При каких значениях параметра а система уравнений имеет 4 различных решения

Задача 35823 При каких значениях параметра а система .

Содержание

Условие
Все решения
При каких значениях параметра а система уравнений имеет 4 различных решения
Решение 3053. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно четыре решения.
Решение №2829 Найдите всe значения параметра a, при каждом их которых система <(ху^2-2xy-4y+8)√(4-y)=0, y=ax имеет ровно 3 различных решения.

Условие

При каких значениях параметра а система имеет четыре решения?

Все решения

Второе уравнение:
25x^2+y^2+6y+9=16a
(5x)^2+(y+3)^2=16a

Замена:
sqrt(|y+3|)=u
u ≥ 0
sqrt(5|x|)=v
v ≥ 0
В силу симметрии достаточно ответить на вопрос

2v^4-4v^3+6v^2-4v+1-16a=0 — при каких значениях параметра а уравнение имеет 1 корень?

g`(v)=(4/8)v^3-(3/4)v^2+(6/8)v-(1/4) возрастающая функция

g`(v)=0
обращается в 0 в единственной точке:

v=1/2 — точка минимума, производная меняет знак с — на +

Решение 3053. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно четыре решения.

Задание 18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно четыре решения.

Исходная система равносильна системе уравнений:

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре различных решения тогда и только тогда, когда биквадратное уравнение

имеет ровно четыре различных корня. Это выполняется, когда квадратное уравнение

имеет ровно два положительных корня.

Чтобы полученное квадратное уравнение имело два корня, его дискриминант должен быть положительным:

откуда или .

Чтобы корни полученного квадратного уравнения были одного знака, свободный член этого уравнения должен быть положительным:

откуда .

Чтобы корни квадратного уравнения были положительными, коэффициент при t должен быть отрицательным, то есть . Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения при