend right) begin r_1-r_4\phantom\phantom\r_3+r_4endrightarrow left(begin 1 & k &1 &0&frac\ 0 & 1 &-1 &0&0\ 0 & 0 &1&0&frac\ 0 & 0 &0&1&fracendright) begin r_1-r_3\r_2+r_3\phantom\phantomendrightarrow\ rightarrowleft(begin 1 & k &0 &0&frac\ 0 & 1 &0 &0&frac\ 0 & 0 &1&0&frac\ 0 & 0 &0&1&fracendright) begin r_1-kcdot\phantom\phantom\phantomendrightarrow left(begin 1 & 0 &0 &0&frac\ 0 & 1 &0 &0&frac\ 0 & 0 &1&0&frac\ 0 & 0 &0&1&fracendright) $$

Из последней матрицы имеем: $x_1=x_2=x_3=x_4=frac$.

• При $k=-3$ система несовместна.
• При $k=1$ система является неопределённой. Общее решение системы: $left<begin& x_1=-x_2-x_3-x_4+1;\&x_2in,;x_3in,;x_4in. endright.$
• При $kneq$ и $kneq$ система является определённой. Решение системы: $x_1=x_2=x_3=x_4=frac$.

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Общая теория систем линейных уравнений

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Условия совместности.

Займемся изучением систем из m уравнений с n неизвестными. Систему
begina_^x^+a_^x^+. +a_^x^=b^,\a_^x^+a_^x^+. +a_^x^=b^,\cdots\a_^x^+a_^x^+. +a_^x^=b^end мы можем кратко записать в виде tag Aboldsymbol=boldsymbol.
Система задается своей расширенной матрицей A^ , получаемой объединением матрицы системы A и столбца свободных членов boldsymbol .

Простое и эффективное условие, необходимое и достаточное для совместности системы (1) , дает следующая теорема, называемая теоремой Кронекера-Капелли.

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Иначе утверждение теоремы можно сформулировать так: приписывание к матрице A размеров m times n столбца boldsymbol высоты m не меняет ее ранга тогда и только тогда, когда этот столбец — линейная комбинация столбцов A .

Если mathbf,A^ = mathbf,A , то базисный минор A является базисным и для A^ . Следовательно, boldsymbol раскладывается по базисным столбцам A . Мы можем считать его линейной комбинацией всех столбцов A , добавив недостающие столбцы с нулевыми коэффициентами.

Обратно, если boldsymbol раскладывается по столбцам A , то элементарными преобразованиями столбцов можно превратить A^ в матрицу A_ , получаемую из A приписыванием нулевого столбца. Из утверждения о том, что ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях, следует mathbf,A_ = mathbf,A^ . С другой стороны, mathbf,A_ = mathbf,A , так как добавление нулевого столбца не может создать новых невырожденных подматриц. Отсюда mathbf,A = mathbf,A^ , как и требовалось.

Иначе это утверждение можно сформулировать так.

Система линейных уравнений несовместна тогда и только тогда, когда противоречивое равенство 0=1 является линейной комбинацией ее уравнений.

Равенство рангов матрицы системы и расширенной матрицы можно выразить, понимая ранг матрицы как строчный ранг. Это приведет нас к важной теореме, известной как теорема Фредгольма.

Транспонируем матрицу A системы (1) и рассмотрим систему из n линейных уравнений tag begin a_^y_+a_^y_+. +a_^y_=0,\ a_^y_+a_^y_+. +a_^y_=0,\cdots\a_^y_+a_^y_+. +a_^y_=0end с m неизвестными, матрицей A^ и свободными членами, равными нулю. Она называется сопряженной однородной системой для системы (1) . Если boldsymbol — столбец высоты m из неизвестных, то систему (2) можно записать как A^ boldsymbol=boldsymbol , или лучше в виде tag boldsymbol^A=boldsymbol, где boldsymbol — нулевая строка длины n .

Для того чтобы система (1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы каждое решение сопряженной однородной системы (3) удовлетворяло уравнению tag boldsymbol^ boldsymbol=y_b^+. +y_b^=0.

1^ . Пусть система (1) совместна, то есть существует столбец boldsymbol высоты n , для которого Aboldsymbol=boldsymbol . Тогда для любого столбца boldsymbol высоты m выполнено boldsymbol^ Aboldsymbol=boldsymbol^ boldsymbol . Если boldsymbol — решение системы (3) , то boldsymbol^ boldsymbol=(boldsymbol^ A)boldsymbol=boldsymbolboldsymbol=0 .

2^ . Предположим теперь, что система (1) несовместна. Тогда согласно утверждению 1 строка begin 0&. & 0& 1 end входит в упрощенный вид расширенной матрицы A^=begin A& |& boldsymbol end и, следовательно, является линейной комбинацией ее строк. Обозначим коэффициенты этой линейной комбинации y_. y_ и составим из них столбец boldsymbol . Для этого столбца boldsymbol^ begin A& |& boldsymbol end=begin 0&. & 1 end (согласно данного утверждения). Это же равенство можно расписать как два: boldsymbol^ A=boldsymbol и boldsymbol^ boldsymbol=1 . Итак, нам удалось найти решение системы (3) , не удовлетворяющее условию (4) . Это заканчивает доказательство.

В качестве примера применим теорему Фредгольма к выводу условия параллельности двух различных прямых на плоскости. Их уравнения составляют систему A_x+B_y+C_=0, A_x+B_y+C_=0.
Она не имеет решений, если существуют такие числа y_, y_ , что y_A_+y_A_=0 , y_B_+y_B_=0 , но y_C_+y_C_ neq 0 . Ясно, что y_ и y_ не равны нулю. Поэтому можно положить lambda=-y_/y_ и записать полученное условие в виде: существует число lambda такое, что A_=lambda A_ , B_=lambda B_ и C_ neq lambda C_ .

Видео:Совместные и несовместные системы уравненийСкачать

Нахождение решений.

В этом пункте мы будем предполагать, что дана совместная система из m линейных уравнений с n неизвестными. Ранг матрицы системы обозначим r . Поскольку ранг расширенной матрицы тоже равен r , мы можем считать базисные столбцы матрицы системы базисными столбцами расширенной матрицы. Элементарными преобразованиями строк приведем расширенную матрицу к упрощенному виду (возможность этого мы уже доказывали). Наша система линейных уравнений перейдет в эквивалентную ей систему из r линейно независимых уравнений.

Для удобства записи будем предполагать, что первые r столбцов — базисные. Тогда преобразованную систему можно записать в виде tag begin x^=beta^-(alpha_^x^+. +alpha_^x^),\cdots\x^=beta^-(alpha_^x^+. +alpha_^x^).end
Здесь alpha_^ и beta^ — элементы преобразованной расширенной матрицы. В левых частях равенств мы оставили неизвестные, соответствующие выбранным нами базисным столбцам, так называемые базисные неизвестные. Остальные неизвестные, называемые параметрическими, перенесены в правые части равенств.

Как бы мы ни задали значения параметрических неизвестных, по формулам (5) мы найдем значения базисных так, что они вместе со значениями параметрических неизвестных образуют решение системы (1) . Легко видеть, что так мы получим все множество решений.

На формулах (5) можно было бы и остановиться, но ниже мы дадим более простое и наглядное, а также принципиально важное описание совокупности решений системы линейных уравнений.

Видео:Неоднородная система линейных уравненийСкачать

Приведенная система.

Сопоставим системе линейных уравнений (1) однородную систему с той же матрицей коэффициентов: tagAboldsymbol=boldsymbol. По отношению к системе (1) она называется приведенной.

Пусть boldsymbol_ — решение системы (1) . Столбец boldsymbol также будет ее решением тогда и только тогда, когда найдется такое решение у приведенной системы (6) , что boldsymbol=boldsymbol_+boldsymbol .

Пусть boldsymbol — решение системы (1) . Рассмотрим разность boldsymbol=boldsymbol-boldsymbol_ . Для нее Aboldsymbol=Aboldsymbol-Aboldsymbol_=boldsymbol-boldsymbol=boldsymbol .

Обратно, если boldsymbol — решение системы (6) , и boldsymbol=boldsymbol_+boldsymbol , то Aboldsymbol=Aboldsymbol_+Aboldsymbol=boldsymbol+boldsymbol=boldsymbol .

Это предложение сводит задачу описания множества решений совместной системы линейных уравнений к описанию множества решений ее приведенной системы.

Однородная система совместна. Действительно, нулевой столбец является ее решением. Это решение называется тривиальным.

Пусть столбцы матрицы A линейно независимы, то есть mathbf,A=n . Тогда система (6) имеет единственное решение (ранее мы это уже доказывали) и, следовательно, нетривиальных решений не имеет.

Если boldsymbol_ и boldsymbol_ — решения однородной системы, то любая их линейная комбинация — также решение этой системы.

Действительно, из Aboldsymbol_=boldsymbol и Aboldsymbol_=boldsymbol для любых alpha и beta следует A(alpha boldsymbol_+beta boldsymbol_)=alpha A boldsymbol_+beta Aboldsymbol_=boldsymbol .

Если однородная система имеет нетривиальные решения, то можно указать несколько линейно независимых решений таких, что любое решение является их линейной комбинацией. Сделаем это.

Матрица F , состоящая из столбцов высоты n , называется фундаментальной матрицей для однородной системы с матрицей А, если:

1. AF=O ;
2. столбцы F линейно независимы;
3. ранг F максимален среди рангов матриц, удовлетворяющих условию 1).

Столбцы фундаментальной матрицы называются фундаментальной системой решений.

Если фундаментальная матрица существует, то каждый ее столбец в силу первого условия определения — решение системы. Если система не имеет нетривиальных решений, то фундаментальной матрицы нет. Это будет в том случае, когда столбцы А линейно независимы: mathbf,A=n .

Ниже мы докажем, что в остальных случаях фундаментальная матрица существует, но сначала выясним, что означает третье условие в определении.

Пусть A — матрица размеров m times n и ранга r . Если AF=O , то mathbf,F leq n-r .

Приведем матрицу A к упрощенному виду элементарными преобразованиями строк, а затем элементарными преобразованиями столбцов обратим в нулевые все небазисные столбцы. Мы получим матрицу A’=PAQ , где P и Q — произведения соответствующих элементарных матриц. Первые r строк A’ — строки единичной матрицы порядка n , а остальные — нулевые. Обозначим F’=Q^F . Тогда mathbf,F’ = mathbf,F . Используя ранее доказанное нами утверждение, легко заметить, что первые r строк матрицы A’F’ совпадают с первыми r строками F’ . Но A’F’=PAF=O и, следовательно, F’ содержит r нулевых строк. Так как всего в ней n строк, mathbf,F’ leq n-r . Это равносильно доказываемому утверждению.

Покажем теперь, как может быть построена фундаментальная матрица. Согласно ранее доказанному утверждению, решение однородной системы состоит из коэффициентов равной нулю линейной комбинации столбцов матрицы системы. Мы можем получить такие линейные комбинации, основываясь на теореме о базисном миноре. Снова для удобства записи будем считать, что в матрице A первые r столбцов — базисные. Каждый из небазисных столбцов boldsymbol_ (j=r+1. n) раскладывается по базисным: tag boldsymbol_=alpha_^boldsymbol_+. +alpha_^boldsymbol_. Отсюда следует, что столбец begin -alpha_^. -alpha_^& 0. 0& 1& 0. 0 end^ решением. (Единица в нем стоит на j -м месте.)

Таких решений можно составить столько, сколько есть небазисных столбцов, то есть (n-r) . Убедимся в том, что эти решения линейно независимы. Для этого объединим все столбцы в одну матрицу tag begin -alpha_^& -alpha_^&. -alpha_^,\cdots\-alpha_^& -alpha_^&. -alpha_^,\1& 0&. & 0\0& 1&. & 0\cdots\0& 0&. & 1end.
Подматрица в последних n-r строках — единичная. Поэтому ранг матрицы (8) равен числу столбцов, и столбцы линейно независимы.

Таким образом, мы получили

Если ранг матрицы однородной системы линейных уравнений r меньше числа неизвестных n , то система имеет фундаментальную матрицу из n-r столбцов.

Итак, система столбцов (8) — фундаментальная система решений. Она называется нормальной фундаментальной системой решений. Каждому выбору базисных столбцов соответствует своя нормальная фундаментальная система решений. Вообще же, каждая система из n-r линейно независимых решений является фундаментальной.

Для нахождения матрицы (8) можно привести матрицу A системы к упрощенному виду, что даст коэффициенты разложения небазисных столбцов по базисным.

Пусть F — фундаментальная матрица системы Aboldsymbol=boldsymbol . Рассмотрим произвольный столбец с высоты n-r . Произведение Fboldsymbol — столбец высоты n , и из равенства AFboldsymbol =boldsymbol следует, что при любом с столбец Fboldsymbol — решение системы. Оказывается, имеет место

Столбец boldsymbol — решение системы Aboldsymbol=boldsymbol тогда и только тогда, когда существует такой столбец boldsymbol , что tag boldsymbol=Fboldsymbol.

Остается доказать необходимость условия. Пусть boldsymbol — решение. Присоединив его к F , получим матрицу F^=begin F | boldsymbol end . Эта матрица удовлетворяет условию AF^=O , так как каждый ее столбец — решение. Значит, mathbf,F^=n-r . По теореме Кронекера-Капелли мы заключаем отсюда, что существует столбец boldsymbol , удовлетворяющий системе Fboldsymbol=boldsymbol .

Видео:Системы линейных уравнений: Теорема Кронекера-КапеллиСкачать

Общее решение системы линейных уравнений.

Теперь мы можем собрать воедино наши результаты — утверждения 2 и 6.

Выражение, стоящее в правой части формулы (10) , называется общим решением системы линейных уравнений. Если boldsymbol_. boldsymbol_ — фундаментальная система решений, а c_. c_ — произвольные постоянные, то формула (10) может быть написана так: tag boldsymbol=boldsymbol_+c_boldsymbol_+. +c_boldsymbol_.

Теорема 3 верна, в частности, и для однородных систем. Если boldsymbol_ — тривиальное решение, то (10) совпадает с (9) .

Одна из ранее доказанных нами теорем гласит, что для существования единственного решения системы из n линейных уравнений с n неизвестными достаточно, чтобы матрица системы имела детерминант, отличный от нуля. Сейчас легко получить и необходимость этого условия.

Пусть A — матрица системы из n линейных уравнений с n неизвестными. Если det A=0 , то система либо не имеет решения, либо имеет бесконечно много решений.

Равенство det A=0 означает, что mathbf,A и, следовательно, приведенная система имеет бесконечно много решений. Если данная система совместна, то из теоремы 3 следует, что и она имеет бесконечно много решений.

Видео:Исследовать систему уравнений на совместность и решить методом Гаусса и методом обратной матрицыСкачать

Пример.

Рассмотрим уравнение плоскости как систему tagAx+By+Cz+D=0 из одного уравнения. Пусть A neq 0 и потому является базисным минором матрицы системы. Ранг расширенной матрицы 1, значит, система совместна. Одно ее решение можно найти, положив параметрические неизвестные равными нулю: y=z=0 . Мы получим x=-D/A . Так как n=3 , r=1 , фундаментальная матрица имеет два столбца. Мы найдем их, придав параметрическим неизвестным два набора значений: y=1 , z=0 и y=0 , z=1 . Соответствующие значения базисной неизвестной x , найденные из приведенной системы, будут -B/A и -C/A . Итак, общее решение системы (12) tag begin x\ y\ z end=begin -D/A\ 0\ 0 end+c_ begin -B/A\ 1\ 0 end+c_ begin -C/A\ 0\ 1 end.

Выясним геометрический смысл полученного решения. Очевидно, прежде всего, что решение begin -D/A& 0& 0 end^ состоит из координат некоторой (начальной) точки плоскости, или, что то же, из компонент ее радиус-вектора. В формуле (10) решение x_0 можно выбирать произвольно. Это соответствует произволу выбора начальной точки плоскости. Мы уже знаем, что компоненты лежащих в плоскости векторов удовлетворяют уравнению Aalpha_+Balpha_+Calpha_=0 , то есть приведенной системе. Два линейно независимых решения этой системы (фундаментальная система решений) могут быть приняты за направляющие векторы плоскости. Таким образом, формула (13) — не что иное, как параметрические уравнения плоскости.

💡 Видео

Найти ранг матрицы при всех значениях параметраСкачать

ФСР. Система однородных уравнений. Общее решениеСкачать

Общее, частное, базисное решение системы линейных уравнений Метод ГауссаСкачать