При каких значениях параметра корни уравнения различны и равны по модулю

Посмотрите на условия задач с параметрами ЕГЭ-2021. Вы заметите, что на вид все они похожи. Однако сходство только внешнее, и решаются они по-разному. В этой статье – обзор задач с параметрами ЕГЭ-2021 по математике.

1. Начнем с задачи, которую лучше всего решить аналитическим способом. Слева в уравнении модуль, справа – произведение модуля и корня квадратного. Лучше всего первым действием сделать возведение обеих частей уравнения в квадрат (при неотрицательности подкоренного выражения).

О том, как решать уравнения, где слева модуль и справа модуль, читайте здесь: Уравнения с модулем.

При каких значениях параметра a уравнение

имеет ровно 2 решения?

Уравнение равносильно системе:

Вынесли общий множитель за скобку

Так как и при всех исходное уравнение имеет корни и при всех Значит, исходное уравнение имеет ровно два корня в следующих случаях:

не имеет решений и

2) совпадение корней

Рассмотрим первый случай.

Неравенство — не имеет решений, если

Рассмотрим второй случай.

1) Корни и совпадают, тогда и

Так как исходное уравнение при имеет один корень

2) Корни и совпадают.

Уравнение имеет корни и

3) Корни и совпадают, исходное уравнение имеет ровно два корня.

Мы применили аналитический способ решения: с помощью равносильных переходов от исходного уравнения перешли к такой форме, где сразу видно, какие корни имеет уравнение при определенных значениях параметра.

На Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов мы подробно рассказывали об этом методе и решали множество задач. Способ хорош тем, что вы просто действуете по образцу – и быстро приходите к ответу.

2. Второе уравнение очень похоже на первое. И первое действие будет таким же: возведением обеих частей в квадрат. А закончим мы – для разнообразия – построением графиков в системе координат (а; х).

Найти a, при которых имеет ровно 2 решения.

Возведем обе части уравнения в квадрат.

Найдем, каким значениям параметра соответствует ровно два значения

Построим в системе координат графики функций:

Мы находим такие при которых горизонтальная прямая имеет ровно 2 общие точки с совокупностью прямых, являющихся графиком исходного уравнения.

Видим, что в общем случае прямая пересекает каждую из трех прямых, то есть исходное уравнение имеет ровно 3 решения.
Ровно 2 решения будет в случаях, когда прямая проходит через точки пересечения прямых, то есть в случаях совпадения корней.

Данная совокупность имеет ровно два решения в случаях совпадения корней.

О графическом способе решения задач с параметрами читайте здесь: Графический метод решения задач с параметрами.

3. В третьем задании также присутствуют выражения под модулями. Но подход будет другой: мы применим метод интервалов для модулей, о котором можно прочитать здесь: Уравнения с модулем.

С его помощью раскроем модули и получим график функции, заданной описанием: на разных интервалах график этой функции выглядит по-разному, то есть состоит из отдельных кусочков. А дальше – графическое решение.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

Применим метод интервалов для модулей. Уравнение равносильно совокупности систем:

Мы сделали так, потому что при оба модуля раскрываем с противоположным знаком:

Заметим, что если уравнение не выполняется ни при каких

Решим графически полученную совокупность.

Рассмотрим функцию такую, что:

Для функции ось ординат – вертикальная асимптота.

Уравнение имеет ровно два корня при или

Вообще задачи с параметрами, как правило, можно решать многими способами.

4. И наконец, довольно сложное уравнение с тремя модулями. Нам придется раскрывать все эти модули по определению, рассматривая 4 случая. Но ничего страшного здесь нет – просто аккуратность. А потом мы разобьем координатную плоскость (х; а) на области и в каждой из областей построим график уравнения. Кто знаком с методом областей – тот легко с этим справится.

При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно три различных решения

2) Пусть тогда Получим:

Изобразим полученную совокупность условий в координатах

Получим области I — IV, соответствующие

Получили график уравнения.

Уравнение имеет ровно 3 решения, если значение a соответствует одной из точек пересечения прямых: точка A, B, С или D. В остальных случаях уравнение имеет ровно 4 решения.

5. (Резервный день) Найти все значения параметра при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы два различных корня.

Исходное уравнение имеет хотя бы два различных корня, если уравнение

имеет хотя бы один корень

Если t = 0, то x = 0, тогда

Этот случай рассмотрим отдельно.

1) Случай уравнение

должно иметь хотя бы один положительный корень.

Если уравнение линейное, тогда

Пусть уравнение квадратное.

При этом должно выполняться условие

Решим третье неравенство системы:

возведем обе части в квадрат:

Объединив со случаем a = 2, получим:

Вернемся к случаю, когда – корень уравнения. Тогда Получим уравнение:

– уравнение имеет, кроме корня положительный корень подходит

Вот так в задачах ЕГЭ-2021 по математике можно применить в задачах с параметрами аналитический и графический способы, а также метод областей.

Конечно, это не все. Существует не менее 12 методов решения задач с параметрами. Мы изучаем их все на практике на Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ по математике.

Видео:#118 Урок 43 Квадратные уравнения. Параметры. При каком значении параметра уравнение имеет 1 корень.Скачать

Решение уравнений с модулями и параметрами

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (434 кБ)

Цель урока. Решение уравнений с параметрами и модулями, применяя свойства функций в неожиданных ситуациях и освоение геометрических приемов решения задач. Нестандарные уравнения.

Задачи:

• Образовательные: научить решать некоторые виды уравнений уравнений модулями и параметрами;
• Развивающие: развивать культуру мысли, культуру речи и умение работать с тетрадью и доской.
• Воспитательные: воспитывать самостоятельность и умение преодолевать трудности.

Оборудование: наглядный материал для устного счёта и объяснения новой темы. Интерактивная доска, мультимедийное оборудование урока.

Структура урока:

1. Повторение изученного материала (устный счёт).
2. Изучение нового материала.
3. Закрепление изученного материала.
4. Итог урока.
5. Домашнее задание.

1. Повторение важнейшего теоретического материала по темам: «Уравнения, содержащие модуль», «Решение уравнений с параметрами»

1) «Уравнения, содержащие модуль»

Абсолютной величиной или модулем числа a называется число a, если a > 0, число – a, если a <a, если a > 00, если a = 0– a, если a 0 и | a | > a для всех a € R .
Неравенство | x | 0) равносильно двойному неравенству – a 0.
Неравенство | x | > a, (если a > 0) равносильно двум неравенствам
Неравенство | x | > a, (если a : | x + 3 | + | y – 2 | = 4;

Расcмотрим четыре случая

<

x + 3 <

x 2 – 1) х = а + 1. Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достаточно рассмотреть такие случаи: 1) а = 1; тогда уравнение принимает вид ОX = 2 и не имеет решения 2) а = – 1; получаем ОX = О , и очевидно х – любое. Ответ: если а = – 1, то х – любое; если а = 1, то нет решения; 3. Решения примеров (из вариантов С) 1. При каком значении параметра р уравнение | х 2 – 5х + 6 | + | х 2 – 5х + 4 | = р имеет четыре корня. Рассмотрим функцию у = | х 2 – 5х + 6 | + | х 2 – 5х + 4 | Так как х 2 – 5х + 6 = (х – 2)(х – 3) и х 2 – 5х + 4 = (х – 1)(х – 4), то y = | (х – 2)(х – 3) | + | (х – 1)(х – 4) |, корни квадратных трехчленов отметим на числовой прямой 1 2 3 4 х Числовая прямая при этом разбивает на 5 промежутков < x < x 2 – 5x + 6 + x 2 – 5x + 4 y = 2x 2 – 10x + 10 < 1 < 1 2 – 5x + 6 – x 2 + 5x – 4 y = 2 < 2 < 2 2 + 10x – 10 y = – x 2 + 5x – 6 – x 2 + 5x – 4 < 3 < 3 2 – 5x + 6 – x 2 + 5x – 4 < x > 4 < x > 4 y = 2x 2 – 10x + 10 y= x 2 – 5x + 6 + x 2 –5x + 4 Для случая 3) х0 = – b | 2a = 2, y0 = 25 : 2 + 25 – 10 = 2,5 Итак, (2,5; 2,5) – координаты вершины параболы y = – 2x 2 + 10x – 10. Построим график функции, заданной равенством Как видно из рисунка, исходное уравнение имеет четыре корня, если 2 2 – | x | = 6 2. При каких целых значениях а имеет единственное решение уравнение ах 2 – (а + 1) + а 2 + а = 0? 1. Решить уравнение: | x – 5 | – | 2x + 3 | = 10 2. Найти все значениях параметра а, при которых уравнение (а –12) х 2 + 2 = 2(12 – а) имеет два различных корня? 1. Решить уравнение | x – 5 | – | 2x + 3| = 10 2. Найти все значениях параметра а, при которых уравнение (а – 12) х 2 + 2 = 2(12 – а) имеет два различных корня? 5. Итог урока 1. Определение модуля. 2. Что значит решить уравнение с параметром? 6. Задание на дом. C5 варианта №11 Ф.Ф. Лысенко. Математика, 2012 Видео:При каких значениях параметра уравнение имеет единственный кореньСкачать При каких значениях параметра b корни уравнения 4x ^ + (3b ^ — 5[b] + 2)x — 3 = 0 равны по модулю? Алгебра | 5 — 9 классы При каких значениях параметра b корни уравнения 4x ^ + (3b ^ — 5[b] + 2)x — 3 = 0 равны по модулю? Видимо, [b] — это модуль, а не целая часть. Если это все же целая часть, то я вообще не знаю, как такое решать. Решаем квадратное уравнение 4x ^ 2 + (3b ^ 2 — 5[b] + 2)x — 3 = 0 1) Если b &lt ; 0, то [b] = — b, тогда 4x ^ 2 + (3b ^ 2 + 5b + 2)x — 3 = 0 D = (3b ^ 2 + 5b + 2) ^ 2 — 4 * 4 * ( — 3) = (3b ^ 2 + 5b + 2) ^ 2 + 48 &gt ; 0 при любом b, потому что это сумма квадрата и числа 48. X1 = ( — 3b ^ 2 — 5b — 2 — √((3b ^ 2 + 5b + 2) ^ 2 + 48)) / 8 x2 = ( — 3b ^ 2 — 5b — 2 + √((3b ^ 2 + 5b + 2) ^ 2 + 48)) / 8 И они должны быть равны по модулю, то есть либо равны, либо противоположны. ( — 3b ^ 2 — 5b — 2 — √((3b ^ 2 + 5b + 2) ^ 2 + 48)) / 8 = = (3b ^ 2 + 5b + 2 — √((3b ^ 2 + 5b + 2) ^ 2 + 48)) / 8 Отсюда получаем — 3b ^ 2 — 5b — 2 = 3b ^ 2 + 5b + 2 (3b ^ 2 + 5b + 2) + (3b ^ 2 + 5b + 2) = 0 3b ^ 2 + 5b + 2 = 0 D = 25 — 4 * 3 * 2 = 25 — 24 = 1 b1 = ( — 5 — 1) / 6 = — 1 &lt ; 0 b2 = ( — 5 + 1) / 6 = — 2 / 3 &lt ; 0 Оба значения подходят. ( — 3b ^ 2 — 5b — 2 — √((3b ^ 2 + 5b + 2) ^ 2 + 48)) / 8 = = ( — 3b ^ 2 — 5b — 2 + √((3b ^ 2 + 5b + 2) ^ 2 + 48)) / 8 √((3b ^ 2 + 5b + 2) ^ 2 + 48) = — √((3b ^ 2 + 5b + 2) ^ 2 + 48) 2√((3b ^ 2 + 5b + 2) ^ 2 + 48) = 0 √((3b ^ 2 + 5b + 2) ^ 2 + 48) = 0 (3b ^ 2 + 5b + 2) ^ 2 + 48 = 0 Решений нет, потому что это сумма квадрата и числа 48. 2) Если b &gt ; 0, то [b] = b 4x ^ 2 + (3b ^ 2 — 5b + 2)x — 3 = 0 D = (3b ^ 2 — 5b + 2) ^ 2 — 4 * 4 * ( — 3) = (3b ^ 2 — 5b + 2) ^ 2 + 48 &gt ; 0 при любом b, потому что это сумма квадрата и числа 48. X1 = ( — 3b ^ 2 + 5b — 2 — √((3b ^ 2 — 5b + 2) ^ 2 + 48)) / 8 x2 = ( — 3b ^ 2 + 5b — 2 + √((3b ^ 2 — 5b + 2) ^ 2 + 48)) / 8 И они должны быть равны по модулю, то есть либо равны, либо противоположны. ( — 3b ^ 2 + 5b — 2 — √((3b ^ 2 — 5b + 2) ^ 2 + 48)) / 8 = = (3b ^ 2 — 5b + 2 — √((3b ^ 2 — 5b + 2) ^ 2 + 48)) / 8 Отсюда получаем — 3b ^ 2 + 5b — 2 = 3b ^ 2 — 5b + 2 (3b ^ 2 — 5b + 2) + (3b ^ 2 — 5b + 2) = 0 3b ^ 2 — 5b + 2 = 0 D = 25 — 4 * 3 * 2 = 25 — 24 = 1 b1 = (5 + 1) / 6 = 1 &gt ; 0 b2 = (5 — 1) / 6 = 2 / 3 &gt ; 0 Оба значения подходят. ( — 3b ^ 2 + 5b — 2 — √((3b ^ 2 — 5b + 2) ^ 2 + 48)) / 8 = = ( — 3b ^ 2 + 5b — 2 + √((3b ^ 2 — 5b + 2) ^ 2 + 48)) / 8 √((3b ^ 2 — 5b + 2) ^ 2 + 48) = — √((3b ^ 2 — 5b + 2) ^ 2 + 48) 2√((3b ^ 2 — 5b + 2) ^ 2 + 48) = 0 √((3b ^ 2 — 5b + 2) ^ 2 + 48) = 0 (3b ^ 2 — 5b + 2) ^ 2 + 48 = 0 Решений нет, потому что это сумма квадрата и числа 48. Ответ : b1 = — 1 ; b2 = — 2 / 3 ; b3 = 2 / 3 ; b4 = 1. Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать При каких значениях параметра a разность корней уравнения ax ^ 2 — x — 2 = 3 равна 3? При каких значениях параметра a разность корней уравнения ax ^ 2 — x — 2 = 3 равна 3. Видео:5. ПРИ КАКИХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРА УРАВНЕНИЕ ИМЕЕТ КОРЕНЬ, РАВНЫЙ ЧИСЛУ ... ?Скачать Помогите пожалуйста? При каком значении параметра а уравнение 25х ^ 2 — 20х + а = 0 будет иметь равные корни? Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать При каких значениях параметра а это уравнение имеет два действительных корня? При каких значениях параметра а это уравнение имеет два действительных корня? Видео:Уравнения с параметром. Алгебра, 8 классСкачать При некотором значении параметра k корни квадратного уравнения являются противоположными числами? При некотором значении параметра k корни квадратного уравнения являются противоположными числами. Найдите значение параметра k и корни уравнения. Видео:Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnlineСкачать Дано уравнение ? Известно, что сумма его корней равна 1. Найдите значение параметра t и корни уравнения. Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ? УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ. Помогите решить, тему плохо понял! №1. При каких значениях параметра уравнение имеет не менее трёх корней? №2. При каких значениях уравнение имеет два корня? Видео:Алгебра 8 класс (Урок№33 - Уравнения с параметром. Контрольный урок.)Скачать При каких значениях параметра уравнение имеет отрицательные корни? При каких значениях параметра уравнение имеет отрицательные корни? Видео:6. ПРИ КАКИХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРА УРАВНЕНИЕ НЕ ИМЕЕТ КОРНЕЙСкачать При каких значениях параметра а сумма корней уравнения x ^ 2 — 2a(x — 1) = 0 равна сумме квадратов корней? При каких значениях параметра а сумма корней уравнения x ^ 2 — 2a(x — 1) = 0 равна сумме квадратов корней? Видео:СЛОЖИТЕ ДВА КОРНЯСкачать При каких значениях параметра t уравнение 16x² + t = 0 имеет ровно один корень (два равных корня)? При каких значениях параметра t уравнение 16x² + t = 0 имеет ровно один корень (два равных корня)? Видео:Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать Определите, при каких значениях параметра A уравнение модуль x = a — 4 не имеет корней ? Определите, при каких значениях параметра A уравнение модуль x = a — 4 не имеет корней ? Перед вами страница с вопросом При каких значениях параметра b корни уравнения 4x ^ + (3b ^ — 5[b] + 2)x — 3 = 0 равны по модулю?, который относится к категории Алгебра. Уровень сложности соответствует учебной программе для учащихся 5 — 9 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском», который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав кнопку в верхней части страницы. 🎦 Видео Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать ✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive​​ #041 | Борис ТрушинСкачать Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать 5-часовой стрим по ПАРАМЕТРАМ. Вся алгебра для №17 с нуля и до уровня ЕГЭ 2023Скачать 896 Алгебра 8 класс При каких значениях а уравнение Квадратное имеет 2 корня принадлежащиеСкачать 961 Алгебра 8 класс . При каких значениях уравнение имеет два корня принадлежащие интервалуСкачать #67. Сумма квадратов корней в уравнении с параметром!Скачать РАЗБОР СЛОЖНОГО ЗАДАНИЯ 18, ПАРАМЕТР. ЕГЭ МАТЕМАТИКА с Артуром ШарифовымСкачать Поделиться или сохранить к себе: Смотрите также Сера — химические свойства, получение, соединения. Нитрат кальция: способы получения и химические свойства Кальций: способы получения и химические свойства Гидроксид натрия: способы получения и химические свойства Гидроксид кальция: способы получения и химические свойства Получение бензола Разница между глюкозой и сахарозой Гидроксид калия: способы получения и химические свойства