При каком значении а уравнение является неполным квадратным уравнением

• Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax² + 0x+c=0 и оно равносильно ax² + c = 0.
• Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax² + bx = 0.
• Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² = 0.

Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Видео:#118 Урок 43 Квадратные уравнения. Параметры. При каком значении параметра уравнение имеет 1 корень.Скачать

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

• ax² = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
• ax² + c = 0, при b = 0;
• ax² + bx = 0, при c = 0.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Видео:6. ПРИ КАКИХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРА УРАВНЕНИЕ НЕ ИМЕЕТ КОРНЕЙСкачать

Как решить уравнение ax² = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0.

Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −5x² = 0.

1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
2. По шагам решение выглядит так:

Записывайся на дополнительные уроки по математике онлайн, с нашими лучшими преподавателями! Для учеников с 1 по 11 класса!

Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Как решить уравнение ax² + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:

• перенесем c в правую часть: ax² = — c,
• разделим обе части на a: x² = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 0, то корни уравнения x² = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)² = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

В двух словах квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:

• не имеет корней при — c/а 0.

Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.

Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 9:

Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней.

Пример 2. Решить -x² + 9 = 0.

Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на -1:

Ответ: уравнение -x² + 9 = 0 имеет два корня -3; 3.

Видео:При каком значении параметра корни квадратных уравнений не чередуются. Задание 18 (31)Скачать

Как решить уравнение ax² + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника.

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 2x² — 32x = 0

Вынести х за скобки

Ответ: х = 0 и х = 16.

Пример 2. Решить уравнение 3x² — 12x = 0

Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни:

Ответ: х = 0 и х = 4.

Для удобства мы собрали все виды неполных квадратных уравнений и способы их решения на одной картинке-шпаргалке.

Видео:Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnlineСкачать

Методическая разработка урока на тему «Неполные квадратные уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Неполные квадратные уравнения и их решение

Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида

Числа а, b и с называются коэффициентами квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b – вторым коэффициентом, а число с – свободным членом.

Наиболее простыми для решения являются квадратные уравнения, в которых коэффициенты b или с равны нулю. Такие уравнения называют неполными квадратными уравнениями. К их числу относятся, например, уравнения: 5 х ² + 3 х = 0; -4 х ² + 12 = 0; 2 х ² = 0. В первом из них с = 0 и b ≠ 0,

во втором b = 0и с ≠ 0, в третьем с = 0 и b = 0. Эти уравнения представляют различные виды неполных квадратных уравнений, отличающихся способом решения. Рассмотрим по порядку решения всех этих видов уравнений.

Уравнение примет вид:

А) если коэффициенты а и с – числа одного знака, то выражение – отрицательное и уравнение не имеет решений;

Б) если коэффициенты а и с – числа разных знаков, то выражение – положительное и уравнение имеет два решения

1.Если, то уравнение имеет два корня, равных по модулю, но разных по знаку.

2. Если, то уравнение не имеет корней .

Уравнение примет вид:

Решение: разложим левую часть уравнения на множители

получим х=0 или а х + b = 0

Уравнение имеет два корня, один из которых равен 0, а другой x = —

Уравнение примет вид:

ах² = 0, откуда х² =0, х=0

Уравнение имеет только один корень, равный 0

Задание 1. Расположите данные уравнения и таблицу, в зависимости от количества корней уравнения:

1)5х² + 6х = 0; 2) — х² = 0; 3) -0,3х² + 9 = 0; 4) -0,1х² + 5х = 0;

5) 0,6х² + 12 =0; 6) -4х² = 0; 7) -0,3х² — 6 =0; 8); х² — = 0;

9) х² + 6х = 0 ; 10) 7х² — 49 = 0; 11) 2х² = 0; 12)

Уравнение имеет два корня,

один из которых равен 0.

Пример 1 . Решить уравнение

Пример 2. Решить уравнение

Пример 3. Решить уравнение

Пример 4 . Решить уравнение

А) Решите уравнение 5х² — 10 = 0. Если корней несколько, найдите их произведение.

Б) Укажите уравнение, которое не имеет корней.

В) найдите корни уравнения (х+1)² — 1+2х=0

Г) Какие из уравнений имеют иррациональные корни:

Пример 5 . При каком значении параметра m уравнение является неполным квадратным: а) б)

а) Запишем уравнение в виде . Выпишем коэффициенты данного квадратного уравнения : а = -1, b = 5 m ² — 20, c =1. Коэффициент с не может быть равными нулю, следовательно, уравнение будет неполным квадратным при условии b =0,т.е. если 5 m ² — 20=0. Откуда m = ±4.

Ответ: m = -4, m = 4.

б) Выпишем коэффициенты данного квадратного уравнения: а =, b = -3,

c = m ²+ m . Если коэффициент а=0, то квадратное уравнение обращается в линейное, следовательно коэффициент а ≠0, т. е. m +1≠0, следовательно

m ≠ -1. Данное уравнение будет неполным квадратным при условии с=0, т.е.

откуда m =0 или m = -1. Но выше мы выяснили, что m ≠ -1. Значит нашему условию удовлетворяет только m =0/

Рассмотрим примеры, в которых нужно определить, при каких значениях параметра квадратные уравнения имеют корни :

равные по модулю, но различные по знаку,

только один из корней, равный нулю,

только один корень, равный нулю.

Случай 1) выполняется при условии, что в квадратном уравнении коэффициент b =0

Следует различать задания 2) и 3). В задании 2) уравнение имеет два корня, при этом только один из них равен 0, а в задании 3) уравнение имеет только один корень; при этом он равен 0. Или еще говорят , что уравнение имеет два равных корня, каждый из которых равен нулю.

Пример 6. При каких значениях m ровно один из корней уравнения

2х ² — mx + 2 m ² — 3 m = 0 равен нулю ?

Решение. Следует различать условия, при которых уравнение имеет только один корень, равный нулю ( если b =0 и с = 0) и условия, при которых уравнение имеет один из корней равен нулю ( с=0). В данном уравнении мы будем рассматривать второй случай, т.е. когда с = 0. В данном уравнении

а =2, b = — m , c = 2 m ²-3 m . Итак, запишем условие 2 m ² — 3 m = 0, m (2 m -3) = 0, m = 0 или m =1,5.

Если m = 0, то получим уравнение 2х²=0. А это уравнение имеет только один корень, равный нулю, что не соответствует нашему условию.

Если m =1,5, то получим уравнение 2х² -1,5х+ 21,5² — 31,5 = 0, т.е

2х² — 1,5х=0. Корни этого уравнения х=0, х=0,75. С ледовательно нашему условию удовлетворяет только m =1,5.

Ответ : при m =1,5.

Пример 7. При каких m уравнение 4 x ²+(5| m |-1) x + 3 m ² + m =0 имеет корни, равные по модулю, но разные по знаку?

Решение . Выпишем коэффициенты данного уравнения: а = 4, b = 3| m |-1,

c = 6 m ² + m . Уравнение имеет корни, равные по модулю, но разные по знаку при условии, что коэффициент b = 0, т.е. 3| m |-1=0; 5| m | = 1; | m | = ; m = или m = — .

1) Если m = — , то получим уравнение 4 x ² — = 0. Это уравнение имеет два корня х= х=.

2) Если m = , то получим уравнение 4 x ² + = 0, которое не имеет корней, т.к. коэффициенты а и с – числа одного знака.

Пример 8 . При каких значениях m уравнение 8 x ²-(3 m ²+4 m ) x +9 m ² — 16 = 0 имеет только один корень, равный нулю?

Решение . Выпишем коэффициенты данного уравнения: а = 8, b = 3 m ²+4 m ,

c = 9 m ² -16. Уравнение имеет только один корень, равный нулю при условии, что коэффициенты с = 0 и b = 0 одновременно. С=0, если

9 m ² -16 = 0 ,т.е. если m = ± .

Если m = , то коэффициент b = 3 m ²+4 m ≠ 0, а значит получим уравнение , не удовлетворяющее нашему условию.

Если m = — , то коэффициент b = 3 m ²+4 m = 0, и данное уравнение примет вид 8х² = 0, которое имеет только один корень, равный нулю.

Задание. 1. При каких значениях m ровно один из корней уравнения

Решение . Уравнение имеет один из корней равен нулю, если ____________________, т.е. если m = 3, m =_____.

1)Если m = 3, то уравнение примет вид_______________. А это уравнение имеет ______________________________ , что не соответствует нашему условию.

2)Если m = ____ , то получим уравнение____________________,

Корни этого уравнения_______________________. Следовательно нашему условию удовлетворяет только m = _______.

Выпишем коэффициенты данного уравнения: ___________________________________________.

Уравнение имеет корни, равные по модулю, но разные по знаку при условии, ______________, т.е.____________________________________________;

1) Если m = _______ , то получим уравнение_________________. Это уравнение имеет _______________________________________________

2) Если m = , то получим уравнение 3 x ² +1 = 0, которое ___________________, т.к. коэффициенты а и с – числа_________________.

Следовательно нашему условию удовлетворяет только m = _______.

Выпишем коэффициенты данного уравнения: ___________________________. Уравнение имеет только один корень, равный нулю при условии, что коэффициенты _________________________________________________. С=0, если __________________________________________________________

1)Если m = 1 , то коэффициент b =________, и данное уравнение примет вид_____________, которое имеет только один корень, равный нулю

2)Если m = _____ , то коэффициент b _____________, а значит получим уравнение _______________________, которое имеет _________________.

Ответ: при m = _______.

При каких значениях m ровно один из корней уравнения

При каких m уравнение +имеет корни, равные по модулю, но разные по знаку?

При каких значениях m уравнение 5 x ²- ( m -6) x +36- m ² = 0 имеет только один корень, равный нулю?

🔍 Видео

Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Уравнения с параметром. Алгебра, 8 классСкачать

МАТЕМАТИКА 8 класс - Неполные Квадратные Уравнения. Как решать Неполные Квадратные Уравнения?Скачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Математика| Разложение квадратного трехчлена на множители.Скачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Квадратное уравнение. 8 класс.Скачать

Квадратные уравнения #shorts Как решать квадратные уравненияСкачать

896 Алгебра 8 класс При каких значениях а уравнение Квадратное имеет 2 корня принадлежащиеСкачать

Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать

7. ПРИ КАКИХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРМЕТРА КОРНЕМ УРАВНЕНИЯ ЯВЛЯЕТСЯ ЛЮБОЕ ЧИСЛОСкачать

✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive​​ #041 | Борис ТрушинСкачать