При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения будет минимальной (5 видео)

Раздел II. № 2.61. ГДЗ Алгебра 9 класс ОГЭ Кузнецова. При каком значении m сумма квадратов корней уравнения минимальна?

1) При каком значении m сумма квадратов корней
уравнения х 2 + (2 — m)х — m — 3 = 0 минимальна?

2) При каком значении m сумма квадратов корней
уравнения х 2 + 2mх + m — 1 = 0 минимальна?

(1) х 2 +(2-m)х-m-3 = 0. По теореме, обратной теореме Виета:
x 2 ₁+x 2 ₂= (x₁ + х₂) 2 -2х₁х₂ = (m-2) 2 -2(-m -3) —
= m 2 -4m+4+2m+6 = m 2 -2m+10 = m 2 -2m+1+9 = (m-1) 2 +9
Наименьшее значение трехчлен m 2 -2m+10 достигает при m = 1.
Ответ: m = 1.

(2) х 2 +2mх+m-1 = 0. По теореме, обратной теореме Виета:

Содержание

Квадратные уравнения и квадратичные неравенства с параметрами
при каком значение m сумма квадратов корней уравнения x^2 + ( 2- m)*x — m — 3 = 0 наименьшая? помогите плиз. помогите
При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения x ^ 2 + ax + a — 2 = 0 будет наименьшей?
ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА?
Вложение помогите при каких значениях параметра m уравнение имеет один корень, два корня?
4) При каком значении параметра оба корня уравнения заключены между числами — 2 и 4?
Для каждого значение параметра а определить число корней уравнения?
При каких натуральных значениях параметра а уравнение ах = а х 5 имеет четные корни?
10. При каком наименьшем целом значении параметра уравнение х ^ 4 — 8x ^ 2 — a = 0 имеет ровно 4 корня?
При каком значении параметра a уравнение не имеет действительных корней?
При каких значениях параметра а уравнение 3х² + ах + а — 3 имеет два различных корня?
При каком значении m сумма квадратов корней уравнения x2 — 5mx + 4m2 = 0 равна 68?
При каком значении параметра a уравнение ax + 2x = 3 — 2x не имеет корней ?
🎥 Видео

Видео:#67. Сумма квадратов корней в уравнении с параметром!Скачать

Квадратные уравнения и квадратичные неравенства с параметрами

Дорогой друг! Если ты никогда не решал задач с параметрами – прочитай статьи «Что такое параметр» и «Графический способ решения задач с параметрами». Квадратные уравнения, а тем более неравенства с параметрами только на первый взгляд кажутся простыми. Чтобы уверенно решать их, надо знать определенные приемы. О некоторых мы расскажем.

Разберем сначала подготовительные задачи. А в конце – реальную задачу ЕГЭ.

1. Найдите все значения a, при которых уравнение не имеет действительных корней.

Всегда ли это уравнение является квадратным относительно переменной х? – Нет, не всегда. В случае, когда коэффициент при равен нулю, оно станет линейным.

Рассмотрим два случая – когда это уравнение квадратное и когда оно линейное.

Тогда уравнение примет вид 2 = 0. Такое уравнение не имеет действительных корней, что удовлетворяет условию задачи.

Уравнение будет квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант отрицательный.

Если и – корни квадратного уравнения
, то по теореме Виета:

Решим первое неравенство системы

Квадратный трехчлен в левой части не имеет корней, так как дискриминант равен -32, то есть отрицателен. Поэтому неравенство будет выполняться для всех действительных значений .

Возведем второе уравнение системы в квадрат:

Из этих двух уравнений выразим сумму квадратов и .

Значит, сумму квадратов корней уравнения можно выразить через параметр

График функции — парабола, ее ветви направлены вверх, минимум будет достигаться в ее вершине. Найдем вершину параболы:

3) Найдите все значения , при каждом из которых все решения уравнения

Как и в первой задаче, уравнение является квадратным, кроме случая, когда . Рассмотрим этот случай отдельно

1) . Получим линейное уравнение

У него единственный корень, причем положительный. Это удовлетворяет условию задачи.

2) При уравнение будет квадратным. Нам надо, чтобы решения существовали, причем были положительными. Раз решения есть, то .

Покажем один из приемов решения квадратичных уравнений и неравенств с параметрами. Он основан на следующих простых утверждениях:

— Оба корня квадратного уравнения и положительны тогда и только тогда, когда их сумма положительна и произведение положительно.

Очевидно, что сумма и произведение двух положительных чисел также положительны. И наоборот – если сумма и произведение двух чисел положительны, то и сами числа положительны.

— Оба корня квадратного уравнения и отрицательны тогда и только тогда, когда их сумма отрицательна, а произведение положительно.

Корни квадратного уравнения и имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно.

Сумма и произведение корней входят в формулировку теоремы Виета, которой мы и воспользуемся. Получим

Второе и третье неравенства имеют одинаковое решение . Решение первого неравенства:
.

С учетом пункта 1 получим ответ

4. При каких значениях параметра a уравнение

имеет единственное решение?

Уравнение является показательным, причем однородным. Мы умеем решать такие уравнения! Разделим обе части на .

Сделаем замену

Для того, чтобы исходное уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы уравнение относительно t имело ровно один положительный корень.

1) В случае уравнение будет линейным

Значит, подходит. В этом случае уравнение имеет единственный положительный корень.

2) Если , уравнение будет квадратным.

Дискриминант является полным квадратом и поэтому всегда неотрицателен. Уравнение имеет либо один, либо два корня. В этом случае несложно найти корни в явном виде.

Один корень получился не зависящим от параметра, причем положительным. Это упрощает задачу.

Для того, чтобы уравнение имело единственный положительный корень, нужно, чтобы либо второй был отрицательным, либо равным нулю, либо чтобы корни совпадали. Рассмотрим все случаи.

Объединив все случаи, получим ответ.

И наконец – реальная задача ЕГЭ.

5. При каких значениях a система имеет единственное решение?

Решением квадратного неравенства может быть:

В каких случаях система двух квадратных неравенств имеет единственное решение:

1) единственная общая точка двух лучей-решений ( или интервалов-решений)

2) одно из неравенств имеет решение – точку, которая является решением второго неравенства

Рассмотрим первый случай.

Если является решением 1 и 2 уравнений, то является решением уравнения (вытекает из второго первое) ⇒ или

Если , при этом система примет вид:

Второй корень первого уравнения:

Второй корень второго первого:

Если , при этом система примет вид:

– бесконечно много решений, не подходит.

Рассмотрим второй случай.

– решением является точка, если – является решением второго неравенства.

– решением является точка, если – не является решением первого неравенства.

Видео:При каких значениях а сумма квадратов корней уравнения x² + ax + a - 2 = 0 минимальна?Скачать

при каком значение m сумма квадратов корней уравнения x^2 + ( 2- m)*x — m — 3 = 0 наименьшая? помогите плиз. помогите

Дискриминант:
D = (2-m)^2-4(-m-3) = m^2+16
Корни уравнения
Х1 = (-(2-m) + √D)/2
Х2 = (-(2-m) — √D)/2
Сумма корней:
Х1^2 + Х2^2 = (-(2-m) + √D)/2)^2 + ((-(2-m) — √D)/2)^2
Подставим значение дискриминанта и упростим:
Х1^2 + Х2^2 = m^2 — 2m+10
Рассмотрим сумму квадратов как функцию от m. Производная функции по m:
(Х1^2 + Х2^2)’ = (m^2 — 2m+10)’ = 2m-2
2m-2 = 0
m = 1
Можно конечно еще проверить, подставляя значения, но эту радость я оставляю вам
Минимально значение суммы квадратов корней будет при m = 1, и равно оно 9

Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения x ^ 2 + ax + a — 2 = 0 будет наименьшей?

Математика | 10 — 11 классы

При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения x ^ 2 + ax + a — 2 = 0 будет наименьшей?

x1² + x2² = (x1 + x2)² — 2×1 * x2

f(a) = a² — 2(a — 2) = a² — 2a + 4

a = 1 _ + — — — — — — — — — — — — — — — — — — — (1) — — — — — — — — — — — — — — — — — min

при а = 1 сумма х1² + х2 ² будет наименьшей.

Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА?

При каком значении m сумма квадратов корней уравнения х ^ 2 + (m — 2) * x — (m + 3) = 0 будет наименьшей?

Видео:Параметры 3. Расположение корней квадратного уравнения. ЕГЭ №18Скачать

Вложение помогите при каких значениях параметра m уравнение имеет один корень, два корня?

Вложение помогите при каких значениях параметра m уравнение имеет один корень, два корня.

Видео:5-часовой стрим по ПАРАМЕТРАМ. Вся алгебра для №17 с нуля и до уровня ЕГЭ 2023Скачать

4) При каком значении параметра оба корня уравнения заключены между числами — 2 и 4?

Видео:✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive #041 | Борис ТрушинСкачать

Для каждого значение параметра а определить число корней уравнения?

Для каждого значение параметра а определить число корней уравнения.

Видео:При каких значениях параметра уравнение имеет единственный кореньСкачать

При каких натуральных значениях параметра а уравнение ах = а х 5 имеет четные корни?

При каких натуральных значениях параметра а уравнение ах = а х 5 имеет четные корни.

Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

10. При каком наименьшем целом значении параметра уравнение х ^ 4 — 8x ^ 2 — a = 0 имеет ровно 4 корня?

Видео:Профильный ЕГЭ 2023. Задача 17. Параметры. Методы решенияСкачать

При каком значении параметра a уравнение не имеет действительных корней?

Видео:Метод выделения полного квадрата. 8 класс.Скачать

При каких значениях параметра а уравнение 3х² + ах + а — 3 имеет два различных корня?

Видео:✓ Параметры в ЕГЭ? Это не страшно! | Математика. Задание 17 | #ТрушинLive #036 | Борис ТрушинСкачать

При каком значении m сумма квадратов корней уравнения x2 — 5mx + 4m2 = 0 равна 68?

Видео:Метод наименьших квадратовСкачать

При каком значении параметра a уравнение ax + 2x = 3 — 2x не имеет корней ?

Вопрос При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения x ^ 2 + ax + a — 2 = 0 будет наименьшей?, расположенный на этой странице сайта, относится к категории Математика и соответствует программе для 10 — 11 классов. Если ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему. Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку, расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей, оставившими комментарии под вопросом.

2x — 5 9 = 7 24. 7 24 + 5 9 = 63 216 + 120 216 = 183 216. 183 216 = 61 72. 61 72÷2 = 30, 5 72.

1)0. 5 2)0. 6 3)1 / 7 4)4 5)9 6)1 / 13 7)1. 5 8)0. 125 9)2 / 13 10)50.

Нет. Тут второе слагаемое — это 6.

А) 10 100 1000 10000 100000 1000000… Добавляется 0 б) 2 1 4 3 6 5 8 7 10 9 12 11… + 2 в)1 9 3 11 5 13 21 1 23… + 10, — 4, + 10 г) 5 6 15 12 25 18 35 24 45 30… + 10, + 6.

Масса = полная масса * процентное содержание m = 13 * 0. 7 = 9. 1 тонн.

13 тонн — 100%13 / 100 = 0. 13 это 1%0. 13 * 70 = 9. 1 т это 70%Ответ : 9. 1 тонн(железа содержится в 13 т железняка).

1) 5 и 6 2) 25 и 3 3) 25 и 6 4) 3 и 5.

1)15 : 8 = 1, 875 — листа в день пишет 1 писец. 2) 1, 875 * 9 = 16, 875 листов за 9 дней. 3)405 : 16, 875 = 24 писца нужно , чтобы написать 405 листов за 9 дней. Ответ : 24 писца.

1)32456 : 4 = 8114 2)8114 * 5 = 40570 3)17015 * 9 = 153135 4)40570 + 153135 = 193705 5)193705 — 47589 = 146116 6)146116 : 2 = 73058 7)73058 + 27255 = 100313.

X = x ^ 3 — 3x — 5D(y) = Rf(x’) = 3x ^ 2 — 3D(y’) = R 3x ^ 2 — 3 = 03(x ^ 2 — 1) = 03 = 0 x ^ 2 = 1 x = 1 ; — 1 + — 1 — 1 + — — — — — — — — o — — — — — — — — — — — — — o — — — — — — — — — — — — >.