При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежутку

Урок математики в 11-м классе «Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра»

Разделы: Математика

Цель:

  • формировать умение распознавать положение квадратной параболы на плоскости в зависимости от параметра,
  • развивать логическое мышление,
  • умение работать в проблемной ситуации.

Ход урока

Проверка домашнего задания.

Объяснение нового материала.

Решение многих задач с параметрами, предлагаемых на экзаменах, в частности, на ЕГЭ по математике, требует умения правильно формулировать необходимые и достаточные условия, соответствующие различным случаям расположения корней квадратного трёхчлена на числовой оси.

Пусть квадратный трёхчлен f(x) = ax 2 + bx + с имеет корни x1 и x2, При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежутку— абсцисса вершины параболы y = ax 2 + bx + с, d — заданное число. Рассмотрим ряд утверждений, связанных с взаимным расположением x1 , x2 и числа d.

Теорема 1. Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше числа d, (рис.1) необходимо и достаточно выполнение условий.

При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежутку

Пример:

При каких значениях параметра а корни уравнения ax 2 —(2а + 1)х + 3а — 1 = 0 больше единицы?

Решение: 1. При а = 0 х = -1 — не удовлетворяет требованию задачи.

2. При а При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежуткуПри каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежутку

Ответ: При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежутку

Теорема 2. Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были меньше числа d, (рис.2) необходимо и достаточно выполнение условий

При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежутку

Рассмотрим задачи на применение этих теорем, обращая внимание на алгоритм получения необходимых и достаточных условий, соответствующих данному случаю расположения корней квадратного трёхчлена на числовой оси. Учащиеся должны научиться составлять эти условия, а не пытаться механически их запомнить.

Задачи для самостоятельного решения.

Найдите значение параметра m, при которых уравнение При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежуткуимеет два отрицательных решения.

Ответ: при При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежуткууравнение имеет два отрицательных решения.

Найти все значения параметра При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежутку, при которых уравнение При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежуткуимеет два положительных различных решения.

Ответ: при При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежуткууравнение имеет два положительных различных решения

При каких значениях параметра а корни уравнения При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежуткубольше 1?

Ответ: при При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежуткукорни уравнения больше 1.

При каких значениях параметра а оба корня уравнения При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежуткуменьше 1?

Ответ: при При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежуткуоба корня уравнения меньше 1.

При каких значениях параметра p оба корня квадратного трехчлена При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежуткуотрицательны?

Ответ: при При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежуткуоба корня квадратного трехчлена отрицательны.

Найдите все значения параметра а, при которых оба корня уравнения При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежуткубольше 1?

Ответ: не существует таких значений параметра а, при которых оба корня уравнения больше 1.

Теорема 3. Для того чтобы число d было расположено между корнями квадратного трёхчлена, (рис.3) необходимо и достаточно выполнение условий

При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежутку

Задача для самостоятельного решения

Найти все значения параметра При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежутку, при которых только один корень квадратного трехчлена При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежуткубольше 2.

Ответ: При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежуткуили При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежутку.

При каком значении параметра При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежуткуодин корень уравнения При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежуткубольше 1, а другой — меньше 1?

Ответ: при При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежуткуодин корень уравнения больше 1, а другой — меньше 1.

При каких значениях параметра При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежуткучисло 2 находится между корнями квадратного уравнения При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежутку?

Ответ: при При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежуткуодин корень уравнения больше 2, а другой — меньше .

Найти все значения параметра При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежутку, при которых только один корень уравнения При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежуткуудовлетворяет неравенству При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежутку.

Ответ: При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежуткуили При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежутку.

Теорема 4. Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена лежали в интервале (d: p), (рис.4) необходимо и достаточно выполнение условий

При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежуткуПри каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежуткуПри каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежутку При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежутку(4)

При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежутку

Пример. При каких значениях параметра а оба корня уравнения удовлетворяют условию 1 8.08.2010

Видео:Нахождение корней уравнения, принадлежащих промежуткуСкачать

Нахождение корней уравнения, принадлежащих промежутку

Раздел II. № 2.58. ГДЗ Алгебра 9 класс ОГЭ Кузнецова. При каких значениях р корни уравнения принадлежат промежутку?

1) При каких значениях а корни уравнения
х 2 -2ах + (а + 1)(а — 1) = 0
принадлежат промежутку [-5; 5]?

2) При каких значениях р корни уравнения
х 2 -2(р + 1)х + р(р + 2) = 0
принадлежат промежутку [-1; 3]?

(1) х 2 -2ах+(а+1)(а-1) = 0
1) x 2 -2ах+a 2 -1 = 0
При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежутку
Ответ: при -4 ≤ а ≤ 4 .

При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежутку
Ответ: при -1 ≤ р ≤ 1.

Видео:3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать

3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из Вебиума

Квадратные уравнения с параметром

Уравнение называется квадратным, если имеет вид (ax^2+bx+c=0,) где (a,b,c) — любые числа ((a≠0)). При этом надо быть внимательным, если (a=0), то уравнение будет линейным, а не квадратным. Поэтому, первым делом при решении квадратного уравнения с параметром, рекомендую смотреть на коэффициент при (x^2) и рассматривать 2 случая: (a=0) (линейное уравнение); (a≠0) (квадратное уравнение). Квадратное уравнение часто решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.

Видео:Корни уравнения с параметромСкачать

Корни уравнения с параметром

Исследование квадратного многочлена

Чтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта. (см. пример 1) Но иногда в задачах с параметром просят найти такие значения параметра, при которых корни принадлежат определенному числовому промежутку. Например:

  • Найдите такие значения параметра, чтобы оба корня были меньше некоторого числа (γ): (x_1≤x_2 0)); ветки параболы направлены вниз ((a 0). Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения, а вне этого отрезка – положительные. Так как наше число (γ) должно по условию лежать вне отрезка ((x_1,x_2)), то (f(γ)>0).
  • (a 0). Этим условием мы накладываем ограничение, что наши корни должны лежать слева или справа от числа (γ).

В итоге получаем:

если (a*f(γ) 0), то (γ∉(x_1,x_2)).

Нам осталось наложить условие, чтобы наши корни были слева от числа (γ). Здесь нужно просто сравнить положение вершины нашей параболы (x_0) относительно (γ). Заметим, что вершина лежит между точками (x_1) и (x_2). Если (x_0 0, \x_0 При каких значениях параметра а корни уравнения принадлежат промежутку

При каких значениях параметра a уравнение $$a(a+3) x^2+(2a+6)x-3a-9=0$$ имеет более одного корня?

1 случай: Если (a(a+3)=0), то уравнение будет линейным. При (a=0) исходное уравнение превращается в (6x-9=0), корень которого (x=1,5). Таким образом, при (a=0) уравнение имеет один корень.
При (a=-3) получаем (0*x^2+0*x-0=0), корнями этого уравнения являются любые рациональные числа. Уравнение имеет бесконечное количество корней.

2 случай: Если (a≠0; a≠-3), то получим квадратное уравнение. При положительном дискриминанте уравнение будет иметь более одного корня: $$D>0$$ $$D/4=(a+3)^2+3a(a+3)^2>0$$ $$(a+3)^2 (3a+1)>0$$ $$a>-frac.$$ С учетом (a≠0;) (a≠-3), получим, что уравнение имеет два корня при (a∈(-frac;0)∪(0;+∞)). Объединив оба случая получим (внимательно прочитайте, что от нас требуется):

Найти все значения параметра a, при которых корни уравнения $$(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1=0$$ принадлежат отрезку ([-2;2]).

1 случай: Если (a=-1), то (0*x^2-x+1-1=0) отсюда (x=0). Это решение принадлежит ([-2;2]).

2 случай: При (a≠-1), получаем квадратное уравнение, с условием, что все корни принадлежат ([-2;2]). Для решения введем функцию (f(x)=(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1) и запишем систему, которая задает требуемые условия:

Подставляем полученные выражения в систему:

💥 Видео

Отбор корней по окружностиСкачать

Отбор корней по окружности

Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профильСкачать

Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профиль

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | Математика

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

При каких значениях параметра уравнение имеет единственный кореньСкачать

При каких значениях параметра уравнение имеет единственный корень

Отбор корней по окружностиСкачать

Отбор корней по окружности

найти при каких значениях параметра А уравнение будет иметь только 1 корень.Скачать

найти при каких значениях параметра А уравнение будет иметь только 1 корень.

Параметр | При каких значениях параметра решение неравенства принадлежит отрезку| Задача 17 ЕГЭ 2022Скачать

Параметр | При каких значениях параметра решение неравенства принадлежит отрезку| Задача 17 ЕГЭ 2022

Параметры 3. Расположение корней квадратного уравнения. ЕГЭ №18Скачать

Параметры 3. Расположение корней квадратного уравнения. ЕГЭ №18

Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnlineСкачать

Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnline

Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnline

896 Алгебра 8 класс При каких значениях а уравнение Квадратное имеет 2 корня принадлежащиеСкачать

896 Алгебра 8 класс При каких значениях а уравнение Квадратное имеет 2 корня принадлежащие

Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать

Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСС

#118 Урок 43 Квадратные уравнения. Параметры. При каком значении параметра уравнение имеет 1 корень.Скачать

#118 Урок 43 Квадратные уравнения. Параметры. При каком значении параметра уравнение имеет 1 корень.

✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive​​ #041 | Борис ТрушинСкачать

✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive​​ #041 | Борис Трушин

5-часовой стрим по ПАРАМЕТРАМ. Вся алгебра для №17 с нуля и до уровня ЕГЭ 2023Скачать

5-часовой стрим по ПАРАМЕТРАМ. Вся алгебра для №17 с нуля и до уровня ЕГЭ 2023

961 Алгебра 8 класс . При каких значениях уравнение имеет два корня принадлежащие интервалуСкачать

961 Алгебра 8 класс . При каких значениях уравнение имеет два корня принадлежащие интервалу
Поделиться или сохранить к себе: