При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а

При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а

Вопрос по алгебре:

При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x^2+(a+1)x+a²-3a=0 равно 4?
ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА.
Решите с подробным объяснением

При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

-1 не удовлетворяет первому неравенству, поэтому ответ 4

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

  • Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
  • Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
  • Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

  • Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
  • Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
  • Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
  • Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Алгебра.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.

Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnline

Задачи с параметрами, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратного уравнения

Разделы: Математика

  1. Постановка цели урока:

Рассмотрим, как при решении задач с параметрами используются свойства квадратной функции. Задачи разнообразные по форме и содержанию, но объединены обшей идеей — в основе их решения лежат свойства функции: у=ах 2 +bх+с

Дискриминант, старший коэффициент а и хо=(-b/2а) абсцисса вершины параболы конструируют основу, на которой строится теория решения задач, связанных с квадратичной функцией.

  1. При каких значениях параметра а корни уравнения ах 2 -(2а+1)х+За-1=0 больше 1?

Очевидно, что задача равносильна следующей: “при каких значениях параметра, а корни квадратного трехчлена f(х)=ах -(2а+1)х+За-1 больше 1?

Переход от одной формулировки задач к другой дает возможность использовать основную идею решения, которая связана с описанием свойств квадратного трехчлена и с их геометрической интерпретацией.

В частности, чтобы корни квадратного трехчлена f(х)=ах +bх+с (а≠0) были больше числа d (х1; х2 > d) необходимо и достаточно выполнение условий:

При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3аПри каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а

Скажите, а как можно от совокупности двух систем перейти к одной системе

При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3аПри каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а

Мы получим условие того, что корни квадратного трехчлена больше данного числа d. Неплохо бы помнить данное утверждение, однако заучивать его не надо, гораздо важнее понять механизм возникновения необходимости неравенств и научиться его применить при решении конкретных неравенств и научиться его применить при решении конкретных задач. Вернемся к нашей задаче:

  1. При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а
  2. а=0

=> х=-1 не удовлетворяет условию задачи

Остается только решить эту систему неравенств (1) при а (1; При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а)

Скажите, а есть ли другой способ задач? (Этот же результат мы получим, решая неравенство x1>1, где x1 — меньший корень уравнения.)

  • При каких значениях а корни уравнения х 2 -2(а-1)х+2а+1=0 имеют разные знаки и оба по абсолютной величине меньше 4?
  • Как можно перефразировать данное задание? (Например, корни квадратичного трехчлена принадлежат промежутку (-4;4)

При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а

  • Как можно заменить два последних неравенства в данной конкретной задаче, учитывая, что ветви параболы направлены вверх?

При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а

Развиваем I — ключевую задачу:

    При каких значениях параметра а оба корня уравнения х 2 -ах+2=0 удовлетворяет условию 1 -2 очень сложно.

  1. Найти а, при которых число -1 лежит между корнями уравнения х 2 +2ах+4а 2 -а-2=0 Мы варьируем условие! Во второй задаче корень лежит между числами, а в третьей число лежит между корнями.

Вернемся ко второй задаче: обязательно ли условие D≥0?

При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а

Развиваем III ключевую задачу:

3sinх+(4-2а)sinх+1 -а =0 имеем корни разного знака? Sinх=1; |t| ≤ 1

3t 2 — (4 — 2а)t +1 — а 2 = 0

При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3аf(-1)>0
f(1)>0
(0)>0
При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3аПри каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3аa 2 +2a-8 2 -2a 2 -1>0При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3аПри каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а(a+4)(a-2) 0

Ответ: а При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а(1,2)

    При каких а, уравнение соs 2 х-(а-2)соsх+4а+1=0 не имеет корней? cosх=t |t| 2 -4(4a+1) 2 -12a 0
    f(-1) б х+cos б х+a*sinхсоsх≥0
    sin 4 х-sin 2 хсоs 2 х+соs 4 х+аsinхсоsх≥0
    1-3sin 2 хсоs 2 х+аsinхсоsх≥0

При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а
При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а
При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а

Ответ: При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а

7. При каких а корни уравнения х 2 -2х-а +1=0 лежат между корнями уравнения

Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | Математика

При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а

В.П.Василенков, Р.С. Златин, А.В. Дюндин

Раздел 1 . Уравнения

� 1.4. Уравнения с параметрами .

6. Квадратный трехчлен и параметры

Квадратный трехчлен в школе можно назвать главной функцией всей математики 8-9 классов, а также всей школьной математики.

Особую роль среди уравнений с параметрами играют задачи, связанные с расположением корней квадратного трехчлена. Для решения таких задач можно сформулировать теоремы, но, однако, количество таких теорем будет практически необозримо. И остается только одно- научиться придумывать теорему каждый раз, в каждой конкретной задаче. Для придумывания таких теорем нужно не только знание свойств квадратного трехчлена, но и умение мыслить одновременно на двух языках — алгебраическом и геометрическом.

Это значит, что для любого свойства, сформулированного на алгебраическом языке, нужно уметь дать геометрическую интерпретацию на графике, и наоборот. Например:

� старший коэффициент меньше нуля — значит ветви параболы направлены вниз;

� график функции у = ах 2 + bх + с находится выше оси абсцисс- значит а>0, b 2 — 4ac

Рассмотрим ряд примеров.

Пример 1. При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения х 2 + (а + 1)х + 3 = 0 лежат по разные стороны от числа 2?

Построим график квадратного трехчлена, удовлетворяющий данному условию. Если потребовать, чтобы f(2) 2 + (a + 1)x + 3, то отсюда будет следовать, что корни уравнения существуют и лежат по разные стороны от числа 2. Верно и обратное, то есть справедлива следующая теорема.

Теорема. Для того, чтобы корни квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0 лежали по разные стороны от числа к необходимо и достаточно, чтобы f(k)

В нашем случае f(2) = 4 + 2(а + 1) + 3 = 2а + 9, 2а + 9 Ответ: а

Пример 2. Найти все а, при которых корни уравнения х 2 + х + а = 0 различные и оба больше а.

Дадим геометрическую интерпретацию поставленной задачи (рис.9). Очевидно, что если f(a) > 0, хв > a и D > 0, то оба корня действительно различны и оба больше а. Ни одно из условий не является лишним.

Например, если отбросить условие D > 0, то возможна ситуация (см. рис. 10) и корней вообще нет, хотя f(a) > 0, xв > а.

Если отбросить условие f(a) > 0, то возможна ситуация (см. рис.11) и один корень меньше а, другой больше a , хотя D > 0 и хв > а.

Если отбросить условие хв > а, то возможна ситуация (см. рис. 12) и корни уравнения меньше а, хотя D > 0 и f(a) > 0.

Теорема. Для того, чтобы корни уравнения х 2 + рх + q = 0 были различны и оба больше к необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а

В нашем примере f(a) = а 2 + а + а = а 2 + 2а, D = 1 — 4а, хв = — При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а.

Получаем систему неравенств.

При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а

Систему решаем методом интервалов (рис. 13).

Ответ: а При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а.

Пример 3. Найти все значения параметра р, при которых корни уравнения х 2 + (р + 1)х + р = 0 принадлежат промежутку (-2;3).

Дадим геометрическую интерпретацию этой задачи (см. рис.14).Очевидно, что если f(-2) > 0, f(3) > 0, D При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а, -2

Итак, в нашем случае f(-2) = 4 — 2(p + 1) + p = 2 — p,

f(3) = 9 + 3(p + 1) + p = 12 + 4p,

D = (p + 1) 2 — 4p = (p — 1) 2 При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а, При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а

Итак, имеем систему неравенств:

При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3аили При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а

Пример 4. При каких а уравнение (1 + 2а)х 4 — 2ах 2 + (1 + а) = 0:

1) не имеет действительных корней;

2) имеет один корень;

3) имеет два корня;

4) имеет три корня;

5) имеет четыре корня.

Введем новую переменную у = х 2 . Тогда заданное уравнение равносильно уравнению (1 + 2а)у 2 — 2ау + (1 + а) = 0, где у = х 2 .

Изложим схему исследования.

1. Уравнение (1 + 2а)у 2 — 2ау + (1 + а) = 0 , где у = х 2 не имеет решений в трех случаях:

1) D = (2а) 2 — 4(1 + а)(1 + 2а)

2) D При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а0 и у1

3) а = — При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а(тогда у = — При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а).

2. Система имеет один корень:

3. Система имеет два корня в случаях:

2)D > 0, у1 0 (корни находятся по разные стороны от нуля.)

4. Система имеет три корня, если D > 0, у1 > 0, у2 = 0.

5. Система имеет четыре корня, если D > 0, у1 > 0, у2 > 0 (оба корня правее нуля.)

Дальнейшее исследование проводится аналогично предыдущим случаям. Получите решение самостоятельно!

7. Теорема Виета и параметры.

Многие уравнения с параметрами связаны с использованием теоремы Виета. При этом важно понимать, что теорема Виета в школьном курсе формулируется только для случая, когда существуют действительные корни уравнения, в противном случае можем получить ошибочный ответ (см. пункт 4 примеров 1 и 2).

Приведем некоторые примеры, в которых используется теорема Виета.

Пример 1. При каких а разность корней уравнения 2х 2 — (а + 1)х + (а — 1) =0 равна их произведению?

Прежде всего заметим, что теорема Виета применима при любом а, так как

D = (а + 1) 2 — 8(а — 1) = а 2 — 6а + 9 = (а — 3) 2 При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а0.

По теореме Виета При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3аи кроме того х12 = х1х2,

тогда При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3ах1= При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а, х2= При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а.

Тогда При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а, а = 2.

Пример 2. Найти наименьшее значение выражения х1 2 + х2 2 , если х1 и х2 � корни уравнения х 2 — 2ах + а + 6 = 0.

По теореме Виета х1+ х2 = 2а,

Казалось бы, мы должны найти наименьшее значение выражения 4а 2 — 2а — 12, а оно достигается в вершине параболы у = 4а 2 — 2а — 12,

При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а, и а = При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а.

На самом деле мы опять допускаем ту же ошибку, т. е. если подставить При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3ав уравнение, то оно не имеет решений. Поэтому мы должны найти, при каких а теорема Виета применима, то есть D = 4а 2 — 4а — 24 При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а0.

Решая неравенство, получим При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3аили При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а.

Из графика функции у = 4а 2 — 2а — 12 (см. рис. 16) видно, что наименьшее значение будет среди двух чисел f (-2) и f (3):

Итак, наименьшее значение выражения х1 + х2 равно 8 при а = -2.

Упражнения

4.1. При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а.

4.2. При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а.

4.3. При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а.

4.4. При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а.

4.5. При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а.

4.6. При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а.

4.7. При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а=0.

4.8. При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а.

4.9. При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а.

4.10. При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а.

4.11. При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а.

4.12. При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а.

4.13. При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а.

4.14. Найти все значения параметра а, для которых квадратное уравнение При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а:

а) имеет два корня;

б) имеет один корень;

в) не имеет корней.

4.15. При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а.

4.16. При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а.

4.17. При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а.

4.18. При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а.

4.19. При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а.

4.20. При каких а уравнение При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3аимеет единственное решение?

4.21. При каких а интервал (2;3) находится между корней уравнения При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а?

Указание. Рассмотреть два случая: 1) a >0; 2) a

4.22. При каких m уравнение При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3аимеет один корень больше 2, другой меньше 2?

4.23. При каких к корни уравнения При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3апринадлежат интервалу (-6;1)?

4.24. Найти все р, при которых один корень уравнения При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3абольше 3, другой � меньше 2.

4.25. Вычислить сумму корней уравнения При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3аи найти значение а, при котором соответствующая эта сумма принимает наибольшее значение.

Указание : х1 + х2 = 6а — 2а 2 . Требуется найти наибольшее значение 6а — 2а 2 при условии, что D При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а0.

4.26. Решить уравнение При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а.

4.27. При каких а уравнение При каких значениях параметра а произведение корней уравнения x2 a 1 х а2 3а:

1) имеет не более одного решения;

2) не менее одного решения.

Обязательно самостоятельно выполните

1.1(а,в); 1.2(а); 1.3(а); 2.4; 2.13; 3.1; 3.5; 4.2; 4.6; 4.9.

1.2(б); 1.4; 2.12; 2.15; 3.10; 4.14; 4.16; 4.21; 4.23; 4.25.

💡 Видео

6. ПРИ КАКИХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРА УРАВНЕНИЕ НЕ ИМЕЕТ КОРНЕЙСкачать

6. ПРИ КАКИХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРА УРАВНЕНИЕ НЕ ИМЕЕТ КОРНЕЙ

При каких значениях параметра уравнение имеет единственный кореньСкачать

При каких значениях параметра уравнение имеет единственный корень

Свойства квадратного корня. Уравнение х2=а, 8 классСкачать

Свойства квадратного корня. Уравнение х2=а, 8 класс

Уравнения с параметром. Алгебра, 8 классСкачать

Уравнения с параметром. Алгебра, 8 класс

При каких значениях а сумма квадратов корней уравнения x² + ax + a - 2 = 0 минимальна?Скачать

При каких значениях а сумма квадратов корней уравнения x² + ax + a - 2 = 0 минимальна?

#118 Урок 43 Квадратные уравнения. Параметры. При каком значении параметра уравнение имеет 1 корень.Скачать

#118 Урок 43 Квадратные уравнения. Параметры. При каком значении параметра уравнение имеет 1 корень.

Математика| Разложение квадратного трехчлена на множители.Скачать

Математика| Разложение квадратного трехчлена на множители.

Найти значение суммы и произведения корней квадратного уравненияСкачать

Найти значение суммы и произведения корней квадратного уравнения

Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)Скачать

Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.

✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive​​ #041 | Борис ТрушинСкачать

✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive​​ #041 | Борис Трушин

Параметры с нуля. Урок 6. Квадратные уравнения с параметром. 17 задание ЕГЭ профильная математикаСкачать

Параметры с нуля. Урок 6. Квадратные уравнения с параметром. 17 задание ЕГЭ профильная математика

Параметры 3. Расположение корней квадратного уравнения. ЕГЭ №18Скачать

Параметры 3. Расположение корней квадратного уравнения. ЕГЭ №18

Параметры, Легко Решаемые Графически | ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

Параметры, Легко Решаемые Графически | ЕГЭ 2024 по математике

Квадратный Трехчлен / Разложение квадратного трехчлена на множители, Как решать Квадратные УравненияСкачать

Квадратный Трехчлен / Разложение квадратного трехчлена на множители, Как решать Квадратные Уравнения

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Профильный ЕГЭ 2023. Задача 17. Параметры. Методы решенияСкачать

Профильный ЕГЭ 2023. Задача 17. Параметры. Методы решения
Поделиться или сохранить к себе: