Про уравнения - легко » Статьи

При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а

Обновлено
Задача 33155 При каких значениях а система уравнений.
Содержание
  1. Условие
  2. Решение
  3. Урок по теме «Решение систем линейных уравнений, содержащих параметры»
  4. Ход урока
  5. Задания по теме «Системы уравнений с параметром»
  6. Задание №1227
  7. Условие
  8. Решение
  9. 📸 Видео

Условие

При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а

При каких значениях а система уравнений имеет единственное решение?
x^2-(y-a)^2=9
y+3|x| -2=0

Решение

При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а

x^2-(y-a)^2=9 ⇒ (x^2/9)-(y-a)^2/9=1 — гипербола
с центром в точке (0; a)

y=2-3|x| — ломаная, являющаяся объединением двух прямых
(см. рис.)

Чтобы ответить на вопрос задачи нужно определить при каких а
гипербола и ломаная будут иметь одну общую точку.

Гиперболу можно двигать вдоль оси Оу.
Если ниже подвинуть,то будет 2 решения — 2 точки касания и слева и справа.
или 4 решения, две точки пересечения.

Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | Математика

Урок по теме «Решение систем линейных уравнений, содержащих параметры»

Разделы: Математика

Если в задаче меньше трех переменных, это не задача; если больше восьми – она неразрешима. Энон.

Задачи с параметрами встречаются во всех вариантах ЕГЭ, поскольку при их решении наиболее ярко выявляется, насколько глубоки и неформальны знания выпускника. Трудности, возникающие у учащихся при выполнении подобных заданий, вызваны не только относительной их сложностью, но и тем, что в учебных пособиях им уделяется недостаточно внимания. В вариантах КИМов по математике встречается два типа заданий с параметрами. Первый: «для каждого значения параметра решить уравнение, неравенство или систему». Второй: «найти все значения параметра, при каждом из которых решения неравенства, уравнения или системы удовлетворяют заданным условиям». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В первом случае в ответе перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. Во втором – перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи. Запись ответа является существенным этапом решения, очень важно не забыть отразить все этапы решения в ответе. На это необходимо обращать внимание учащихся.
В приложении к уроку приведен дополнительный материал по теме «Решение систем линейных уравнений с параметрами», который поможет при подготовке учащихся к итоговой аттестации.

  • систематизация знаний учащихся;
  • выработка умений применять графические представления при решении систем уравнений;
  • формирование умения решать системы линейных уравнений, содержащих параметры;
  • осуществление оперативного контроля и самоконтроля учащихся;
  • развитие исследовательской и познавательной деятельности школьников, умения оценивать полученные результаты.

Урок рассчитан на два учебных часа.

Ход урока

  1. Организационный момент

Сообщение темы, целей и задач урока.

  1. Актуализация опорных знаний учащихся

Проверка домашней работы. В качестве домашнего задания учащимся было предложено решить каждую из трех систем линейных уравнений

а) При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у аб) При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у ав) При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а

графически и аналитически; сделать вывод о количестве полученных решений для каждого случая

Ответы: При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а

Заслушиваются и анализируются выводы, сделанные учащимися. Результаты работы под руководством учителя в краткой форме оформляются в тетрадях.

В общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными можно представить в виде: При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а.

Решить данную систему уравнений графически – значит найти координаты точек пересечения графиков данных уравнений или доказать, что таковых нет. Графиком каждого уравнения этой системы на плоскости является некоторая прямая.

Возможны три случая взаимного расположения двух прямых на плоскости:

  1. если При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а(если хотя бы один из знаменателей равен нулю, последнее неравенство надо понимать как При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а), то прямые пересекаются в одной точке; в этом случае система имеет единственное решение

При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а

  1. если При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у ато прямые не имеют общих точек, т.е. не пересекаются; а значит, система решений не имеет

При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а

  1. если При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у ато прямые совпадают. В этом случае система имеет бесконечно много решений

При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а

К каждому случаю полезно выполнить рисунок.

Сегодня на уроке мы научимся решать системы линейных уравнений, содержащие параметры. Параметром будем называть независимую переменную, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству. Решить систему уравнений с параметром – значит установить соответствие, позволяющее для любого значения параметра найти соответствующее множество решений системы.

Решение задачи с параметром зависит от вопроса, поставленного в ней. Если нужно просто решить систему уравнений при различных значениях параметра или исследовать ее, то необходимо дать обоснованный ответ для любого значения параметра или для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному в задаче множеству. Если же необходимо найти значения параметра, удовлетворяющие определенным условиям, то полного исследования не требуется, и решение системы ограничивается нахождением именно этих конкретных значений параметра.

Пример 1. Для каждого значения параметра решим систему уравнений

При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а

  1. Система имеет единственное решение, если

При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а

В этом случае имеем

При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а

При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а

  1. Если а = 0, то система принимает вид

При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а

Система несовместна, т.е. решений не имеет.

  1. Если то система запишется в виде

При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а

Очевидно, что в этом случае система имеет бесконечно много решений вида x = t; При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у агде t-любое действительное число.

  • при При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у асистема имеет единственное решение При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а
  • при а = 0 — нет решений;
  • при а = 3 — бесконечно много решений вида При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у агде t При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у аR

Пример 2. При каких значениях параметра a система уравнений

При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а

  • имеет единственное решение;
  • имеет множество решений;
  • не имеет решений?

  • система имеет единственное решение, если При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а
  • подставим в пропорцию При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у азначение а = 1, получим При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а, т.е. система имеет бесконечно много решений;
  • при а = -1 пропорция примет вид: При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а. В этом случае система не имеет решений.

  • при При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у асистема имеет единственное решение;
  • при При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у асистема имеет бесконечно много решений;
  • при При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у асистема не имеет решений.

Пример 3. Найдем сумму параметров a и b, при которых система

При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а

имеет бесчисленное множество решений.

Решение. Система имеет бесчисленное множество решений, если При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а

То есть если a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 =48.

  1. Закрепление изученного в ходе решения задач
  1. № 15.24(а) [1]. Для каждого значения параметра решите систему уравнений

При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а

  1. № 15.25(а) Для каждого значения параметра решите систему уравнений

При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а

  1. При каких значениях параметра a система уравнений

При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а

а) не имеет решений; б) имеет бесконечно много решений.

Ответ: при а = 2 решений нет, при а = -2 бесконечное множество решений

  1. Практическая работа в группах

Класс разбивается на группы по 4-5 человек. В каждую группу входят учащиеся с разным уровнем математической подготовки. Каждая группа получает карточку с заданием. Можно предложить всем группам решить одну систему уравнений, а решение оформить. Группа, первой верно выполнившая задание, представляет свое решение; остальные сдают решение учителю.

Карточка. Решите систему линейных уравнений

При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а

при всех значениях параметра а.

Ответ: при При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у асистема имеет единственное решение При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а; при При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у анет решений; при а = -1бесконечно много решений вида , (t; 1- t) где t При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у аR

Если класс сильный, группам могут быть предложены разные системы уравнений, перечень которых находится в Приложении1. Тогда каждая группа представляет классу свое решение.

Отчет группы, первой верно выполнившей задание

Участники озвучивают и поясняют свой вариант решения и отвечают на вопросы, возникшие у представителей остальных групп.

  1. При каком значении k система При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у аимеет бесконечно много решений?
  2. При каком значении p система При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у ане имеет решений?

  1. При каком значении k система При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у аимеет бесконечно много решений?
  2. При каком значении p система При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у ане имеет решений?
  1. Итоги урока

Решение систем линейных уравнений с параметрами можно сравнить с исследованием, которое включает в себя три основных условия. Учитель предлагает учащимся их сформулировать.

При решении следует помнить:

  1. для того, чтобы система имела единственное решение, нужно, чтобы прямые, отвечающие уравнению системы, пересекались, т.е. необходимо выполнение условия;
  2. чтобы не имела решений, нужно, чтобы прямые были параллельны, т.е. выполнялось условие,
  3. и, наконец, чтобы система имела бесконечно много решений, прямые должны совпадать, т.е. выполнялось условие.

Учитель оценивает работу на уроке класса в целом и выставляет отметки за урок отдельным учащимся. После проверки самостоятельной работы оценку за урок получит каждый ученик.

При каких значениях параметра b система уравнений При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а

  • имеет бесконечно много решений;
  • не имеет решений?

Графики функций y = 4x + b и y = kx + 6 симметричны относительно оси ординат.

  • Найдите b и k,
  • найдите координаты точки пересечения этих графиков.

Решите систему уравнений При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у апри всех значениях m и n.

Решите систему линейных уравнений при всех значениях параметра а (любую на выбор).

  • При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а
  • При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а
  • При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а
  1. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин – М. : Просвещение, 2008.
  2. Математика : 9 класс : Подготовка к государственной итоговой аттестации / М. Н. Корчагина, В. В. Корчагин – М. : Эксмо, 2008.
  3. Готовимся в вуз. Математика. Часть 2. Учебное пособие для подготовки к ЕГЭ, участию в централизованном тестировании и сдаче вступительных испытаний в КубГТУ / Кубан. гос. технол. ун-т; Ин-т совр. технол. и экон.; Сост.: С. Н. Горшкова, Л. М. Данович, Н.А. Наумова, А.В. Мартыненко, И.А. Пальщикова. – Краснодар, 2006.
  4. Сборник задач по математике для подготовительных курсов ТУСУР: Учебное пособие / З. М. Гольдштейн, Г. А. Корниевская, Г. А. Коротченко, С.Н. Кудинова. – Томск: Томск. Гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 1998.
  5. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену/ О. Ю. Черкасов, А.Г.Якушев. – М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998.

Видео:При каких положительных значениях параметра а система уравнений имеет единственное решениеСкачать

При каких положительных значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение

Задания по теме «Системы уравнений с параметром»

Открытый банк заданий по теме системы уравнений с параметром. Задания C6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Видео:№16 Задачи с параметром. ЕГЭ. Задание 18. При каких значениях параметра А система уравнений...Скачать

№16 Задачи с параметром. ЕГЭ. Задание 18. При каких значениях параметра А система уравнений...

Задание №1227

Условие

Найдите все значения a > 0, при каждом из которых система begin(x-4)^2+(|y|-4)^2=9,\ x^2+(y-4)^2=a^2end имеет ровно 2 решения.

Решение

Если y geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность phi _1 с центром в точке C_1 (4; 4) радиуса 3 , а если y то оно задаёт окружность phi _2 с центром в точке C_2 (4; -4) того же радиуса.

При a > 0 второе уравнение задаёт окружность phi с центром в точке C(0; 4) радиуса a . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a , при каждом из которых окружность phi имеет ровно две общие точки с объединением окружностей phi _1 и phi _2.

При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение х2 у а

Координаты точки касания окружностей phi и phi _1 явно видны на чертеже — точки A_1 (1; 4) и B_1 (7; 4) . То есть при a=CA_1=1 и a=CB_1=7 окружности phi и phi _1 касаются. При a > 7 и a окружности phi и phi _1 не пересекаются, при 1 окружности phi и phi _2 имеют 2 общие точки.

Далее, из точки C проведём луч CC_2 и обозначим A_2 и B_2 точки его пересечения с окружностью phi_2 , где A_2 лежит между C и C_2. Заметим, что длина отрезка CC_2= sqrt <4^2+(4-(-4))^>= sqrt = 4sqrt 5.

При a или a > CB_2 окружности phi и phi_2 не пересекаются. При CA_2 окружности phi и phi _2 имеют 2 общие точки. При a =CA_2=4sqrt 5-3 или a=CB_2=4sqrt 5+3, окружности phi и phi _2 касаются.

Исходная система имеет ровно 2 решения тогда и только тогда, когда окружность phi с одной из окружностей phi _1 и phi _2 имеет 2 общие точки, а с другой не пересекается, либо касается одновременно двух окружностей.

Так как 1 то условию задачи удовлетворяют значения ain (1;4sqrt 5-3) cup (7; 4sqrt 5+3).

📸 Видео

Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnlineСкачать

Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnline

Решение систем уравнений второй степени. Алгебра, 9 классСкачать

Решение систем уравнений второй степени. Алгебра, 9 класс

Математика | Параметр. Система уравнений с параметромСкачать

Математика | Параметр. Система уравнений с параметром

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | Математика

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.

При каких значения параметра система неравенств имеет единственное решение. Задание 18 (36)Скачать

При каких значения параметра система неравенств имеет единственное решение. Задание 18 (36)

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэ

Найдите все значения параметра а, при которых система имеет единственное решениеСкачать

Найдите все значения параметра а, при которых система имеет единственное решение

✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive​​ #041 | Борис ТрушинСкачать

✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive​​ #041 | Борис Трушин

Параметр Единственное решениеСкачать

Параметр Единственное решение

Уравнения с параметром. Алгебра, 8 классСкачать

Уравнения с параметром. Алгебра, 8 класс

#75 Урок 36. Определение количества решений системы уравнений. Алгебра 7 класс.Скачать

#75 Урок 36. Определение количества решений системы уравнений. Алгебра 7 класс.

Все уравнения с параметром на РешуЕГЭ. Тотальный разбор 17 номера ЕГЭ по математикеСкачать

Все уравнения с параметром на РешуЕГЭ. Тотальный разбор 17 номера ЕГЭ по математике

Система уравнений не имеет решений или имеет бесчисленное множество решенийСкачать

Система уравнений не имеет решений или имеет бесчисленное множество решений

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Решение систем уравнений методом подстановки
Поделиться или сохранить к себе: