Про уравнения - легко » Статьи

При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4

Обновлено
Урок по теме «Решение систем линейных уравнений, содержащих параметры»

Разделы: Математика

Если в задаче меньше трех переменных, это не задача; если больше восьми – она неразрешима. Энон.

Задачи с параметрами встречаются во всех вариантах ЕГЭ, поскольку при их решении наиболее ярко выявляется, насколько глубоки и неформальны знания выпускника. Трудности, возникающие у учащихся при выполнении подобных заданий, вызваны не только относительной их сложностью, но и тем, что в учебных пособиях им уделяется недостаточно внимания. В вариантах КИМов по математике встречается два типа заданий с параметрами. Первый: «для каждого значения параметра решить уравнение, неравенство или систему». Второй: «найти все значения параметра, при каждом из которых решения неравенства, уравнения или системы удовлетворяют заданным условиям». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В первом случае в ответе перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. Во втором – перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи. Запись ответа является существенным этапом решения, очень важно не забыть отразить все этапы решения в ответе. На это необходимо обращать внимание учащихся.
В приложении к уроку приведен дополнительный материал по теме «Решение систем линейных уравнений с параметрами», который поможет при подготовке учащихся к итоговой аттестации.

  • систематизация знаний учащихся;
  • выработка умений применять графические представления при решении систем уравнений;
  • формирование умения решать системы линейных уравнений, содержащих параметры;
  • осуществление оперативного контроля и самоконтроля учащихся;
  • развитие исследовательской и познавательной деятельности школьников, умения оценивать полученные результаты.

Урок рассчитан на два учебных часа.

Содержание
  1. Ход урока
  2. задание 18
  3. О категории
  4. Теория (1)
  5. Практика (43)
  6. Системы уравнений с двумя переменными и параметрами
  7. п.1. Решение системы линейных уравнений с параметром
  8. п.2. Решение системы нелинейных уравнений с параметром
  9. п.3. Примеры
  10. 📺 Видео

Ход урока

  1. Организационный момент

Сообщение темы, целей и задач урока.

  1. Актуализация опорных знаний учащихся

Проверка домашней работы. В качестве домашнего задания учащимся было предложено решить каждую из трех систем линейных уравнений

а) При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4б) При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4в) При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4

графически и аналитически; сделать вывод о количестве полученных решений для каждого случая

Ответы: При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4

Заслушиваются и анализируются выводы, сделанные учащимися. Результаты работы под руководством учителя в краткой форме оформляются в тетрадях.

В общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными можно представить в виде: При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4.

Решить данную систему уравнений графически – значит найти координаты точек пересечения графиков данных уравнений или доказать, что таковых нет. Графиком каждого уравнения этой системы на плоскости является некоторая прямая.

Возможны три случая взаимного расположения двух прямых на плоскости:

  1. если При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4(если хотя бы один из знаменателей равен нулю, последнее неравенство надо понимать как При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4), то прямые пересекаются в одной точке; в этом случае система имеет единственное решение

При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4

  1. если При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4то прямые не имеют общих точек, т.е. не пересекаются; а значит, система решений не имеет

При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4

  1. если При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4то прямые совпадают. В этом случае система имеет бесконечно много решений

При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4

К каждому случаю полезно выполнить рисунок.

Сегодня на уроке мы научимся решать системы линейных уравнений, содержащие параметры. Параметром будем называть независимую переменную, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству. Решить систему уравнений с параметром – значит установить соответствие, позволяющее для любого значения параметра найти соответствующее множество решений системы.

Решение задачи с параметром зависит от вопроса, поставленного в ней. Если нужно просто решить систему уравнений при различных значениях параметра или исследовать ее, то необходимо дать обоснованный ответ для любого значения параметра или для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному в задаче множеству. Если же необходимо найти значения параметра, удовлетворяющие определенным условиям, то полного исследования не требуется, и решение системы ограничивается нахождением именно этих конкретных значений параметра.

Пример 1. Для каждого значения параметра решим систему уравнений

При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4

  1. Система имеет единственное решение, если

При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4

В этом случае имеем

При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4

При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4

  1. Если а = 0, то система принимает вид

При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4

Система несовместна, т.е. решений не имеет.

  1. Если то система запишется в виде

При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4

Очевидно, что в этом случае система имеет бесконечно много решений вида x = t; При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4где t-любое действительное число.

  • при При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4система имеет единственное решение При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4
  • при а = 0 — нет решений;
  • при а = 3 — бесконечно много решений вида При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4где t При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4R

Пример 2. При каких значениях параметра a система уравнений

При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4

  • имеет единственное решение;
  • имеет множество решений;
  • не имеет решений?

  • система имеет единственное решение, если При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4
  • подставим в пропорцию При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4значение а = 1, получим При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4, т.е. система имеет бесконечно много решений;
  • при а = -1 пропорция примет вид: При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4. В этом случае система не имеет решений.

  • при При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4система имеет единственное решение;
  • при При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4система имеет бесконечно много решений;
  • при При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4система не имеет решений.

Пример 3. Найдем сумму параметров a и b, при которых система

При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4

имеет бесчисленное множество решений.

Решение. Система имеет бесчисленное множество решений, если При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4

То есть если a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 =48.

  1. Закрепление изученного в ходе решения задач
  1. № 15.24(а) [1]. Для каждого значения параметра решите систему уравнений

При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4

  1. № 15.25(а) Для каждого значения параметра решите систему уравнений

При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4

  1. При каких значениях параметра a система уравнений

При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4

а) не имеет решений; б) имеет бесконечно много решений.

Ответ: при а = 2 решений нет, при а = -2 бесконечное множество решений

  1. Практическая работа в группах

Класс разбивается на группы по 4-5 человек. В каждую группу входят учащиеся с разным уровнем математической подготовки. Каждая группа получает карточку с заданием. Можно предложить всем группам решить одну систему уравнений, а решение оформить. Группа, первой верно выполнившая задание, представляет свое решение; остальные сдают решение учителю.

Карточка. Решите систему линейных уравнений

При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4

при всех значениях параметра а.

Ответ: при При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4система имеет единственное решение При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4; при При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4нет решений; при а = -1бесконечно много решений вида , (t; 1- t) где t При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4R

Если класс сильный, группам могут быть предложены разные системы уравнений, перечень которых находится в Приложении1. Тогда каждая группа представляет классу свое решение.

Отчет группы, первой верно выполнившей задание

Участники озвучивают и поясняют свой вариант решения и отвечают на вопросы, возникшие у представителей остальных групп.

  1. При каком значении k система При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4имеет бесконечно много решений?
  2. При каком значении p система При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4не имеет решений?

  1. При каком значении k система При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4имеет бесконечно много решений?
  2. При каком значении p система При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4не имеет решений?
  1. Итоги урока

Решение систем линейных уравнений с параметрами можно сравнить с исследованием, которое включает в себя три основных условия. Учитель предлагает учащимся их сформулировать.

При решении следует помнить:

  1. для того, чтобы система имела единственное решение, нужно, чтобы прямые, отвечающие уравнению системы, пересекались, т.е. необходимо выполнение условия;
  2. чтобы не имела решений, нужно, чтобы прямые были параллельны, т.е. выполнялось условие,
  3. и, наконец, чтобы система имела бесконечно много решений, прямые должны совпадать, т.е. выполнялось условие.

Учитель оценивает работу на уроке класса в целом и выставляет отметки за урок отдельным учащимся. После проверки самостоятельной работы оценку за урок получит каждый ученик.

При каких значениях параметра b система уравнений При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4

  • имеет бесконечно много решений;
  • не имеет решений?

Графики функций y = 4x + b и y = kx + 6 симметричны относительно оси ординат.

  • Найдите b и k,
  • найдите координаты точки пересечения этих графиков.

Решите систему уравнений При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4при всех значениях m и n.

Решите систему линейных уравнений при всех значениях параметра а (любую на выбор).

  • При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4
  • При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4
  • При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4
  1. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин – М. : Просвещение, 2008.
  2. Математика : 9 класс : Подготовка к государственной итоговой аттестации / М. Н. Корчагина, В. В. Корчагин – М. : Эксмо, 2008.
  3. Готовимся в вуз. Математика. Часть 2. Учебное пособие для подготовки к ЕГЭ, участию в централизованном тестировании и сдаче вступительных испытаний в КубГТУ / Кубан. гос. технол. ун-т; Ин-т совр. технол. и экон.; Сост.: С. Н. Горшкова, Л. М. Данович, Н.А. Наумова, А.В. Мартыненко, И.А. Пальщикова. – Краснодар, 2006.
  4. Сборник задач по математике для подготовительных курсов ТУСУР: Учебное пособие / З. М. Гольдштейн, Г. А. Корниевская, Г. А. Коротченко, С.Н. Кудинова. – Томск: Томск. Гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 1998.
  5. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену/ О. Ю. Черкасов, А.Г.Якушев. – М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998.

Видео:При каких λ однородная система уравнений имеет ненулевое решение?Скачать

При каких λ однородная система уравнений имеет ненулевое решение?

задание 18

О категории

Уравнения и неравенства с параметрами.

Теория (1)

Разбор задания 18 профильного ЕГЭ по Математике «Задача с параметром»

Решение задач с параметром из профильного ЕГЭ по Математике. .

Практика (43)

При каких значениях параметра а уравнение

имеет два различных решения?

Найдите, при каких значениях параметра [b]a[/b] уравнение

имеет два различных корня. В ответе укажите сумму целых значений параметра [b]a[/b]‚ удовлетворяющих условию задачи.

При каких значениях параметра а уравнение

имеет единственное решение, большее или равное (-1)?

Найдите все [b]а[/b], при которых неравенство

2aх + 2sqrt(2x+3) — 2x + 3a — 5

Найти все a, при которых уравнение sqrt(1-4x)*ln(9x^2-a^2)=sqrt(1-4x)*ln(3x+a) имеет ровно одно решение.

При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно 2 различных решения.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два решения

Найдите все значения [b]а[/b]. при каждом из которых данное уравнение на промежутке (0; +∞) имеет хотя бы три корня.

При каких [b]а[/b] сумма квадратов различных корней уравнения x^2-ax+a+1 = 0 больше 1?

При каких значениях p неравенство (p-x^2)(p+x-2)

Найдите все значение при каждом из которых система имеет ровно 3 различных решения
<(x-4)^2 + (y-4)^2=9
<y=|x-a|+1

Решить уравнение для всех a 25^x+a^2(a-1)5^x-a^5=0

Найти все значения параметра a, при которых функция f(x) = x^2 — |x-a^2| — 9x имеет хотя бы одну точку максимума.

Найдите все значения а, при каждом из которых решение неравенства |3x-a|+2

Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции f(x)=2ax+|x^2-8x+7| больше 1.

При каких а уравнение |x^2-4x-5|-3a=|x-a|-1 имеет ровно три корня.

Найдите все значения а, при каждом из которых система не имеет решений

Найти все значения параметра [b]а[/b], для каждого из которых корень уравнения [b]10x-15x = 13-5ax+2a[/b] больше 2

Найдите все значение [b]а[/b], при каждом из которых уравнение

имеет два корня, расстояние между которыми больше 3

Пусть х1 и х2 — нули функции y=2x^2-(3a-1)*x+a-4. Найти все значения a, если 1ϵ[x1; x2], где х1

при каких a уравнение (|4*x|-x-3-a)/(x2-x-a)=0 имеет два различных корня

Найдите все значения [b]а[/b] при которых уравнение

имеет два различных корня.

При каких значениях параметра а уравнение (x^(2)-6x-a)/(2x^(2)-ax-a^(2)) =0 имеет ровно два различных решения.

Найдите все параметры А при котором уравнение:

имеет два различных корня.

Найдите все значения параметра a, при которых наименьшее значение функции
f(x)=ax−2a−1+|x^2−x−2|
меньше -2

Найдите все значения параметра k при каждом из которых уравнение (2(k+1)cost-k)/(sint+cost) = 2 имеет хотя бы одно решение на отрезке [Pi/2; Pi]

[block](ax-x^2) + (1)/(ax-x^2) + 2 = 0[/block]

a? 2 различных корня на (-2; 2]

Найдите все значения a, при каждом из которых система

имеет два или три корня.

Найдите все значения а, при которых уравнение

имеет два различных корня

найдите все значения а , при которых уравнение (x^2-x-a)^2=2x^4+2(x+a)^2 имеет единственное решение на отрезке (-1;1)

найти все значения параметра а при каждом из которых уравнение 25^x — 5a(a+1)*5^(x-1) + a^3 = 0 имеет единственное решение

Найдите все положительные значения параметра, при каждом из которых система
(x-4)^2+(|y|-4)^2=9
x^2+(y-4)^2=a^2 имеет ровно два решения

Найти все значения параметра а, при которых x1 и x2 являются корнями квадратного уравнения х^2-(4а-3)х+3а^2-5а+2=0 и 4×1+5×2 = 29 .

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно восемь решений.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений имеет от одного до пяти решений

Найдите все значения a при которых существует хотя бы одно общее решение неравенств: [b]x^(2)+4ax+3a^(2) > 1+2a[/b] и [b]x^(2)+2ax ≤ 3a^(2)-8a+4 [/b]

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнение

имеет ровно три различных решения.

Найти все значения параметра а, при которых уравнение sqrt(2xy+a) = x+y+5 не имеет решений.

Найдите все значения а, при которых уравнение sin^(14)x+(a-3sinx)^7+sin^2x+a=3sinx имеет хотя бы одно решение.

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет более двух решений.

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение |x-a^2+4a-2|+|x-a^2+2a+3|=2a-5 имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23].

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет более одного решения.

Найдите все значения а, при каждом из которых система

Видео:МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэ

Системы уравнений с двумя переменными и параметрами

п.1. Решение системы линейных уравнений с параметром

Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: ( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. ).
Система имеет одно решение, если главный определитель не равен нулю: $$ Delta = begin mathrm & 1 \ 1 & mathrm end= a^2-1neq 0 Rightarrow aneq pm 1 $$

Ответ: при всех действительных a, кроме a ≠ ± 1.

п.2. Решение системы нелинейных уравнений с параметром

При решении системы нелинейных уравнений с параметром чаще всего используем графический метод (см. §15 данного справочника).

Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: ( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. ).
( mathrm ) – уравнение окружности с центром в начале координат, и переменным радиусом a.
( mathrm ) – уравнение прямой.
Система имеет одно решение, если прямая является касательной к окружности:

При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4

Точка A является решением: x = 1, y = 1.
Подставляем найденное решение в уравнение для окружности: 1 2 + 1 2 = 2 $$ mathrm<a^2=2Rightarrow a=pmsqrt> $$

п.3. Примеры

Пример 2. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. ) имеет единственное решение.
Первое уравнение – квадрат с вершинами (±4; 0),(0; ±4); второе уравнение – окружность переменного радиуса с центром в точке (3; 3).

При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4

Единственное решение соответствует радиусу ( mathrm<R=|a+1|=OA=sqrt>. )
При увеличении радиуса будет 2, 3 или 4 точки пересечения. При дальнейшем увеличении окружность становится слишком большой, пересечений с квадратом нет.
Получаем:( mathrm<|a+1|=sqrtRightarrow a+1=pmsqrtRightarrow a_=-1pmsqrt>. )

Пример 3. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. ) имеет единственное решение. $$ left< begin mathrm left[begin mathrm & \ mathrm & \ mathrm & endright. & \ mathrm & endright. $$ Первое уравнение – ломаная, второе – парабола ветками вниз с подвижной вершиной на оси x = 2.

При каком значении а система уравнений имеет одно решение y x2 a x2 y2 4

При (a – 1) 2 2 = 4 одно решение.
При (a – 1) 2 > 4 два решения.
Получаем:( mathrm left[begin mathrm & \ mathrm & endright. )

📺 Видео

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | Математика

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.

График функции y=x² (y=аx).Скачать

График функции y=x² (y=аx).

Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 классСкачать

Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 класс

#75 Урок 36. Определение количества решений системы уравнений. Алгебра 7 класс.Скачать

#75 Урок 36. Определение количества решений системы уравнений. Алгебра 7 класс.

Алгебраическое определение количества решений системы линейных уравнений | Алгебра IСкачать

Алгебраическое определение количества решений системы линейных уравнений | Алгебра I

1.12.2. Линейная Функция | Сборник 1996-2007Скачать

1.12.2. Линейная Функция | Сборник 1996-2007

Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Решение систем уравнений методом подстановки

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | Математика

Математика | Параметр. Система уравнений с параметромСкачать

Математика | Параметр. Система уравнений с параметром

Математика | Система уравнений на желтую звездочку (feat Золотой Медалист по бегу)Скачать

Математика | Система уравнений на желтую звездочку (feat Золотой Медалист по бегу)

Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых система имеет единств решениеСкачать

Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых система имеет единств решение

Параметры, Легко Решаемые Графически | ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

Параметры, Легко Решаемые Графически | ЕГЭ 2024 по математике

7 класс, 34 урок, Функция y=х^2 и её графикСкачать

7 класс, 34 урок, Функция y=х^2 и её график

Задача 17 ЕГЭ профильный. Параметры с нуляСкачать

Задача 17 ЕГЭ профильный. Параметры с нуля

Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnlineСкачать

Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnline

Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)Скачать

Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)
Поделиться или сохранить к себе: